文档文本内容
导数的概念和几何意义
考点1
专题07 导数
4 大考点概览
考点01 导数的概念和几何意义
考点02 利用导数求极值和最值
考点03 零点问题
考点04 不等式恒成立问题
一、多选题
1．（2026·安徽宿州·一模）设函数
，则（ ）
A．
在
处的切线方程为
B．
是
的极大值点
C．当
时，
D．
【答案】AD
【分析】对于A 选项求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程，对于B,C 选项
求出函数的单调区间，从而得到函数的极大值点以及函数值的范围，对于D，代入函数解析式验证
即可求解.
【详解】对于A，
，在
处的切线方程为
，
化简可得
，故A 选项正确；
对于B，
，令
，解得：
,
令
，解得：
或
,
令
，解得：
,
所以函数
在
和
递增，在
递减，
则
是
的极小值点，故B 选项错误；
对于C，由于函数
在
和
递增，在
递减，故当
时，最小值为
，最大值为
，所以
，故C 选项错误：
对于D 选项，由于
，D 选项正确.
故选：AD
二、解答题
2．（2026·安徽芜湖·一模）已知曲线
在
处的切线为.
(1)求切线的方程；
(2)求证：切线在曲线
的下方（切点除外）.
【答案】(1)
；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由导数的几何意义求切线方程即可；
（2）结合（1），将问题化为证明
，令
，利用导数证明
恒成立，即可.
【详解】（1）由
，得
，所以
，
又
，所以切线方程为
，即
；
（2）结合（1），令
，则
，
令
，则
，
令
，得
，所以
时
，
时
，
所以
在
上单调递减且恒小于0，在
上单调递增，
注意到
，所以
有唯一根
，
利用导数求极值和最值
考点2
时，
在
上单调递减，
时，
在
上单调递增，
所以函数
，则
，当且仅当
时取等号，
所以切线在曲线
的下方（切点除外），得证.
一、单选题
1．（2026·安徽马鞍山·一模）函数
的导函数
的图象如图所示，则函数
在区间
上的极值点有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】根据给定的函数图象确定
的变号零点个数即可.
【详解】函数
的图象与
轴有3 个公共点，从左到右依次记为
，
当
时，
；当
时，
；当
时，
，
当且仅当
时取等号，则函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
因此函数
在
处取得极大值，在
处取得极小值，所以极值点个数为2.
故选：B
2．（2026·安徽宿州·一模）已知正实数m，n，满足
，且
，则下列不等式一定成
立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题可得
或
，结合对数函数，指数函数的性质依次判断各选项即可.
【详解】因为正实数m，n，满足
，且
，可得
或
，
对于A 选项，取
，显然
，A 错误；
对于B 选项，取
，显然
，B 错误；
对于C 选项，设函数
，令
，则
，
当
在
上单调递增，当
，
在
单调递减，
又因为
，所以
恒成立，即
恒成立，即
在
上均单调递减，
所以当
或
时，
，即
，
由于
，所以
即
，C 正确；
选项D，取
，显然
，而
，故
，D 错误.
故选：C.
3．（2026·安徽淮北·一模）函数
在AI 神经网络中作为激活函数使用，可提升模型的
非线性拟合能力．下列函数图象中，可以作为
大致图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求出
排除选项BD，利用导数法求出
的单调性得到结论.
【详解】
，
，排除选项BD，
，
，
设
，
，
当
时，即
，
，则
在
范围内是单调递增函数；
当
时，即
，
，则
在
范围内是单调递减函数；
当
时，
，
，
在
范围内是单调递增函数；
当
时，
在
范围内是单调递增函数，
，
，
，使得
，
当
时，
，
，则
在
是单调递减函数；
当
时，
，
，则
在
是单调递增函数；
则选项A 符合.
故选：A.
二、多选题
4．（2026·安徽滁州·一模）若x，y，
，且
，则（ ）
A．当
时，
B．
C．当
取得最大值时，
D．当
取得最小值时，
【答案】BCD
【分析】对A，根据条件，利用基本不等式，即可求解；对B，根据条件，利用重要不等式，即可
求解；对C，根据条件，利用基本不等式得到
，构造函数
，利
用导数求出
的单调区间，即可求解；对于D，根据条件，利用基本不等式得到
，再利用基本不等式，即可求解.
【详解】对于A，当
时，由
，得到
，即
又x，y，
，所以
，
所以
，得到
，当且仅当
时取等号，所以A 错误，
对于B，因为
，即
，
当且仅当
时取等号，所以B 正确，
对于C，由
，得到
，则
，
所以
，当且仅当
时取等号，
则
，令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
即
在区间
上单调递增，在区间
上递减，
即当
，
有最大值，所以C 正确，
对于D，由选项C 知
，当且仅当
时取等号，
所以
，当且仅当
时取等号，
又因为
，所以
，当且仅当
时取等号，
所以
，当且仅当
，即
时取等号，
此时
，所以D 正确.
三、填空题
5．（2026·安徽黄山·一模）若函数
在
处取得极大值，则实数
的取值
范围为__________．
【答案】
【分析】求导，通过讨论
和0 的大小，确定函数的单调性，进而可求解.
【详解】由
，求导可得
令
，可得：
或
，
当
时，即
，
恒成立，
在定义域上单调递减，不符
合题意；
当
时，因为
，所以
，
由
，得
，由
，得
或
，
即
在
和
单调递减，在
单调递增，
即函数
在
处取得极小值，不符合题意；
当
时，因为
，所以
，
由
，得
，由
，得
或
，
即
在
和
单调递减，在
单调递增，
即函数
在
处取得极大值，符合题意；
综上实数
的取值范围为
，
故答案为：
四、解答题
6．（2026·安徽安庆·一模）已知定义在区间
上的函数
，
，若对
，
，
存在一个正实数
，满足
，则称
是
的“
-陪伴函数”.
(1)已知
，判断函数
是否为函数
的“
-陪伴函数”，并说明理由，
若为“
-陪伴函数”，求
的最小值；
(2)证明：任何一给定闭区间
上的函数
是函数
的“
-陪伴函数”；
(3)已知
，若函数
是函数
的“3-陪伴函数”，求实数
p 的取值范围.
【答案】(1)是，理由见解析，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据陪伴函数定义计算得
，则
，则确定
的最小值；
（2）通过放缩得
，再记
，则
，则得到
，即证明原命题；
（3）根据陪伴函数的定义得
，即可推出
，
则通过合理变形并整体求导并分离参数得
．再设新函数，
通过多次求导和隐零点法即可得到p 的范围.
【详解】（1）假设
是
的“
—陪伴函数”，
则
，
即
，
则
．
因为
且
，所以
，则
，
因此
，因此
是
的“
－陪伴函数”，且
的最小值是
．
（2）已知
，
，
.
记
，则
．
记
，则
，
即
成立，
因此
是
的“M—陪伴函数”，
即在同一给定闭区间
上的函数
是函数
的“M—陪
伴函数”．
（3）由题知
，
即
，不妨假设
，
则
，
则
，且
，
所以函数
在
上单调递增，函数
在
上单调递减，
所以
，
则
．又
，
，
所以
，
故
，且
，
即
，且
，
由于
在
上单调递增，故
，则
可得
，且
，
即
，
令
，则
，
令
，
，结合
，显然
，
即
，则
在
上单调递减，
故
，故
；
令
，则
，
令
，
，则
，
令
，
，则
，
该函数在
上单调递减，
，
，
故存在
，使得
，即
，
当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，
故
，
而
，
，
故
，则
在
上单调递增，
即得
，故
，
则
在
上单调递增，故
，
则
，综合可得
，
即p 的取值范围为
.
7．（2026·安徽合肥·一模）已知函数
．
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)当
时，
，求
的取值范围；
(3)设
，证明：
．
【答案】(1)单调递减区间为
，单调递增区间为
．
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）当
时，利用导数可求函数的单调区间；
（2）分
和
两种情况分别判断
是否成立，进而可求得求
的取值范围；
（3）由（1）可得当
时，
，再证明
，
，记
，计算可证结论.
【详解】（1）当
时，
，
所以当
时，
；当
时，
．
所以函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
．
（2）因为
，所以当
时，
，由（1）知
，
当
时，
．
又当
时，
，
，
所以
，即
．所以
在区间
单调递减，
所以
，不符合题意．综上，
的取值范围是
．
（3）由（1）知，当
时，函数
在区间
单调递增，
所以当
时，
，
即
，所以当
时，
．
当
时，
，则有
．
令
，求导得
，当
时，
；
当
时，
，所以
，
所以
，所以
，所以
．
所以
．记
，
所以
．
所以
．综上，原不等式成立．
8．（2026·安徽马鞍山·一模）已知函数
，其中
.
(1)当
时，求
在区间
上的最大值；
(2)若
在
上有且仅有一个极值点，求实数
的取值范围；
(3)设
为
在
内的极小值点，求证：
.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数求函数最大值即可；
（2）先分析
的单调性，再分类讨论分析
的零点，据此分析
的单调性得出是否存
在唯一极值即可；
（3）原不等式可转化为证明
，构造函数，利用导数求函数的最值
即可得证.
【详解】（1）当
时，
，
，
时，
，故
，
单调递增，
故
.
（2）由题，
，令
，则
，
当
时，
，则
在
上单调递增；
当
时，
，则
在
上单调递减.
①当
时，
，则
在
上恒成立，此时
单调递减，不存在极
值点；
②当
时，
，
由零点存在性定理知，存在
，当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，当
时，
单调递减，此时
有唯一极小值点
，
极大值点
；
③当
时，
，
存在唯一
，使得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，此时
在
上有唯一极大值点
；
④当
时，
恒成立，
在
上单调递增，此时
无极值点.
综上，实数
的取值范围为
.
（3）由题知，
，即
，
要证
，即证
，
令
，则
，
令
，得
，
再令
，
，
当
时，
，则
单调递减，
所以
，
单调递减，
所以
，从而
，可得
单调递减，
所以有
，
则有
，
因此
.
9．（2026·安徽淮南·一模）已知函数
在点
处的切线方程为
．
(1)求实数
的值；
(2)设
．
（i）证明：
存在唯一极小值；
（ii）设
的极小值点为
，证明：
．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析（ii）证明见解析
【分析】（1）求出
的导函数
，根据切线的斜率为
，及点
在切线上列方程，
求出
的值；
（2）（i）由（1）得
，利用导数分析函数
的单调性，即可证明
存
在唯一极小值；（ii）由（i）可得
的取值范围，构造新函数，利用导数可分析新函数的取值范围，
从而证明
.
【详解】（1）因为
在点
处的切线方程为
，即
.
所以切线的斜率为
，且当
时，
.
因为
，所以
，
所以
，所以
.
（2）（i）因为
，其定义域为
.
零点问题
( )
f x
所以
.
令
，得
或
，
设
，所以
在
上恒成立，所以
在
上单调递减.
又
，所以存在唯一
，使
．
故
时，
，
单调递减，
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减，
所以
是函数
的唯一极小值点，所以
存在唯一极小值．
（ii）因为
的极小值点为
，所以
．
又
，且
在
上单调递增，所以
；
又
，两边取自然对数得
，即
，即
.
所以
，
设
，
则
在
上恒成立，故
在
上单调递减，
故
，即
．综上所述：
．
一、单选题
1．（2026·安徽滁州·一模）已知函数
，若函数
恰
有个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用奇函数的定义及导数与函数单调性间的关系，可得
为奇函数且为减函数，从而
将问题转化成函数
与函数
的图象有个交点，再利用导数求出
的单调性，进
而得出
的图象，数形结合，即可求解.
【详解】因为
，易知
的定义域为
，定义域关于原点对称，
又
，所以
为奇函数，
又
恒成立，所以
为减函数，
令
，得到
，所以
，整理得到
，
令
，
因为函数
恰有个零点，则函数
与函数
的图象有
个交点，
又
，当
时，
，当
时，
，
所以
的单调递增区间为
，单调递减区间为
，
又
时，
，
时，
，
时，
，
时，
，且
恒成立，其图象如图所示，
由图可知，要使函数
与函数
的图象有个交点，则
，
解得
，所以实数
的取值范围是
.
2．（2026·安徽安庆·一模）已知
，若函数
恰有1 个零点，则
（ ）
A．e
B．
C．1
D．3
【答案】B
【详解】由
，可得
恒为
的一个零点，
令
，则
恰有1 个零点，
等价于
的唯一零点是
，或
无零点.
因为
，且
，
所以
恒成立，
在
上单调递增.
又
时
，
时
，因此
必然存在唯一零点.
当
的零点是
时，可得
即
，解得
，
.
3．（2026·安徽淮北·一模）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，若函数
和
均为偶函数，则（ ）
A．
的图象关于直线
对称
B．
的图象关于直线
对称
C．3 是
的一个周期
D．
【答案】D
【分析】根据题设，结合偶函数的性质及函数的对称性可得
的周期为12，进而得到
，进而求解判断D；举例
，即可判断ABC.
【详解】因为
为偶函数，所以
，
则
，两边求导得
，则
，
由
为偶函数，得
，则
，
由
，
，
得
，则
，
所以
，则
的周期为12，
由
，令
，得
，即
，
由
，令
，得
，
由
，令
，得
，即
，
则
，
所以
，故D 正确；
对于ABC，设
，则
，
而
，则
，
所以函数
和
均为偶函数，满足题意，
而
，则
的图象不关于直线
对称，故A 错误，
而
，则
的图象不关于直线
对称，故B 错误，
而
的最小正周期为
，故C 错误.
故选：D
4．（2026·安徽合肥·一模）已知函数
有且仅有三个零点，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】令
，利用导函数研究其单调性画出图象，将问题转化为一元二次方程
的根的问题即可求解.
【详解】因为
有且仅有三个零点，则方程
有且仅有三个根，
令
，则
，
由
得
；
得
；
则
在
单调递增，在
上单调递减，则
，
因为
时
；
时
，且
时
，
所以
的函数图象如图：
因为
不是
的根，
所以
有两个根，其中一个根位于
，另一根位于
或另一根是
，
但方程
的两根的乘积为
，
所以
一个根位于
，另一根位于
，
则
，得
，
故
的取值范围是
.
故选：C
二、解答题
5．（2026·安徽宿州·一模）已知函数
.
(1)证明函数
存在唯一零点；
(2)
的零点为
，证明
.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）分析函数的单调性，再结合零点存在定理证明；
（2）根据
得到
满足的关系式，再将
转化，最后通过研究函数的单调性来证明不
等式.
【详解】（1）函数
的定义域为
，当
时，
，（这是因为
）
故函数
在
没有零点；
当
时，
，易见
在
上是减函数，
且
，故存在
，使得
在
上递增，在
上递减，
且
，
所以
在
上存在唯一零点，又
，所以在
上无零点，
故
在
上存在唯一零点.
（2）注意到
，由（1）知存在唯一
使得
，
即有
，故
.
令
，
令
，显然当
时，
.故
在
上单调递减，
所以
.
6．（2026·安徽淮北·一模）已知函数
．
(1)若曲线
在点
处的切线方程为
，求实数
的值；
(2)当
时，
（i）证明：
在
上存在唯一极小值点
和唯一零点
；
（ii）在（i）的条件下，证明：
．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义求解；
（2）（i）将
整理为
，当
时可得
，从而得到
在
的单调性；再讨论
时的情形，构造函数
，通过构
造函数得到
的单调性，从而得到
的单调性，从而得证； （ii）由（i）知
，且
，及
在
上是单调递增函数，
，要证
只需证
，即证
明
即可，再补证：当
时，
，从而得到证明．
【详解】（1）
，
，
，
（2）（i）
，
当
时，
，
，
，
，
，
，
在区间
上是单调递增函数；
下面讨论
时的情形，
令
，
，
再令
，
，
则
在区间
上是单调递增函数，
即
在区间
上是单调递增函数，
而
，
，
故
，使得
，
且当
时，
，
是单调递减函数，
当
时，
，
是单调递增函数，
注意到
，而
，
从而必然
使得
．
且当
时，
，即
，
当
时，
，
从而
在
递减，在
递增．
又
，
因此必然唯一的
使得
，
于是
在
上存在唯一的极值点
和唯一的零点
．
（ii）由（i）知
，且
，及
在
上是单调递增函数，
，
要证
只需证
，即
即可．
，
由
时，
，得到
，
则
．
下面补证：当
时，
；
构造函数
，
因此
在区间
上是单调递增函数，
，故得证．
7．（2026·安徽黄山·一模）已知函数
．
(1)若
，讨论函数
的单调性；
(2)若函数
有三个零点
，且
．
（Ⅰ）求实数
的取值范围；
（Ⅱ）若三个零点成等差数列，求这三个零点．
【答案】(1)答案见解析
(2)（Ⅰ）
（Ⅱ）
，
【分析】（1）求导得到导数表达式，再结合参数
的不同取值范围，分别讨论导数在相应区间上
的正负，从而确定函数的单调性.
（2）（Ⅰ）根据单调性和函数值的符号排除不符合条件的情形，再通过极值点的函数值符号建立
不等式，得到参数
的取值范围；
（Ⅱ）零点成等差数列时利用零点所满足的方程变形得到比例关系，结合等差数列的定义建立关于
公差的方程并求解.
【详解】（1）由
，
①当
时，
，
在
上单调递减，在
上单调递增；
②当
时，若
，则
，即
在
上单调递增；
若
，则
，
令
，
若
，即
时，
当
时，
；当
时，
；
当
时，
．
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增；
若
，即
时，当
时，
；
当
时，
，
由
的连续性知
在
上单调递增．
综上所述，当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单
调递增；
当
时，
在
上单调递增．
（2）（Ⅰ）①当
时，由（1）知
在
上单调递增，则至多只有一个零点，与题不符；
②当
时，由
得
，则
在
上只有一个零点，与题不符；
③当
时，在
上
单调递减，而在
上
恒成立，
且
,
则函数无零点，与题不符；
④当
，
在
上单调递增且
，
所以
在
上恰有一个零点，
又
时，
，若使
有个零点，则
，
即
，即
，解得
.
综上所述，实数
的取值范围为
.
（Ⅱ）令
，即
，
不等式恒成立问题
( )
f x
因为
为函数
的三个零点，且由（2）知
，
所以有：
，由于
同号，两式相除得
，
令等差数列的公差为
，所以
，得
，
同理，由
异号，所以
，所以
，得
，
所以
，得
，解得
．
代入
，得
，
所以
．
一、单选题
1．（2026·安徽黄山·一模）已知函数
，若
恒成立，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题设可得
对于
恒成立，进而得到函数
和
在
上有共同的零点，可得
，进而得到
，设
，利用导数分析
函数的单调性，进而求解即可.
【详解】由
，则
，
即
对于
恒成立，
而函数
和
在
上均为增函数，
则函数
和
在
上有共同的零点，
即
，则
，即
，
设
，则
，
令
，得
或
，令
，得
，
所以函数
在
和
上单调递减，在
上单调递增，
又
时，
，
时，
，且
，
则
，即
的取值范围是
.
故选：D
二、解答题
2．（2026·安徽滁州·一模）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若不等式
恒成立，求m 的取值范围；
(3)证明：函数
的最小值小于函数
的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）代入
得到函数解析式后求导得到
处的切线斜率，结合切点坐标用点斜式
化简得到切线方程；
（2）将
恒成立问题转化为
对
恒成立，通过求导得到
的
最小值，进而确定
的取值范围；
（3）先求出原函数
的单调性与最小值点，分别得到内层函数
和
的值域，结
合
的单调性得到两个复合函数的最小值，通过比较大小完成证明.
【详解】（1）当
，
，定义域
，
计算得
，求导得
，切线斜率
，
由点斜式得切线方程
，整理得
.
（2）
恒成立等价于
对任意
恒成立，
设
，则
，
求导得
，令
得
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
故
， 因此
的取值范围是
.
（3）对
，
，
由（2）可知
在
单调递减，在
单调递增。
因为
，所以由
解析式可知
，
由于
，
可以取到
，
因此函数
的最小值为
，
设
，则
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以
，即
.
由于
在
递增，因此函数
的最小值为
，
因为
，所以
，
因此
的最小值小于
的最小值，得证.
