文档文本内容
专题34 解答题压轴题综合
（五大考点，179 题）
考点分类
十年考情（2017-2026）
命题规律
考点01 导数及其
应用
2026 全国二卷、2026 天津、2026
北京、2026 上海、2025 全国一
卷、2025 天津、2025 北京、2024
新课标Ⅰ、2024 天津、2024 北
京、2023 北京、2023 全国甲、
2023 全国乙、2023 天津、2023 新
课标Ⅱ、2022 天津、2022 浙江、
2022 新高考Ⅱ、2022 全国甲、
2022 全国乙、2022 北京、2022 新
高考Ⅰ、2021 天津、2021 浙江、
2021 新高考Ⅱ、2021 全国甲、
2021 全国乙、2021 新高考Ⅰ、
2020 天津、2020 浙江、2020 海
南、2020 全国Ⅲ、2020 全国Ⅰ、
2020 全国Ⅱ、2019 江苏、2019 天
津、2019 浙江、2019 全国Ⅰ、
2018 江苏、2018 北京、2018 全国
Ⅲ、2018 浙江、2018 全国Ⅰ、
2018 全国Ⅱ、2018 天津、2017 天
津、2017 山东、2017 浙江、2017
全国Ⅲ、2017 全国Ⅰ、2017 全国
Ⅱ、2017 江苏
1.
全卷通用核心压轴大题，各省
份历年必考，区分度最高。
2.
设问分层递进，第一问基础计
算，后两问综合证明与参数范围。
3.
以指对、三角复合函数为主，
常用构造函数、隐零点、放缩法解
题。
考点02 函数及其
性质
2026 全国一卷、2026 上海、2025
上海、2024 上海、2023 上海、
2022 上海、2021 上海、2020 江
苏、2017 上海
1.
上海卷特色压轴题型，新高考
地区逐年增多。
2.
题干自定义全新函数、集合、
变换规则，以逻辑证明为主。
3.
重阅读理解与严谨推理，复杂
计算较少。
考点03 圆锥曲线
2026 全国二卷、2026 全国一卷、
2026 北京、2026 天津、2026 上
海、2025 天津、2025 上海、2025
全国一卷、2024 上海、2024 全国
甲、2024 新课标Ⅱ、2023 上海、
2023 全国甲、2023 全国乙、2023
新课标Ⅰ、2023 新课标Ⅱ、2022
1.
解答次高频压轴，椭圆、抛物
线考查频次最高。
2.
固定考标准方程、直线联立，
考查定点、定值、面积、存在性。
3.
计算量大，核心工具为韦达定
理、坐标代换。
上海、2022 浙江、2022 新高考
Ⅱ、2022 全国甲、2022 全国乙、
2021 天津、2021 上海、2021 全国
甲、2021 全国乙、2021 新高考
Ⅰ、2021 新高考Ⅱ、2020 上海、
2020 北京、2020 山东、2020 全国
Ⅲ、2020 全国Ⅰ、2019 江苏、
2019 上海、2019 天津、2019 全国
Ⅲ、2018 北京、2018 全国Ⅰ、
2018 浙江、2017 上海、2017 山东
考点04 数列
2026 天津、2026 北京、2025 天
津、2024 新课标Ⅰ、2024 北京、
2024 天津、2024 新课标Ⅱ、2023
北京、2023 上海、2023 天津、
2022 天津、2022 上海、2022 北
京、2021 天津、2021 北京、2021
上海、2020 上海、2020 天津、
2020 北京、2020 浙江、2019 江
苏、2019 天津、2019 上海、2018
江苏、2017 山东、2017 浙江、
2017 北京
1.
北京、上海、江苏高频压轴，
全国卷偶尔作为最后一题。
2.
分常规等差等比、新定义数列
两类，多小问层层递进。
3.
侧重递推变形、计数、不等式
归纳证明。
考点05 概率统计
2025 全国二卷、2024 新课标Ⅱ、
2021 新高考Ⅱ、2020 江苏、2019
全国Ⅰ
1.
新高考近年创新压轴，逐步替
代部分导数压轴位置。
2.
题干情境化，结合体育、生
物、试验等真实背景。
3.
核心考查分布列、期望、递推
型概率，兼顾实际含义解释。
考点01 导数及其应用
1. （2026·全国二卷·高考真题）已知函数
，曲线
在点
处的切线方程为
．
(1)求
，
；
(2)当
时，
，求
的取值范围；
(3)当
时，
，求
的最小值．
2. （2026·天津·高考真题）已知
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，证明
；
(3)求实数
的最大可能值，使得
对任意的
都成立．
3. （2026·北京·高考真题）设函数
，曲线
在点
处的切线
方程为
．
(1)求
，
的值；
(2)求
的极值点个数；
(3)求
与
交点个数．
4. （2026·上海·高考真题）已知函数
.
(1)当
，
，求函数
在
处的切线方程；
(2)若函数
的最小正周期为
，且
在
上恰好有1351 个解，求
的取值范围.
5. （2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数
在区间
的最大值；
（2）给定
和
，证明：存在
使得
；
（3）设
，若存在
使得
对
恒成立，求b 的最小值．
6. （2025·天津·高考真题）已知函数
(1)
时，求
在点
处的切线方程；
(2)
有3 个零点，
且
.
（i）求a 的取值范围；
（ii）证明
．
7. （2025·北京·高考真题）已知函数
的定义域是
，导函数
，设是
曲线
在点
处的切线．
(1)求
的最大值；
(2)当
时，证明：除切点A 外，曲线
在直线的上方；
(3)设过点A 的直线
与直线垂直，，
与x 轴交点的横坐标分别是
，
，若
，求
的
取值范围．
8. （2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
(1)若
，且
，求
的最小值；
(2)证明：曲线
是中心对称图形；
(3)若
当且仅当
，求
的取值范围．
9. （2024·天津·高考真题）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
对任意
成立，求实数
的值；
(3)若
，求证：
．
10. （2024·北京·高考真题）设函数
，直线是曲线
在点
处
的切线．
(1)当
时，求
的单调区间.
(2)求证：不经过点
.
(3)当
时，设点
，
，
，
为与
轴的交点，
与
分别表示
与
的面积．是否存在点
使得
成立？若存在，这样的点
有几个？
（参考数据：
，
，
）
11. （2023·北京·高考真题）设函数
，曲线
在点
处的切线方程为
．
(1)求
的值；
(2)设函数
，求
的单调区间；
(3)求
的极值点个数．
12. （2023·全国乙卷·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程．
(2)若函数
在
单调递增，求
的取值范围．
13. （2023·全国甲卷·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
，求
的取值范围．
14. （2023·全国甲卷·高考真题）已知函数
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
恒成立，求a 的取值范围．
15. （2023·全国乙卷·高考真题）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线
关于直线
对称，若存在，求a，b 的值，若不存在，说明理由.
(3)若
在
存在极值，求a 的取值范围.
16. （2023·天津·高考真题）已知函数
．
(1)求曲线
在
处的切线斜率；
(2)求证：当
时，
；
(3)证明：
．
17. （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（1）证明：当
时，
；
（2）已知函数
，若
是
的极大值点，求a 的取值范围．
18. （2022·天津·高考真题）已知
，函数
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)若曲线
和
有公共点，
（i）当
时，求
的取值范围；
（ii）求证：
．
19. （2022·浙江·高考真题）设函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)已知
，曲线
上不同的三点
处的切线都经过点
．证
明：
（ⅰ）若
，则
；
（ⅱ）若
，则
．
（注：
是自然对数的底数）
20. （2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)当
时，
，求a 的取值范围；
(3)设
，证明：
．
21. （2022·全国乙卷·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，求
的最大值；
(2)若
恰有一个零点，求a 的取值范围．
22. （2022·全国甲卷·高考真题）已知函数
，曲线
在点
处的切
线也是曲线
的切线．
(1)若
，求a；
(2)求a 的取值范围．
23. （2022·全国甲卷·高考真题）已知函数
．
(1)若
，求a 的取值范围；
(2)证明：若
有两个零点
，则
．
24. （2022·全国乙卷·高考真题）已知函数
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
在区间
各恰有一个零点，求a 的取值范围．
25. （2022·北京·高考真题）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)设
，讨论函数
在
上的单调性；
(3)证明：对任意的
，有
．
26. （2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数
和
有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线
，其与两条曲线
和
共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交
点的横坐标成等差数列．
27. （2021·天津·高考真题）已知
，函数
．
（I）求曲线
在点
处的切线方程：
（II）证明
存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得
对任意
成立，求实数b 的取值范围．
28. （2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：
只有一个零点
①
；
②
．
29. （2021·浙江·高考真题）设a，b 为实数，且
，函数
（1）求函数
的单调区间；
（2）若对任意
，函数
有两个不同的零点，求a 的取值范围；
（3）当
时，证明：对任意
，函数
有两个不同的零点
，满足
.
(注：
是自然对数的底数)
30. （2021·全国乙卷·高考真题）设函数
，已知
是函数
的极值点．
（1）求a；
（2）设函数
．证明:
．
31. （2021·全国甲卷·高考真题）已知
且
，函数
．
（1）当
时，求
的单调区间；
（2）若曲线
与直线
有且仅有两个交点，求a 的取值范围．
32. （2021·全国乙卷·高考真题）已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）求曲线
过坐标原点的切线与曲线
的公共点的坐标．
33. （2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数
.
（1）讨论
的单调性；
（2）设
，
为两个不相等的正数，且
，证明：
.
34. （2020·天津·高考真题）已知函数
，
为
的导函数．
（Ⅰ）当
时，
（i）求曲线
在点
处的切线方程；
（ii）求函数
的单调区间和极值；
（Ⅱ）当
时，求证：对任意的
，且
，有
．
35. （2020·浙江·高考真题）已知
，函数
，其中e=2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数
在
上有唯一零点；
（Ⅱ）记x0为函数
在
上的零点，证明：
（ⅰ）
；
（ⅱ）
．
36. （2020·海南·高考真题）已知函数
．
（1）当
时，求曲线
在点
处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式
恒成立，求a 的取值范围．
37. （2020·全国III 卷·高考真题）设函数
，曲线
在点(
，f(
))处的切线与y 轴垂
直．
（1）求b．
（2）若
有一个绝对值不大于1 的零点，证明：
所有零点的绝对值都不大于1．
38. （2020·全国I 卷·高考真题）已知函数
.
（1）当
时，讨论
的单调性；
（2）若
有两个零点，求
的取值范围.
39. （2020·全国I 卷·高考真题）已知函数
.
（1）当a=1 时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0 时，f（x）≥
x3+1，求a 的取值范围.
40. （2020·全国II 卷·高考真题）已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c 的取值范围；
（2）设a>0 时，讨论函数g（x）=
的单调性．
41. （2020·全国II 卷·高考真题）已知函数f(x)=sin2xsin2x.
（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
（2）证明：
；
（3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤
.
42. （2019·江苏·高考真题）设函数
，
为f（x）的导函数．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a 的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和
的零点均在集合
中，求f（x）的极小值；
（3）若
，且f（x）的极大值为M，求证:M≤
．
43. （2019·天津·高考真题）设函数
，其中
.
（Ⅰ）若
，讨论
的单调性；
（Ⅱ）若
，
（i）证明
恰有两个零点
（ii）设
为
的极值点，
为
的零点，且
，证明
.
44. （2019·浙江·高考真题）已知实数
，设函数
（1）当
时，求函数
的单调区间；
（2）对任意
均有
求
的取值范围.
注：
为自然对数的底数.
45. （2019·天津·高考真题）设函数
为
的导函数.
（Ⅰ）求
的单调区间；
（Ⅱ）当
时，证明
；
（Ⅲ）设
为函数
在区间
内的零点，其中
，证明
.
46. （2019·全国I 卷·高考真题）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x [0
∈
，π]时，f（x）≥ax，求a 的取值范围．
已知函数
.
（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线
的切线.
47. （2019·全国I 卷·高考真题）已知函数
，
为
的导数．证明：
（1）
在区间
存在唯一极大值点；
（2）
有且仅有2 个零点．
48. （2018·江苏·高考真题）记
分别为函数
的导函数．若存在
，满足
且
，则称
为函数
与
的一个“ 点”．
（1）证明：函数
与
不存在“ 点”；
（2）若函数
与
存在“ 点”，求实数
的值；
（3）已知函数
，
．对任意
，判断是否存在
，使函数
与
在区
间
内存在“ 点”，并说明理由．
49. （2018·北京·高考真题）设函数
=[
]
．
（1）若曲线
在点（1，
）处的切线与
轴平行，求
；
（2）若
在
处取得极小值，求
的取值范围．
50. （2018·北京·高考真题）设函数
.
（Ⅰ）若曲线
在点
处的切线斜率为0，求a；
（Ⅱ）若
在
处取得极小值，求a 的取值范围.
51. （2018·全国III 卷·高考真题）已知函数
．
（1）若
，证明：当
时，
；当
时，
；
（2）若
是
的极大值点，求
．
52. （2018·全国III 卷·高考真题）已知函数
．
（1）求曲线
在点
处的切线方程；
（2）证明：当
时，
．
53. （2018·浙江·高考真题）已知函数
．
（1）若
在
处导数相等，证明：
；
（2）若
，证明：对于任意
，直线
与曲线
有唯一公共点．
54. （2018·全国I 卷·高考真题）已知函数
．
（1）设
是
的极值点．求
，并求
的单调区间；
（2）证明：当
时，
．
55. （2018·全国II 卷·高考真题）已知函数
．
（1）若
，证明：当
时，
；
（2）若
在
只有一个零点，求
的值.
56. （2018·天津·高考真题）已知函数
，
，其中a>1.
（I）求函数
的单调区间；
（II）若曲线
在点
处的切线与曲线
在点
处的切线平行，证明：
；
（III）证明：当
时，存在直线l，使l 是曲线
的切线，也是曲线
的切线.
57. （2018·全国I 卷·高考真题）已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）若
存在两个极值点
，证明：
．
58. （2018·天津·高考真题）设函数
，其中
,且
是公差为
的等差
数列.
（I）若
求曲线
在点
处的切线方程；
（II）若
，求
的极值；
（III）若曲线
与直线
有三个互异的公共点，求d 的取值范围.
59. （2017·全国III 卷·高考真题）已知函数
．
（1）若
，求a 的值；
（2）设m 为整数，且对于任意正整数n，
，求m 的最小值．
60. （2017·全国I 卷·高考真题）已知函数
（1）讨论
的单调性；
（2）若
有两个零点，求
的取值范围.
61. （2017·天津·高考真题）设
，
.已知函数
，
.
（Ⅰ）求
的单调区间；
（Ⅱ）已知函数
和
的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，
（i）求证：
在
处的导数等于0；
（ii）若关于x 的不等式
在区间
上恒成立，求b 的取值范围.
62. （2017·天津·高考真题）设
，已知定义在R 上的函数
在区间
内
有一个零点
，
为
的导函数.
（Ⅰ）求
的单调区间；
（Ⅱ）设
，函数
，求证：
；
（Ⅲ）求证：存在大于0 的常数
，使得对于任意的正整数
，且
满足
.
63. （2017·山东·高考真题）已知函数
，
，其中
是自然对数的底数.
（Ⅰ）求曲线
在点
处的切线方程；
（Ⅱ）令
，讨论
的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.
64. （2017·浙江·高考真题）已知数列
满足：
，
证明：当
时，
（I）
；
（II）
；
（III）
.
65. （2017·浙江·高考真题）已知函数
（I）求
的导函数
（II）求
在区间
上的取值范围
66. （2017·全国III 卷·高考真题）已知函数
.
（1）讨论
的单调性；
（2）当
时，证明
.
67. （2017·山东·高考真题）已知函数
.
(I)当a=2 时,求曲线
在点
处的切线方程；
(II)设函数
,讨论
的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.
68. （2017·全国II 卷·高考真题）已知函数
且
.
（1）求a；
（2）证明：
存在唯一的极大值点
，且
.
69. （2017·全国II 卷·高考真题）设函数
.
（I）讨论函数
的单调性；
（II）当
时，
，求实数
的取值范围.
70. （2017·江苏·高考真题）已知函数
有极值，且导函数
的极值点
是
的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；
（2）证明：b²>3a;
（3）若
，
这两个函数的所有极值之和不小于
，求a 的取值范围．
考点02 函数及其性质
1. （2026·全国一卷·高考真题）已知函数
的定义域为
，且当
时，
．对任意
，
定义集合
．
(1)若当
时，
，求
；
(2)若
是奇函数，
，且
，证明：
；
(3)设
满足：①若
，则
；②当
时，
．
（i）证明：
；
（ii）证明：
在区间
单调递增．
2. （2026·上海·高考真题）已知
是，
，的一个排列，若函数
，
，
，对任意
，都有
且
，则称
是关于
，
，
的一个
排列，则关于
，
，
的
排列总数记为
．
(1)已知
，
，
，
，判断
是否为
排列；
(2)对
，
，
，
满足条件的
，求
的取值范围；
(3)对
，且对任意
，
，令
，
，
，
，证明：若
严格减，则存在
，使
；若
严格增，则存在
，
．
3. （2026·上海·高考真题）设
是定义在
上的函数.定义性质
：若对任意
，当
时，
，则称函数
具有“性质
”.
(1)判断函数
是否具有“性质
”；
(2)若分段函数
具有“性质
”，求所有满足条件的实数
和
的解；
(3)已知
的值域为
，且在
上是严格增函数，证明：
是偶函数的充要条件是：
具
有“性质
”.
4. （2025·上海·高考真题）已知函数
的定义域为
．对于正实数a，定义集合
．
(1)若
，判断
是否是
中的元素，请说明理由；
(2)若
，求a 的取值范围；
(3)若
是偶函数，当
时，
，且对任意
，均有
．写出
，
解析式，并证明：对任意实数c，函数
在
上至多有9 个零点．
5. （2025·上海·高考真题）已知函数
的定义域是
．对于
，定义集合
．
(1)
，求
；
(2)对于集合
，若对任意
都有
，则称
是对称集．若
是对称集，证明：“函数
是偶
函数”的充要条件是“对任意
，
是对称集”；
(3)若
，
．求
的取值范围，使得对于任意
，都有
．
6. （2024·上海·高考真题）记
(1)若
，求
和
;
(2)若
，求证:对于任意
，都有
，且存在
，使得
.
(3)已知定义在
上
有最小值，求证"
是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数，均有
”.
7. （2024·上海·高考真题）对于一个函数
和一个点
，令
，若
在
时取得最小值的点，则称
是
的“
最近点”.
(1)对于函数
，求证：对于点
，存在点
，使得点
是
的“
最近点”；
(2)对于函数
，
，请判断是否存在一个点
，使它是
的“
最近点”，且直线
与曲线
在点
处的切线垂直？
(3)已知函数
可导，函数
在
上恒成立，对于点
与点
，若对任意实数，均存在点
同时为点
与点
的“
最近点”，说明
的单调
性.
8. （2023·上海·高考真题）设函数
，其中
，若任意
均有
，则称函数
是函数
的控制函数”，且对于所有满足条件的函数
在
处取得的最小值记为
．
(1)若
，试问
是否为
的控制函数”；
(2)若
，使得直线
是曲线
在
处的切线，证明：函数
为函数
的控
制函数，并求“
”的值；
(3)若曲线
在
处的切线过点
，且
，证明：当且仅当
或
时，
．
9. （2022·上海·高考真题）已知函数
，甲变化：
；乙变化：
，
.
(1)若
，
，
经甲变化得到
，求方程
的解；
(2)若
，
经乙变化得到
，求不等式
的解集；
(3)若
在
上单调递增，将
先进行甲变化得到
，再将
进行乙变化得到
；将
先进行乙变化得到
，再将
进行甲变化得到
，若对任意
，总存在
成立，
求证：
在R 上单调递增.
10. （2021·上海·高考真题）已知函数
.
（1）若
，求函数的定义域；
（2）若
，若
有2 个不同实数根，求
的取值范围；
（3）是否存在实数
，使得函数
在定义域内具有单调性？若存在，求出
的取值范围.
11. （2020·江苏·高考真题）已知关于x 的函数
与
在区间D 上恒有
．
（1）若
，求h(x)的表达式；
（2）若
，求k 的取值范围；
（3）若
求
证：
．
12. （2017·上海·高考真题）设定义在
上的函数
满足：对于任意的
、
，当
时，都有
.
（1）若
，求
的取值范围；
（2）若
为周期函数，证明：
是常值函数；
（3）设
恒大于零，
是定义在
上、恒大于零的周期函数，
是
的最大值.
函数
. 证明：“
是周期函数”的充要条件是“
是常值函数”.
考点03 圆锥曲线
1．（2026·全国二卷·高考真题）已知椭圆
：
（
），过E 的右焦点且与
轴垂直的直线被
截得的线段长为
．
(1)求
的离心率．
(2)设
为坐标原点，给定点
，
为
上的点，过
作
轴的垂线，垂足为
，
直线
与直线
的交点为
．当
在
上运动时，点
的轨迹为
．
（ⅰ）求
的方程；
（ⅱ）当为何值时，
有对称中心？当
有对称中心时，将
平移后得到曲线
，使得
为
的对
称中心，说明
是什么曲线.
2．（2026·全国一卷·高考真题）已知椭圆
的左焦点为
，离心率为
．
(1)求
的方程；
(2)设
为坐标原点，过
且斜率大于
的动直线与
交于P，
两点，其中
在第三象限，直线
与
的另一个交点为
．
（i）若
的面积是
的面积的 倍，求的方程；
（ii）求
的最小值．
3．（2026·北京·高考真题）已知椭圆
：
（
）的一个顶点是
，离心率为
．
(1)求
的方程；
(2)过点
，斜率为
的直线交椭圆
于
、
两点，
关于
的对称点为
，
交
于
，若
，求
．
4．（2025·天津·高考真题）已知椭圆
的左焦点为F，右顶点为A，P 为
上一点，
且直线
的斜率为
，
的面积为
，离心率为
.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点P 的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF 平分
.
5．（2025·上海·高考真题）已知椭圆
，
，A 是
的右顶点．
(1)若
的焦点
，求离心率e；
(2)若
，且
上存在一点P，满足
，求m；
(3)已知AM 的中垂线l 的斜率为2，l 与
交于C、D 两点，
为钝角，求a 的取值范围．
6．（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆
的离心率为
，下顶点为A，右顶点
为B，
．
(1)求C 的方程；
(2)已知动点P 不在y 轴上，点R 在射线AP 上，且满足
．
（i）设
，求
的坐标（用m，n 表示）；
（ⅱ）设O 为坐标原点，
是C 上的动点，直线OR 的斜率为直线
的斜率的3 倍，求
的最大值．
7．（2025·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知曲线
，点P、Q 分别为
上不
同的两点，
．
(1)求
所在椭圆的离心率；
(2)若
在y 轴上，若T 到直线
的距离为
，求P 的坐标；
(3)是否存在t，使得
是以T 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求t 的取值范围；若不存在，请
说明理由．
8．（2024·上海·高考真题）已知双曲线
，左、右顶点分别为
，过点
的
直线交双曲线
于
两点.
(1)若
的离心率为2，求
.
(2)若
为等腰三角形，且点
在第一象限，求点
的坐标.
(3)连接
（
为坐标原点）并延长交
于点
，若
，求
的最大值.
9．（2024·全国甲卷·高考真题）已知椭圆
的右焦点为
，点
在
上，且
轴．
(1)求
的方程；
(2)过点
的直线交
于
两点，
为线段
的中点，直线
交直线
于点
，证明：
轴．
10．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线
，点
在
上，
为常数，
．按照如下方式依次构造点
：过
作斜率为
的直线与
的左支交于点
，令
为
关于
轴的对称点，记
的坐标为
.
(1)若
，求
；
(2)证明：数列
是公比为
的等比数列；
(3)设
为
的面积，证明：对任意正整数
，
.
11．（2023·上海·高考真题）曲线
，第一象限内点A 在Γ 上，A 的纵坐标是a．
(1)若A 到准线距离为3，求a；
(2)若a＝4，B 在x 轴上，AB 中点在
上，求点B 坐标和坐标原点O 到AB 距离；
(3)直线
，令P 是第一象限Γ 上异于A 的一点，直线PA 交l 于Q，H 是P 在l 上的投影，若点A 满
足“对于任意P 都有
”，求a 的取值范围．
12．（2023·全国甲卷·高考真题）已知直线
与抛物线
交于
两点，且
．
(1)求
；
(2)设F 为C 的焦点，M，N 为C 上两点，
，求
面积的最小值．
13．（2023·全国乙卷·高考真题）已知椭圆
的离心率是
，点
在
上．
(1)求
的方程；
(2)过点
的直线交
于
两点，直线
与
轴的交点分别为
，证明：线段
的中点为
定点．
14．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）在直角坐标系
中，点
到
轴的距离等于点
到点
的距离，
记动点
的轨迹为
．
(1)求
的方程；
(2)已知矩形
有三个顶点在
上，证明：矩形
的周长大于
．
15．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为
，离心率为
．
(1)求C 的方程；
(2)记C 的左、右顶点分别为
，
，过点
的直线与C 的左支交于M，N 两点，M 在第二象限，直
线
与
交于点P．证明:点
在定直线上.
16．（2022·上海·高考真题）设有椭圆方程
，直线
，
下端点为
A，M 在l 上，左、右焦点分别为
.
(1)
，AM 的中点在x 轴上，求点M 的坐标；
(2)直线l 与y 轴交于B，直线AM 经过右焦点
，在
中有一内角余弦值为
，求b；
(3)在椭圆
上存在一点P 到l 距离为d，使
，随a 的变化，求d 的最小值.
17．（2022·浙江·高考真题）如图，已知椭圆
．设A，B 是椭圆上异于
的两点，且点
在线段
上，直线
分别交直线
于C，D 两点．
(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值；
(2)求
的最小值．
18．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线
的右焦点为
，渐近线
方程为
．
(1)求C 的方程；
(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A，B 两点，点
在C 上，且
．
过P 且斜率为
的直线与过Q 且斜率为
的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另
外一个成立：
①M 在
上；②
；③
．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
19．（2022·全国甲卷·高考真题）设抛物线
的焦点为F，点
，过F 的直线交C 于
M，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，
．
(1)求C 的方程；
(2)设直线
与C 的另一个交点分别为A，B，记直线
的倾斜角分别为
．当
取得最
大值时，求直线AB 的方程．
20．（2022·全国乙卷·高考真题）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过
两点．
(1)求E 的方程；
(2)设过点
的直线交E 于M，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T，点H 满足
．证明：直线HN 过定点．
21．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知点
在双曲线
上，直线l 交C 于
P，Q 两点，直线
的斜率之和为0．
(1)求l 的斜率；
(2)若
，求
的面积．
22．（2022·上海·高考真题）在椭圆
中，直线
上有两点C、D (C 点在第一象限)，左顶
点为A，下顶点为B，右焦点为F.
(1)若∠AFB
，求椭圆
的标准方程；
(2)若点C 的纵坐标为2，点D 的纵坐标为1，则BC 与AD 的交点是否在椭圆上？请说明理由；
(3)已知直线BC 与椭圆
相交于点P，直线AD 与椭圆
相交于点Q，若P 与Q 关于原点对称，求
的
最小值.
23．（2021·天津·高考真题）已知椭圆
的右焦点为
，上顶点为
，离心率为
，
且
．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆有唯一的公共点
，与
轴的正半轴交于点
，过
与
垂直的直线交
轴于点
．
若
，求直线的方程．
24．（2021·浙江·高考真题）如图，已知F 是抛物线
的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的
交点，且
，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F 的直线交抛物线与A､B 两点，斜率为2 的直线l 与直线
，x 轴依次交于点P，
Q，R，N，且
，求直线l 在x 轴上截距的范围.
25．（2021·全国乙卷·高考真题）已知抛物线
的焦点为
，且
与圆
上点的距离的最小值为
．
（1）求
；
（2）若点
在
上，
是
的两条切线，
是切点，求
面积的最大值．
26．（2021·全国甲卷·高考真题）抛物线C 的顶点为坐标原点O．焦点在x 轴上，直线l：
交C 于P，
Q 两点，且
．已知点
，且
与l 相切．
（1）求C，
的方程；
（2）设
是C 上的三个点，直线
，
均与
相切．判断直线
与
的位置关系，并
说明理由．
27．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在平面直角坐标系
中，已知点
、
，点
的轨迹为
.
（1）求
的方程；
（2）设点
在直线
上，过
的两条直线分别交
于
、
两点和
，
两点，且
，
求直线
的斜率与直线
的斜率之和.
28．（2020·上海·高考真题）双曲线
，圆
在第一象限交点为
，曲线
.
（1）若
，求b；
（2）若
，
与x 轴交点记为
，P 是曲线
上一点且在第一象限，并满足
，求∠
；
（3）过点
且斜率为
的直线交曲线
于M、N 两点，用b 的代数式表示
，并求出
的取值范围.
29．（2020·北京·高考真题）已知椭圆
过点
，且
．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程：
（Ⅱ）过点
的直线l 交椭圆C 于点
,直线
分别交直线
于点
．求
的值．
30．（2020·浙江·高考真题）如图，已知椭圆
，抛物线
，点A 是椭圆
与抛物线
的交点，过点A 的直线l 交椭圆
于点B，交抛物线
于M（B，M 不同于A）．
（Ⅰ）若
，求抛物线
的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．
31．（2020·山东·高考真题）已知椭圆C：
的离心率为
，且过点
．
（1）求
的方程：
（2）点
，
在
上，且
，
，
为垂足．证明：存在定点
，使得
为定值．
32．（2020·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆
的左、右焦点分别为F1，
F2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E 相交于另一点B．
（1）求△AF1F2的周长；
（2）在x 轴上任取一点P，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q，求
的最小值；
（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M 的坐标．
33．（2020·全国III 卷·高考真题）已知椭圆
的离心率为
，
，
分别为
的左、
右顶点．
（1）求
的方程；
（2）若点
在
上，点
在直线
上，且
，
，求
的面积．
34．（2020·全国I 卷·高考真题）已知A、B 分别为椭圆E：
（a>1）的左、右顶点，G 为E 的上
顶点，
，P 为直线x=6 上的动点，PA 与E 的另一交点为C，PB 与E 的另一交点为D．
（1）求E 的方程；
（2）证明：直线CD 过定点.
35．（2019·江苏·高考真题）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有
桥AB（AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:
线段PB、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径．已知点A、B 到直线l 的距离分别为AC 和
BD（C、D 为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．
（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；
（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；
（3）对规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d（单位：百米）.求当d 最小时，P、Q 两点间的距离．
36．（2019·江苏·高考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C:
的焦点为F1
（–1、0），F2（1，0）．过F2作x 轴的垂线l，在x 轴的上方，l 与圆F2:
交于点A，与椭
圆C 交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C 于点E，连结DF1．已知DF1=
．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）求点E 的坐标．
37．（2019·全国III 卷·高考真题）已知曲线
为直线
上的动点，过
作
的两条切线，
切点分别为
.
（1）证明：直线
过定点：
（2）若以
为圆心的圆与直线
相切，且切点为线段
的中点，求该圆的方程.
38．（2019·全国III 卷·高考真题）已知曲线C：y=
，D 为直线y=
上的动点，过D 作C 的两条切线，
切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB 过定点：
（2）若以E(0，
)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.
39．（2019·天津·高考真题） 设椭圆
的左焦点为
，左顶点为
，上顶点为B.已知
（
为原点）.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设经过点
且斜率为
的直线与椭圆在
轴上方的交点为
，圆
同时与
轴和直线相切，圆心
在直线
上，且
，求椭圆的方程.
40．（2019·浙江·高考真题）如图，已知点
为抛物线
的焦点，过点
的直线交抛物线
于
两点，点
在抛物线上，使得
的重心
在
轴上，直线
交
轴于点
，且
在点
右侧.
记
的面积为
.
（1）求
的值及抛物线的准线方程；
（2）求
的最小值及此时点
的坐标.
41．（2019·天津·高考真题）设椭圆
的左焦点为
，上顶点为
.已知椭圆的短轴长为
4，离心率为
.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点
在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点
为直线
与
轴的交点，点
在
轴的负半轴
上.若
（
为原点），且
，求直线
的斜率.
42．（2019·全国II 卷·高考真题）已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM 与BM 的斜率之积为−
.记M 的轨迹为曲线C.
（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C 于P，Q 两点，点P 在第一象限，PE⊥x 轴，垂足为E，连结QE 并延长交C
于点G.
（i）证明：
是直角三角形；
（ii）求
面积的最大值.
43．（2019·上海·高考真题）已知抛物线方程
为焦点，
为抛物线准线上一点，
为线段
与
抛物线的交点，定义：
.
（1）当
时，求
；
（2）证明：存在常数
，使得
；
（3）
为抛物线准线上三点，且
，判断
与
的关系.
44．（2018·北京·高考真题）已知抛物线C：
=2px 经过点
（1，2）．过点Q（0，1）的直线l 与抛物
线C 有两个不同的交点A，B，且直线PA 交y 轴于M，直线PB 交y 轴于N．
（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O 为原点，
，
，求证：
为定值．
45．（2018·北京·高考真题）已知椭圆
的离心率为
，焦距为
.斜率为
的直
线与椭圆
有两个不同的交点
、
.
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）若
，求
的最大值；
（Ⅲ）设
，直线
与椭圆
的另一个交点为
，直线
与椭圆
的另一个交点为
.若
、
和点
共线，求
.
46．（2018·全国III 卷·高考真题）已知斜率为
的直线与椭圆
交于
，
两点，线段
的
中点为
．
（1）证明：
；
（2）设
为
的右焦点，
为
上一点,且
．证明：
，
，
成等差数列，并求
该数列的公差．
47．（2018·浙江·高考真题）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C：y2=4x 上存在不同的
两点A，B 满足PA，PB 的中点均在C 上．
（Ⅰ）设AB 中点为M，证明：PM 垂直于y 轴；
（Ⅱ）若P 是半椭圆
上的动点，求△PAB 面积的取值范围．
48．（2018·全国I 卷·高考真题）设椭圆
的右焦点为
，过
的直线与
交于
两点，点
的坐标为
.
（1）当与
轴垂直时，求直线
的方程；
（2）设
为坐标原点，证明：
.
49．（2018·天津·高考真题）设椭圆
的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率
为
，
．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线
与椭圆交于
，
两点，与直线
交于点M，且点P，M 均在第四象限．若
的面积是
面积的2 倍，求
的值．
50．（2017·上海·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆
，
为
的上顶点，
为
上异于
上、下顶点的动点，
为x 正半轴上的动点.
（1）若
在第一象限，且
，求
的坐标；
（2）设
，若以A、P、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；
（3）若
，直线AQ 与
交于另一点C，且
，
，
求直线
的方程.
51．（2017·全国III 卷·高考真题）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l 交C 于A,B 两点，圆M 是以
线段AB 为直径的圆.
（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；
（2）设圆M 过点
，求直线l 与圆M 的方程.
52．（2017·全国I 卷·高考真题）已知椭圆C：
（
），P1（1,1），P2（0,1），P3（–
1，
），P4（1，
）四点中恰有三点在椭圆C 上.
（Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 不经过
点且与C 相交于A，B 两点.若直线
与直线
的斜率的和为
，证明：l 过定
点.
53．（2017·天津·高考真题）已知椭圆
的左焦点为
，右顶点为
，点
的坐
标为
，
的面积为
.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设点
在线段
上，
，延长线段
与椭圆交于点
，点
，
在
轴上，
，
且直线
与直线
间的距离为，四边形
的面积为
.
（i）求直线
的斜率；
（ii）求椭圆的方程.
54．（2017·山东·高考真题）在平面直角坐标系
中，椭圆
：
的离心率为
，
焦距为
.
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）如图，动直线：
交椭圆
于
两点，
是椭圆
上一点，直线
的斜率为
，且
，
是线段
延长线上一点，且
，
的半径为
，
是
的两条
切线，切点分别为
.求
的最大值，并求取得最大值时直线的斜率.
55．（2017·浙江·高考真题）如图，已知抛物线
.点A
，抛物线上的点P（x,y）
,过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q.
（I）求直线AP 斜率的取值范围；
（II）求
的最大值
56．（2017·江苏·高考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆
的左、右焦点
分别为F1，F2，离心率为
，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F1作直线
PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.
（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）若直线l1，l2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标.
考点04 数列
1．（2026·天津·高考真题）已知等差数列
与等比数列
满足：
，
，
，
．
(1)求数列
，
的通项公式；
(2)记
，
，
或
，记
为
中的元素个数．
（i）求
；
（ii）求
．
2．（2026·北京·高考真题）设
是一个
行
列的数阵，且数阵中的每一项
，都等于
或
．若对任意
，
，其中
，
，且
都有
则称数阵
具有性质
．
(1)判断下列两个数表是否具有性质
．
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(2)若
，则具有性质
的数阵A 中的个数最多是多少？
(3)若
，
，且数阵
具有性质
，证明：对任意，
，都有
．
3．（2025·天津·高考真题）已知数列
是等差数列，
是等比数列，
．
(1)求
，
的通项公式；
(2)
，
，有
，
（i）求证：对任意实数
，均有
;
（ii）求
所有元素之和．
4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设m 为正整数，数列
是公差不为0 的等差数列，若从中删
去两项
和
后剩余的
项可被平均分为
组，且每组的4 个数都能构成等差数列，则称数列
是
可分数列．
(1)写出所有的
，
，使数列
是
可分数列；
(2)当
时，证明：数列
是
可分数列；
(3)从
中任取两个数和
，记数列
是
可分数列的概率为
，证明：
．
5．（2024·北京·高考真题）已知集合
．给定数列
，和序
列
，其中
，对数列
进行如下变换：将
的第
项均
加1，其余项不变，得到的数列记作
；将
的第
项均加1，其余项不变，得到数列记作
；……；以此类推，得到
，简记为
．
(1)给定数列
和序列
，写出
；
(2)是否存在序列
，使得
为
，若存在，写出一个符
合条件的
；若不存在，请说明理由；
(3)若数列
的各项均为正整数，且
为偶数，求证：“存在序列
，使得
的各项都相
等”的充要条件为“
”．
6．（2024·天津·高考真题）已知
为公比大于0 的等比数列，其前
项和为
，且
．
(1)求
的通项公式及
；
(2)设数列
满足
，其中
．
（ⅰ）当
时，求证：
；
（ⅱ）求
．
7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线
，点
在
上，
为常数，
．按照如下方式依次构造点
：过
作斜率为
的直线与
的左支交于点
，令
为
关于
轴的对称点，记
的坐标为
.
(1)若
，求
；
(2)证明：数列
是公比为
的等比数列；
(3)设
为
的面积，证明：对任意正整数
，
.
8．（2023·北京·高考真题）已知数列
的项数均为m
，且
的前n
项和分别为
，并规定
．对于
，定义
，
其中，
表示数集M 中最大的数.
(1)若
，求
的值；
(2)若
，且
，求
；
(3)证明：存在
，满足
使得
．
9．（2023·上海·高考真题）令
，取点
过其曲线
作切线交y 轴于
，取点
过其作切线交y 轴于
，若
则停止，以此类推，得到数列
．
(1)若正整数
，证明
；
(2)若正整数
，试比较
与
大小；
(3)若正整数
，是否存在k 使得
依次成等差数列？若存在，求出k 的所有取值，若不存在，试
说明理由．
10．（2023·天津·高考真题）已知
是等差数列，
．
(1)求
的通项公式和
．
(2)设
是等比数列，且对任意的
，当
时，则
，
（Ⅰ）当
时，求证：
；
（Ⅱ）求
的通项公式及前
项和．
11．（2022·天津·高考真题）设
是等差数列，
是等比数列，且
．
(1)求
与
的通项公式；
(2)设
的前n 项和为
，求证：
；
(3)求
．
12．（2022·上海·高考真题）数列
对任意
，且
，均存在正整数
，满足
.
(1)求
可能值；
(2)命题p：若
成等差数列，则
，证明p 为真，同时写出p 逆命题q，并判断命题q 是真是
假，说明理由：
(3)若
成立，求数列
的通项公式.
13．（2022·北京·高考真题）已知
为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的
，在Q 中存在
，使得
，则称Q 为
连续
可表数列．
(1)判断
是否为
连续可表数列？是否为
连续可表数列？说明理由；
(2)若
为
连续可表数列，求证：k 的最小值为4；
(3)若
为
连续可表数列，且
，求证：
．
14．（2021·天津·高考真题）已知
是公差为2 的等差数列，其前8 项和为64．
是公比大于0 的等
比数列，
．
（I）求
和
的通项公式；
（II）记
，
（i）证明
是等比数列；
（ii）证明
15．（2021·北京·高考真题）设p 为实数.若无穷数列
满足如下三个性质，则称
为
数列：
①
，且
；
②
；
③
，
．
（1）如果数列
的前4 项为2，-2，-2，-1，那么
是否可能为
数列？说明理由；
（2）若数列
是
数列，求
；
（3）设数列
的前
项和为
.是否存在
数列
，使得
恒成立？如果存在，求出所有的p；
如果不存在，说明理由．
16．（2021·上海·高考真题）已知数列
满足
，对任意
，
和
中存在一项使其为另一项
与
的等差中项
（1）已知
，
，
，求
的所有可能取值；
（2）已知
，
、
、
为正数，求证：
、
、
成等比数列，并求出公比
；
（3）已知数列中恰有3 项为0，即
，
，且
，
，求
的最
大值.
17．（2020·上海·高考真题）有限数列
，若满足
，
是项数，则称
满足性质
.
（1）判断数列
和
是否具有性质
，请说明理由.
（2）若
，公比为
的等比数列，项数为10，具有性质
，求
的取值范围.
（3）若
是
的一个排列
都具有性质
，求所有满足条件的
.
18．（2020·天津·高考真题）已知
为等差数列，
为等比数列，
．
（Ⅰ）求
和
的通项公式；
（Ⅱ）记
的前
项和为
，求证：
；
（Ⅲ）对任意的正整数
，设
求数列
的前
项和．
19．（2020·北京·高考真题）已知
是无穷数列．给出两个性质：
①对于
中任意两项
，在
中都存在一项
，使
；
②对于
中任意项
，在
中都存在两项
．使得
．
(Ⅰ)若
，判断数列
是否满足性质①，说明理由；
(Ⅱ)若
，判断数列
是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
(Ⅲ)若
是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：
为等比数列.
20．（2020·浙江·高考真题）已知数列
中，
．
（Ⅰ）若数列
为等比数列，且公比
，且
，求q 与{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列
为等差数列，且公差
，证明：
．
21．（2020·江苏·高考真题）已知数列
的首项a1=1，前n 项和为Sn．设λ 与k 是常数，若对一
切正整数n，均有
成立，则称此数列为“λ~k”数列．
（1）若等差数列
是“λ~1”数列，求λ 的值；
（2）若数列
是“
”数列，且an＞0，求数列
的通项公式；
（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列
为“λ~3”数列，且an≥0?若存在，求λ 的取值范围；若
不存在，说明理由，
22．（2019·江苏·高考真题）定义首项为1 且公比为正数的等比数列为“M－数列”.
（1）已知等比数列{an}满足：
，求证:数列{an}为“M－数列”；
（2）已知数列{bn}满足:
，其中Sn 为数列{bn}的前n 项和．
①求数列{bn}的通项公式；
②设m 为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m 时，都有
成立，求m 的
最大值．
23．（2019·天津·高考真题）设
是等差数列，
是等比数列.已知
.
（Ⅰ）求
和
的通项公式；
（Ⅱ）设数列
满足
其中
.
（i）求数列
的通项公式；
（ii）求
.
24．（2019·上海·高考真题）已知等差数列
的公差
，数列
满足
，集合
.
（1）若
，求集合；
（2）若
，求
使得集合恰好有两个元素；
（3）若集合恰好有三个元素：
，
是不超过7 的正整数，求
的所有可能的值.
25．（2018·江苏·高考真题）设
，对1，2，···，n 的一个排列
，如果当s<t 时，有
，则称
是排列
的一个逆序，排列
的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3 的一
个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231 的逆序数为2．记
为1，2，···，n 的所有排列
中逆序数为k 的全部排列的个数．
（1）求
的值；
（2）求
的表达式(用n 表示)．
26．（2018·江苏·高考真题）设
是首项为
，公差为d 的等差数列，
是首项为
，公比为q 的等比
数列．
（1）设
，若
对
均成立，求d 的取值范围；
（2）若
，证明：存在
，使得
对
均成立，并求
的取值范围（用
表示）．
27．（2017·山东·高考真题）已知
是各项均为正数的等比数列，且
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系
中，依次连接点
得到折线
，
求由该折线与直线
，
所围成的区域的面积
.
.
28．（2017·浙江·高考真题）已知数列
满足：
，
证明：当
时，
（I）
；
（II）
；
（III）
.
29．（2017·北京·高考真题）设
和
是两个等差数列，记
，
其中
表示
这个数中最大的数．
（Ⅰ）若
，
，求
的值，并证明
是等差数列；
（Ⅱ）证明：或者对任意正数
，存在正整数
，当
时，
；或者存在正整数
，使得
是等差数列．
30．（2017·江苏·高考真题）对于给定的正整数k,若数列{an}满足
对任意正整数n(n> k) 总成立，则称数列{an} 是“P(k)数列”.
(1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”；
（2）若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列.
在①中，取
，则
，所以
，所以数列
是等差数列.
考点05 概率统计
1．（2025·全国二卷·高考真题）甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1 分，负者得0 分．设每个球
甲胜的概率为
，乙胜的概率为q，
，且各球的胜负相互独立.对正整数
，记
为
打完k 个球后甲比乙至少多得2 分的概率，
为打完k 个球后乙比甲至少多得2 分的概率．
(1)求
（用p 表示）．
(2)若
，求p．
(3)证明：对任意正整数m，
．
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则
如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3 次，若3 次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0 分；若至
少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3 次，每次投篮投中得5 分，未投中
得0 分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为
p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若
，
，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5 分的概率．
(2)假设
，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15 分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
3．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生
物为第0 代，经过一次繁殖后为第1 代，再经过一次繁殖后为第2 代……，该微生物每代繁殖的个数是相
互独立的且有相同的分布列，设X 表示1 个微生物个体繁殖下一代的个数，
．
（1）已知
，求
；
（2）设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于x 的方程：
的一个最小正实根，求证：当
时，
，当
时，
；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
4．（2020·江苏·高考真题）甲口袋中装有2 个黑球和1 个白球，乙口袋中装有3 个白球．现从甲、乙两口
袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2 个黑球的
概率为pn，恰有1 个黑球的概率为qn．
（1）求p1，q1和p2，q2；
（2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用 n 表示) ．
5．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，设点集
，
令
.从集合Mn 中任取两个不同的
点，用随机变量X 表示它们之间的距离.
（1）当n=1 时，求X 的概率分布；
（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n 表示）.
6．（2019·全国I 卷·高考真题）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，
为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一
只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比
另一种药治愈的白鼠多4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：
对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1 分，乙药得
分；若施以乙药
的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1 分，甲药得
分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0 分．
甲、乙两种药的治愈率分别记为α 和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求
的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分，
表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲
药比乙药更有效”的概率，则
，
，
，其中
，
，
．假设
，
．
(i)证明：
为等比数列；
(ii)求
，并根据
的值解释这种试验方案的合理性．
