文档文本内容
专题52 带电粒子在复合场中的运动
模型一 带电粒子在组合场中的运动.................................................................................................2
考向一 由磁场进入电场............................................................................................................. 3
考向二 由电场进入磁场............................................................................................................. 8
模型二 带电粒子(体)在叠加场中的运动........................................................................................13
考向一 直线运动.......................................................................................................................14
考向二 曲线运动.......................................................................................................................18
课时精练............................................................................................................................................. 23
【基础回顾】
带电粒子在组合场中的运动
1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，一般为两场相邻或在同一
区域电场、磁场交替出现。
2．四种常见的运动模型
(1)带电粒子先在电场中做匀加速直线运动，然后垂直进入磁场做圆周运动，如图所示。
(2)带电粒子先在电场中做类平抛运动，然后垂直进入磁场做圆周运动，如图所示。
(3)带电粒子先在磁场中做圆周运动，然后垂直进入电场做类平抛运动，如图所示。
(4)带电粒子先在磁场Ⅰ中做圆周运动，然后垂直进入磁场Ⅱ做圆周运动，如图所示。
3．三种常用的解题方法
(1)带电粒子在电场中做加速运动，根据动能定理求速度。
(2)带电粒子在电场中做类平抛运动，需要用运动的合成和分解处理。
(3)带电粒子在磁场中的圆周运动，可以根据磁场边界条件，画出粒子轨迹，用几何知
识确定半径，然后用洛伦兹力提供向心力和圆周运动知识求解。
4．要正确进行受力分析，确定带电粒子的运动状态。
(1)仅在电场中运动
①若初速度v0与电场线平行，粒子做匀变速直线运动；
②若初速度v0与电场线垂直，粒子做类平抛运动。
(2)仅在磁场中运动
①若初速度v0与磁感线平行，粒子做匀速直线运动；
②若初速度v0与磁感线垂直，粒子做匀速圆周运动。
5．分析带电粒子的运动过程，画出运动轨迹是解题的关键。
特别提醒 从一个场射出的末速度是进入另一个场的初速度，因此两场界面处的速度
(大小和方向)是联系两个运动的桥梁，求解速度是重中之重。
模型一 带电粒子在组合场中的运动
1．组合场
电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，电场、磁场交替出现。
2．“磁偏转”和“电偏转”的比较
电偏转
磁偏转
偏转条件
带电粒子以v⊥E 进入匀强电场
带电粒子以v⊥B 进入匀强磁场
示意图
受力情况
只受恒定的静电力
只受大小恒定的洛伦兹力
运动情况
类平抛运动
匀速圆周运动
运动轨迹
抛物线
圆弧
物理规律
类平抛运动规律、牛顿第二定
律
牛顿第二定律、向心力公式
基本公式
L＝vt，y＝at2，
a＝，tan θ＝
qvB＝，r＝，
T＝，t＝，
sin θ＝
做功情况
静电力既改变速度方向，也改
变速度大小，对电荷做功
洛伦兹力只改变速度方向，不改变
速度大小，对电荷永不做功
3.常见粒子的运动及解题方法
考向一 由磁场进入电场
1．如图所示，在坐标系xOy 内有一半径为a 的圆形区域，圆心为原点O，圆内分布有垂直纸面向
里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。在直线y＝a 的上方有一沿y 轴负方向的矩形匀强电场
区域，场强大小为E。在x＝﹣a 处的A 点有一粒子源，粒子源以某一相同速率垂直于磁场方向
朝圆形磁场内持续不断地发射质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子。已知发射出去的所有粒
子在第一次离开圆形磁场后，在电场的作用下又回到圆形磁场，之后均从x＝a 处的C 点第二次
飞出圆形磁场。整个过程中不计粒子重力，不考虑粒子间的相互作用，下列说法正确的是（
）
A．粒子进入磁场的初速度为qBa
2m
B．矩形匀强电场区域的最小面积为q B
2a
3
2mE
C．粒子从A 点运动到C 点的最短时间为πm
qB + 2Ba
E
D．粒子从A 点运动到C 点的整个过程中，洛伦兹力对所有粒子的冲量大小都为πqBa
2．如图所示，水平虚线上方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，下方区域有竖直向上的匀强电场。
质量为m、电荷量为+q 的粒子从磁场中的a 点以速度v0向右水平发射，当粒子进入电场时其速
度沿右下方向并与水平虚线的夹角为60°，然后粒子又射出电场重新进入磁场并通过右侧b 点，
通过b 点时其速度方向水平向右。a、b 距水平虚线的距离均为h，两点之间的距离为s=3 ❑√3h，
不计粒子重力，则下列说法正确的是（ ）
A．磁感应强度大小为mv0
qh
B．电场强度大小为mv0
2
2qh
C．电场强度大小减半，粒子仍能从b 点射出
D．磁感应强度大小加倍，粒子仍能从b 点射出
3．如图所示，平面直角坐标系内，以O1（0，R）为圆心、半径为R 的圆形区域内有垂直于坐标
平面向外的匀强磁场Ⅰ，磁场的磁感应强度大小为B，在第三、四象限内，平行y 轴、垂直纸
面的平面M、N 间有沿y 轴负方向的匀强磁场Ⅱ，M、N 到y 轴的距离均为R。在圆形磁场边
界上P 点沿x 轴正方向射出一个质量为m、电荷量为q 的带正电的粒子，粒子经磁场Ⅰ偏转后
刚好从坐标原点O 进入磁场Ⅱ，P 点到x 轴的距离为1.5R，不计粒子的重力，要使粒子不从
M、N 面射出磁场，磁场Ⅱ的磁感应强度大小至少为（ ）
A．
❑√2B
2
B．B
2
C．
❑√3 B
2
D．
❑√3 B
3
4．电磁场可以控制带电粒子的运动。在直角坐标系第一象限内有平行于坐标平面的匀强电场（图
中未画出），在第二象限内有垂直坐标平面向外的匀强磁场。一个质量为m、电荷量为q（q＞
0）的带电粒子，在M 点沿y 轴正方向以速度v0进入磁场，通过y 轴上的N 点后进入电场，运
动轨迹与x 轴交于P 点，并且过P 点时速度大小仍为v0。已知M、N、P 三点到O 点的距离分
别为L、❑√3 L和3L，不计粒子重力，下列说法不正确的是（ ）
A．匀强磁场的磁感应强度大小为mv0
qL
B．粒子过N 点时速度方向与y 轴正方向的夹角为60°
C．电场强度大小为m v0
2
4 qL
D．粒子运动过程中最小速度为1
2 v0
5．如图所示，空间电、磁场分界线与电场方向呈45°角，分界面一侧为垂直纸面向里的匀强磁场，
磁感应强度为B0，另一侧为平行纸面向上的匀强电场。一带电荷量为+q、质量为m 的粒子从P
点以v0的速度沿垂直电场和磁场的方向射入磁场，一段时间后，粒子恰好又回到P 点。（场区
足够大，不计粒子重力）则下列选项中不正确的是（ ）
A．当粒子第一次进入电场时，速度与分界线所成的锐角为45°
B．当粒子第二次进入电场时，到P 点的距离为2❑√2m v0
q B0
C．电场强度大小为B0v0
D．粒子回到P 点所用的总时间为(2π +2)m
q B0
6．在如图所示的坐标系中，第一象限内存在与y 轴平行的匀强电场，电场强度大小为E；第二象
限内存在垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场。P、Q 两点在x 轴上，一带电粒
子（不计重力）从P 点以垂直于x 轴的速度v0向上射入第二象限，经磁场偏转后，粒子垂直于
y 轴进入第一象限，恰好经过x 轴上的Q 点，Q 点到原点的距离是P 点到原点距离的2 倍。则
（ ）
A．第一象限内的电场方向竖直向下
B．粒子在P、Q 两点的速度大小之比为1：❑√2
C．粒子在磁场中与在电场中运动的时间之比为π：2
D．电场强度和磁感应强度的大小之比为v0：❑√2
7．（多选）如图所示，平面直角坐标系xOy，第一象限内存在沿y 轴负方向的匀强电场，电场强
度为25
3
V/m，第二象限内存在一半径为0.25m 的圆形磁场区域，磁感应强度为B＝5×10﹣3T，
方向垂直于纸面向外，圆形磁场与y 轴相切于P 点，P 点的坐标为（0，5m）。x 轴上在[﹣
0.375，0]区间内一束带正电的粒子沿y 轴正向以6×104m/s 的速度射入圆形磁场，已知带电粒子
比荷4.8×107C/kg，不计粒子重力和粒子间相互作用。则带电粒子（ ）
A．经磁场偏转后都经过P 点进入第一象限
B．到达x 轴时，与坐标原点的最小距离为3❑√10m
C．到达x 轴时，与坐标原点的最大距离为9+3 ❑√29
2
m
D．进入电场的速度与y 轴正向夹角的正切值为
❑√19
3
时粒子到达x 轴的距离最大
8．（多选）如图所示，虚线GH 的直线方程为y＝d，在GH 与x 轴之间的区域，y 轴右侧存在垂
直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，y 轴左侧存在沿y 轴负方向的匀强电场；在GH
上方为另一个匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外。现有一个质量为m，电荷量为﹣q（q＞
0）的粒子，从O 点沿x 轴正方向射出，途经GH 上的Q（2d，d）点，粒子运动到第二象限经
过GH 后在电场中偏转，经过O 点时速度方向沿x 轴正方向。不计粒子重力。sin37°＝0.6，
cos37°＝0.8，则（ ）
A．粒子从O 点射出时的初速度大小为5qdB
m
B．匀强电场的电场强度大小为2qd B
2
m
C．GH 上方匀强磁场的磁感应强度大小为8
7 B
D．粒子从O 点射出到第一次回到O 点所经历的时间为(367 π +120)m
240 Bq
9．（多选）如图所示的直角坐标系Oxy 中，以O 为圆心、R 为半径的圆内存在垂直纸面向外的匀
强磁场，磁感应强度为B；在x＞R 的区域内存在水平向左的匀强电场，电场强度大小为E。在
圆与y 轴负半轴的交点A 处有一粒子源，t＝0 时刻粒子源向圆内各个方向同时发射若干速度相
同的带正电粒子，粒子经磁场偏转后均平行x 轴第一次离开磁场，已知粒子的质量为m，电荷
量为q，不考虑粒子间的相互作用，则（ ）
A．带正电粒子进入匀强磁场时速度的大小为BqR
m
B．带电粒子在电场中运动的时间为BR
E
C．带电粒子在电场中运动的最大位移为q B
2 R
2
2mE
D．最先第二次离开磁场的粒子从发射到第二次离开磁场所经历的时间为πm
Bq + 2BR
E
10．如图，在xoy 坐标系所在的平面内，第一象限内有垂直纸面向外的匀强磁场，第二象限内有
沿y 轴正方向的匀强电场，场强大小为E，一质量为m 电荷量为q 的带电粒子从x 轴上的
P(❑√3 L，0)点以速度v 沿与x 轴正方向成60°角的方向射入磁场，恰好从Q 点（图中未画
出）垂直于y 轴射出磁场进入电场，不计粒子重力，求：
（1）判断带电粒子的电性；
（2）粒子在磁场中的运动半径r；
（3）磁感应强度B 的大小；
（4）粒子从P 点射入到穿出电场的时间t。
考向二 由电场进入磁场
1．如图，在xOy 平面的第一、二象限有沿y 轴负方向的匀强电场，在第三、四象限有垂直于xOy
平面向外的匀强磁场。质量为m、电荷量为q 的粒子从y 轴上的P 点以v0的初速度沿x 轴正方
向射出，并从x 轴上的Q 点进入磁场区域，一段时间后粒子恰能回到P 点。已知P 点的坐标为
（0，L），Q 点的坐标为（2L，0），不计粒子重力。则（ ）
A．匀强电场的电场强度为m v0
2
qL
B．匀强磁场的磁感应强度为❑√2m v0
4 qL
C．若仅将磁感应强度变为原来的1
2
倍，则粒子第三次到达x 轴的坐标为（﹣2L，0）
D．若仅将磁感应强度变为原来的2 倍，则粒子第三次到达x 轴的坐标为（6L，0）
2．如图所示，真空区域内水平边界ab 与cd 相距为h，其间存在竖直向上的匀强电场。边界cd 上
方存在范围足够大的垂直于纸面向里的匀强磁场。M、P、N 为边界cd 上的三点，且MP＝L，
PN＝2L。某时刻甲、乙两个带电粒子从ab 边界沿电场线方向射入电场区域，然后分别由M、
N 两点同时射入磁场，最终同时被置于P 点的粒子探测器接收。甲、乙粒子在磁场中运动的时
间均为t，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两粒子的比荷之比为2：1
B．乙粒子在电场中运动的时间为4 ht
3 πL
C．乙粒子在电场中的加速度为2h
3t
2
D．甲粒子在电场中运动时电势能减小
3．如图所示，一质子源发射出的质子（初速度很小，可视为零）进入加速电场加速，从两板正中
间平行极板进入偏转电场，穿过两板后又垂直于磁场射入边界线与偏转极板垂直的匀强磁场，
磁场方向垂直于纸面向里。加速电压为U1，偏转电压为U2，粒子射入磁场和射出磁场的M、N
两点间的距离为d，则（ ）
A．d 随U1增大而增大，d 与U2无关
B．d 随U2增大而增大，d 与U1无关
C．若将质子换成α 粒子，其他条件不变，d 不变
D．若将质子换成α 粒子，其他条件不变，d 变小
4．“碳﹣14 测年法”通过测量生物化石中碳同位素的丰度来确定年代。如图所示为某质谱仪的原
理简化图，离子源A 可产生初速度不计、电荷量相同的12C+和14C+。两离子经电压为U 的加速
电场后，垂直边界进入磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场中，最终由边界探测器
接收。已知离子重力及相互作用忽略不计，下列说法正确的是（ ）
A．在加速电场中，电场力对14C+做的功是对12C+做功的7
6
倍
B．进入磁场时14C+的动量大小是12C+的7
6
倍
C．14C+在磁场中运动的时间是12C+的7
6
倍
D．若要使14C+打在边界12C+原来的位置，需将加速电压U 调节为原来的7
6
5．如图所示，在平面直角坐标系xOy 内，两平行极板P、Q 垂直于y 轴且关于x 轴对称，极板长
度和板间距均为L，两极板间存在平行于y 轴的匀强电场（图中未画出）。第一、四象限中有
匀强磁场，方向垂直于xOy 平面向里。一带正电粒子从A 点以大小为v0的初速度沿x 轴正方向
射入电场，经电场偏转后恰好贴着一个极板的右侧边缘进入磁场，之后从另一极板右侧边缘再
次进入电场。不计粒子所受重力，则（ ）
A．极板P 带负电
B．粒子在磁场中运动的时间为3 πL
4 v0
C．粒子进入磁场时速度方向与y 轴的夹角为37°
D．粒子仍能回到出发点A
6．如图，一正三角形abc 区域（包含三角形边界）内有方向垂直纸面向里的匀强磁场，三角形所
在平面与磁场方向垂直。P 点为一粒子源，可以产生某种带正电的同种粒子，粒子从静止开始
经MN 两板间的加速电场加速后从a 点沿ab 方向射入匀强磁场区域内。加速电压的大小可以调
节，当加速电压为U1时粒子经磁场偏转后恰好打到bc 的中点，当加速电压为U2时粒子经磁场
偏转后恰好打到c 点，不计粒子的重力以及粒子间的相互作用，则两加速电压的比值U1：U2为
（ ）
A．9：4
B．3：2
C．9：1
D．3：1
7．如图所示，在第Ⅱ象限内有水平向右的匀强电场，电场强度为E，在第Ⅰ、Ⅳ象限内分别存在
如图所示的匀强磁场，磁感应强度大小相等。有一个带电粒子以垂直于x 轴的初速度v0从x 轴
上的P 点进入匀强电场中，并且恰好与y 轴的正方向呈45 角进入磁场，又恰好垂直于x 轴进
入第Ⅳ象限的磁场。已知OP 之间的距离为d，则带电粒子在磁场中第二次经过x 轴时，在电场
和磁场中运动的总时间为（ ）
A．7 πd
2v0
B．d
v0
(2+5 π )
C．d
v0
(2+ 3 π
2 )
D．d
v0
(2+ 7 π
2 )
8．（多选）如图，在纸面内的直角坐标系xOy 平面中，第一象限、第四象限内均存在方向垂直纸
面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小分别为B1、B2；第二象限内存在方向沿y 轴负方向的匀
强电场。质量为m、电荷量为q（q＞0）的带电粒子在第二象限内从横坐标为x＝﹣L 的a 点以
初速度v0平行于x 轴正方向运动，恰好从O 点进入第四象限，经偏转后从x 轴上的P 点进入第
一象限，一段时间后再次经P 点穿过x 轴。已知粒子经过O 点后始终未离开x≥0 的区域，第二
象限内的电场强度大小为E =
❑√3m v0
2
qL
，不计粒子的重力。则（ ）
A．粒子经过O 点时的速度大小为2v
B．粒子经过O 点时的速度大小为❑√3 v0
C．B1与B2的比值可能为2：1
D．B1与B2的比值可能为3：2
9．（多选）如图所示，在0≤x≤d、0≤y≤d 的ODMN 区域内存在沿x 轴正方向、场强大小为E
的匀强电场。ODMN 区域外分布着垂直于xOy 平面向里的匀强磁场。一个质量为m，电荷量为
+q 的粒子甲从电场区域中心O'点由静止释放，粒子甲从右边界第一次离开电场后，垂直MN 再
次进入电场，不计粒子重力。则（ ）
A．匀强磁场的磁感应强度B 的大小为2❑√
mE
qd
B．粒子第二次在电场中运动的位移大小为d
C．粒子在xOy 平面内做周期性运动，运动的周期为(4+ 9 π
4 )❑√
md
Eq
D．若将质量为m、电荷量为﹣q 的粒子乙从O'点由静止释放，粒子乙能垂直OD 进入电场
10．（多选）如图所示，空间有圆a、半径为R 的圆b 和边长为4R 的正方形ABCD，其几何中心
均为O 点，圆a 内为无场区；圆a 与圆b 之间存在辐射状电场，电势差为U；圆b 与正方形
ABCD 之间存在垂直纸面向外的匀强磁场，EF 为过O 点垂直CD 边的一条轴线，一个比荷为
k、带正电的粒子在圆a 与EF 的右交点处无初速释放，经电场加速后沿OF 方向射入磁场，粒
子恰好不会从正方形ABCD 边界射出，不计粒子重力，下列说法正确的是（ ）
A．粒子进入磁场时的速度大小为❑√kU
B．磁场的磁感应强度大小为1
R
❑√
2U
k
C．粒子从开始运动到再次回到出发点的过程，在磁场中运动的最短路程为6πR
D．粒子从开始运动到再次回到出发点的过程，在磁场中运动的最短时间为3 πR ❑√
2
kU
模型二 带电粒子(体)在叠加场中的运动
1．叠加场
电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。
2．带电粒子在无约束叠加场中的运动
(1)洛伦兹力、重力并存
①若重力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动。
②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做
功，故机械能守恒，由此可求解问题。
(2)静电力、洛伦兹力并存(不计重力的微观粒子)
①若静电力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动。
②若静电力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不
做功，可用动能定理求解问题。
(3)静电力、洛伦兹力、重力并存
①若带电体做直线运动，则一定是匀速直线运动。
②若重力与静电力平衡，一定做匀速圆周运动。
③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，
可用能量守恒定律或动能定理求解问题。
考向一 直线运动
1．质量为m、电荷量为q 的微粒以与水平方向成θ 角的初速度从O 点进入方向如图所示的匀强电
场和磁感应强度为B 的匀强磁场正交组成的复合场区，恰好沿直线运动，A 点为轨迹上一点，
重力加速度为g，下列说法中正确的是（ ）
A．该微粒可能带负电荷
B．该微粒可以以同样大小的初速度从A 运动到O
C．该微粒的初速度大小为
mg
Bqcosθ
D．该电场的场强大小为mg
qsinθ
2．石墨烯是一种由碳原子组成的单层二维蜂窝状晶格结构新材料，具有丰富的电学性能。现设计
一电路测量某二维石墨烯样品单位面积的载流子（电子）数。如图所示，在长为a，宽为b 的
石墨烯表面加一垂直向里的匀强磁场，磁感应强度为B，电极1、3 间接入恒压直流电源、稳定
时电流表示数为I，电极2、4 之间的电压为U，已知电子电荷量为e，则（ ）
A．电极2 的电势比电极4 的高
B．电子定向移动的速率为v= U
Ba
C．电极2 和4 之间的电压与宽度a 有关
D．二维石墨烯样品单位面积的载流子数为n= BI
eU
3．如图，足够长的绝缘棒竖直固定放置，处于磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直于竖
直平面向里，一带正电的小圆环套在竖直杆上，小圆环质量为m，电量为q，与杆之间的动摩
擦因数为μ，将小圆环由静止释放，下落h 高度后运动达到稳定，已知重力加速度为g，则小圆
环从开始运动到速度刚刚达到稳定的这一过程中，下面说法正确的是（ ）
A．小圆环运动的最大加速度小于g
B．小圆环运动的最大速度等于mg
μqB
C．从下落到稳定，小圆环所用时间等于❑√
2h
g
D．从下落到稳定，由于摩擦产生的热量等于mgh
4．质量为m、电荷量为q 的微粒以速度v 与水平方向成θ 角从O 点进入方向如图所示的由正交的
匀强电场和匀强磁场组成的混合场区中，该微粒在静电力、洛伦兹力和重力的共同作用下，恰
好沿直线运动到A 点，下列说法中正确的有（重力加速度为g）（ ）
A．该微粒一定带正电荷
B．微粒从O 到A 的运动可能是匀变速运动
C．该磁场的磁感应强度大小为
mg
qvcosθ
D．该电场的电场强度大小为mg
qtanθ
5．武汉病毒研究所内的实验室是我国防护等级最高的P4 实验室，在该实验室中有一种污水流量
计如图甲所示，其原理可以简化为如图乙所示模型：废液内含有大量正、负离子，从直径为d
的圆柱形容器右侧流入，左侧流出，流量值Q 等于单位时间通过横截面的液体的体积，空间有
垂直纸面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，下列说法正确的是（ ）
A．图乙中M 点的电势高于N 点的电势
B．正、负离子所受洛伦兹力方向相同
C．只需要测量M、N 两点电压就能够推算废液的流量
D．当污水中离子浓度降低，MN 两点电压将减小
6．1922 年英国物理学家阿斯顿因质谱仪的发明、同位素和质谱的研究荣获了诺贝尔化学奖。若一
束粒子由左端经过速度选择器，沿直线通过S0后射入质谱仪的运动轨迹如图所示，已知速度选
择器中电场强度为E，磁感应强度为B1，则下列说法中正确的是（ ）
A．该束带电粒子带负电
B．速度选择器的P1极板带负电
C．从S0射入质谱仪的粒子速度为B1
E
D．在B2磁场中运动半径越大的粒子，比荷q
m
越小
7．如图所示，光滑绝缘直杆倾角为θ，杆上套一带负电的小球，匀强磁场的方向垂直于杆所在竖
直平面。给小球一沿杆向上的初速度v0，不计空气阻力，小球从开始运动到返回出发点的过程
中（ ）
A．机械能减小
B．最大上滑位移为
v0
2
2 gsinθ
C．上滑时间小于下滑时间
D．下滑时受到杆的弹力一定先减小后增大
8．（多选）如图所示，一根足够长的绝缘细管固定在水平面上，细管处在垂直于纸面向里的水平
匀强磁场中。一个质量为m、带电量为q（＞0）的小球（球的直径略小于细管的内径）以一定
的初速度v0沿管向右滑动，已知小球与细管间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，足够长时
间内，小球克服摩擦力做的功可能是（ ）
A．0
B．m
3 g
2
q
2B
2
C．1
2 mv0
2−m
3 g
2
2q
2B
2
D．1
2 mv0
2−m
3 g
2
q
2B
2
9．（多选）如图所示，质量为m 的带正电的滑块由静止开始沿绝缘粗糙斜面下滑，滑块与斜面间
的动摩擦因数为μ，斜面倾角为θ，空间内匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外。
若滑块所带电荷量为q，已知重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．滑块沿斜面下滑的最大速度为mgcosθ
qB
B．滑块沿斜面下滑的最大速度为mg
qB
C．滑块沿斜面下滑的最大加速度为gsinθ
D．滑块沿斜面下滑的最大加速度为gsinθ﹣μgcosθ
10．（多选）如图，一质量为m、电荷量为q（q＞0）的带电小球套在足够长的固定绝缘水平杆上，
球的内孔直径略大于杆的直径，球与杆间的动摩擦因数为μ= 3
4
。场强大小为E= mg
q
的匀强电
场与杆的夹角为θ＝53°，磁感应强度大小为B 的匀强磁场垂直纸面向里。重力加速度大小为
g，sin53°＝0.8。小球从静止开始运动到速度稳定的过程中的位移大小为L，则在此过程中（
）
A．小球所受的滑动摩擦力逐渐减小，最终为零
B．小球的加速度先增大后减小
C．小球运动过程中的加速度大小可能为3
4
g
D．小球与杆摩擦产生的热量为3
5
mgL−m
3 g
2
2q
2B
2
考向二 曲线运动
1．在半径为R 的无限长竖直圆柱形区域内分布有竖直向上的匀强磁场，将半径也是R 的光滑绝缘
细环固定在水平面内，边缘正好与磁场区域重合，在细环上套有质量为m、电量为+q（重力不
计）的带电小球，俯视图如图所示。已知磁感应强度B 随时间变化规律为B＝kt（k＞0），在t
＝0 时刻释放小球，小球将沿细环做圆周运动。下列判断正确的是（ ）
A．小球将沿逆时针方向做圆周运动
B．小球在运动过程中加速度不变
C．小球在运动一周的过程中动能增加πkqR2
D．涡旋电场力做功和路径无关
2．如图所示，点M、O、N、P 位于同一竖直平面内，曲线MON 为半径为R 的半圆弧，直线MN
沿竖直方向，MN⊥NP，直线MN 左侧存在垂直纸面向外的匀强磁场B 和竖直向上的匀强电场
E1，右侧存在水平向左的匀强电场E2。一带电量为q、质量为m 的小球（可视为质点）在复合
场中恰能沿着半圆弧NOM 在竖直平面内做匀速圆周运动，经过M 点进入匀强电场E2。已知磁
感应强度为B，E2= ❑√3E1（E1大小未知），∠MPN＝60°，重力加速度为g，则（ ）
A．电场强度E1大小为
❑√3mg
q
B．M、P 两点的电势差为−mgR
q
C．小球从N 运动到M 的速度大小为qBR
2m
D．小球在电场E2中距离MP 最远时，速度大小为qBR
2m
3．如图所示，甲、乙是竖直面内两个相同的半圆形光滑绝缘轨道，M、N 为两轨道的最低点，匀
强磁场垂直于甲轨道平面，匀强电场平行于乙轨道平面，两个完全相同的带正电小球a、b（可
视为质点）分别从甲、乙两轨道的右侧最高点由静止释放，在它们第一次到达最低点的过程中，
下列说法正确的是（ ）
A．a 球下滑的时间比b 球下滑时间长
B．a、b 两球的机械能均守恒
C．a 球到M 点的速度小于b 球到N 点的速度
D．a 球对M 点的压力大于b 球对N 点的压力
4．如图甲所示，在竖直平面内有一半径为R＝0.5m 的固定光滑绝缘圆桶，在空间中有平行圆桶轴
线的水平匀强磁场B＝2T，一质量为m＝0.5kg、带电量为q＝+2C 的带电小球沿圆桶外壁做圆
周运动，如图乙所示为带电小球所在处的截面图，AC 为竖直直径，初始时带电小球位于圆环
最高点A（圆桶外侧），并且有水平方向的速度v0（以水平向左为速度的正方向），如果带电
小球在A 点不脱离圆桶，带电小球初速度v0可能的取值为（ ）
A．3m/s
B．6m/s
C．﹣3m/s
D．﹣6m/s
5．据报道，我国空间站安装了现代最先进的霍尔推进器用以空间站的轨道维持。如图乙，在很窄
的圆环空间内有沿半径向外的磁场1，其磁感应强度大小可近似认为处处相等；垂直圆环平面
同时加有匀强磁场2 和匀强电场（图中没画出），磁场1 与磁场2 的磁感应强度大小相等，已
知电子电量为e，质量为m，若电子恰好可以在圆环内沿顺时针方向做半径为R、速率为v 的匀
速圆周运动。则以下说法错误的是（ ）
A．电场方向垂直环平面向外
B．电子运动周期为2πR
v
C．垂直环平面的磁感应强度大小为mv
eR
D．电场强度大小为mv
2
eR
6．2021 年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录．为粗略了解等离子体在托卡马克
环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的
匀强电场和匀强磁场（如图），电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。若某电荷量为q 的
正离子在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小为v1，垂直于磁场方向的分
量大小为v2，不计离子重力，则（ ）
A．电场力的瞬时功率为qE❑√v1
2+ v2
2
B．该离子受到的洛伦兹力大小为qv1B
C．该离子的加速度大小不变，方向变化
D．v1
v2
的比值不断减小
7．在竖直平面内有xOy 坐标系，空间存在垂直xOy 平面向里的匀强磁场和竖直向下匀强电场，
磁感应强度为B，电场强度为E，一电荷量为q 的带正电粒子（重力忽略不计）从坐标原点以
速度v0= E
2B
沿x 轴正方向开始运动，其轨迹可能为下列图像中的（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（多选）如图所示，xOy 平面内存在沿y 轴正向的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，
带正电粒子从坐标原点O 由静止释放，运动轨迹如图虚线所示，不计粒子的重力。下列描述粒
子沿x 轴方向的分速度vx随时间t、位置坐标y 的变化图像中可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（多选）如图所示，两个半径相同的半圆形光滑绝缘轨道置于竖直平面内，左右两端点等高，
分别处于沿水平方向的匀强磁场和匀强电场中，磁场方向垂直纸面向里，电场方向水平向右。
两个相同的带负电小球同时从两轨道左端最高点由静止释放，分别通过轨道的最低点M、N，
则下列说法中正确的是（ ）
A．两个小球到达轨道最低点的速度vM＝vN
B．两个小球第一次经过轨道最低点时对轨道的压力FM＞FN
C．小球第一次到达M 点的时间小于小球第一次到达N 点的时间
D．在电场和磁场中小球均能到达轨道的另一端最高处
10．（多选）用固定于O 点的丝线悬挂一个质量为m、带电荷量为q（q＞0）的小球，以过O 点
的竖直线Ox 为界，左侧有匀强磁场，右侧有匀强电场，方向如图所示。将带电小球从最低位
置c 拉至a 点由静止释放，让小球在ab 间摆动，b 为小球在左侧能到达的最高点，不计空气阻
力，下列说法正确的是（ ）
A．a、b 两位置高度相等
B．小球在磁场中运动时机械能守恒，在电场中运动时机械能不守恒
C．小球经过Ox 左侧磁场中同一位置时丝线张力相等
D．小球从a 到c 所用的时间比从b 到c 所用的时间短
课时精练
一．选择题
1．如图所示是医用回旋加速器示意图，其核心部分是两个D 形金属盒，两金属盒置于匀强磁场中，
并分别与高频电源相连，现分别加速氘核 1
2 H和氦核 2
4 He，下列说法中不正确的是（ ）
A．它们的最大速度相同
B．它们的最大动能相同
C．它们在D 形盒中运动的时间相同
D．它们在D 形盒中运动的路径相同
2．洛伦兹力在现代科技中应用非常广泛。如图所示，图甲为速度选择器，P1、P2为平行金属板的
上下两极板，极板间电场强度大小为E，磁感应强度大小为B1；图乙为回旋加速器，垂直穿过
D 型盒的磁场的磁感应强度大小为B，则有关这两种应用说法正确的是（ ）
A．图甲所示速度选择器要求能通过的粒子速度为v = B1
E
B．图甲所示速度选择器的P1极板带正电
C．图乙所示回旋加速器中使带电粒子加速的能量来源于设备中的磁场
D．图乙所示回旋加速器中带电粒子的最大速度与D 型盒的半径无关
3．如图所示，初速度为零的α 粒子和质子分别经过相同的加速电场后，沿垂直磁感应强度方向进
入匀强磁场Ⅰ区域，接着进入匀强磁场Ⅱ区域。已知磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度大小分别为B1、
B2，且B1＞B2，下列说法正确的是（ ）
A．粒子自磁场Ⅰ区域进入磁场Ⅱ区域线速度大小均减小，角速度均减小
B．粒子自磁场Ⅰ区域进入磁场Ⅱ区域向心加速度大小均变小，周期均变小
C．无论在磁场Ⅰ区域还是在磁场Ⅱ区域中，α 粒子的轨迹半径均小于质子轨迹半径
D．无论在磁场Ⅰ区域还是在磁场Ⅱ区域中，α 粒子的周期均大于质子的周期
4．某实验室中有一种污水流量计，其原理可以简化为如图所示模型：废液内含有大量正负离子，
从直径为d 的圆柱形容器右侧流入，左侧流出，流量值Q 等于单位时间内通过横截面的液体的
体积。空间有垂直纸面向里的磁感应强度为B 的匀强磁场，下列说法正确的是（ ）
A．改变污水的流速，MN 两点电压不会发生变化
B．当污水中离子浓度升高时，MN 两点电场强度将增大
C．仅改变污水的流速，圆柱形容器左侧流出的流量值Q 不会发生变化
D．只需要测量磁感应强度B、直径d 及MN 两点电压U，就能够推算污水的流量
5．如图所示，在xOy﹣z 坐标系中，0＜x＜0.6m 范围内有沿y 轴正方向的匀强磁场，x≥0.6m 的
范围内有沿y 轴负方向的匀强磁场和匀强电场，两磁场磁感应强度大小均为B＝0.1T，电场强
度E＝10N/C。一比荷q
m =200C/kg 的带正电粒子以速度v＝20m/s 从坐标原点沿x 轴正方向射入
匀强磁场中。忽略粒子重力，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则粒子第一次打在xOy 平面时的位
置坐标为（ ）
A．（1.6m，0.625π2m，0m）
B．（2m，1.25π2m，0m）
C．（1.6m，﹣1.25π2m，0m）
D．（2m，﹣0.625π2m，0m）
6．霍尔推进器是未来星际航行的绿色引擎，其放电室横截面可简化为一个圆环区域，圆环内存在
辐射状磁场，如图所示。另有方向均垂直圆环平面向里的匀强磁场和匀强电场（未画出），且
磁感应强度大小为B1，电场强度大小为E。电荷量为e、质量为m 的电子恰好能够沿半径为R
的轨道做匀速圆周运动。下列说法中正确的是（ ）
A．电场力对电子做正功
B．电子沿逆时针方向做圆周运动
C．电子做匀速圆周运动的线速度大小为E
B1
D．轨道处辐射状磁场的磁感应强度大小为mE
eR B1
7．托卡马克环形容器是核聚变工程中重要的装置，如图是某一托卡马克环形容器中磁场截面的简
化示意图，两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，
内圆半径为R0。在内圆上A 点发射a、b 两个粒子，都恰好到达磁场外边界。已知a 粒子沿同
心圆的径向发射，其速度大小va= qB R0
m
，b 粒子沿内圆的切线方向发射，a、b 都带正电且比
荷均为q
m
。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。则（ ）
A．外圆半径等于2R0
B．a 粒子恰好到达磁场外边界所用时间为πm
2qB
C．b 粒子速度大小为(
❑√2
2 +1)va
D．b 粒子恰好到达磁场外边界所用时间为3 πm
4 qB
二．多选题
8．（多选）如图所示，平面直角坐标系的第一象限内存在沿x 轴负方向的匀强电场，第二象限内
存在垂直于纸面向里的匀强磁场。质量为m、电荷量为q 的带正电粒子以方向垂直于x 轴、大
小为v0的速度从x 轴上的P 点射入电场中，粒子从y 轴上的Q 点进入磁场，恰好垂直于x 轴射
出磁场。已知P、Q 点到坐标原点O 的距离分别为L、3
2 L。不计粒子重力，下列说法正确的是
（ ）
A．电场的电场强度大小为4 mv0
2
9qL
B．粒子经过Q 点时的速度大小为5
3 v0
C．粒子在磁场中运动的轨迹半径为3
4 L
D．磁场的磁感应强度大小为8mv0
9qL
9．（多选）如图所示，电子由静止开始，经M、N 板间的电场加速后，从A 点垂直于磁场边界射
入宽度为d、磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，电子离开磁场时的位置P
偏离入射方向的距离L= d
2
。已知电子的质量为m，电荷量为e，取sin53°＝0.8。下列说法正确
的是（ ）
A．电子进入磁场时的速度大小为3edB
4 m
B．电子在磁场中做圆周运动的半径为5d
4
C．电子在磁场中运动的时间为53 πm
180eB
D．若电场可调，为使电子能从磁场的右侧边界射出，则加速电压的最小值为3e B
2d
2
m
10．（多选）如图所示，在x 轴下方宽度d＝0.2m 的区域中，x＞0 的区域有沿y 轴正方向的匀强
电场，电场强度大小E＝4×103V/m，x＜0 的区域无电场。在y＞0 和y＜﹣0.2m 的区域内存在
垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B＝0.4T。一比荷q
m =1×106C/kg 的带正电粒子从M
（0.1m，﹣0.2m）点由静止释放，不计粒子重力，下列判断正确的是（ ）
A．粒子第一次经过x 轴时的速度大小为4×104m/s
B．粒子经过x 轴时的速度方向与x 轴始终垂直
C．粒子第三次经过y 轴时的位置坐标为（0，0.1❑√2❑√2−1m）
D．粒子从开始释放到第三次经过x 轴所用的时间为（5+10❑√2+5π）×10﹣5s
三．解答题
11．如图所示，xoy 平面内，第一象限内有场强大小E＝4×10﹣2N/C，方向沿y 轴正方向的匀强电
场。第二象限有磁感应强度大小B1=2×10
−2T的匀强磁场，三、四象限有磁感应强度大小
B2= 4×10
−2T的匀强磁场，方向都垂直纸面向里。一带负电的粒子从x 轴上的P 点以初速度
v0进入第二象限，方向与x 轴负方向成α＝60°的夹角，经磁场偏转后恰能垂直于y 轴进入第一
象限，再经过一段时间从第一象限进入第四象限，已知OP 间距离为
❑√3
2 m，粒子带电量与质量
的比值q
m =100C /kg，不计粒子的重力，求：
（1）初速度v0的大小；
（2）粒子从P 点出发到第一次经过x 轴的时间；
（3）粒子从P 点出发后经过x 轴的坐标。
12．如图所示，直角坐标系中的第Ⅰ象限中存在沿y 轴负方向的匀强电场，在第Ⅱ象限中存在垂
直纸面向外的匀强磁场。一电荷量为q、质量为m 的带正电的粒子，从x 负轴上的点a 以速率
v0垂直磁场方向射入第二象限，然后经过y 轴上的b 点垂直于y 轴方向进入电场，一段时间后
经过x 轴上的c 点。已知粒子在a 点的速度方向和x 轴负方向的夹角θ＝45°，Ob＝Oc＝L，不
计粒子所受重力。求：
（1）匀强磁场磁感应强度B 的大小；
（2）粒子经过c 点时的速度大小v。
13．某离子实验装置的基本原理如图所示，截面半径为R＝0.1m 的圆柱腔分为两个工作区，Ⅰ区
长度d＝2R，内有沿y 轴负方向的匀强电场，Ⅱ区内既有沿z 轴正向的匀强电场，电场强度大
小与Ⅰ区内相等，又有沿z 轴方向周期性变化的磁场，磁感应强度B 随时间周期性变化规律如
图乙所示。现有一带正电的粒子从左侧截面的A（0，3
4
R，0）处，以初速度v0＝4×104m/s 沿z
轴正向进入Ⅰ区，经过两个区域分界面上的圆心B 点进入Ⅱ区，以带电粒子刚进入Ⅱ区的瞬间
为t＝0 开始计时，在以后的运动过程中恰好未从圆柱腔的侧面飞出，最终从右侧截面飞出，已
知粒子比荷q
m =3×107C/kg，不计重力和空气阻力，求：
（1）Ⅰ区电场强度的大小和离子到达B 点时速度的大小；
（2）Ⅱ区中磁感应强度B0的大小；
（3）若该粒子经过时间t＝1.5×10﹣5πs 后从Ⅱ区右截面飞出，求它在右侧截面飞出时的坐标。
14．某物理实验室为研究带电粒子在电磁复合场中的运动规律，搭建了基于亥姆霍兹线圈的实验
装置：一对完全相同的同轴圆形亥姆霍兹线圈，通入同向恒定电流，在两线圈正对区域内形成
沿中心轴线O1O2方向的匀强磁场，线圈正对区域以外的磁场可忽略，同时在线圈正对区域叠加
沿O1O2方向的匀强电场。以O3为原点、O1O2方向为x 轴正方向建立坐标系，垂直于x 轴放置
圆形探测屏，其圆心固定于x 轴上的P 点。粒子源从原点O3沿垂直于x 轴的方向持续发射比荷
为k、初速度为v0的同种带正电粒子。已知匀强磁场磁感应强度为B，粒子第一次返回x 轴时
的位置坐标为d，不计粒子重力与粒子间相互作用。求：
（1）线圈半径的最小值；
（2）匀强电场的电场强度大小；
（3）若使粒子均打到探测屏的P 点，则探测屏中心与粒子源间的距离应满足的条件。
15．如图所示，竖直虚线左侧区域内存在水平向右的匀强电场，电场强度E= mg
q
，虚线及其右侧
区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。固定的光滑绝缘圆弧轨道在磁
场中，圆心为O、半径为R。可视为质点的带电小球P 从M 点由静止释放，从轨道最低点N 水
平向左飞入电场。已知P 的质量为m、带电量为+q，OM 与ON 的夹角θ＝60°，重力加速度为
g。不计空气阻力，求：
（1）P 经过N 点时对轨道的压力F；
（2）P 第一次在电场中运动，减速过程电场力做的功W1加速过程重力做的功W2。
