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专题07 立体几何与空间向量
8 大考点概览
考点01 几何体表面积体积问题
考点02 截面、轨迹与最短距离问题
考点03 点线面位置关系
考点04 空间向量基本定理
考点05 空间向量线面角问题
考点06 空间向量二面角与面面角问题
考点07 空间向量点到面距离问题
考点08 空间向量探索性问题
1．（2026·辽宁大连·一模）若圆锥的轴截面是边长为
的等边三角形，则该圆锥的侧面积为________．
2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，圆锥PO 的底面直径和高均是2，过OP 的中点
作平行于底面的
截面，以该截面为底面从圆锥中挖去一个圆柱，则剩余的几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·黑龙江海伦市六中·一模）如图，在四棱锥
中，底面
为矩形，
平面
为
的中点，
，直线
与
所成角的大小为
，则四棱锥
的体积为
__________.
考点1
几何体表面积体积问题
4．（2026·三省三校·一模）圆台母线长为3，上、下底面半径比为
，当圆台体积最大时，以此圆台的
上、下底面为截面的球的表面积为________．
5．（2026·辽宁沈阳·一模）已知球
内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上下底面以及侧面均相切）
､
，
且该正四棱台的上下底面棱长之比为
､
，则球
与该正四棱台的体积之比为__________.
6．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）如图，装满水的圆台形容器内放进半径分别为3 和6 的两个铁球，
小球与容器底和容器壁均相切，大球与小球、容器壁、水面均相切，此时容器中水的体积为_____．
1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）平行六面体
所有棱长都相等，
，点
在底面
的射影为
中点，且直线
与底面
夹角为
，则三棱锥
的外接球被平面
截得的截面面积为_____．
2．（2026·吉林长春·一模）（多选）已知正方体
的棱长为2，点
是侧面
上的一
考点2
截面、轨迹与最短距离问题
个动点（含边界），点
和点
分别是棱
和
的中点，则（ ）
A．平面
截该正方体所得的截面图形是正方形
B．平面
平面
C．若
，则点
的轨迹长度为
D．若点
在
上，则
的最小值为
3．（2026·黑龙江研远联合·一模）（多选）如图，已知正方体
的棱长为2，P 是正方形
（包括边界）底面内的一动点，则下列结论正确的有（ ）
A．三棱锥
的体积为定值
B．存在点P，使得
C．若
，则P 点在正方形
内的运动轨迹长度为
D．若点P 为
的中点，点Q 为
的中点，过P，Q 作平面
平面
，则平面
截正方体
所得截面的面积为
1．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）若l，m 是两条不同的直线，
平行于平面
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2026·三省三校·一模）设，
是两条不同的直线，
，
是两个不同的平面，以下说法正确的是
（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，
，则
D．若
，
，
，则
3．（2026·辽宁大连·一模）（多选）设
是空间中四个不同的点，下列命题正确的是（ ）
A．若
与
是异面直线，则
与
是异面直线
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
4．（2026·黑龙江·一模）三棱锥
中，
平面
，
是边长为4 的正三角形，
，
是
的中点，则直线
与
所成角的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2026·辽宁辽阳·一模）在四棱锥
中，
平面
，四边形
是正方形，
，
是
的中点，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
考点3
点线面位置关系
A．
B．
C．
D．
6．（2026·吉林白城联合体·一模）在一个水平平面
上放一个半径为2 的球，球面上两点
满足
，
是球心，且点
到平面
的距离为3，则点
到平面
距离的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
1．（2026·吉林长春·一模）如图，在平行六面体
中，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）（多选）如图，在正三棱锥
中，
，D 是
中点，E 是
中点，点F，G 满足
，
，直线DF，GE 相交于H，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
考点4
空间向量基本定理
C．
与
是共线向量
D．
1．（2026·吉林白山·一模）如图，已知在正四棱柱
中，四边形
的边长均为
，且
分别是
的中点.
(1)证明：
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
2．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）如图，在圆台
中，
，
，
是下底面圆周上的三点，
为下底
面圆的直径，
为
的中点.
考点5
空间向量线面角问题
(1)证明：
平面
；
(2)若
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
1．（2026·吉林白城联合体·一模）如图，
、
分别是圆柱
的上底面，下底面的直径，且
，
，
分别是圆
上在
同侧的两点，且
是线段
上一点
（不含端点）.
(1)求证：
平面
；
考点6
空间向量二面角与面面角问题
(2)已知圆柱
的高为6，表面积为
，求平面
与平面
夹角的余弦值.
2．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）如图，在四棱锥
中，平面
平面
，底面
ABCD 是直角梯形，
，
，且
，E 为CD 的中点，F 为线段PD 上的点，
.
(1)证明：
平面
；
(2)若
，点M 是AB 的中点，求平面
与平面
夹角的余弦值.
3．（2026·黑龙江海伦市六中·一模）在四棱锥
中，底面
是梯形，
，
，
是正三角形，
为棱
中点.
(1)求证:
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值.
4．（2026·黑龙江·一模）如图，在三棱锥
中，平面
平面
，
，
为
的中
点．
(1)证明：
；
(2)若
是边长为2 的等边三角形，三棱锥
的体积为
，点
在棱
上，
，求二
面角
的大小．
5．（2026·辽宁辽阳·一模）如图，在正方体
中，
，
，
为线段
上的动点，
是点
关于
所在直线的对称点.
(1)证明：
；
(2)若正方体
的棱长为4，求三棱锥
的体积；
(3)当
时，求二面角
的余弦值的绝对值.
1．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）（多选）如图，矩形
所在平面与正方形
所在平面互
相垂直，AD=DE=4，
为线段
上的动点，则（ ）
A．
B．若
为线段
的中点，则
平面
C．点B 到平面CEF 的距离为
D．
的最小值为48
2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在四棱锥
中，底面ABCD 为菱形，
，
分别为CD，
PA 的中点.
考点7
空间向量点到面距离问题
(1)证明：
平面PBC；
(2)若平面
平面ABCD，
，
，
，平面PAE 与平面PAB 夹角的余弦值为
，求点
到平面PBC 的距离.
1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在四棱锥
中，四边形
为正方形，G，F 分别是线段
，
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)若平面
平面
，
，
，且平面
与平面
夹角余弦值为
，求
的长.
考点8
空间向量探索性问题
2．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，四棱锥
的底面
是菱形，
平面
，
为
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)求三棱锥
的体积；
(3)在棱
上是否存在一点
，使得二面角
正弦值为
？若存在，求出
的长；若不存在，
请说明理由.
3．（2026·黑龙江研远联合·一模）如图，在多面体
中，平面
平面
，底面
为
直角梯形，
，
，
，
，
．
(1)证明：
；
(2)在线段
上是否存在点
，使得点
到平面
的距离为
？若存在，求出
的值；若不存在，
说明理由．
4．（2026·三省三校·一模）在
中，
，
，
，
，
分别是
，
上的点，
满足
，且
．将
沿
折起到
的位置，使
，存在动点
使
，如图所示．
(1)求证：平面
平面
；
(2)当
时，求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)设直线
与平面
所成角为
，当
取得最大值时，求三棱锥
的体积．
5．（2026·吉林长春·一模）如图，底面为锐角三角形的直棱柱
中，
，
，点
在线段
上，且满足
，点
为
的中点.
(1)当
时，证明：
平面
；
(2)若平面
与平面
所成角的余弦值为
.
（ⅰ）求异面直线
与
所成角的大小；
（ⅱ）已知直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
的值.
6．（2026·辽宁大连·一模）如图，已知四棱锥
的底面为正方形，
底面
，设平面
与平面
的交线为直线.
(1)证明：
；
(2)
，点
在直线上.
（i）若
，且点
均在球
的球面上，证明：点
在球
的球面上；
（ii）若直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
的长.
