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专题17 曲线运动 运动的合成与分解
题型一 曲线运动的条件和特征
1．【答案】B
2．【答案】B
3．【答案】A
4．【答案】D
5．【答案】D
6．【答案】B
7．【答案】A
8．【答案】BD
9．【答案】ABC
10．【答案】AC
题型二 运动的合成与分解
1．【答案】A
2．【答案】C
3．【答案】C
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】D
8．【答案】ACD
9．【答案】AC
10．【答案】BCD
题型三 小船渡河
1．【答案】B
2．【答案】D
3．【答案】A
4．【答案】D
5．【答案】B
6．【答案】A
7．【答案】B
题型四 绳（杆）连接物的关联速度
1．【答案】C
2．【答案】A
3．【答案】A
4．【答案】D
5．【答案】C
6．【答案】A
7．【答案】A
8．【答案】AC
9．【答案】CD
10．【答案】BC
课时精练
1．【答案】D
2．【答案】C
3．【答案】C
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】D
7．【答案】A
8．【答案】BC
9．【答案】BC
10．【答案】BD
11．【答案】(1)3kmg
(2)k ❑√
10.8 gL
16 k
2+ 41k +25
(3)❑√
232
125 gL
【详解】（1）A 环固定时，对小球B 由动能定理有kmgL= 1
2 km v0
2
设小球B 运动到最低点时受到轻绳的拉力为F，根据牛顿第二定律可知F −kmg=km v0
2
L
联立解得F =3kmg
由牛顿第三定律可知，小球B 运动到最低点时对轻绳的拉力大小为3kmg
（2）环A 与小球B 组成的系统在水平方向动量守恒，满足m vA x =km vB x
等式两边对时间微元求和得m xA=km xB
当A 与挡板碰撞时xA= x =
kL
5(k +1)
联立解得环A 与小球B 水平方向的相对位移Δ x = xA+ xB= L
5
由几何关系可知此时轻绳与水平方向夹角cosθ = L−Δ x
L
=0.8
在A 环与竖直挡板碰撞前，系统在水平方向动量守恒m vA x=kmvB x
对A、B系统机械能守恒有1
2 mvA x
2 + 1
2 km(vB x
2 + vB y
2 )=kmgLsinθ
碰前A、B沿绳方向速度大小相等vA xcosθ =−vB xcosθ+ vB ysinθ
三式联立解得vA x =k ❑√
10.8 gL
16 k
2+ 41k +25
（3）将k =0.5代入第（2）问，解得vA x =k ❑√
10.8 gL
16k
2+ 41k +25
= ❑√
3
55 gL
结合系统在水平方向动量守恒m vA x=kmvB x
解得vB x =2❑√
3
55 gL
A、B沿绳方向速度大小相等vA xcosθ =−vB xcosθ+ vB ysinθ
解得vB y = 4 ❑√
3
55 gL
A 环与竖直挡板发生碰撞、立即被锁定，此时轻绳绷紧，B 球沿绳方向动量瞬时变为0，此后以垂直于绳
方向速度为初速度继续运动，即vB⊥= vB xsinθ+ vB ycosθ = ❑√
132gL
125
从锁定位置到竖直最低点，B 下落高度Δh= L−Lsinθ = 2
5 L
根据机械能守恒可知B 球摆至最低点时速度最大，满足1
2 kmvB⊥
2 +kmg Δh= 1
2 kmvBm
2
解得vBm = ❑√
232
125 gL
12．【答案】(1)v0= ❑√2 gL
(2)9 x
2+ y
2= L
2或x
2
(
L
3)
2 + y
2
L
2 =1
(3)vA=2m /s，vC= 4 m /s
【详解】（1）B 球下落过程中，A、B、C 系统水平方向动量守恒，结合速度关联，可知落地前瞬间，A、
B、C 三个小球水平速度均为0，
再结合系统机械能守恒得2mgL= 1
2 ×2m v0
2
解得v0= ❑√2 gL
（2）解法一：如图所示，两根细杆与水平方向夹角为β时，B 球坐标为(x , y)，则A 球坐标为
(x−Lcos β ,0)，C 球坐标为(x + Lcos β ,0)，设C 球质量为m由A、B、C 系统水平方向动量守恒
3m vA+2m vBx+m vC=0
三者水平位移满足3m(x−Lcos β)+2mx +m(x + Lcos β)=0
解得x = 1
3 Lcos β
已知y = Lsin β
故B 球运动轨迹方程为9 x
2+ y
2= L
2
或x
2
(
L
3)
2 + y
2
L
2 =1
解法二：由A、B、C 系统水平方向动量守恒，且系统初始静止可得，系统质心的水平投影点（即坐标原
点）不动，因此可求得B 球落地前瞬间的水平位移为1
3 L，据分析可知，B 球的运动轨迹为椭圆，坐标原
点（即A、B、C 系统质心的水平投影点）为椭圆的中心，半长轴为L，半短轴为1
3 L，故B 球运动轨迹方
程为x
2
(
L
3)
2 + y
2
L
2 =1
或9 x
2+ y
2= L
2
（3）解法一：当β =37°时，A、B、C 速度大小方向如图所示
系统水平方向动量守恒3m vA=2m v x+m vC
系统机械能守恒1
2 ×3mvA
2 + 1
2 ×2m(v x
2+ v y
2)+ 1
2 mvC
2=2mgL(1−sin β)
A、B 两球速度关联vAcos β = v ysin β −v xcos β
或者v x+ vA
v y
= tan β（相对圆周运动），
B、C 两球速度关联vCcos β = v ysin β + v xcos β
或者vC−v x
v y
= tan β（相对圆周运动），
解得vA=2m /s，vC= 4 m /s。
解法二：由A、B、C 系统水平方向动量守恒，且系统初始静止，可得系统质心的水平投影点（即坐标原
点）不动，
因此可求得A、B、C 三球落地前任意时间内的水平位移之比为2:1:4，即A、B、C 三球在任意时刻水平
速度之比为vA:vBx:vC=2:1:4
又有vB x+ vA
vB y
= tan β
系统机械能守恒1
2 ×3m vA
2 + 1
2 ×2m(v x
2+ vBy
2 )+ 1
2 m vC
2=2mgL(1−sin β)
解得vA=2m /s，vC= 4 m /s
13．【答案】(1) L
4 ，5 L
4 ；0，❑√2gL
(2)5 L
6 ，7 L
6 ，
❑√37 L
6
；0，0，❑√2 gL
【详解】（1）由杆长约束和水平方向动量守恒，有xc−xa= L
3m xa+m xc=0
解得xa=−L
4
，xc = 3 L
4
a 球位移大小|xa)= L
4
c 球位移大小❑√xc
2+ L
2= 5 L
4
由机械能守恒mgL= 1
2 ×3m va
2+ 1
2 m vc
2
水平方向动量守恒3m va+m vcx=0
由约束关系va= vcx
解得va= vcx=0
vc = vcy = ❑√2 gL
（2）由杆长约束和水平方向动量守恒，有x❑c
' −x❑a
' = L，x❑b
' −x❑c
' = L
3m x❑a
' +2m x❑b
' +m x❑c
' =0
解得x❑c
' = L
6
，x❑a
' =−5 L
6
，x❑b
' = 7 L
6
a 球位移大小|x❑a
' )= 5 L
6
b 球位移大小|x❑b
' )= 7 L
6
c 球位移大小❑√x'c
2+ L
2=
❑√37 L
6
由机械能守恒mgL= 1
2 ×3m va
' 2+ 1
2 ×2m vb
' 2+ 1
2 mv 'c
2
水平方向动量守恒3m v❑a
' +2m v❑b
' +m v❑cx
'
=0
由约束关系v❑a
' = v❑b
' = v❑cx
'
解得v❑a
' = v❑b
' = v❑cx
'
=0
