文档文本内容
第02 讲 两条直线的位置关系
目录
01 常考题型过关练
题型01 直线的交点及其应用
题型02 两条直线平行及其应用
题型03 两条直线垂直及其应用
题型04 点到直线间的距离公式的应用
题型05 两条平行直线间的距离公式的应用
题型06 与距离有关的最值问题
题型07 点、直线的对称问题
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 直线的交点及其应用
1．已知直线l 过直线
与直线
的交点，且与直线
平行，则直线l 的方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求出直线的交点，再设直线的平行直线，最后代入交点求参.
【详解】直线
与直线
的交点为
，
又因为与直线
平行，所以设直线为：
，
代入
得
，所以
，
所以直线的方程为
.
故选：A.
2．设直线
与
轴的交点的横坐标为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】令
，可得
，再用累乘法计算.
【详解】令
，可得
，
所以
．
故选：C．
3．如图，矩形
中，
，
，
、
、
、
分别是矩形四条边的中点，且都在坐标轴上，
、、
是线段
的四等分点，
、
、
是线段
的四等分点，直线
与
、
与
、
与
的交点
、
、
都在以下哪条曲线上（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出点
、
、
的坐标，设曲线的方程为
，将这三点的坐标代入曲线方程，求出
、
的值，即可得出曲线的方程.
【详解】由已知得
、
、
、
，
因为
、、
是线段
的四等分点，则
、
、
，
因为
、
、
是线段
的四等分点，则
、
、
，
，则直线
的方程为
，
，则直线
的方程为
，
联立这两直线方程
，解得
，
，即点
，
同理可得点
、
，
设
、
、
在曲线
上，
则
，解得
，
因此，点
、
、
都在曲线
.
故选：D.
4．已知两直线
.
(1)求过两直线的交点，且垂直于直线
的直线方程；
(2)已知两点
，动点
在直线运动，求
的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出两直线的交点，利用垂直得出斜率，点斜式可得方程；
（2）求出点
的对称点，利用两点之间直线最短可求答案.
【详解】（1）联立方程
，解得
；
因为所求直线垂直于直线
，所以所求直线的斜率为
，
故所求直线方程为
，即
；
（2）设点
关于直线对称的点为
，
则
，解得
，即
；
则
,
故
的最小值为
.
02 两条直线平行及其应用
5．设
为实数，直线
，直线
，则“
”是“
平行”的（ ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充分必要
D．既不充分又不必要
【答案】A
【分析】利用两者之间推出的关系可得条件关系.
【详解】若
，则直线
，直线
，此时
平行，
若
平行，则
即
，
当
时，
平行，
当
时，直线
，直线
，此时
也平行，
故
平行时推不出
，故“
”是“
平行”的充分不必要条件，
故选：A.
6．已知直线
．若
，则实数
的值为 ．
【答案】2
【分析】由两直线平行的公式求参数可得结果.
【详解】因为
，所以
，解得
或
.
当
时，
，符合题意.
当
时，
，两直线重合，不合题意.
综上，
.
故答案为：2.
7．已知两直线
和
．若
，则
．
【答案】
【分析】利用两条直线平行求出参数，再验证得解.
【详解】由直线
，得
，则
，解得
，
又
0，则
，即
，因此
．
所以当
时，
．
故答案为：
8．已知直线
与直线
互相平行，等差数列
的公差为
，且
，
，令
，则
的值为 ．
【答案】52
【分析】利用两直线平行可求得
，再结合
和
求出首项，得到数列通项公式，最后
逐项代入求解
即可.
【详解】由题意知
，因为两直线平行，所以
，解得
，
由
，解得
或
，
又
，则
，
由
，解得
，
故
，
则
故答案为：52
03 两条直线垂直及其应用
9．设曲线
在
处的切线与
垂直，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】C
【分析】先对曲线
进行求导，将
代入导函数中求出切线斜率，在根据切线与已知直
线垂直的关系列出方程求解即可.
【详解】因为
，所以
，
所以曲线在
处的切线斜率为：
，
由直线
的斜率为：
，
又因为曲线
在
处的切线与
垂直，
所以
，
所以
，
故选：C.
10．已知直线
与直线
垂直，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据直线垂直的充要条件可求解.
【详解】因为直线
与直线
垂直，
所以
，解得
.
故选：B.
11．双曲线
的一条渐近线与直线
垂直，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，双曲线的渐近线方程为
，其与直线
垂直，可得
，再根据双曲
线中
的关系，即可求解.
【详解】由题意得，双曲线的渐近线方程为
，
因为双曲线的一条渐近线与直线
垂直，
所以渐近线为
，且
，所以
，
所以双曲线的离心率为
.
故选：B.
12．已知曲线
在
处的切线与直线
垂直，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求导，确定切线斜率，再结合垂直关系即可求解.
【详解】由
，得
，
所以在
处的切线斜率为：
，
由垂直关系可得：
，
所以
，
故选：A
04 点到直线间的距离公式的应用
13．双曲线
的焦点到其渐近线的距离为（ ）
A．
B．1
C．3
D．9
【答案】C
【分析】法一：求出渐近线方程，利用点到直线距离公式进行求解；法二：利用结论“双曲线的焦点到其
渐近线的距离等于虚半轴长”直接得到答案.
【详解】法一：双曲线的渐近线方程为
，焦点
，
焦点到渐近线的距
，
法二：利用结论“双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长”得，
.
故选：C．
14．圆
上的点到直线
距离的最小值是（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】A
【分析】根据圆的标准方程确定圆心和半径，再根据直线方程，利用点到直线的距离公式，计算出圆心到
直线的距离d，根据
的大小关系，得出直线和圆不相交，从而得出距离的最小值为
.
【详解】已知圆的标准方程为：
，则其圆心
,半径
.
直线方程为
，根据点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离为：
.
因为
，那么圆与直线相离.
因此，圆上点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径，即：
故选:A.
15．已知曲线E:
+
=1，
是曲线E 上任意一点，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分类讨论可得曲线
轨迹，利用
可看成是点
到直线
的距离的两倍，
当点
在椭圆上时距离最大，利用三角代换可求最大值.
【详解】由
，当
时，方程为
，
当
时，方程为
，当
时，方程为
，
如图，曲线在第二、四象限是双曲线的一部分，在第一象限是椭圆
的一部分，
可看成是点
到直线
的距离的两倍.
由图可知，点
在椭圆上时，距离最大.
设
，
则
，其中
，则
.
故选：C.
16．已知三条直线：
，
，
，且与
间的距离是
，
(1)求
的值；
(2)能否找到一点
，使
同时满足下列三个条件：①点
在第一象限；②点
到的距离是点
到
的
距离的
；③点
到的距离与点
到
的距离之比是
，若能，求点
的坐标；若不能，说明理
由
【答案】(1)
；
(2)存在点
.
【分析】（1）由两平行线间距离公式代入数据即可求解；
（2）由点在第一象限，结合点到线的距离公式列出等式求解即可.
【详解】（1）
，
与
间的距离为
，
即
，
，
；
（2）假设存在，设点
，
由条件
知，点
在与
平行的直线
上，
且
，
或
，
或
，
由条件
知，
，
，即
或
，
因为点
在第一象限，
，
舍，
或
解得
（舍），
，
所以存在点
同时满足①②③．
05 两条平行直线间的距离公式的应用
17．若曲线
的一条切线与直线
：
平行，则与
之间的距离为（ ）
A．
B．
C．5
D．10
【答案】A
【分析】首先根据导数的几何意义求切线的方程，再代入平行线的距离，即可求解.
【详解】设直线与曲线
切于点
，直线
的斜率为4，
由导数的几何意义可知，
，得
，则
，
所以直线
，即
，
所以直线与
之间的距离为
.
故选:A
18．已知圆
，圆
分别是圆
、
上的动点，
为
轴上的动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】C
【分析】作出圆
关于
轴对称的圆
，利用对称的性质、圆的性质及两点间线段最短求出最小值.
【详解】圆
的圆心
，半径
，圆
的圆心
，半径
，
作圆
关于
轴对称的圆
，其圆心
因此
，
当且仅当
是线段
与
轴的交点时取等号，
所以
的最小值为
.
故选：C
19．已知
是曲线
上的一个动点，则点
到直线
的最小距离为 ．
【答案】
【分析】设
与
相切与点Q
，求得切线方程，再利用两直线间的距离求解.
【详解】因为
，所以
，
设
与
相切与点Q
，
则
，令
，解得
，则切点为
，
代入
，得
，即直线方程为
，
所以直线
与直线
间的距离
，
即为
到直线
的最小距离.
故答案为：
.
20．已知直线：
与直线
：
平行，其中
，则直线与
之间的距离等于
．
【答案】
【分析】利用两条直线平行的条件求出
，再利用平行线间的距离公式计算得到所求距离.
【详解】由题意，直线
，则
且
，所以
.
所以：
与直线
：
之间的距离
.
故答案为：
.
06 与距离有关的最值问题
21．
是圆
上的动点，
是直线
上的动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】判断圆与直线的位置关系为相离，可得
的最小值为圆心到直线的距离减去半径.
【详解】由题意得，圆
的圆心为
，半径
.
因为
到直线
的距离
，
当且仅当
时，等号成立，
所以直线与该圆相离，
所以
的最小值为
.
故选：C.
22．对任意的实数
， 圆
上一点到直线
的距离
的取值范围
为 .
【答案】
【分析】根据直线方程先求出直线所过的定点，然后考虑直线经过圆心，圆心与定点的连线垂直直线，结
合直线与圆的位置关系确定出
的取值范围.
【详解】由题意可知圆
的圆心为
，半径
，
直线方程可化为
，
令
解得
，所以直线过定点
，
显然当直线与圆
相切或相交时，
取最小值且
，
不妨令直线过原点，将
代入
，此时
，
设圆心到直线的距离为
，当直线与
垂直时，
取得最大值，下面证明：
当
与直线垂直时，记为直线，
当
不与直线垂直且直线不经过
时，记为直线
，
过
作
交于
点，如下图所示，
由图可知
为直角三角形，且
为斜边，所以
，
所以
取最大值时，
与直线垂直时，
故
，
，
但此时的方程为
，即为
，
此时无论
取何值都无法满足要求，故
取不到
，
所以
，
故答案为：
23．在平面直角坐标系
中，动点
到
、
两点的距离的平方和为10，则
的取
值范围为 .
【答案】
【分析】根据题意计算化简得出点
的轨迹是以原点
为圆心，半径
的圆，将
看作是点
与点
连线的斜率
，利用直线与圆的位置关系求得
的取值范围，即可得解.
【详解】由动点
到点
距离的平方和为10，得
，
则点
的轨迹方程为
，点
的轨迹是以原点
为圆心，半径
的圆，
可看作是点
与点
连线的斜率
，
设直线
，即
，则圆心
到直线的距离
，
由直线与圆有公共点，得圆心到直线的距离
，整理得
，解得
或
，
所以
的取值范围为
．
故答案为：
24．函数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】记点
、
、
，则
，数形结合可得出
的最小值，
当
时，设
，结合函数的基本性质可得出
，综合可得出
的取值范围.
【详解】
，
记点
、
、
，
利用几何意义
，根据两边之差小于第三边，
又注意到
、
、
三点共线时
可以取到最小值
，
故
，如下图所示：
又因为
，则
，
当
时，
，此时
；
当
时，设
，
则
，
此时
.
综上所述，函数
的取值范围是
.
故答案为：
.
25．已知
，
满足
，则点
到直线
的距离的最大值为 ．
【答案】
【分析】首先判断直线
恒过定点
，再将距离的最大值转化为两点间的距离.
【详解】
，
直线
恒过定点
，
所以点
到直线
的距离的最大值为点
和
两点间的距离
.
故答案为：
07 点、直线的对称问题
26．椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个
焦点（如图）.已知椭圆
，
为坐标原点，是点
处的切线，过左焦点
作的垂线，
垂足为
，则
（ ）
A．
B．
C．4
D．8
【答案】C
【分析】延长
、
交于点
，由光学性质分析可知，则
为
的中点，且
，利用中位
线的性质结合椭圆的定义可求得
的值.
【详解】由椭圆
，则
，长轴长
.
如图，在平面直角坐标系中，
延长
交于点
，连接
，
由题意可知
，又因为
，
则
为
的中点，且
，
所以
，
又因为
为
的中点，则
为
的中位线，
则
.
故选：C.
27．一条光线经过点
射到直线
上，被反射后经过点
，则入射光线所在直线的方程
为 ．
【答案】
【分析】先根据点关于直线对称得出
，又点
，应用斜率公式求出斜率，最后点斜式写出
直线方程即可.
【详解】设点
关于直线
的对称点为
，则
解得
所以
．又点
，
所以
，直线
的方程为
，
由图可知，直线
即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程为
．
故答案为：
.
28．如图在等腰直角三角形
中，
，点
是边
上异于
的一点，光线从点
出发，经
反射后又回到点
，如图所示，若光线
经过
的重心
，则线段
的长度是 ；
直线
的斜率为 .
【答案】
2
【分析】根据已知，利用对称性､重心的性质，求出对称点坐标，联立直线方程进行求解.
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，可得
，
所以直线
的方程为
的重心
的坐标为
，
设点
分别是点
关于直线
和
轴的对称点，
连接
，所以
，设
，
则有
，解得
，所以
，
由光的反射原理可知，
四点共线，所以
，即
，
解得
，此时
，
所以
，直线
的方程为
，
联立直线
的方程与
的方程有：
，解得
，即
，
所以直线
的斜率为
.
故答案为：
；2.
1．(多选)已知点
和
则过点
且与
的距离相等的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】分两种情况：过
且与
平行的直线，利用直线的点斜式方程，直接求解即可；直线过
且经
过
中点，因为
中点
，所以直线方程：
．
【详解】由题意
，
，
不共线，所以存在两种情况：
直线过
且与
平行时，根据直线的点斜式方程可得：
，
化简得：
．
直线过
且经过
中点，因为
中点
，
所以直线方程：
．
综上所述：直线方程为：
和
．
故选:AD．
2．
若点
关于直线
对称的点
在圆
上，且
在第一象限内，则实
数
的值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】D
【分析】根据已知确定点
关于直线
对称的点在圆
上，易得对称点为圆
和
圆
的交点，求出交点坐标，利用垂直关系求参数k.
【详解】显然
在圆
上，又直线
经过该圆的圆心
，
所以点
关于直线
对称的点在圆
上，
又点
关于直线
对称的点在圆
上，
所以对称点为圆
和圆
的交点，联立得交点为
（舍去第四象限的点），
所以
与
两点所在直线，与
垂直，故
.
故选：D.
3．
已知函数
的图象上有且仅有两个不同的点关于直线
的对称点在
的图象上，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将题设转化为
的图象和
的图象有两个交点，求出直线
和
相切时
的值以及直线
过点
时
的值，结合图象即可求解.
【详解】
关于直线
的对称直线为
，
则题设等价于函数
的图象和
的图象有两个交点．
令
等价于
，
设直线
和
相切，
由
，解得
或
（舍），
又当直线
过点
时，解得
，
所以k 的取值范围是
.
故选：A．
4．
若抛物线
上恒有关于直线
对称的两点A，B，则p 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设出A，B 两点的坐标，因为A，B 在抛物线上，把两点的坐标代入抛物线方程，作差后求出AB
中点的纵坐标，又AB 的中点在直线
上，代入后求其横坐标，然后由AB 的中点在抛物线内部列
不等式求得实数p 的取值范围．
【详解】设
，
是抛物线
上关于直线
对称的两点，则
①
②
①-②得，
整理得
，
所以
，即
所以
设AB 的中点为
，则
又M 在直线
上，所以
则
因为M 在抛物线内部，所以
即
，解得
所以p 的取值范围是
故选：C
5．（多选）
已知点
，且点
在直线
上，则（ ）
A．存在点
，使得
B．存在点
，使得
C．
的最小值为
D．若
，则
的最小值为2
【答案】BCD
【分析】分类讨论可得不存在这样的点点
，使得
判断A；设
，由已知可得
方程有解判断B；设
关于直线的对称点为
，
求解可判断C；利用二次函数的配方法求得最小值判断D.
【详解】对于A：设
，若
时
，此时
的斜率不存在，
与
不垂直，同理
时
与
不垂直，
当
且
时
，
若
，则
，
去分母整理得
，方程无解，故
与
不垂直，故A 错误；
对于B：设
，若
，
则
，即
，
由
，所以方程有解，
则存在点
，使得
，故B 正确；
对于C：如图设
关于直线的对称点为
，
则
，解得
，即
，
所以
，
当且仅当
三点共线时取等号（
在线段
之间），故C 正确：
对于D，因为
，
当
时等号成立，所以
的最小值为2，故D 正确.
故选：BCD.
6．如图，四个边长均相等的等边三角形有一条边在同一条直线上，边
上有10 个不同的点，
，记
，若
，则等边三角形的边长为 .
【答案】3
【分析】建立平面直角坐标系，求出直线
的方程，将
代入直线
的方程，并用向量的坐标
表示出
，和上式联立，即可得出
，最后求出等边三角形的边长.
【详解】设等边三角形边长为
，以
为坐标原点，
所在直线为
轴建立平面直角坐标系，
则
，
，
，
，
直线
的斜率为：
，方程为：
，
设
，因为
在
上，所以
，
且
，依题意，
，所以
，解得
（负的舍去），即等边三角形的边长为3.
故答案为：3.
7．设
，过定点
的动直线
和过定点
的动直线
交于点
，则
的值是 .
【答案】10
【分析】根据题意，由分析可得两条动直线所过定点即
的坐标，利用勾股定理以及两点间距离公式计
算可得答案.
【详解】解：易知
，又直线
与
互相垂直，所以
，故
.
故答案为：
.
【点睛】本题考查直线过定点问题，涉及两点间的距离公式，关键分析出两条直线所过定点的坐标.
1．（2024·北京·高考真题）圆
的圆心到直线
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.
【详解】由题意得
，即
，
则其圆心坐标为
，则圆心到直线
的距离为
.
故选：D.
2．（2025·全国一卷·高考真题）若圆
上到直线
的距离为1 的点有且仅有
2 个，则r 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求出圆心
到直线
的距离，然后结合图象，即可得出结论.
【详解】由题意，
在圆
中，圆心
，半径为，
到直线
的距离为的点有且仅有
个，
∵圆心
到直线
的距离为：
，
故由图可知，
当
时，
圆
上有且仅有一个点（
点）到直线
的距离等于；
当
时，
圆
上有且仅有三个点（
点）到直线
的距离等于；
当则的取值范围为
时，
圆
上有且仅有两个点到直线
的距离等于.
故选：B.
3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b 是
的等差中项，直线
与圆
交于
两点，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．
【答案】C
【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.
【详解】因为
成等差数列，所以
，
，代入直线方程
得
，即
，令
得
，
故直线恒过
，设
，圆化为标准方程得：
，
设圆心为
，画出直线与圆的图形，由图可知，当
时，
最小，
，此时
.
故选：C
4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点
与圆
相切的两条直线的夹角为
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，
结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得
，利用韦达定理结
合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为
，即
，可得圆心
，半径
，
过点
作圆C 的切线，切点为
，
因为
，则
，
可得
，
则
，
，
即
为钝角，
所以
；
法二：圆
的圆心
，半径
，
过点
作圆C 的切线，切点为
，连接
，
可得
，则
，
因为
且
，则
，
即
，解得
，
即
为钝角，则
，
且
为锐角，所以
；
方法三：圆
的圆心
，半径
，
若切线斜率不存在，则切线方程为
，则圆心到切点的距离
，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为
，即
，
则
，整理得
，且
设两切线斜率分别为
，则
，
可得
，
所以
，即
，可得
，
则
，
且
，则
，解得
.
故选：B.
5．（上海·高考真题）已知常数
、
、
、
满足：
，
，
，则
的最大值为
【答案】
/
【分析】设点
，
，可得
，
，根据向量的数量积可得三角形OAB
为等边三角形，
的几何意义为点A，B 两点到直线
的距离之和，设
，则
，进而根据点到直线的距离公式以及正弦函数的性质求解即
可.
【详解】设点
，
，
，
，
由
，
，
，
可得A，B 两点在圆
上，且
，
即有
，即三角形OAB 为等边三角形，
，
所求的
的几何意义即A、B 两点到直线
的距离之和，
故设
，则
，
所以
，
其中
，
所以最大值为
，当且仅当
时，可取最大值.
故答案为：
6．（2024·天津·高考真题）已知圆
的圆心与抛物线
的焦点
重合，且两曲线在第
一象限的交点为
，则原点到直线
的距离为 ．
【答案】
/
【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求
及
的方程，从而可求原点
到直线
的距离.
【详解】圆
的圆心为
，故
即
，
由
可得
，故
或
（舍），
故
，故直线
即
，
故原点到直线
的距离为
，
故答案为：
