空间中的点线面位置关系
考点1
专题07 立体几何
8 大考点概览
题型01 空间中的点线面位置关系
题型02 空间几何体的表面积与体积
题型03 有关几何体外接球、内切求的问题
题型04 有关立体几何中的最值与轨迹问题
题型05 有关空间线线角与线面角的问题
题型06 有关空间二面角的问题
题型07 有关立体几何中折叠的问题
题型08 有关空间中的距离问题
1．（2026·黑龙江吉林·一模）设，
是两条不同的直线，
，
是两个不同的平面，以下说法正
确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，
，则
D．若
，
，
，则
2．（2026·辽宁抚顺·一模）已知
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，若
，
则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2026·甘肃兰州·一模）已知直线
，平面
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
4．（2026·河北张家口·一模）已知l 是一条直线，
，
为两个不同平面，若
，则“
”
是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（2026·江苏·一模）已知两条直线
，
和平面
，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
6．（2026·天津·一模）若
为两条直线，
为两个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
7．（2026·天津和平·一模）在正三棱柱
中，
为
的中点，则以下结论错误的是
（ ）
A．
面
B．
C．
面
D．
平面
8．（2026·上海·一模）将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是
真命题，则该命题称为“可换命题”，则下列命题中不是“可换命题”的有（ ）
A．过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行
B．垂直于同一平面的两条直线平行
C．平行于同一直线的两条直线平行
D．平行于同一平面的两直线平行
9．（2026·河北邯郸·一模）在下列四个正方体中，
为正方体的顶点，
为所在棱的中点，
则满足直线
平面
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（多选）（2026·广东深圳·一模）在正三棱台
中，
为
的中点，则（ ）
A．
B．
平面
C．
D．
平面
11．（多选）（2026·江西南昌·一模）在正三棱柱
中，
，
，
，
分别为
，
，
的中点，则下列说法中正确的有（ ）
A．
平面
B．平面
平面
C．
D．
平面
12．（多选）（2026·广东佛山·一模）已知正方体
的棱长为2，
为
的中点，
为
上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
平面
C．直线
与平面
所成角的正切值为
D．三棱锥
的体积为定值
13．(多选）（2026·山东德州·一模）已知正方体
的棱长为
分别是棱
的中点，则（ ）
A．异面直线
与
所成角的大小为
B．直线
与平面
所成角的正弦值为
C．
平面
D．四面体
的体积为
14．（多选）（2026·广东梅州·一模）如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
，
，
平面
，
，
，
、
分别为棱
、
上的动点，设
，
，则（ ）
A．当
时，存在
，使得
平面
B．当
时，存在
，使得
C．当
，且
与
相交时，
D．三棱锥
的外接球在底面
上的截痕长为
15．（2026·广西南宁·一模）如图，在几何体
中，
，四边形
是边长为2 的正方
形，
是等边三角形，点
分别为棱
的中点，则（ ）
A．
平面
B．平面FPH∥平面ABE
C．
四点共面
D．异面直线
与
所成的角小于60°
16．（2026·上海·一模）如图，在四棱锥
中，
平面
，四边形
是平行四
边形．
空间几何体的表面积与体积
考点2
(1)若E 是PB 上任意一点，四边形ABCD 是菱形，
，BD= 6
，当
面积的最小值是
9 时，求证：
平面
；
(2)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为
直角三角形的四面体称为鳖臑．若四棱锥
是阳马，PD=5，CD=4，AD=3，求：该阳马
的外接球表面积；
(3)若四棱锥
是阳马，且
，点
可能为
的中点，试确定点E 位置使得
四面体
为鳖臑，并证明．
1．（2026·青海西宁·一模）已知圆柱
的底面半径为r，高为
，上、下底面圆的圆心分别是
，
，点O 为线段
的延长线上一点，圆锥
的底面为圆柱的下底面，顶点为O．若圆锥
的表面积与圆柱
的表面积相等，则圆锥
与圆柱
的体积的比值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·江苏南京·一模）已知圆锥的轴截面是直角三角形，且该圆锥的顶点和底面的圆周都在
球
的球面上，则该圆锥与球
的体积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·山东·一模）若两个球的表面积之比为
，则这两个球的体积比是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·广东·一模）如图，正方体
的棱长为4，
为正方形
的中心，
为棱
的中点，过点
的平面将正方体分成上、下两部分，则较小的部分体积大小为（ ）
A．16
B．18
C．
D．24
5．（2026·河北·一模）已知某圆锥与圆柱的底面半径均为r，高分别为h₁，h₂，且该圆锥与圆柱的
表面积相等，若
4r，则圆锥的体积V₁ 与圆柱的体积V₂ 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．不确定
6．（2026·宁夏银川·一模）已知直四棱柱
的侧面积为
，在等腰梯形
中，
，
，
，若异面直线
与
所成角的余弦值为
，则该直四棱柱外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（多选）（2026·山西大同·一模）如图，在几何体
中，底面
是边长为1 的正方
形，棱
底面
，
，且
，则下列表述一定正确的是（ ）
A．
平面
B．几何体
外接球表面积是
C．几何体
的体积是
D．当
时，几何体
一定有内切球
8．（2026·安徽马鞍山·一模）已知一个球的体积和表面积的数值相等，若该球的内接圆柱的高与
其底面直径相等，则此圆柱的侧面积为__________.
9．（2026·新疆·一模）若正方体内部有两个球，其中球
与正方体的三个面相切，球
与正方体
的六个面均相切，球
与球
也相切，设球
、球
的表面积分别为
，则
___________．
10．（2026·黑龙江吉林·一模）圆台母线长为3，上、下底面半径比为
，当圆台体积最大时，以
此圆台的上、下底面为截面的球的表面积为________．
11．（2026·辽宁沈阳·一模）已知球
内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上下底面以及侧面
､
均相切），且该正四棱台的上下底面棱长之比为
､
，则球
与该正四棱台的体积之比为
__________.
12．（2026·陕西西安·一模）如图，点
，
的中点
及
的中点
所确定的平面把直三棱柱
切割成体积不同的两部分，记小部分的体积为
，大部分的体积为
，则
________.
13．（2026·山西运城·一模）如图，在多面体
中，平面
平面
，四边形
是直角梯形，
，
，
，且
．
(1)证明：
平面
．
(2)求多面体
的体积．
(3)求平面
与平面
夹角的余弦值．
14．（2026·辽宁辽阳·一模）如图，在正方体
中，
，
，
为线段
上的动点，
是点
关于
所在直线的对称点.
(1)证明：
；
(2)若正方体
的棱长为4，求三棱锥
的体积；
(3)当
时，求二面角
的余弦值的绝对值.
15．（2026·广西崇左·一模）如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
，
，E，F，G 分别为
，
，
的中点.
(1)证明：平面
平面
.
有关几何体外接球、内切求的问题
考点3
(2)若异面直线
与
所成角的余弦值为
，求四棱锥
的体积.
16．（2026·福建泉州·一模）科赫四面体是一种借助递归迭代生成的分形几何体.其构造过程是：从
一个正四面体开始，在该几何体的每个正三角形面上，移除以各边中点为顶点的小三角形，并以此
小三角形为底面，向外构建小正四面体.如图，持续重复对新生成的几何体执行上述操作，最终得
到科赫四面体.
现有一种高效吸附材料，其结构为科赫四面体模型，此模型是由棱长为
的正四面体经过持续重
复上述操作得到的.记第
次操作后生成的几何体为
，设
的表面积为
，体积为
.
(1)求
；
(2)在材料科学中，物料的表面积与体积之比被定义为比表面积，其值越大，吸附能力越强.根据比
表面积
随
的变化趋势，说明该材料吸附能力强的原因.
(3)是否存在一个球形容器，能够使该材料整体放入其中？若存在，求其半径的最小值；若不存在，
请说明理由.
1．（2026·山东菏泽·一模）图1 是菏泽牡丹园中的一座仿古牡丹亭，它的主体部分可看作是一个正
四棱柱和一个正四棱锥拼接而成的组合体，如图2 所示.已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为4，
体积之比为
，且该几何体的所有顶点都在球O 的表面上，则球O 的半径为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
2．（2026·江苏南京·一模）已知圆锥的轴截面是直角三角形，且该圆锥的顶点和底面的圆周都在
球
的球面上，则该圆锥与球
的体积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·广西崇左·一模）在正三棱柱
中，
，若该正三棱柱存在棱切球（与所
有棱都相切的球），则其棱切球的半径与外接球的半径之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·辽宁抚顺·一模）在四面体
中，平面
平面
，
，
若点
均在球
的球面上，且
，则球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2026·河北邢台·一模）在正三棱柱
中，
，若该正三棱柱存在棱切球（与所
有棱都相切的球），则其棱切球的半径与外接球的半径之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（多选）（2026·山西大同·一模）如图，在几何体
中，底面
是边长为1 的正方
形，棱
底面
，
，且
，则下列表述一定正确的是（ ）
A．
平面
B．几何体
外接球表面积是
C．几何体
的体积是
D．当
时，几何体
一定有内切球
7．（多选）（2026·广东·一模）在半径为定值的球
的表面上有四个不共面的点
，且
为球
的直径，已知
和
的大小，若再添加一个条件，则在确保四面体
存在的
情况下，使得四面体
体积有唯一值的条件可以是（ ）
A．
的长
B．
的大小
C．
与平面
所成角的大小
D．二面角
的大小
8．（多选）（2026·湖南邵阳·一模）已知圆台
的上、下底面的面积分别为
和
，则下列
结论正确的是（ ）
A．若圆台
存在内切球，则内切球的体积为
B．若圆台
的母线与下底面所成的角为
，则圆台
的外接球的表面积为
C．若圆台
的外接球的体积为
，则圆台
的表面积为
D．若圆台
的外接球的体积为
，则圆台
的体积为
或
9．（多选）（2026·安徽淮北·一模）已知正四棱锥
，
为棱
上的动
点．则（ ）
A．平面
平面
B．存在
使得
为直角三角形
C．当
为
中点时，
平面
D．若
，球
与四棱锥的所有棱都相切，则球
的表面积为
10．（多选）（2026·河北衡水·一模）已知正方形
的边长为2，
平面
，
平
面
，
，
在平面
的同一侧，且
，则（ ）
A．点
在四棱锥
外接球的球面上
B．四棱锥
内切球的表面积为
C．四棱锥
与四棱锥
公共部分的体积为
D．四棱锥
的四个侧面所在平面将空间分成14 个部分
11．（多选）（2026·山东泰安·一模）已知在长方体
中，
，点
为
的中点，
为底面
（含边界）内一个动点，且
平面
，长方体
的外接球的球心为
，则下列选项正确的是（ ）
A．球
的表面积为
B．动点
的轨迹长度为
C．异面直线
与
所成角的正切值的取值范围是
D．三棱锥
的外接球球心为
，则
12．（2026·新疆·一模）若正方体内部有两个球，其中球
与正方体的三个面相切，球
与正方体
的六个面均相切，球
与球
也相切，设球
、球
的表面积分别为
，则
___________．
13．（2026·四川遂宁·一模）在三棱锥
中，
平面
，
是以
为斜边的等
腰直角三角形，
，则三棱锥
的外接球（顶点都在球面上）的体积为
_______.
14．（2026·山西临汾·一模）已知在底面边长为
，高为
的正三棱柱
内有一个半
径为的小球，该小球可以在正三棱柱内自由活动，当任意旋转、晃动正三棱柱过程中小球至少与
正三棱柱的一个面相切时，小球球心的轨迹在正三棱柱的内部又会形成一个新的几何体，则该几何
体的体积为________.
15．（2026·辽宁大连·一模）如图，已知四棱锥
的底面为正方形，
底面
，设
有关立体几何中的最值与轨迹问题
考点4
平面
与平面
的交线为直线.
(1)证明：
；
(2)
，点
在直线上.
（i）若
，且点
均在球
的球面上，证明：点
在球
的球面上；
（ii）若直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
的长.
16．（2026·广东深圳·一模）已知球
的半径为1，在球
的内接八面体
中，顶点
，
分别在平面
两侧，且四棱锥
与
都是正四棱锥.
(1)如图1，若点
在平面
上，求证：
平面
；
(2)如图2，若二面角
的正切值为
，求该内接八面体的体积.
1．（2026·河南鹤壁·一模）一个圆锥的底面直径为2，体积为
，若该圆锥能够被整体放入一个
球内，则该球的表面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·陕西商洛·一模）在四棱锥
中，
是以
为斜边的等腰直角三角形，
，
．若点
均在球
的表面上，则当四棱锥
的体积最大时，球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（多选）（2026·江苏·一模）已知异面直线
，
四点
不共面，
是线段
的中点，
，则（ ）
A．当
时，
B．当
时，直线
所成角为
C．点
到直线
的距离为
D．三棱锥
的体积的最大值为3
4．（多选）（2026·广东汕头·一模）正方形
、
的边长为1，且它们所在的平面互相垂
直.点
、
分别在正方形对角线
和
上移动，且
．则（ ）
A．直线
与
所成的角为
B．
平面
C．当
时，
的长最小，且最小值为
D．当
的长最小时，点
到平面
的距离为
5．（多选）（2026·江苏镇江·一模）如图点
是棱长为2 的正方体
的表面上一个
动点，
是线段
的中点，则（ ）
A．当
为
的中点时，
B．当
在面
上，且直线
与
所成的角为
时，点
的轨迹长度为
C．三棱锥
体积的最大值为
D．当
平面
时，线段
长度最大值为
6．（多选）（2026·四川宜宾·一模）已知正三棱台
，上底面
边长为2，下底面
ABC 边长为6，侧棱长为4，点
在侧面
内（包含边界）运动，且
，Q 为
上一
点，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．正三棱台
的高为
B．高为
，底面半径为
的圆柱可以放进该棱台内
C．点P 的轨迹长度为
D．过点
的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为
7．（多选）（2026·山东青岛·一模）已知四面体
满足
，
，
点
，
，
，
均在球
的表面上，球
与四面体的4 个面均相切，过直线
的平面截四面
体
所得的截面的面积为，则（ ）
A．球
的表面积为
B．当四面体
体积最大时，
C．当
时，的最大值为
D．当
时，的最小值为
8．（多选）（2026·甘肃·一模）如图所示，轴截面为正三角形的圆锥，底面圆
半径为
是底面的两条直径，母线
与该圆锥内切球
分别切于点
.则下列说法正确的
是（ ）
A．
B．圆锥与球
的交线的轨迹长为
C．若
，则
D．平面
截球
的截面面积的最小值为
9．（多选）（2026·广东佛山·一模）在棱长为2 的正方体
中，点
为侧面
内一点（包含边界），则（ ）
A．三棱锥
的体积为定值
B．
的最小值为5
C．若
，则
的轨迹长度为
D．三棱锥
外接球的体积存在最大值与最小值
10．（多选）（2026·安徽淮南·一模）已知正三棱柱
的外接球球心为
，
，点
满足
，
．则下列结论正确的是（ ）
A．球
的表面积为
B．当
时，
的取值范围为
C．当
时，不存在点
，使得
平面
D．当
时，设点
在直线
上运动，则线段
长度的最小值为
11．（2026·天津河东·一模）篮球有不同的型号，比如男篮和女篮的比赛用球无论是质量还是大小
均不相同，儿童一般用3 号球，半径约9 厘米.一款儿童篮球为标准球体，半径9 厘米，球面上有三
点
、
、
，它们相互之间的直线距离均为9 厘米，球面上有一动点
，则点
到平面
的
距离的最大值为__________厘米.
12．（2026·广西北海·一模）若一个半径为1 的实心球O 放置于一个正方体形盒子内，且与该正方
体内切，若在该盒子内再放入一个球
，则球
的表面积的最大值是______．
13．（2026·湖北荆州·一模）在棱长为2 的正方体
内，有按照如下方式产生的一系
列大小均不相同的n 个球：第1 个球与正方体的6 个面均相切；第2 个球与第1 个球外切，且与正
方体过顶点A 的3 个面均相切；第3 个球与第2 个球外切，且与正方体过顶点A 的3 个面均相切，
…，依次下去.记这n 个球的表面积和为
，若
对
总成立，则M 的最小值为______.
有关空间线线角与线面角的问题
考点5
14．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）在四面体
中，
两两垂直，
，以
为球心，
为半径的球与四面体
各面交线的长度和为
___________．
15．（2026·湖北荆州·一模）“细长三角板”指的是有一个内角为
的直角三角板.现有两个细长
三角板，其较短的直角边长均为10cm，先按左图所示的方式放置，其中以
表示两个
细长三角板，
，
，直角顶点重合于点P，两条斜边
在
一条直线上.保持直角顶点重合，将两条斜边
平行展开，得到如图所示的四棱锥P－ABCD.
(1)设
，求证：PO⊥平面
；
(2)是否存在四棱锥
，使得底面
为菱形？若存在，求此时四棱锥的高，若不存在，
请说明理由；
(3)求四棱锥
体积的最大值，并求此时平面
与平面
所成二面角的大小.
1．（2026·黑龙江·一模）三棱锥
中，
平面
，
是边长为4 的正三角形，
，
是
的中点，则直线
与
所成角的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·辽宁辽阳·一模）在四棱锥
中，
平面
，四边形
是正方形，
，
是
的中点，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·安徽芜湖·一模）正四棱锥
的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3 的同一
球面上,则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
4．（2026·安徽滁州·一模）已知某圆台的上、下底面的半径分别为4 和2，且该圆台有内切球（球
与圆台的侧面及两个底面均相切），在圆台上底面圆
的圆周上取一点A，在圆台下底面圆
的
圆周上取一点B，且
，则直线
与平面
所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（多选）（2026·重庆·一模）如图所示，在棱长为2 的正方体
中，
分别为
棱
的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．点
到直线
的距离为
C．直线
与直线
所成角的余弦值为
D．直线
与直线
是异面直线
6．（多选）（2026·山东枣庄·一模）在正方体
中，若点
为底面
的中心，
则（ ）
A．
平面
B．
C．
与
所成的角为
D．
与平面
所成的角的正切值为
7．(多选）（2026·湖北荆州·一模）在四棱锥
中，底面
为正方形，
平面
，
，点E，F，G 分别为棱
的中点，则（ ）
A．
B．
平面
C．异面直线
与
所成角的正切值为2
D．直线
与平面
所成角为
8．（多选）（2026·山东德州·一模）已知正方体
的棱长为
分别是棱
的中点，则（ ）
A．异面直线
与
所成角的大小为
B．直线
与平面
所成角的正弦值为
C．
平面
D．四面体
的体积为
9．（多选）（2026·河北张家口·一模）如图，已知正四棱锥
中，底面边长为2，高为
1，则下列说法正确的是（ ）
A．直线
与直线
所成角的余弦值为
B．直线
与平面
所成角的正弦值为
C．该正四棱锥的外接球的表面积为
D．若平面
与平面
所成的角为
，平面
与平面
所成的角为
，则
10．（2026·江苏南京·一模）在直三棱柱
中，已知
，
，则异
面直线
与
所成角的余弦值为________．
11．（2026·广西崇左·一模）如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
，
，E，F，G 分别为
，
，
的中点.
(1)证明：平面
平面
.
(2)若异面直线
与
所成角的余弦值为
，求四棱锥
的体积.
12．（2026·辽宁大连·一模）如图，四棱锥
的底面
是直角梯形，
底面
且
，
，
，
，E，F 分别是线段
，
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)若平面
与平面
夹角的余弦值为
，①求
的长；②求
与平面
所成角的正
弦值．
13．（2026·辽宁抚顺·一模）如图所示，在四棱锥
中，底面
为等腰梯形，
，
，
，
为
的中点，且
，平面
平面
．
(1)求证；平面
平面
；
(2)设直线
与平面
所成的角为
，求直线
与平面
所成角的余弦值．
14．（2026·江西萍乡·一模）已知四棱锥
的顶点
是半径为1 的球的球心，底面
为
矩形，且
，
，
，
均在该球的表面上，当该四棱锥的体积最大时．
(1)求证：
平面
；
(2)若
的中点为，
内（不含边界）是否存在一点
，使直线
与直线
，
，
所成的角均相等．若存在，求出
的长度；若不存在，说明理由．
15．（2026·河北衡水·一模）如图，在正三棱柱
中，
，
，
分别为棱
，
，
的中点，
为线段
上的动点.
(1)证明：
平面
.
(2)若
为线段
的中点，且
，
，求
与平面
所成角的正弦值.
16．（2026·福建龙岩·一模）如图，在正四棱台
中，
，
是
的中点，其外接球的表面积为
.
(1)求证：
平面
；
(2)若平面
与
交于点
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
17．（2026·天津河北·一模）如图，直角梯形
中，
，
，
，四边形
为矩形，
底面
，
．
(1)求证：
平面
；
有关空间二面角的问题
考点6
(2)求平面
与平面
的夹角的余弦值；
(3)点P 在棱
上，求
与平面
所成角的正弦值的取值范围．
18．（2026·北京平谷·一模）如图，在三棱台
中，四边形
为直角梯形，
，平面
平面
，
为
的中点，
．
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成的角的正弦值．
19．（2026·山东聊城·一模）如图，
，
是圆柱
下底面圆的两条直径，点
是该圆柱上底
面圆周上一点，
的中点为
．
(1)证明：
平面
；
(2)
是该圆柱的母线，若四边形
是正方形，且该圆柱的侧面积等于其两底面面积之和，求
直线
与平面
所成角的正弦值．
1．（2026·广西崇左·一模）若正三棱锥
的高为3，
，二面角
为
，则
______.
2．（2026·北京密云·一模）如图，在三棱柱
中，
平面
，
分别为
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)求二面角
的余弦值.
3．（2026·河北邢台·一模）如图，在三棱柱
中，侧面
为正方形，平面
平面
，
，
．
(1)证明：
平面
；
(2)求二面角
的余弦值．
4．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）如图，在三棱锥
中，平面
平面
，
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)已知平行于
的平面将三棱锥
截为两部分，求截面面积的最大值；
(3)若二面角
的大小为
，求
的余弦值．
5．（2026·广西北海·一模）如图，四边形
和
都是正方形，四边形
为平行四边
形，
为锐角，M，N 分别为
的中点，直线AE 与平面
所成的角为
．
(1)证明：
平面
；
(2)求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值．
6．（2026·广东江门·一模）如图，在三棱柱
中，
，
，
，
平面
平面
.
(1)求证：
；
(2)若
，直线
与平面
所成的角为
，求二面角
的平面角的余弦值.
7．（2026·湖南株洲·一模）在四棱锥
中，底面
为正方形，
平面
.
(1)求证：
平面
；
(2)求钝二面角
的余弦值；
(3)若存在一球心
在面
上，且为四棱锥
的外接球，求该球体的体积和表面积；若
不存在，请说明理由.
8．（2026·山东东营·一模） 如图，在三棱锥
中，平面
⊥平面
，
，
分别为棱
上的点.
(1)若
∥
，
∥
，证明:
∥
；
(2)若
分别为棱
的中点，在棱
上是否存在点G，使得平面
与平面
所成角
为
?若存在，求
的值；若不存在，请说明理由.
9．（2025·河北邯郸·一模）如图，在四棱锥
中，
，
为
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)若平面
底面
，求直线
与底面
所成角的正切值；
(3)若异面直线
与
所成的角为
，求平面
和平面
夹角的余弦值.
10．（2026·江西赣州·一模）如图，在三棱锥
中，
平面
，且
为
的中点.
(1)求二面角
的余弦值；
(2)若
，在线段
上各取一点
，设
，若平面
平
面
，求
的值.
11．（2026·四川宜宾·一模）在四棱锥
中，四边形
为矩形，
为锐角三角形，
，
，
，
为棱
的中点，平面
与平面
的交线为，
直线
与相交于点
．
(1)求线段
长度的最小值；
(2)若异面直线
与
所成角为
．
（ⅰ）求平面
与平面
夹角的余弦值；
（ⅱ）求三棱锥
的外接球的表面积．
12．（2026·湖北襄阳·一模）如图，正三角形
和平行四边形
在同一个平面内，其中
，
，AB，DE 的中点分别为F，G．将
沿直线AB 翻折到
，使
二面角
为120°，设CE 的中点为H．
立体几何中的翻折问题
考点7
(1)求证：平面
平面
；
(2)求平面
与平面
的夹角的余弦值．
13．（2026·山东日照·一模）已知四棱锥
的底面
为平行四边形，
，
分别是
的中点，二面角
为直二面角．
(1)证明：
；
(2)设直线
与平面
所成角为
，且
，求
的取值范围；
(3)与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线．已知点
为线段
的中点，
分别在线段
上（不包含端点），且
为
的公垂线，如图所示，记四面体
的内切球半径为，证明：
．
1．（多选）（2026·湖北襄阳·一模）已知菱形
中，
，
，现将
沿对
角线
折起至
，连接
，形成三棱锥
，则下列说法正确的是（ ）
A．二面角
的大小为
时，平面
平面
B．在折起的过程中，存在某个位置使
P
ABCD
ABCD
2,
2
AB
AC
BC
π ,
,
4
PAD
M N
,
BC PA
P
AD
B
MA
PD
MN
PBC
3
sin
6
PA
K
AC
,
G H
,
PK CD
GH
,
PK CD
CKGH
r
1
1
1
2
r
KG
CH
ABCD
2
AB
60
ABC
ADC
△
AC
PAC
PB
P
ABC
P
AC
B
120
PAB
PBC
PA
BC
C．
时，三棱锥
的体积为
D．三棱锥
的体积最大时，其外接球的表面积为
2．（多选）（2026·浙江·一模）已知矩形
，若点
为边
上的一动点（不包
括端点），现将
沿着
翻折成
，使得平面
平面
，并记为
.
则（ ）
A．存在点
，使得
B．任意点
，都有
C．存在两点
，使得它们所确定的直线与
垂直
D．任意两点
，它们所确定的直线与平面
的所成角都小于
3．（2026·天津河北·一模）如图，点E，H，G，F 是矩形
中
，
，
，
边的中点，
依次沿
，
，
，
，
折叠，使得矩形四个顶点D，C，B，A 重合于一点，得到三棱
锥
．若
，
，则三棱锥
的体积为______．
4．（2026·山东德州·一模）在矩形
中，已知
是
的中点，将
沿直线
翻折成
为线段
的中点，连接
.当
与平面
所成角为
时，三棱锥
外接球的表面积为__________.
90
PAB
P
ABC
2 2
3
P
ABC
20π
3
,
2,
1
ABCD AB
BC
P
AB
ADP
△
DP
A DP
△
A PD
PBCD
P A
A
P
A D
PB
⊥
P
AA
PD
1
2
,
P
P
A
A
PB
1
2
,
P
P
A
A
PBCD
π
4
ABCD
DC
CB
BA
AD
FE
EH
HG
GF
EG
F
EHG
2 2
AB
2
AD
F
EHG
ABCD
2
4,
AB
AD
E
AB
ADE
V
DE
1
,
A DE F
△
DE
1 ,
AC EC
1A F
CDE
60o
1A
CDE
5．（2026·内蒙古赤峰·一模）如图1 所示，在平面四边形
中，
，
，
，将
沿
折叠，得到图2 中的三棱锥
，使二面角
的余弦
值为
，则三棱锥
的外接球表面积为________．
6．（2026·山东滨州·一模）如图，在矩形
中，
，点
分别是边
的中
点，点
分别在线段
上移动（不含端点），且
，将四边形
沿
翻折至
四边形
，使得二面角
的大小为
．
(1)求证：
平面
；
(2)当
时，求平面
与平面
夹角的余弦值．
7．（2026·山东青岛·一模）如图，在菱形
中，
，
，
为
的中点，将
沿
翻折至
，得到四棱锥
.
ABCD
2
AB
AC
π
3
A
2
BD
CD
ABC
V
BC
A
BCD
A
BC
D
3
3
A
BCD
ABCD
2
4
AB
BC
,
E F
,
AB CD
,
M N
,
AF CE
FM
CN
AEFD
EF
A EFD
A
EF
B
60o
/ /
MN
A BE
2
FM
CN
MNE
MNF
ABCD
60
A
2
AB
E
AB
ADE
V
DE
A DE
A
BCDE
(1)证明：平面
平面
；
(2)当二面角
为120°时，求
和平面
所成角的正弦值.
8．（2026·宁夏·一模）矩形
中，
，
为线段
的中点，将
沿
折起，
使得平面
平面
．在新构造的四棱锥
中，求解以下问题：
(1)求四棱锥
的体积.
(2)求二面角
的余弦值．
(3)在
上是否存在点
使得
平面
? 若存在，求出点
的位置；若不存在，请说明理由；
9．（2026·陕西渭南·一模）如图1，在等边三角形
中，
，
分别为
，
的中点，
为
的中点，
，连接
，
，
，将
沿
折到
的位置，如图2，
使平面
平面
.
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值.
A BE
BCDE
A
DE
C
CA
A DE
ABCD
2
2
AB
AD
P
DC
ADP
△
AP
ADP
ABCP
D
PABC
D
PABC
P
AD
B
DC
E
/ /
AD
PBE
E
ABC
E
F
AB
AC
M
EF
1
4
CN
CB
AM
MN
BF
AEF
△
EF
A EF
△
A EF
EFCB
BF
A MN
A EF
A BF
10．（2026·四川雅安·一模）如图所示，在
中，
，
，
分别是边
上的动点，且
，将
沿
折起，将点
折至点
的位置，使得二面角
为直二面角.
(1)证明：
平面
；
(2)证明：
平面
；
(3)若
，
为
的中点，求直线
与平面
所成角的正弦值.
11．（2026·江苏·一模）把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中
，
．将
沿
翻折至
，使得二面角
为直二面角．
(1)证明：
平面
；
(2)若
在同一个球面上，求该球的半径；
(3)求平面
与平面
所成角的余弦值．
12．（2026·海南儋州·一模）如图，等腰梯形
中，
，
，
，
现将
沿
翻折，使得点
到点
处，得四棱锥
，若点
，
分别在
，
上，
且
．
ABC
V
AC
BC
2
AC
BC
,
E F
,
BA BC
//
EF
AC
BEF
△
EF
B
P
P
EF
C
/ /
EF
PAC
PF
AEFC
2
BE
AE
D
AC
PD
PCE
3
90
AB
AC
BAC
BCD
，
30
CBD
ABC
V
BC
PBC
△
P
BC
D
PB
PCD
, ,
,
P B C D
PBD
BCD
QBCD
BC
QD
∥
6
QD
2
QA
AB
BC
QAB
AB
Q
P
P
ABCD
E
F
PC
BD
3
2
CE
BF
EP
FD
(1)求证：
平面
；
(2)若二面角
的大小为
，求直线
与平面
所成角的正弦值．
13．（2026·四川巴中·一模） 如图①所示将边长为
的正方形
，沿
翻折如图②所示，
点
分别为
的中点，在折叠过程中. 二面角
的范围为
.
(1)求证:四边形 EFGH 为矩形；
(2)求点
到平面
距离的最大值.
14．（2026·黑龙江吉林·一模）在
中，
，
，
，
，
分别是
，
上的点，满足
，且
．将
沿
折起到
的位置，使
，存在
动点
使
，如图所示．
/ /
EF
PAD
P
AB
D
60
EF
PAB
2
ABCD
AC
,
,
,
E F G H
,
,
,
AB BC CD AD
D
CA
B
2
,
3
3
A
BCD
ABC
V
90
C
3
BC
6
AC
D
E
AC
AB
//
DE
BC
2
CD
ADE
V
DE
1A DE
△
1AC
CD
M
1
1 (
0)
A M
A D
有关空间中的距离问题
考点8
(1)求证：平面
平面
；
(2)当
时，求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)设直线
与平面
所成角为
，当
取得最大值时，求三棱锥
的体积．
1．（2026·江西萍乡·一模）在棱长为2 的正方体
中，
为
的中点，则点
到
直线
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·湖南株洲·一模）棱长为1 的正方体
的各顶点均在过点
的平面
的同
侧，若
和
与平面
所成的角的大小均为
，则点
到平面
的距离为___________．
3．（2026·河北承德·一模）已知三棱锥P-ABC 中，
，
，D 为AC 中点，M
为BD 中点，平面
平面ABC，点P 到平面ABC 的距离为2．
(1)证明：
；
(2)若
，求平面APB 与平面CPB 夹角的余弦值．
4．（2026·湖北黄冈·一模）如图，在四棱锥
中，底面
为菱形，
，
，
平面
，点
，
分别在棱
，
上，且
．
1ACB
BCDE
1
2
CMB
MBE
BM
1A BE
sin
M
BCE
V
1
1
1
1
ABCD
A B C D
E
1
1
A B
D
1
C E
10
10
3 10
10
2 5
5
6 5
5
1
1
1
1
ABCD
A B C D
A
1
AB
1
AD
π
3
1
C
90
ABC
2
AB
BC
PBD
AC
PM
2
PM
P
ABCD
ABCD
2
AB
60
ABC
/ /
AC
BGH
G
H
PA
PC
GH
PD
(1)求证：
；
(2)若
，
与平面
所成的角为60°，点
关于平面
的对称点为
，求点
到平面
的距离．
5．（2026·江苏·一模）如图，在三棱锥
中，
是边长为2 的等边三角形，
为
的
中点，
，
，
.
(1)证明：
；
(2)若点
在棱
上，二面角
的正切值为
，求点
到平面
的距离.
6．（2026·海南海口·一模）如图，在棱长为3 的正方体
中，点E 在BD 上，且
；点F 在
上，且
．
(1)求证：
平面
；
PA
PC
PB
PD
PB
PAC
A
PCD
M
M
PAB
A
BCD
ABD
△
E
BD
2
BC
2
AC
45
DBC
AE
BC
F
CD
D
AB
F
2 3
5
F
ABC
1
1
1
1
ABCD
A B C D
1
3
BE
BD
1
CB
1
1
3
CF
CB
//
EF
1
1
ADC B
(2)求直线EF 与平面
所成角的大小；
(3)设
为平面
内任意一点，点
到平面ABCD，
，
的距离分别为
，
，
，
求
的最小值．
7．（2026·江西·一模）如图，在四棱锥
中，底面是直角梯形
，
为正三角形，且平面
平面
．
(1)求证：
；
(2)求直线
和平面
所成角的正弦值；
(3)设点
是三棱锥
外接球上一点，求点
到平面
距离的最大值．
8．（2026·江西·一模）如图几何体中，四边形
和
均为平行四边形，
，
平面
，点
到平面
的距离为
（点
位于平
面
上方），直线
与
间的距离为2.
(1)求
；
(2)求四边形
的面积.
9．（2026·河北石家庄·一模）如图，在四棱锥
中，
是正三角形，四边形
是
菱形，
，
，点
是棱
上的一点.
1A BD
P
1
D EF
P
1
1
ADD A
1
1
ABB A
1d
2
d
3
d
2
2
2
1
2
3
d
d
d
E
ABCD
,
ABCD AB
DC
∥
90
2
1
3
6
ADC
AB
CD
AD
AE
BCE
,
,
,
,
,
BCE
ABCD
BC
AE
AB
ADE
P
E
ABC
P
ADE
ABCD
BCFE
4,
90
AD
DCF
,
CE
CF CE
CDF
E
ABCD
39
4
E
ABCD
AD
EF
tan EFC
ABCD
P
ABCD
ABP
ABCD
8
AB
120
ABC
E
PB
(1)若
为棱
的中点，求证：
平面
；
(2)若平面
平面
，是否存在点
，使得点
到平面
的距离为
.若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
10．（2026·山西朔州·一模）如图，线段
的中点都是
.
(1)若
，证明：平面
平面
；
(2)若
，且点
到平面
的距离为
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
11．（2026·广东梅州·一模）如图，在斜三棱柱
中，侧面
底面
，
是等腰直角三角形，
，
是边长为2 的等边三角形.
E
PB
/ /
PD
ACE
PAB
ABCD
E
E
PAD
15
5
PE
BE
,
BC DE
,
,
O AO
BC AO
DE
2
OC OE
OE
ABD
ADE
14,
10,
7,
BC
DE
AO
BD
BO
B
ADE
21
5
AE
ABD
1
1
1
ABC
A B C
1
1
ABB A
ABC
ABC
V
AC
BC
1
ABA
△
(1)求点
到平面
的距离； (2)求二面角
的正弦值.
12．（2026·广东广州·一模）如图，在四棱锥
中，底面
是边长为2 的菱形，
，
平面
，点
是棱
的中点．
(1)求证：
；
(2)若点
到平面
的距离为
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
13．（2026·江苏南京·一模）如图，在四棱锥
中，
是等边三角形，底面
是
菱形，平面
平面
，
，
是
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)若
，求点
到平面
的距离．
14．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在四棱锥
中，底面ABCD 为菱形，
，
分别
为CD，PA 的中点.
A
1A BC
1
A
A B
C
P
ABCD
ABCD
60
ABC
PA
ABCD
E
PB
AB
CE
^
B
PCD
3
2
PAB
PCD
P
ABCD
PAD
△
ABCD
PAD
ABCD
AD
PB
O
AD
OB
PAD
4
AB
O
PBC
P
ABCD
E
F
(1)证明：
平面PBC；
(2)若平面
平面ABCD，
，
，
，平面PAE 与平面PAB 夹角的余弦
值为
，求点
到平面PBC 的距离.
/ /
EF
PAB
PA
PB
2
AB
60
BAD
4 31
31
F
