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专题06 带电粒子在电磁场中的运动
3 大考点概览
考点01 静电场
考点02 磁场
考点03 带电粒子在组合场（叠加场）中的运动
一、单选题
1．（2026·湖南岳阳·一模）物理学的发展与完善离不开科学家的探索，也伴随着重要研究思想与方法的确
立。下列对相关物理学史或物理思想方法的描述正确的是（ ）
A．伽利略根据理想斜面实验，提出了力是维持物体运动的原因
B．麦克斯韦电磁理论告诉我们变化的磁场可以产生电场，变化的电场可以产生磁场
C．牛顿通过“月地检验”，发现了月球受到的引力与地面上的重力是不同性质的力
D．点电荷是一种理想模型，当带电体的形状、大小及电荷分布状况对所研究问题影响不可忽略时，可
以将带电体视为点电荷
【答案】B
【详解】A．伽利略通过理想斜面实验，推断出物体在不受力时将保持匀速直线运动（惯性），从而提出
力是改变物体运动状态的原因，而非维持运动的原因，故A 错误。
B．根据麦克斯韦电磁理论，变化的磁场可以产生电场，变化的电场可以产生磁场，故B 正确。
C．牛顿通过“月地检验”，计算月球绕地球运动的向心加速度与地面重力加速度的比例，验证二者均遵
循万有引力定律，表明月球引力与地面重力为同一性质的力，故C 错误。
D．点电荷是理想模型，其适用条件是带电体的形状、大小及电荷分布对所研究问题的影响可忽略，故D
错误。
故选B。
2．（2026·湖南邵阳·一模）真空中有两个点电荷
和
分别固定在
轴上的
和
位置处。在
它们的连线上，电势
与
的关系如图所示，已知点电荷的电势公式为
（其中
为静电力常量，
考点1
静电场
为点电荷电量，为该点到点电荷的距离），
点的坐标为
，取无穷远处电势为零。下列说法正
确的是（ ）
A．两个点电荷为同种电荷
B．图中
对应的位置
C．图中
对应的位置
D．无法计算电荷量为
的试探电荷在
轴任意位置受到的电场力
【答案】B
【详解】A．电势图像在
处趋向正无穷，在
处趋向负无穷，说明
为正电荷，
为负电荷，
二者为异种电荷，A 错误；
B．由图可知，
，结合电势关系
，可得
由图可知，C 点的电场强度为0，即两电荷在C 点产生的电场等大反向，即
解得
，B 正确；
C．B 点电势为零，满足
解得
， C 错误；
D．根据
及电场叠加，可以求得x 轴上某点的电场强度，再利用
可求得试探电荷所受的静
电力，D 错误。
故选B。
3．（2026·湖南常德·一模）真空中电量相等的两异种点电荷连线和一绝缘正方体框架的两侧面
和
中心连线重合，连线中点和立方体中心重合，除两异种电荷Q 产生的电场外，不计其它电场的影
响，则下列说法中正确的是（ ）
A．正方体两顶点A、B 电场强度相同
B．正方体两顶点A、B 电势相同
C．面
是等势面
D．负检验电荷q 从
移到
电势能先减小后增大
【答案】B
【详解】A．由等量异种电荷的电场线分布可知，顶点A、B 电场强度大小相同，方向不同，故A 错误；
B．A、B 两点与正电荷Q 的距离相等，正电荷Q 在A、B 两点产生的电势相等且为正值，同理负电荷Q 在
A、B 两点产生的电势也相等且为负值；电势为标量，根据标量的叠加法则可得A、B 两点电势相同，故B
正确；
C．
、
、
、
四点电势相同，但面不是等势面，电场线不与该面垂直，故C 错误；
D．由等量异种电荷的电势分布可知，
点电势为正值，
点电势为负值，因此负检验电荷q 在
处的电
势能小于
处的电势能；若负检验电荷沿直线
移动，则电势能逐渐增大，若沿其他路径移动，电势能
的变化情况未知，故D 错误。
故选B。
4．（2026·湖南怀化·一模）如图甲，长4L、宽2L 的光滑刚性绝缘矩形框内存在如图乙所示的交变电压，
左边框上a 点开有一小孔。
时，质量m、电荷量Q 的带电粒子（不计重力）以初速度v（未知）从a
点水平射入，然后与上边框碰撞于b 点。假设每次碰撞，粒子平行于边框的速度分量不变，垂直于边框的
速度分量仅反向，电荷量不变。其中a、b 均为中点，m、Q、T、L 均为已知量，则（ ）
A．粒子带正电
B．若粒子
时刻到达b 点，那么粒子有可能与下边框垂直碰撞
C．若粒子
时刻到达b 点，那么粒子无法从a 点射出
D．粒子
时刻到达b 点时的电场强度为粒子
时刻到达b 点时电场强度的4 倍
【答案】D
【详解】A．根据题意可知，t=0 时刻粒子往上做类平抛运动，所受电场力向上；此时上边框为高电势，电
场竖直向下，粒子的受力方向与电场方向相反，故粒子带负电，故A 错误；
B．
时刻到达b 点的粒子，因电场力此时向下，故做斜下抛运动，其速度水平分量不可能为0，故不会
与下边框垂直碰撞，故B 错误；
C．根据题意可知，
时刻粒子在b 点的碰后速度与碰前速度关于上边框对称，结合受力可知其运动轨
迹具有对称性。故粒子最终将从a 点水平向左飞出，故C 错误；
D．根据类平抛运动的规律有
解得
因为时间之比为1 2∶，故电场强度之比为4 1∶，故D 正确。
故选D。
5．（2026·湖南岳阳·一模）如图甲所示，在与竖直平面平行的匀强电场中，有一质量为m=0.4kg，带电量
为q=+0.5C 的小球（可视为质点），小球在半径R=2m 的竖直光滑圆轨道上，从与圆心等高的点A 以初速
度v0沿轨道切线向下运动，恰好能做完整的圆周运动。角度
为小球从A 点起沿运动方向转过的圆心角，
C 点为轨道最低点，已知带电体在运动过程中电势能Ep随角度
的变化图像如图乙所示，电势能的最大值
Ep0=6J，取重力加速度 g=10m/s2。下列判断正确的是（ ）
A．电场强度大小为6N/C，方向水平向右
B．小球在从A 点运动到C 点的过程中机械能先增大后减小
C．小球在运动过程中速度的最大值为10m/s
D．小球在运动过程中对轨道压力的最大值为30N
【答案】D
【详解】A．由电势能变化图像可知，起始位置点A（
）对应电势能最大值为Ep0=6J
结合电势能表达式为
联立解得电场强度大小E=6N/C
结合图像可知，电场强度方向水平向左，故A 错误；
B．从A 点到C 点过程中，电场力做负功，电势能减小，机械能一直增加，故B 错误；
C．建立等效重力场，大小F 合=5N
方向与竖直方向夹角37°斜向左下方，等效重力加速度为
小球恰能做完整圆周运动，则在等效最高点（合力反方向）有最小速度vmin，则有
解得vmin=5m/s
最大速度出现在等效最低点，根据动能定理可得
代入数据解得vmax=5
m/s，故C 错误；
D．在等效最低点，轨道对小球支持力最大，由牛顿第二定律可得
代入数据解得
，故D 正确。
故选D。
二、多选题
6．（2025·湖南永州·一模）静电透镜是利用静电场使电子束会聚或发散的一种装置。如图，一电子在电场
中仅受电场力的作用，实线描绘出了其运动轨迹，虚线表示等势线，各等势线关于
轴对称，
、
、、
分别是轨迹与等势线的交点。已知电子在经过
点时动能为
，各等势线的电势标注在图中，则（
）
A．电子从
运动到，电场力做正功
B．
、
两点的电势和电场强度均相同
C．电子在经过等势线点时的动能为
D．电子从
运动到，电势能逐渐先减小后增大
【答案】AD
【详解】A．由题图可知，点电势高于
点电势，电子带负电，根据
可知，电子从
运动到，电
势能减小，则电场力做正功，故A 正确；
B．根据题图和对称性可知，
、
两点的电势相同，电场强度大小相等，但方向不同，故B 错误；
C．电子在电场中仅受电场力作用，所以电势能与动能之和保持不变，则有
其中
，
，
，可得电子在经过等势线点时的动能为
，故C 错
误；
D．电子从
运动到，电势先增大后减小，根据
可知，电势能逐渐先减小后增大，故D 正确。
故选AD。
7．（2026·湖南永州·二模）如图甲所示，AB 是电场中的一条直线，质子以某一初速度从A 点出发，仅在
静电力作用下沿AB 直线运动到B 点，其速度—时间图像如图乙所示。下列说法正确的是（ ）
A．电场线的方向由A 指向B
B．A、B 两点的电场强度大小相比
C．A、B 两点的电势相比
D．质子由A 点运动到B 点的过程中，静电力做负功
【答案】BD
【详解】B．由图乙可知，质子从A 点到B 点过程，加速度大小逐渐减小，所受电场力逐渐减小，场强逐
渐减小，则有
，故B 正确；
D．质子从A 点到B 点过程，质子的速度逐渐减小，所以静电力做负功，故D 正确；
AC．由于静电力做负功，质子受到的电场力向左，则电场线的方向由B 指向A，根据沿场强方向电势逐渐
降低，可知
，故AC 错误。
故选BD。
8．（2026·湖南长沙·一模）如图甲所示，圆形区域内存在与圆平面平行的匀强电场
（图中未画出），圆
的两条直径
与
间的夹角为
，从
点向圆内不同方向发射速率相同的不计重力的带正电粒子，发
现从圆边界射出的粒子中
点射出的粒子速度最大。以
为坐标原点，沿
方向建立
坐标轴，
点的
坐标为
，
轴上从
到
的电势变化如图乙所示，则（ ）
A．圆边界上
点电势最高
B．电场强度
C．
点的电势为
D．把一电子从
点移到
点电场力做功
【答案】BD
【详解】AB．从D 点射出的粒子速度最大，说明电场力做功最多，粒子沿电场线方向的位移最大，可知电
场强度沿着CD 方向；沿着电场线方向电势逐渐降低，所以圆边界上D 点电势最低。
已知圆半径
则有
解得
，故A 错误，B 正确；
C．因B 点电势为零，
解得
，故C 错误；
D．C、D 间的电势差为
把一电子从D 点移到C 点电场力做功为
，故D 正确。
故选BD。
9．（2026·湖南株洲·一模）如图所示，实线为方向未知的三条电场线，其中一条电场线上依次标有M、
N、Q 点，已知
，一带正电的粒子（重力不计）从O 点以一定的初速度v 进入电场，其运动轨迹
如图中虚线所示，则（ ）
A．M、Q 两点的场强大小关系是
B．M 与N 和N 与Q 间的电势差相等，即
C．在粒子沿图中轨迹运动的过程中，其电势能逐渐增大
D．在粒子沿图中轨迹运动的过程中，其动能逐渐增大
【答案】AD
【详解】A．由电场线疏密程度可知
，故A 正确；
B．由电场线疏密程度可知
，结合
可得
，故B 错误；
CD．由粒子轨迹可知电场力指向轨迹内侧，沿图中轨迹运动的过程中，电场力做正功，动能增加，电势能
减少，故C 错误，D 正确。
故选AD。
一、单选题
1．（2026·湖南·一模）如图所示，有三根垂直于纸面的无限长直导线，其横截面分别位于中心为
点的正
三角形的三个顶点
、
、
上，电流大小分别为
、
和
，方向均垂直纸面向内，
处导线在
点产
生的磁场磁感应强度大小为
，已知无限长直导线在某点产生的磁场磁感应强度大小与电流大小成正比，
则
点处的磁感应强度（ ）
A．大小为
B．大小为
C．方向沿
方向且由
点指向
点
D．方向沿
方向且由
点指向
点
【答案】B
【详解】由题意可知三根通电直导线在正三角形中心O 处产生磁场的磁感应强度大小分别为
、
、
，方向如图所示
考点2
磁场
O 点处的磁感应强度为三者的矢量和，可知三根导线产生的磁场相互之间的夹角
互为120°，合成时可将其等效成磁感应强度大小分别为
、
且方向分别沿
、
方向互成120°的两
个磁场叠加，可得O 点处的磁感应强度大小为
方向沿OB 方向且由O 点指向B 点。
故选B。
二、实验题
2．（2026·湖南怀化·一模）在利用单摆测量重力加速度时，某学习小组为了解环境对测量结果带来的影响，
设计了如下实验，实验装置如1 图所示。
(1)物理量的测量：
①测摆长：用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长为l（从悬点到摆球的最上端），再用螺旋测微器测得
摆球的直径为d。由图2 可知，摆球的直径
________mm；
②测周期：让摆球带上正电并处于匀强磁场中，拉开一个小角度后静止释放。摆球摆动到最低点开始计时
且计数为1，到第n 次经过最低点所用的时间为t，则周期
________。
(2)已知：磁感应强度为B，磁场方向平行水平桌面，且与摆球速度方向垂直，带电摆球电荷量为q，摆球
到达最低点时的速度为v，则相邻两次经过最低点时，摆绳的拉力差大小
________。
(3)若该小组其他操作都正确，并由此计算当地的重力加速度，
________（用物理量l、d、T 表示）；
相比没有磁场的情况，该实验的测量结果________（选填“偏大”“偏小”或“不变”）。
【答案】(1) 5.980/5.981/5.979
(2)2qvB
(3)
不变
【详解】（1）①[1]从图2 可知，摆球的直径为
②[2]实验中，单摆的周期为
（2）根据向心力表达式，且洛伦兹力不做功，得
，
联立解得
（3）[1]由单摆周期公式
，解得
[2]由于洛伦兹力始终沿绳方向，不改变周期，故重力加速度g 与无磁场时相同，故不变。
三、解答题
3．（2026·湖南怀化·一模）如图所示，位于x 轴上的离子源P 可发射质量为m、电荷量为q 的正离子，其
速度方向沿x 轴正方向，速度大小范围为
，在坐标轴第一象限以及x 轴正半轴存在垂直纸面向里，
磁感应强度大小为
的匀强磁场。离子从O 点（坐标原点）垂直y 轴并垂直磁场射入磁场区域，最后打到
y 轴上。假设经磁场偏转后每秒打在y 轴的离子总数为
，离子重力不计，不考虑离子之间相互作用力以
及电荷量的变化。
(1)求离子束从y 轴射出磁场时离O 点最远距离；
(2)若在y 轴上
区间竖直固定放置一很薄的探测板，打在板上的离子
被吸收，
被反向
弹回，弹回速度大小为打板前速度大小的0.5 倍，被吸收和被弹回的离子数在探测板上沿y 轴均匀分布，
求探测板受到的平均作用力大小；
(3)若第一、二象限仅部分区域存在匀强磁场，磁感应强度大小为
，请你设计磁场区域的形状，使所有离
子从O 点开始进入磁场且经过磁场偏转后都可以回到P 点，若
，请画出磁场大致形状并计算磁
场最小面积。
【答案】(1)
(2)
(3)图见解析，
【详解】（1）初速度越大离子束从y 轴射出磁场时离O 点越远，对于初速度为
的离子，在磁场中洛伦
兹力提供向心力
解得半径
故离子束从y 轴射出磁场时离O 点最远距离
（2）离子打在y 轴上的区间为
，则每秒打在探测板上的离子数为
对打在探测板最下端的离子，轨道半径为a，则离子在磁场中
，计算可得
对打在探测板最上端的离子，速度
打到y 轴上的离子均匀分布，所以打在探测板上的离子的平均速度为
被吸收和被弹回的离子数在探测板上沿y 轴均匀分布，由动量定理可得
解得单位时间内探测板受到的平均作用力
（3）由于
，如图所示
曲线1 为速度最大值时对应的轨迹，曲线2 为速度为v 时对应的一般轨迹，假设出射点为A。由于
与
全等，所以
所有出射点连接起来为圆弧，所以满足题意可设计如下图所示
则磁场最小面积为
解得
一、单选题
考点3
带电粒子在组合场（叠加场）中的运动
1．（2025·湖南长沙·一模）如图所示，空间中存在水平向右的匀强磁场，磁感应强度大小为
。某处点
有电子射出，电子的初速度大小均为，初速度方向呈圆锥形，且均与磁场方向成
角（
），
点右侧有一与磁场垂直的足够大的荧光屏，电子打在荧光屏上的位置会出现亮斑。若从左向右缓慢移动
荧光屏，可以看到大小变化的圆形亮斑（最小为点状亮斑），不考虑其他因素的影响，下列说法正确的是
（ ）
A．若圆形亮斑的最大半径为
，则电子的比荷为
B．若圆形亮斑的最大半径为
，则电子的比荷为
C．若荧光屏上出现点状亮斑时，到屏的距离为
，则电子的比荷可能为
D．若荧光屏上出现点状亮斑时，到屏的距离为
，则电子的比荷可能为
【答案】C
【详解】AB．将电子的速度分解为水平方向的速度
，和竖直方向的速度
，即
，
在水平方向因为速度与磁场方向平行，所以不会受到洛伦兹力，即电子在水平方向做匀速直线运动；在竖
直方向因为速度与磁场方向垂直，所以在竖直方向粒子做匀速圆周运动。综上所述，可以将其看成水平方
向的匀速直线，与竖直方向的粒子源问题，即电子打在屏上形成圆形亮斑的最大半径
是电子轨迹半径
的2 倍，即
，又
解得
，故AB 错误；
CD．设电子到达荧光屏的时间为，有
可得
电子在竖直方向做圆周运动的周期为
若荧光屏上出现点状亮斑，即电子到达荧光屏上时，恰好在竖直方向做圆周运动的周期的整数倍，有
（
，
，
）
解得
（
，
，
）
当
时，电子的比荷为
当
时，电子的比荷为
故C 正确，D 错误。
故选C。
二、多选题
2．（2026·湖南长沙·一模）如图，真空中两个足够大的平行金属板
、
水平固定，间距为
，
板接
地，其形成的电容器电容为
。
板上方整个区域存在垂直纸面向里的匀强磁场。
板
点处正上方
点有一粒子源，可沿纸面内任意方向发射质量均为
、电荷量均为
、速度大小均为
的同种带电粒子。
当发射方向与
的夹角
时，粒子恰好垂直穿过
板
点处的小孔。已知
，初始时两板均
不带电，粒子碰到金属板后立即被吸收，电荷在金属板上均匀分布，金属板电量可视为连续变化，不计金
属板厚度、粒子重力及粒子间的相互作用，忽略边缘效应及极板之外区域的电场。下列说法正确的是（
）
A．磁场的磁感应强度
B．
板上吸收粒子数目的最大值为
C．在系统达到稳定后，将
板瞬间下移
，系统再次稳定后，
板最终吸收的粒子数为
，能打
到
板下表面的粒子的落点位置离
点距离为
D．在系统达到稳定后，将
板瞬间上移
，系统再次稳定后，
板最终吸收的粒子数为
，能打
到
板下表面的粒子落点位置离
点距离为
【答案】ACD
【详解】A．粒子轨迹如图所示，由几何关系可知，
，又
，故
，故A 正确；
B．随着粒子不断打到N 极板上，N 极板带电量不断增加，两板间电压不断增加，且后进入粒子做减速运
动，
当某一粒子到达N 极板时速度恰好减为零，即满足
又
解得
，故B 错误；
C．若在系统达到稳定后，即垂直M 板进入的后续粒子均不能到达N 板，
将极板间距变为
后，由于这一瞬间电场强度不变，故后续粒子仍在到达距离Q 点为d 的位置即减速为
零并反向返回，
故最终N 板上吸收的粒子数不变，仍为
但两板间电压变为原来的2 倍，即
且因金属板厚度不计，当粒子在磁场中运动轨迹的弦长仍为PQ 长度时，粒子仍可从Q 点进入两板之间，
由几何关系可知此时粒子从P 点沿正上方运动，进入两板间时的速度方向与M 板夹角为
此后在两板间做类斜上抛运动，运动时间
其中
故落在M 板下表面时，距Q 点距离为
又粒子
解得
，故C 正确；
D．若在系统达到稳定后，即后续粒子均不能到达N 板。
将极板间距瞬间变为0.5d，则这一瞬间电场强度不变，故后续粒子将会打到N 板上，故电荷量会增加，
由
知最终U 不变，
又由
得
可知，由于d 变为原来的一半，则Q 变为原来的两倍，
故
后续垂直进入的粒子仍从Q 点射出，但从P 点沿正上方运动仍能到达Q，且粒子的速度方向与M 板夹角仍
为
则在两板间运动时间
其中
故
，故D 正确。
故选ACD。
三、解答题
3．（2025·湖南永州·一模）如图所示，在平面直角坐标系
的第二象限内有半径
的圆形区域，圆
与
轴相切于
点，
点坐标
，
，圆形区域内存在磁感应强度大小
、方向垂直
纸面向外的匀强磁场。
点处有一粒子源，有大量质量
，电荷量
的粒子以相
同的速率
在
平面内沿不同方向从
点射入磁场，不考虑粒子间的相互作用，不计粒子
的重力。在匀强磁场的右侧存在一有界匀强电场，电场强度大小
、方向沿
轴负方向，电
场左边界为
轴，右边界与
轴的距离
。求：
(1)若某个粒子从
点沿
轴正方向射入磁场，则该粒子离开磁场的位置坐标；
(2)射入磁场时速度方向与
轴正方向成
的粒子在磁场中运动的时间（结果可用
表示）；
(3)若某个粒子经磁场与电场的偏转能通过电场右边界与
轴的交点
，求该粒子从
点运动到
点的总时
间（结果可用
表示）。
【答案】(1)（
，
）
(2)
(3)
【详解】（1）由洛伦兹力提供向心力得
可得
设粒子从
点沿
轴正方向射入磁场时，离开磁场的位置坐标为（
，
），则有
，
可知粒子离开磁场的位置坐标为（
，
）。
（2）设射入磁场时速度方向与
轴正方向成
的微粒从
点射出，其轨迹如图所示
由几何关系可得轨迹对应的圆心角
则粒子在磁场中的运动时间为
解得
（3）要使粒子经过
点，
轴方向有
轴方向有
，
联立解得
，
该粒子在磁场中的运动轨迹如图所示
由几何关系可知
，
可得
轨迹对应的圆心角为
则粒子在磁场中的运动时间为
粒子在磁场与电场之间的运动时间为
则粒子从
点运动到
点的总时间
4．（2025·湖南·一模）如图甲所示，一个质量为m，电荷量为
的带电粒子（重力忽略不计），从静止开
始经电压
加速后，沿水平方向进入两等大的水平放置的平行金属板间偏转，金属板长以及间距均为l，
偏转电压
为加速电压
的2 倍。
(1)求带电粒子离开偏转电场时的速度大小；
(2)粒子离开偏转电场后接着从P 点进入一个按图乙规律变化的有界磁场中，磁场左右边线在竖直方向上，
已知磁感应强度的大小为
，取粒子刚进入磁场时为
时刻，此时磁场方向垂直于纸面向里，当粒子离
开磁场的右边缘后恰好从水平线PQ 的Q 点射出，求该磁场的变化周期T 及磁场的宽度s。
【答案】(1)
(2)
；
【详解】（1）在加速电场中
在偏转电场中
，
，
解得
粒子的偏转角
离开偏转电场时的速度大小为
解得
（2）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动
，
由几何关系可知，轨迹呈周期性，每段圆弧轨迹对应的圆心角均为90°，磁场的变化周期为
磁场的宽度为
5．（2025·湖南·一模）如图所示的平面直角坐标系xOy 中，第二象限内有沿y 轴负方向的匀强电场，第四
象限内存在垂直纸面向里的有界匀强磁场，磁场边界分别为x 轴、MN 和y 轴，M、N 两点的坐标分别为
（L，0）、（0，
）。一质量为m、电荷量为+q（q>0）的带电粒子从第二象限的A 点沿x 轴正方向
以初速度v0射出，A 点坐标为（
，
），粒子恰好从坐标原点O 进入第四象限，之后粒子从MN 上
的P 点（图中未标出）进入磁场，经磁场偏转后从x 轴上的Q 点（图中未标出）垂直于x 轴射出磁场，不
计粒子重力。求：
(1)匀强电场的电场强度大小E 和匀强磁场的磁感应强度大小B。
(2)粒子从A 点运动到Q 点所用的时间t。
【答案】(1)
，
(2)
【详解】（1）粒子的轨迹如图所示，在电场中做类平抛运动
则有
，
又
联立解得
，
，
粒子运动到O 点速度与x 轴正方向的夹角正切
，即
粒子运动到O 点的速度
在磁场区域，根据几何关系可得
又洛伦兹力提供向心力，有
解得
（2）由几何关系可知，从O 点到磁场之间，粒子运动的位移为L，则运动的时间
在磁场中，粒子运动的周期
则运动的时间
粒子从A 点运动到Q 点所用的时间
6．（2025·湖南·一模）带电粒子沿金属板A、B 的中心轴线进入偏转电压为U（大小未知）的偏转电场，
偏转电场可看作匀强电场。以金属板A、B 的中心轴线为x 轴，金属板A、B 的右边界为y 轴建立平面直角
坐标系，在第一象限内存在磁场为非匀强磁场，方向垂直纸面向里，磁感应强度大小随y 轴方向均匀增大，
关系为
，速度为
的带电粒子恰好从金属板的右边缘P 点射入磁场。已知金属板A、B 间的距离
为2d、长度为
，带电粒子质量为m、电荷量为-q，不计带电粒子的重力。
(1)求偏转电压U 的大小；
(2)若粒子以大小为
的速度从P 点与y 轴成
方向射入磁场，求粒子从P 点运动到速度与竖直
方向成
的过程中运动轨迹与x 轴围成的面积
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）粒子在偏转电场中做类平抛运动，沿x 轴方向做匀速直线运动，其运动时间
已知金属板长度
，所以
沿y 轴方向做初速度为0 的匀加速直线运动，加速度
又因为
所以
粒子在y 轴方向的位移
根据
可得
进行化简
（2）设粒子在x 轴方向上的分速度为
，在y 轴方向上以向上为正方向，根据动量定理有
整理可得
其中
并代入磁感应强度的值，即
又运动轨迹与x 轴围成的面积S 为
联立解得
。
7．（2026·湖南邵阳·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 的第一、二象限内有场强大小均为
的匀强电场，
第一象限沿
轴负方向，第二象限沿
轴负方向，在
区域有垂直于坐标平面向里的匀强磁场。第一象
限内有一段线状粒子源
，能无初速度释放质量均为
，电荷量为
的粒子。
、
两点的横坐标分别
为
，
。所有粒子均能经过
轴上一点
后进入磁场区域，从
点释放的粒子第二次经过
轴时恰好通过原点。在
轴上放置一块粒子收集板，收集经磁场运动后返回
轴的粒子，不计粒子重力。
(1)求粒子源
满足的方程；
(2)求匀强磁场的磁感应强度
；
(3)为了能收集所有粒子，求粒子收集板沿
轴的最小长度。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设粒子源上某点
处释放的粒子垂直于y 轴进入第二象限时速度为
， 有
进入第二象限后做类平抛运动经时间经过点
，则
，
，
得
（2）由（1）知
点的坐标为
，设粒子进入磁场时速度为
，与
轴负方向成
角。
则水平分速度满足
竖直分速度满足
，
，
得
，
设该粒子在磁场中轨道半径为
，则
，
解得
（3）若从粒子源AC 上
处释放的粒子，进入磁场速度为
， 水平分速度为
， 竖直分速度为
，
则
，
粒子进入磁场时速度与
轴负方向成
角，在磁场中的轨道半径为，
解得
设轨迹圆与
轴相交的弦长为
，则
，
，
解得
当
时，
取得最小值
故粒子收集板的最小长度
解得
8．（2026·湖南岳阳·一模）有一粒子源位于边长为2L 的正方体空间内的几何中心O，能够向水平各个方
向发射速度大小均为
。质量为m，电荷量为+q 的相同带电粒子，忽略粒子重力及粒子间相互作用。求：
(1)若只加竖直向下的匀强电场，为使垂直于平面ABCD 射出的粒子能打在F 点，求所加电场的场强E 的大
小；
(2)若只加竖直向下的匀强磁场，磁感应强度
，粒子运动到正方体侧面的最短时间t；
(3)当所加竖直向下的匀强电场
时，再在竖直方向加一竖直向下的匀强磁场，使所有粒子都能汇
聚于正方体底面的中心O1，求所加磁场的磁感应强度B2。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）粒子水平方向匀速直线运动
竖直向下做匀加速直线运动
，其中
解得：
（2）粒子在水平面内做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律
解得
，周期
粒子从O 点运动到侧面的最短时间，对应圆周运动中从O 点到侧面垂足P 的最短弦长，由几何关系可知，
弦长OP=L，圆心角
最短时间
。
（3）同时加上电场和磁场，粒子运动可以分解为竖直向下的匀加速直线运动，水平方向的匀速圆周运动。
水平方向洛伦兹力提供向心力
周期
竖直向下匀加速运动
，
联立解得
9．（2026·湖南常德·一模）如图甲所示，y 轴左侧有两块带等量异种电荷的水平平行金属板，y 轴右侧有交
替变化的匀强磁场，x 轴在平行金属板的中心线上。一个质量为m，电荷量为
的带电粒子（重力不计），
以初速度
从金属板左端中心线沿
方向进入，恰好能从金属板下边缘P 点飞出并进入磁场。以粒子进
入磁场为0 时刻，在
时刻粒子第一次经过x 轴。已知两金属板间距为d，板长为板间距的
倍，磁场取
垂直纸面向里为正方向，乙图中
，T 未知，不考虑磁场变化引起的感生电场，计算结果用
、d
和常量表示。
(1)求粒子在P 点的速度大小v；
(2)若粒子在
时刻恰到磁场右边界，求磁场的右边界到y 轴之间的宽度s；
(3)若磁场宽度s 不确定，但粒子出右边界时速度都是沿
方向，求粒子在磁场中运动时间t 的可能值。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设P 点速度与水平方向夹角为
，将P 点速度反向延长，有
得
可得
（2）若粒子在
时刻恰到磁场右边界，在磁场中
将
代入得
则圆心恰在x 轴上，宽度
（3）第一次经过x 轴时速度方向沿
方向，时间
之后每经过
速度方向均沿
方向，故
