文档文本内容
专题 06 数列
4 大考点概览
考点01 等差数列及性质
考点02 等比数列及性质
考点03 数列求和
考点04 数列的应用
1．（2025·四川德阳·一模）记Sn
为等差数列{an)的前n项和，若a3+a10=7+ S6
，则a2=（ ）
A．7
4
B．−7
4
C．7
D．-7
2．（2025·四川资阳·一模）已知等差数列{an)的前n项和为Sn
，若a2=1，a7=11，则S8=（ ）
A．48
B．63
C．80
D．96
3．（2025·四川凉山·一模）在等差数列{an)中，Sn
是其前n 项和，若S4=8，S8=24，则S6=
（ ）
A．5
2
B．5
C．10
D．15
4．（2025·四川泸州·一模）（多选）记Sn
为等差数列{an)的前n项和，d为{an)的公差，若
a3+a4=−10,a5+a9= 4，则（ ）
A．d =2
B．Sn+1
n+1 =n−11
C．当n=5或6 时，Sn取得最小值
D．当Sn>0时，n的最小值为11
5．（2025·四川绵阳·一模）−2与4 的等差中项为 .
6．（2026·四川巴中·一模）设Sn
为等差数列{an)的前n项和，若a1=−3，a2+2a5=15，则S10=
．
7．（2025·四川成都·一模）记Sn
为等差数列{an)的前n项和，若a2=3，a4=7，则S5= .
考点1
等差数列及性质
1．（2025·四川泸州·一模）已知实数−1, x , y , z ,−4成等比数列，则y =（ ）
A． −8
B．±8
C． −2
D．±2
2．（2026·四川广安·一模）已知数列{an)为等比数列，T n
为数列{an)的前n项积，且
T 2= 1
27 ，T 4= 1
9
，则T 6=（ ）
A．27
B．9
C．3
D．1
3
3．（2025·四川自贡·一模）等比数列{an)中，a1+a2+a3=1，a3+a4+a5=9，则a5+a6+a7=
（ ）
A．27
B．81
C．243
D．729
4．（2026·四川遂宁·一模）记Sn
为等比数列{an)的前n项和，若S8=17 S4
，a4−a2=3，则a3=
（ ）
A．4
B．±2
C．8
D．±8
5．（2026·四川巴中·一模）设 Sn
是等比数列 {an} 的前 n 项之和， S2，S8，S5
成等差数列，
则 a1+a4
a7
=（ ）
A．1
3
B．1
2
C．2
D．3
6．（2026·四川宜宾·一模）已知等比数列{an)的前n项和为Sn
，其中a3
为(x + 1
2 x)
6展开式中的常数
项，且S10
S5
= 31
32
，则Sn
的最小值为（ ）
A．5
B．20
3
C．10
D．不存在
考点2
等比数列及性质
7．（2025·四川成都·一模）在等比数列{an)中，a1+a2+a3+a4=1，|a1)+|a2)+|a3)+|a4)=3，则
a1=（ ）
A．−1
5
或8
5
B．−1
4
或8
5
C．1
4
或−8
5
D．1
5
或−8
5
8．（2025·四川凉山·一模）已知等比数列{an)的前4 项是关于x 的方程
(x
2−6tx +8t)(x
2−9tx +8t)=0的根，则数列{
1
an)
的前4 项和为（ ）
A．5
2
B．9
4
C．11
4
D．15
8
1．（2025·四川泸州·一模）已知数列{an)的前n项和为Sn,a1=2，且an+1=2Sn+2(n∈N
∗)．
(1)求{an)的通项公式；
(2)设bn=
1
log3(Sn+1)log3(Sn+1+1)
，求数列{bn)的前n项和T n
．
2．（2026·四川雅安·一模）已知等差数列{an)的前n 项和为Sn
，且a3=5，S4=16.
(1)求数列{an)的通项公式；
(2)数列{bn)满足bn=(
1
2)
an，T n
为{bn)的前n 项和，证明：1
2 ≤T n< 2
3
.
3．（2026·四川攀枝花·一模）已知数列{an)的前n 项和为Sn
，an>0(n∈N
∗)，且4，an+1，Sn
成
等比数列．
(1)求数列{an)的通项公式；
(2)若bn=(−1)
n+1⋅
4 n
anan+1
，记数列{bn)的前2n项和为T 2n，证明：4
5 ≤T 2n<1．
考点3
数列求和
4．（2025·四川凉山·一模）在等差数列{an)中，a1+a5=14，a2+a6=20．
(1)求数列{an)的通项公式；
(2)已知数列{bn−an)是首项为1，公比为2 的等比数列，求数列{bn)的前n 项和Sn
．
5．（2025·四川成都·一模）已知正项数列{an)的前n项和为Sn
，且2an Sn=an
2+1.
(1)求{an)的通项公式；
(2)若数列{bn)满足bn= Sn
2，证明：1
b1b3
+
1
b2b4
+
1
b3b5
+
1
b4b6
+⋯+
1
bn−1bn+1
+
1
bnbn+2
< 3
4 .
6．（2025·四川泸州·一模）记Sn
为数列{an)的前n项和，已知2Sn=3an−3.
(1)求数列{an)的通项公式；
(2)设bn={
an,
n 为奇数
log3an,
n 为偶数)
，求数列{bn)的前2n项和T 2n.
7．（2025·四川绵阳·一模）已知数列{an)满足：当n≥2时，an=2an−1−n+2，且数列{an+kn+b)
为等比数列（k ,b为常数），a1=3.
(1)求常数k ,b的值及数列{an)的通项公式；
(2)设bn=an
2−nan
，求数列{bn)的前n项和Sn
.
8．（2025·四川德阳·一模）数列{an)的通项公式an=(1−2n)⋅(
1
2)
n，{cn)的通项公式
cn=(λn+ μ)⋅(
1
2)
n，且an=cn+1−cn(λ , μ∈R ,n∈N
*).
(1)求λ，μ的值；
(2)求{an)的前n项和Sn
.
9．（2025·四川资阳·一模）已知数列{an)的首项a1=6，且满足an+1+2
n+1= 4 an
.
(1)求证：{an−2
n)是等比数列；
(2)求数列{an)的前n项和Sn
；
(3)令bn=
an
an+2
，数列{bn)的前n项和为T n
.求证：n+ 2
3(
2
5)
n
−2
3 <T n<n.
1．（2025·四川绵阳·一模）（多选）已知公比q不等于1 的等比数列{an)的前n项和为Sn
，且
a2,a8,a5成等差数列，下列说法正确的是（ ）
A．q
3=−1
2
B．若a1=2，则a4=1
C．S3,S9,S6成等差数列
D．若a1<0，则数列{an)的最大项为a2
2．（2026·四川广安·一模）（多选）已知数列{an)满足a1= ❑√2，且an+1=
❑√ln(1+an
2)(n∈N
*)，
则（ ）
A．数列{an)先单调递减后单调递增
B．an+1
2
> 2an
2
an
2+2
C．an≥❑√
2
n
D．a1+a2+⋯+a99>18 ❑√2
3．（2025·四川成都·一模）如图，已知正四面体D−ABC顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地
沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻
顶点称为移动一次，若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABC上的概率为
Pn.则P2= ；满足Pn−3
4 >
1
2025
的n的最大值为 .
考点4
数列的应用
4．（2025·四川达州·一模）已知{an)为等差数列，前n项和为Sn
，且a2=5,S5= 40．
(1)求Sn；
(2)设bn=
1
Sn+n，数列{bn)的前n项和为T n，若对任意n∈N
*，不等式T n<m成立，求实数m的取
值范围．
5．（2025·四川自贡·一模）设数列{an)的前n 项和为Sn=5n
2−4 n．
(1)求an；
(2)若bn=2
n，求数列{anbn)的前n 项和T n
；
(3)设cn= λ an+(1−λ)bn，是否存在正整数n 对∀λ∈[0,1]，an、bn、cn的值为边长均能构成三
角形，若存在求正整数n的值，若不存在请说明理由．
6．（2026·四川广安·一模）甲乙两人进行若干局乒乓球训练赛，每局比赛必须决出胜负，且每局
比赛结果相互独立．已知甲每局比赛获胜的概率为1
3
，规定先达到净胜3 局者获得训练赛胜利并结
束训练赛（某人的净胜局数=某人胜的局数−某人负的局数）．
(1)记经过n局比赛，甲获得训练赛胜利的概率为pn，求p3和p5；
(2)经过若干局后，甲胜的局数与乙胜的局数的差为X，记事件“X =k时，甲最终获得训练赛胜
利”发生的概率为qk
，求证：{qk +1−qk) (−3≤k ≤2,k ∈Z )是等比数列；
(3)求甲获得训练赛胜利的概率．
7．（2025·四川泸州·一模）甲同学进行定点投篮训练，假设甲同学每次投篮命中的概率为2
3
，且各
次投篮互不影响，设Pi（i≥2，i为整数）表示甲同学投篮i次恰好有2 次命中的概率.
(1)求P4；
(2)投篮前约定：甲同学最多投篮N次，当出现两次命中时就不再投篮，投篮N次后即使没有出现
两次命中也不再投篮，用ξ表示甲同学在约定条件下投篮的次数.
（i）若N =6，求P(ξ =6)；
（ii）若E(ξ)≥2∑
i=2
N +2
Pi
，求N的最小值.
8．（2025·四川德阳·一模）大学吸引广大学子，不仅仅靠知识的海洋，还有美味的餐厅.已知某大
学有A，B，C三个餐厅，小丁同学每天都在学校餐厅就餐，已知小丁第1 天等可能性的随机在某
个餐厅就餐，若他在A餐厅就餐，则下一天在A，B，C三个餐厅就餐的概率分别为2
5
，3
10
，3
10
；
若他在B餐厅就餐，则下一天在A，B，C三个餐厅就餐的概率分别为1
2
，1
5
，3
10
；若他在C餐厅
就餐，则他下一天到A，B，C三个餐厅就餐的概率分别为3
5
，3
10
，1
10
.
(1)求小丁同学第2 天在B餐厅就餐的概率；
(2)求小丁同学第n(n∈N
*)天在B餐厅就餐的概率；
(3)若小丁同学前n(n∈N
*)天到B餐厅就餐的天数为X，求数学期望E ( X ).
（若小丁第i(i=1,2,⋯,n)天到B餐厅就餐的天数为Xi，则E (X )= E(∑
i=1
n
Xi)=∑
i=1
n
E(Xi) ）
9．（2026·四川巴中·一模）若点A，B是曲线C上相异的两点，且直线AB的斜率为k，则称点A，
B是C (k )斜率相关的．已知抛物线C：x
2=2 py（p>0），点P1(−2,1)在抛物线上，点Pn(xn, yn)
与点Qn(an,bn)是C (k )斜率相关的，点Qn
与点Pn+1
是C (−k )斜率相关的，其中k为常数且k >0，记
直线Pn Pn+1的斜率为kn．
(1)设O为坐标原点，若k =1，求△O P1Q1的面积．
(2)对任意的正整数n，an
kn
是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
(3)设Sn
为数列{
1
knkn+1)
的前n项和，若对任意的正整数n，都有Sn> 1
4
，求实数k的取值范围．
10．（2025·四川成都·一模）设函数
f n(x)=−1+Cn
1 x +Cn
2 x
2
2
2 +Cn
3 x
3
3
2 +⋯+Cn
n x
n
n
2 (x∈R ,n≥2,n∈N
*).
(1)证明：对每个n∈N
*且n≥2，存在唯一的xn∈[0, 1
2)
，满足f n(xn)=0；
(2)若f 2(x)+1≥a ln (x +1)，求a；
(3)证明：f n❑
′ (−1)=1+ 1
2 + 1
3 +⋯+ 1
n
，其中f n
' (x)表示f n(x)的导数.
