专题06 立体几何与空间向量
5 大考点概览
考点01 点线面位置关系
考点02 空间几何体表面积体积
考点03 动点与截面问题
考点04 空间向量夹角问题
考点05 空间向量距离问题
1．（2026·内蒙古包头·二模）已知m,n是两条不同的直线，α , β ,γ是三个不同的平面，则下列结
论一定成立的是（ ）
A．若α ⊥β ,m // α，则m // β
B．若α ⊥β ,α ⊥γ，则β // γ
C．若m // α ,n // α，则m // n
D．若m⊥α ,m⊥β，则α // β
2．（2026·吉林长春六中·二模）已知直线a, b, c和平面α , β，下列表述正确的是（ ）
A．若a//b, b⊂α，则a//α
B．若a⊥b, a⊥c , b⊂α , c⊂α，则a⊥α
C．若a⊂α , b⊂α , a// β , b// β，则α // β D．若a⊥α , a⊂β，则α ⊥β
3．（2026·内蒙古包头·二模）（多选）设m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论中
正确的是（ ）
A．若m//α，n//α，则m//n
B．若m⊥α，n⊥α，则m//n
C．若m//α，m⊂β，则α // β
D．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α ⊥β
4．(2026·辽宁鞍山普通高中·二模)（多选）如图，在正方体ABCD−A1B1C1 D1中，称各面正方形
的对角线为面对角线，称A C1, A1C , B D1, B1 D为体对角线．设P , M , N分别为
AB , B B1, D D1的中点，则（ ）
A．存在面对角线与平面PMN平行
B．存在体对角线与平面PMN平行
考点1
点线面位置关系
C．存在面对角线与平面PMN垂直
D．存在体对角线与平面PMN垂直
1．（2026·吉林长春·质量监测(二)）已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，球O与圆台的两
个底面和侧面都相切，则球O的表面积为（ ）
A．6 π
B．8 π
C．9 π
D．12π
2．（2026·辽宁盘锦高级中学·二模）正四棱锥P−ABCD中，AB = ❑√2，当其外接球半径R与内切
球半径之比最小时，V P−ABCD=（ ）
A．2❑√2+2
3
B．2❑√2+2
C．2❑√2+1
D．2❑√
❑√2+1
3
3．（2026·哈尔滨三中·二模）四面体ABCD的各顶点均在同一个球面上，且
AD =CD = AB =CB = ❑√3，当四面体ABCD的体积最大时，该球的表面积为（ ）
A．5π
B．6π
C．25
4 π
D．8π
4．（2026·辽宁沈阳·质量监测(二)）（多选）若正四面体的表面积为❑√3，则（ ）
A．该正四面体的棱长为1
B．该正四面体的高为❑√6
C．该正四面体的体积为
❑√2
12
D．该正四面体的外接球表面积为3π
2
5．（2026·内蒙古包头·二模）（多选）如图所示，一个封闭的圆台容器（容器壁厚度忽略不计），
圆台的上下底面半径分别为3 和1，母线长为4，则（ ）
A．圆台容器的容积为26 ❑√3
3
π
B．圆台的外接球的半径为4 ❑√21
3
C．容器中可放入一个半径为1.7 球体
D．圆台容器内放入一个可以任意转动的正方体，则正方体棱长的最大值为2
6．（2026·内蒙古兴安盟·二模）如图，已知在三棱柱ABC −A
′ B
′C
′中，E , F分别为AC ,BC的中
考点2
空间几何体体积表面积
点，则截面EF B
′ A
′分三棱柱的体积比V B
′ A
′−ABFE
V EFC −C
′ B
′ A
′ =______.
7．（2026·吉林长春六中·二模）三棱锥的一组对棱长为a，其余四条棱长均为1，则该三棱锥体积
最大值为______________.
8．（2026·辽宁盘锦高级中学·二模）已知四面体ABCD的顶点都在同一球面上，若该球的表面积
为16π,△ABC是边长为3 的正三角形，则四面体ABCD的体积的最大值为_____________.
9．（2026·辽宁大连·二模）已知四棱锥P−ABCD的底面为菱形，三棱锥P−ABD为正四面体，
则三棱锥P−ABD与三棱锥P−BCD的外接球半径之比为_______.
1．（2026·内蒙古兴安盟·二模）（多选）如图，在棱长为2 的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，P
是棱BC的中点，点Q在正方形A A1B1B内部（不含边界）运动，若PQ //平面AC C1 A1，则
（ ）
A．点Q的轨迹经过线段A B1的中点
B．点Q的轨迹长度为2
C．三棱锥Q−AC C1的体积为定值1
3
D．球面经过A ,B ,C ,Q四点的球的半径的最小值为❑√2
2．（2026·黑龙江大庆·二检）（多选）已知正方体ABCD−A1B1C1 D1的棱长为3，则下列说法
正确的是（ ）
考点3
动点与截面问题
A．C D1 //平面A1BC1
B．三棱锥A1−BDC1的外接球的表面积为27π
C．若该正方体表面上的动点P满足D1 P =2❑√3，则动点P的轨迹长度是3 ❑√3π
2
D．若该正方体的内切球表面上的动点Q满足BQ //平面AC D1，则线段BQ长度的最小值为
❑√6
2
3．（2026·辽宁辽阳·二模）（多选）在长方体ABCD−A1B1C1 D1中，AB = A A1=2，AD =1，
M 是棱AB 的中点，下列说法正确的是（ ）
A．B D1⊥MC
B．二面角D1−MC −D的余弦值是
❑√3
3
C．过D1 MC的平面截该长方体得到的图形面积是3 ❑√3
2
D．沿长方体表面从D1到M的最近距离是❑√10
4．（2026·吉林长春六中·二模）（多选）在棱长为2 的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，M 为BC边
的中点，下列结论正确的有（ ）
A．AM与D1B1所成角的余弦值为
❑√10
10
B．过三点A、M、D1的截面面积为11
2
C．四面体A1C1BD的内切球的表面积为π
3
D．E 是C C1边的中点，F 是AB边的中点，过E、M、F 三点的截面是六边形．
5．（2026·吉林白山·二模）已知正方体ABCD−A1B1C1 D1的棱长为1，点P 在正方体的内切球
表面上运动，且满足D1 P//平面A1BC1，则AP的最小值为______.
1．（2026·东北三省三校·二模）在三棱锥A −BCD中，AB =CD =3，E , F分别是AD，BC上的
点，且EF = ❑√6，AE: ED = BF : FC =1:2，则AB与CD所成角的余弦值为（ ）
A．−1
4
B．1
4
C．−1
3
D．1
3
考点4
空间向量夹角问题
2．（2026·吉林长春·质量监测(二)）如图，三棱柱ABC −A1B1C1的所有棱长均为2，且
∠A1 AB =π
3
．
(1)证明：AB⊥A1C；
(2)若三棱柱ABC −A1B1C1的体积为3，求平面A1C C1与平面A1C B1所成角的余弦值．
3．（2026·哈尔滨三中·二模）在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为梯形，AD // BC，
AB = AD = DC =2，BC = 4，△PAB为等边三角形，侧棱PC = 4．
(1)求证：平面PAB⊥底面ABCD；
(2)求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．
4．（2026·吉林G35 联合体·二模）如图，在三棱柱ABC −A1B1C1中，平面A A1C1C ⊥平面
ABC，底面ABC是等边三角形，O为AC的中点，A A1= AB =6，A1O =3 ❑√3.
(1)证明：AC ⊥平面A1OB.
(2)求二面角A1−BC −B1的正弦值.
5．（2026·东北三省三校·二模）四棱柱ABCD−A1B1C1 D1的底面ABCD 是菱形,且∠ABC =π
3
,
AD =2,侧面AD D1 A1是矩形,且M 是A1 D1的中点.
(1)求证：平面M C1C ⊥平面ABCD；
(2)若平面AD D1 A1与平面ABCD 所成二面角的平面角为π
3
,A1 A = ❑√3,求直线B1 D与平面MAB 所
成角的正弦值.
6．（2026·黑龙江大庆·二检）如图，在三棱锥P−ABC中，PA ⊥底面
ABC , AC ⊥BC , PA = AC =2.已知D是PC的中点，且DE⊥PB.
(1)证明：PB⊥平面ADE；
(2)若PC与平面ADE所成角的正弦值为4
5
，求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值.
7．（2026·吉林长春六中·二模）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA ⊥平面
ABCD , AB //CD ,∠BAD =90° , PA = 4 , AB =2 AD =2 DC =6，M , N分别为PB , PD的中点．
(1)求证：BC ⊥平面PAC；
(2)设PA ∩平面MCN =Q ,⃗AQ = λ⃗AP．
（i）求实数λ的值；
（ii）求二面角B−CQ−D的正弦值．
8．（2026·辽宁盘锦高级中学·二模）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，
PD = AD =1，平面PAD⊥平面ABCD，平面PCD⊥平面ABCD，平面PAD 与平面PBD 夹角为
45°.
(1)点P，A，B，C，D 均在同一球面上，求该球的体积；
(2)点E，F，G 分别在棱AB，BC，PB 上，当△EFG为等边三角形时，求直线AD 与平面EFG 所成
角的正弦值
9．(2026·辽宁鞍山普通高中·二模)如图，在三棱锥D−ABC中，侧面DAC ⊥底面ABC，
AD = DC，AB = BC.
(1)求证：AC ⊥BD；
(2)已知AB = ❑√5，AC =2，AD = ❑√2，F是线段BD上一点，当AF ⊥BD时，求二面角
F −AC −B的余弦值.
10．（2026·辽宁大连·二模）如图所示，在四棱锥P−ABCD中，平面PAC ⊥平面ABCD，
AB = AD =2❑√3，BC = DC = 1
2 AC =2．
(1)若点M是棱AP 上一点，且BM //平面PCD，求AM
AP
；
(2)若∠ACP =60°，PC =2，平面PCD 与平面PAB 交于直线l，求直线l与平面PAD 所成角的正弦
值．
1．（2026·吉林长春六中·二模）如图，在三棱锥P−ABC中，PA = PB = PC =2，∠APB =90
∘，
∠BPC =∠APC =60
∘，M为BC的中点，Q为AM的中点，则线段PQ的长度为（ ）
A．❑√2
B．
❑√5
2
C．3
2
D．
❑√6
2
2．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在三棱锥S−ABC中，SA ⊥平面ABC，∠BAC = 2π
3
，
考点5
空间向量距离问题
SA = AC =2，AB =1，⃗SM =⃗MC，3⃗BP =2⃗BC，过点M，P 的平面与AC交于点N，NP⊥BS，
则MN =_____.
3．（2026·吉林G35 联合体·二模）已知平面α1，α2，α3，α 4分别过正四面体的四个顶点，且平面
α1，α2，α3，α 4相互平行，相邻两个平面之间的距离均为d，若该正四面体的棱长为4，则d =
_______．
4．（2026·内蒙古兴安盟·二模）如图，在边长为2 的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，E 是棱AB上
的点，平面C1 A1 E交棱BC于点F．
(1)证明：EF // AC；
(2)若直线A1B1与平面C1 A1 E所成角的正弦值为2
3
，求线段AE的长度及此时点B1到平面C1 A1 E
的距离．
5．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图所示，已知等腰梯形ABCE中，AB∥EC，D是EC的中点，
将△AED沿AD对折至△APD，使得与边长为2 的菱形ABCD成60°的二面角，折叠后发现
PB⊥AD.
(1)求点P 到平面ABCD的距离；
(2)求二面角A −PB−C的正弦值.
6．（2026·吉林白山·二模）在四棱锥E−ABCD中，底面ABCD是矩形且AB =2BC =2，侧面
△ADE是正三角形且垂直于底面ABCD，F是AB的中点，O为AD的中点，求：
(1)异面直线AE与CF所成角的余弦值；
(2)点O到平面EFC的距离；
(3)二面角E−FC −D的余弦值．
