文档文本内容
专题07 函数与导数
7 大考点概览
考点01 函数的基本性质
考点02 抽象函数
考点03 指对幂函数
考点04 函数的应用
考点05 导数的几何意义
考点06 导数与函数的单调性极值最值
考点07 导数的综合大题
一、单选题
1．（2026·湖南永州·一模）已知函数
若
，则
（ ）
A．3 或1
B．0 或-2
C．0
D．1
2．（2026·湖南邵阳·一模）已知实数
满足
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·湖南永州·一模）若实数
，
，且满足
，则
的最小
值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
4．（2026·湖南永州·一模）已知函数
若
，则
（ ）
A．3 或1
B．0 或
C．0
D．1
考点1
函数的基本性质
5．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数
的值域为
，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026·湖南邵阳·一模）已知函数
，
，则
（ ）
A．是偶函数，且在
单调递增
B．是偶函数，且在
单调递减
C．是奇函数，且在
单调递增
D．是奇函数，且在
单调递减
二、填空题
7．（2026·湖南怀化·一模）已知函数
的两个相邻零点间的距离为
，则
__________.
8．（2026·湖南·模拟预测）函数
的所有零点的和为__________．
一、单选题
1．（2026·湖南怀化·一模）已知定义在
上的函数
满足
，且
，则
（ ）
A．0
B．2
C．3
D．4
2．（2026·湖南岳阳·一模）已知函数
的定义域为
.若
的图象关于点
中心对称，且
，则下列结论一定成立的是（ ）
A．
B．
关于直线
对称
考点2
抽象函数
C．
D．
3．（2026·河南南阳·模拟预测）已知函数
的定义域为
，则“
是奇函数”是
“
是偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（2026·湖南株洲·一模）已知
是奇函数，
是偶函数，其定义域均为
，且
，则
（ ）
A．0
B．2
C．
D．1
5．（2026·河南郑州·模拟预测）已知定义域为
的函数
满足
，且
为奇函数，
则一定有（ ）
A．
B．
C．
D．
一、单选题
1．（2026·湖南·模拟预测）化简
（ ）
A．
B．
C．5
D．3
2．（2026·湖南株洲·一模）有一个正方形，其四个顶点均在曲线
上，则该正方形的面积为
（ ）
A．
B．4
C．
D．8
考点3
指对幂函数
3．（2026·湖南常德·一模）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
4．（2026·湖南邵阳·一模）已知实数
满足
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2026·湖南邵阳·一模）设函数
和
的零点分别为
，其中
．当
时，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026·湖南永州·一模）已知函数
，若
且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
一、单选题
1．（2026·湖南永州·一模）若实数
，且满足
，则
的最小值
为（ ）
A．
B．
C．
D．1
二、多选题
2．（2026·湖南常德·一模）（多选）已知函数
，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数
的最小正周期为
B．函数
的图象关于直线
对称
C．将
的图象向左平移
个单位得到的函数为奇函数
D．函数
与
在
上有两个交点
3．（2026·湖南湘潭·一模）（多选题）定义：当
且
时，
恒成立，
则称
是同号增函数．下列函数是同号增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
4．（2026·湖南·模拟预测）函数
的所有零点的和为__________．
5．（2026·湖南株洲·一模）从集合
中任取两个不同的数a，b 组成一个新的数
考点4
函数的应用
，则的取值范围为___________．
6．（2026·湖南怀化·一模）已知函数
的两个相邻零点间的距离为
，则
__________.
一、多选题
1．（2026·湖南岳阳·一模）已知函数
，则（ ）
A．若
，且曲线
的对称中心为
，则
B．若
，且曲线
的对称中心为
，则
有极值
C．若
，且
，则存在实数
，使得
D．若
且
，直线
是曲线
在对称中心处的切线，定点
满足
，则过点
与曲线
相切的直线有三条
二、填空题
2．（2026·湖南湘潭·一模）若直线
是曲线
的一条切线，则
________．
一、单选题
1．（2026·湖南邵阳·一模）已知实数
满足
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·湖南邵阳·一模）已知函数
，
，则
（ ）
A．是偶函数，且在
单调递增
B．是偶函数，且在
单调递减
考点5
导数的几何意义
考点6
导数与函数的单调性极值最值
C．是奇函数，且在
单调递增
D．是奇函数，且在
单调递减
二、多选题
3．（2026·湖南永州·一模）已知函数
有三个极值点
，若
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·湖南永州·一模）已知函数
有三个极值点
，
，
，若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2026·湖南岳阳·一模）已知函数
，则（ ）
A．若
，且曲线
的对称中心为
，则
B．若
，且曲线
的对称中心为
，则
有极值
C．若
，且
，则存在实数
，使得
D．若
且
，直线
是曲线
在对称中心处的切线，定点
满足
，则过点
与曲线
相切的直线有三条
三、填空题
6．（2026·湖南邵阳·一模）已知函数
（
，
，
），若
在
上恒成立，
则
的最大值为______.
考点7
导数的综合大题
1．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数
．
(1)若
恰有两个零点，求实数
的取值范围；
(2)当
时，证明：
．
2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数
，
是
的导函数.
(1)当
，
时，讨论
的单调性.
(2)是否存在a，b，使得
为
的极值点？若存在，求a，b 满足的条件；若不存在，请说明理由.
(3)若
，
，
为
最小的零点，证明：当
时，
.
3．（2026·湖南怀化·一模）设函数
.
(1)讨论函数
的单调区间；
(2)当
时，函数
的图象上有且仅有2 个点到原点距离为
，求
的取值范围；
(3)函数
的图象上是否存在唯一的一组点
，构成正
多边形，
且
？若存在，请
求出所有满足条件的
以及对应
的值；若不存在，请说明理由.
4．（2026·湖南·模拟预测）已知
．
(1)若
，证明：
恒成立．
(2)令
，且
，
有唯一的正零点
．
（i）求
的取值范围；
（ii）当
时，证明：
．
5．（2026·湖南岳阳·一模）已知实数
，函数
．
(1)当
时，试比较
和
的大小，并说明理由：
(2)若
时，
，求
的取值范围；
(3)设正项数列
的前
项和为
，若
，且
，求证：
．
6．（2026·湖南永州·一模）已知函数
．
(1)讨论
的单调区间；
(2)若
，且当
时，
恒成立，求
的取值范围．
7．（2026·湖南常德·一模）已知函数
，
.
(1)当
，
时，求函数
的单调区间；
(2)若对任意
，
，对
恒成立.
（i）求
的取值范围：
（ii）若
，证明：函数
有且仅有一个极大值点.
8．（2026·湖南永州·一模）已知函数
．
(1)当
时，当
，求
的最小值；
(2)当
时，证明：存在唯一实数
，使得曲线
在点
处的切线与
的图
象有3 个交点；
(3)当
时，将
在区间
上的零点从小到大依次排列，记第
个零点为
，
证明：
．
9．（2026·湖南邵阳·一模）若函数
对任意
，总存在唯一的
，使
成立，则称
是
在区间
上的“
阶和函数”．特别地，当
时，称
为区间
上
的“
阶和函数”．
(1)判断函数
是否为区间
上的“3 阶和函数”；
(2)若函数
是
在区间
上的“2 阶和函数”，求实数
的取值范围；
(3)若函数
为区间
上的“2 阶和函数”，当
时，函数
有两个零点
，证明：
．
10．（2026·湖南湘潭·一模）已知函数
，
．
(1)证明：当
时，
(2)若
是
的极大值点，求
的取值范围．
(3)若
，且
，其中
，证明：
．
11．（2026·湖南株洲·一模）已知函数
．
(1)若函数
图象在点
处的切线与函数
图象在点
处的切线平行，求
的
值；
(2)设
，用表示函数
和
；
(3)求证：
．
