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专题51 动态圆、磁聚焦和磁发散
模型一 放缩圆法........................................................................................................................................ 1
模型二 旋转圆法........................................................................................................................................ 4
模型三 平移圆法........................................................................................................................................ 8
模型四 磁聚焦和磁发散问题..................................................................................................................11
模型一 放缩圆法
1. 适用条件： 粒子速度方向一定， 大小不同
粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子， 粒子垂直进入匀强磁场时， 这些带电粒
子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化，轨迹圆的圆心在同一条线上。
2. 轨迹特点： 轨迹圆圆心在同一条直线上
如图所示， 假设粒子带正电， 速度越大， 轨迹圆的半径也越大， 又出发位置相同， 这些
带电粒子射入磁场后， 运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线 P P
′ 上， 相当于将轨迹
圆的半径以入射点 P 为定点，P P
′为直径所在直线，进行放大或缩小得到轨迹圆，这些轨迹
圆就叫放缩圆。
3. 寻找临界条件
以入射点 P 为定点，将半径放大或缩小从而作出不同速率的粒子做圆周运动对应的轨迹，
从而找到临界圆。
【例题精讲】
1．如图所示，ab 边界以上，圆形边界以外的Ⅰ区域中存在匀强磁场，磁感应强度为B0，圆形边界以内Ⅱ
区域中匀强磁场的磁感应强度为2B0，圆形边界半径为R，ab 边界上c 点距圆形边界圆心O 的距离为
2R；一束质量为m、电荷量为q 的负电粒子，在纸面内从c 点沿垂直边界ab 方向以不同速率射入磁场。
不计粒子之间的相互作用。已知一定速率范围内的粒子可以经过圆形磁场边界，这其中速率为v 的粒子
到达圆周边界前在Ⅰ区域中运动的时间最短。只考虑一次进出Ⅰ、Ⅱ区域，则（ ）
A．可以经过圆形边界的粒子的速率最大值为3q B0 R
m
B．可以经过圆形边界的粒子的速率最小值为q B0 R
m
C．速率为v 的粒子在Ⅰ区域的运动时间为2πR
3 v
D．速率为v 的粒子在Ⅱ区域的运动时间为πm
4 q B0
2．如图所示，竖直平面内一半径为R 的圆形区域内存在磁感应强度为B 的匀强磁场，方向垂直纸面向
里。一束质量为m、电荷量为﹣q 的带电粒子沿平行于直径MN 的方向以不同速率v0从P 点进入匀强磁
场，入射点P 到直径MN 的距离h= 1
2 R，不计粒子重力。下列说法正确的是（ ）
A．若粒子射出磁场时的速度方向恰好与其入射方向相反，则其入射速度v0为qBR
m
B．若粒子恰好能从N 点射出，则粒子在磁场中运动的时间为πm
6qB
C．若粒子恰好能从K 点（OK⊥MN）射出，则其在磁场中运动半径大小为
❑√3
2 R
D．若粒子射出磁场时的速度方向恰好与其入射方向垂直，则其入射速度v0为qBR
3m
3．如图所示，在理想的虚线边界内有范围足够大的匀强磁场，ab，cd 段水平，bc，de 段竖直，且ab＝cd
= 3
2
bc。在纸面内大量质子从a 点垂直于ab 以不同速率射入磁场，不计质子间的相互作用力和重力，则
从边界de 垂直射出的质子与在磁场中运动时间最长的质子的速率之比为（ ）
A．3：2
B．36：13
C．9：4
D．36：17
4．如图所示，两个速度大小不同的同种带电粒子1、2，沿水平方向从同一点垂直射入匀强磁场中，磁场
方向垂直纸面向里。当它们从磁场下边界飞出时相对入射方向的偏转角分别为90°、60°，则它们在磁场
中运动的（ ）
A．轨迹半径之比为1：2
B．速度之比为2：1
C．时间之比为2：3
D．周期之比为2：1
5．一匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里，其下边界如图中虚线所示，P、M、N、Q
四点共线，∠MON 为直角，OM＝ON＝MP＝d。一束质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子，在纸面
内从P 点以不同的速率垂直于PM 射入磁场，不计粒子重力及粒子间的相互作用。则粒子在磁场中运动
时间最长时的速率是（ ）
A．dqB
2m
B．
❑√2dqB
2m
C．dqB
m
D．(2+ ❑√2)dqB
2m
6．如图所示，在矩形GHIJ 区域内分布着垂直纸面向里的匀强磁场，P 点是GH 边的中点，四个完全相同
的带电粒子仅在洛伦兹力的作用下，以大小不同的速率从P 点射入匀强磁场，它们的轨迹在同一平面
（纸面）内，下列说法正确的是（ ）
A．④粒子的速率最大
B．③粒子的向心加速度最大
C．②粒子在矩形GHIJ 磁场区域运动的时间最长
D．①、②、③、④这四个粒子在矩形GHIJ 磁场区域的运动周期不相同
7．如图所示，等腰梯形ABCD 区域内，存在垂直该平面向里的匀强磁场，已知磁感应强度B＝4T，AB
＝0.4m，AD＝BC＝0.8m，θ＝30°。O 为DC 边上一点，AO⊥DC，O 点处有一粒子源，能沿垂直AD 边
的方向发射速度大小不等的同种带电粒子，带电粒子的质量为m＝5×10﹣8kg，电荷量为q＝﹣1.0×10﹣
9C，粒子重力不计。下列说法正确的是（ ）
A．从A 点飞出的粒子速度大小为32cm/s
B．AB 边与CD 边可飞出粒子的区域长度之比为1：2
C．粒子在磁场中运动的最长时间为5
3 π ×10
−2s
D．BC 边会有部分区域有粒子飞出
模型二 旋转圆法
1. 适用条件： 粒子出发地点相同，速度大小一定， 但方向不同。
粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子， 粒子垂直进入匀强磁场时， 这些带电粒
子在磁场中做匀速圆周运动且半径相等。
2. 轨迹特点： 轨迹圆的圆心在同一个圆上
如图所示， 假设粒子带正电， 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心均在以入射点 O
为圆心、半径 R = mv0
qB 的圆上，这个圆称为“轨迹圆心圆”， 相当于将最外侧的轨迹圆以
入射点 O 为定点进行顺时针旋转， 可得到粒子沿不同方向发射时的轨迹圆，所以这种模型
就是旋转圆模型。
3. 寻找临界圆
以入射点 O 为定点，把各粒子运动的轨迹圆绕该点进行旋转，从而得到沿不同方向发射的
粒子的轨迹，结合边界条件， 从而找到临界圆。
【例题精讲】
1．如图，在竖直平面内的Oxy 直角坐标系中，x 轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为
B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x 轴放置足够长的探测薄板MN，MN 到x 轴的距离为d，上、下
表面均能接收粒子。位于原点O 的粒子源，沿平面向x 轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已
知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为qBd
m
。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作
用，则（ ）
A．薄板的下表面接收到粒子的区域长度为1
2 d
B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为(❑√3−1)d
C．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最长时间为πm
qB
D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为πm
2qB
2．如图所示，x 轴上方存在垂直xOy 平面向外、磁感应强度大小为B 的匀强磁场。坐标原点O 处存在一
离子源，能在xOy 平面内沿各方向发射速率为❑√2v0
的质量为m、电荷量为q 的正离子，速度方向与y
轴夹角最大值为60°。一部分离子经磁场偏转后可以击中位于x 轴上的P 点，OP 距离为2m v0
qB
。若击中
P 点的离子在磁场中的运动的最长时间与最短时间之差为Δt，忽略离子间的相互作用，不计离子重力。
则Δt 为（ ）
A．πm
2qB
B．2πm
3qB
C．πm
qB
D．4 πm
3qB
3．如图所示，空间中存在范围足够大，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，MN 为足
够长的离子接收板，到MN 垂直距离为h 的O 点有一离子源，连续不断地向平面内各方向均匀放出质量
为m、带电量为+q 的粒子，粒子速率均为v = hqB
m
，则（ ）
A．接收板接收到离子的区域长度为2h
B．能被接收的离子占总离子的1
2
C．被接收的粒子运动最短时间为πm
2qB
D．被接收的粒子运动最长时间为πm
qB
4．如图所示，半径为R 的圆形区域内存在一垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，S 为磁
场边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率v 经过S 点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，粒
子的出射点分布在四分之一圆周SP 上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。下列说法正确的是（
）
A．粒子带负电
B．粒子的比荷为2v
BR
C．从P 点射出的粒子在磁场中运动的时间为
❑√2πR
2v
D．若粒子的入射速率为2v，粒子的出射点分布在二分之一圆周上
5．如图所示，半径为R 的圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，在圆周上的P 点有一个粒子源，可
以在0≤θ≤60°的范围内垂直磁场方向发射速度大小相等的同种粒子。已知粒子质量为m、带电量为
+q，速度大小为v0，以θ＝30°角射入磁场的粒子恰好垂直于直径PQ 方向射出磁场区域。不计粒子的重
力及粒子间的相互作用力，则下列说法正确的是（ ）
A．粒子轨迹不可能通过O 点
B．粒子在磁场中运动的最长时间为5 πR
6 v0
C．粒子射出磁场边界时的速度方向不可能相同
D．粒子在磁场边界的出射点分布在四分之一圆周上
6．如图所示，边长为a 的正六边形abcdef 区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。
正六边形中心O 处有一粒子源，可在纸面内向各个方向发射不同速率带负电的粒子，已知粒子质量均为
m、电荷量均为q，不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列说法正确的是（ ）
A．沿Oa 方向发射的粒子要想离开正六边形区域，速率至少为qBa
2m
B．垂直ab 向上发射的粒子要想离开正六边形区域，速率至少为(2❑√3−3)qBa
m
C．要想从d 点离开正六边形区域的粒子，速率至少为2❑√3qBa
m
D．所有要想离开正六边形区域的粒子，其速率至少为
❑√3qBa
2m
（多选）7．如图所示，在xOy 坐标系第一象限内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在
P 点有一粒子源，P 点坐标为（d，d）。打开粒子源发射装置，能够沿纸面以相同的速率向各个方向均
匀发射带正电的粒子，粒子质量为m，电荷量为q，速率v = qBd
m
。不计粒子重力及粒子间的相互作用
力，M 点坐标为（0，d），则下列说法正确的是（ ）
A．从x 轴射出磁场的粒子数占总粒子数的1
2
B．从OM 之间射出磁场的粒子数占总粒子数的1
12
C．到达x 轴的粒子在磁场中运动的最短时间为πm
3qB
D．打在x 轴的长度为2d
（多选）8．如图，在平面直角坐标系xOy 的第一象限内（包含x，y 坐标轴）存在垂直纸面向外的匀强
磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为q（q＞0）的相同粒子从y 轴上的P(0，❑√3 L)点，
以相同的速率在纸面内均匀射入磁场，设入射速度方向与y 轴正方向的夹角为（0≤α≤180°），当α＝
150°时，粒子垂直x 轴离开磁场。不计粒子间相互作用及粒子的重力。则（ ）
A．粒子做圆周运动的半径为2L
B．粒子做圆周运动的半径为2❑√3 L
C．粒子在磁场中运动的最长时间为4 πm
3qB
D．粒子在磁场中运动的最长时间为7 πm
6qB
（多选）9．如图所示，在半径为R 的半圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，CD 为圆的直径，O
为圆心。某时刻从最低点S 向磁场内各个方向均匀发射速度大小为v，质量为m，电荷量为+q 的粒子。
已知磁感应强度大小为8mv
5qR
，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，sin53°＝0.8，下列说法正确的是
（ ）
A．粒子在该匀强磁场中运动轨迹的半径为R
B．在直径CD 上有粒子射出的区域长度为R
C．从S 射入磁场的粒子中可以从直径CD 上射出的粒子占比为53
180
D．从直径CD 上射出的粒子，在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为143
106
模型三 平移圆法
1. 适用条件： 速度大小一定， 方向一定，入射点不同，且为直线边界。
粒子入射点在同一直线边界上，粒子垂直该直线出发，初速度大小相等， 方向相同。但入射
点不同， 粒子进入匀强磁场时， 这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动且半径相等，就像
把一个圆沿该直线边界平移一样，所以该模型叫平移圆模型。
2. 轨迹特点： 轨迹圆圆心在同一条直线上。
如图所示， 假设粒子带负电， 不同带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，
该直线与入射点的连线重合。
3. 寻找临界条件
将轨迹圆沿圆心所在的直线进行平移， 从而找到粒子运动的临界圆。
【例题精讲】
1．如图所示，在直角三角形abc 区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量
为m、电荷量为+q 的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ab 边射入场区，结果在bc 边仅有一半的区域
内有粒子射出。已知bc 边的长度为L，bc 和ac 的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。
下列说法正确的是（ ）
A．粒子的入射速度为BqL
4 m
B．粒子的入射速度为
❑√3 BqL
6m
C．粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为πL
2
D．从bc 边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为πm
2Bq
2．如图所示，在直角三角形ABC 内存在垂直于纸面向外的匀强磁场（图中未画出），AB 边长度为d；
∠C = π
6
，现垂直于AB 边射入一群质量均为m，电荷量均为q，速度相同的带正电粒子（不计重力），
已知垂直于AC 边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，在磁场中运动时间最长的粒子经历的时间为
5
3 t0，下列判断正确的是（ ）
A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为2.4t0
B．该匀强磁场的磁感应强度大小为2πm
qt0
C．粒子在磁场中运动的轨道半径为2❑√3
7
d
D．粒子进入磁场时的速度大小为2❑√3 πd
7t0
3．如图所示，在等腰三角形ABC 内充满垂直纸面的匀强磁场（图中未画出），AB 边长度为l，∠A＝
∠C＝30°。一群质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v 的带正电粒子垂直BC 边射入磁场，已知
从AB 边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，而在AB 边射出的粒子，在磁场中运动最长的时间
为5
4 t0（不计粒子重力和粒子间相互作用）。下列判断正确的是（ ）
A．粒子可以从CB 边射出
B．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为12
5 t0
C．粒子从AB 和AC 边出射的范围其长度之比为2：3
D．粒子进入磁场速度大小为
2πl
(6+ ❑√3)t0
4．如图所示，在直角三角形ABC 内存在垂直纸面向外的匀强磁场，AB 边长度为d，∠C = π
6
，现垂直
AB 边以相同的速度射入一群质量均为m、电荷量均为q 的带正电粒子（粒子不计重力、不考虑电荷间
的相互作用），已知垂直AC 边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，则下列判断中正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的最长时间为4t0
B．该匀强磁场的磁感应强度大小是πm
4 qt0
C．如果粒子带的是负电，不可能有粒子垂直BC 边射出磁场
D．若有粒子能再次回到AB 边，则该粒子在磁场中运动的速度最大为π(2❑√3−3)d
2t0
5．如图所示，在直角三角形abc 区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量均匀
分布在ab 边的同种带电粒子（质量为m，电荷量为+q）以相同的速度沿纸面垂直于ab 边射入场区，结
果有一半的粒子从bc 边射出。已知bc 边长为L，bc 与ac 的夹角为60°，不计粒子的重力及粒子之间的
相互作用。下列说法正确的是（ ）
A．粒子的入射速度为BqL
4 m
B．粒子的入射速度为
❑√3 BqL
12m
C．从bc 边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为πm
3qB
D．若射入的粒子为负电荷，要使一半的粒子射出bc，则粒子的入射速度至少为
❑√3 BqL
6m
模型四 磁聚焦和磁发散问题
1.磁感应强度为B 的有界圆形磁场区域的圆心为O，从圆形磁场区域的边界P 点有若干电
荷量为+q、质量为m 的带电粒子（不计重力），它们均以相等大小的速度v 朝各个方向进入
磁场区域，若圆形磁场区域的半径等于带电粒子在磁场中运动的轨道半径，那么这些粒子射
出磁场时速度的方向平行，如图1 所示。
图1
2.磁聚焦模型
若干速度大小相同的同种带正电的粒子，如果平行进入圆形磁场区域，并且圆形磁场区
域的半径等于带电粒子在磁场中运动的轨道半径，那么这些带电粒子将从磁场圆的最低点B
点射出，如图2 所示。
图2
【例题精讲】
1．如图所示，一半径为R 圆心为O 的圆形区域内部存在磁感应强度大小为B 垂直于纸面向外的匀强磁场。
一群单个质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子从图中磁场边界O′点以初速度v 从不同方向沿纸面射
入磁场，不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（ ）
A．若v = qBR
m
，则所有粒子出射方向平行
B．若v = qBR
m
，则所有粒子偏转角度相同
C．若v =
❑√3qBR
2m
，则所有粒子均从某段圆弧边界射出，其圆弧长度为3 πR
2
D．若v =
❑√3qBR
2m
，则粒子在磁场中运动的最长时间是t = πm
qB
（多选）2．如图所示，在半径为2R 的半圆形区域内存在磁感应强度大小为B 的匀强磁场；方向垂直纸
面向内，圆弧PQ 上覆盖有一层厚度不计的收集板（未画出）。另有一半径为R 的圆形磁场区域与直径
PQ 相切于圆心O 点，磁感应强度大小未知，方向垂直纸面向内。一束宽度为2R，均匀分布的电子束，
以速度v= 2eBR
m
沿着与直径PQ 平行的方向，射向圆形磁场区域。电子的电荷量为e，质量为m，最终
所有电子均从圆心O 进入半圆形磁场区域。不计电子间的相互作用以及重力影响，则下列说法中正确的
是（ ）
A．圆形区域内磁场的磁感应强度大小为2B
B．收集板上有电子接收的范围占整个收集板的5
6
C．收集板接收到的电子数占所有电子的80%
D．沿QP 方向向左移动圆形磁场区域，可以增大收集板上有电子接收的范围
（多选）3．如图所示，平面直角坐标系x＞0 区域存在一个圆形有界匀强磁场，磁场圆心位于x 轴上、磁
场方向垂直于纸面，一个带正电的粒子从O 点沿x 轴正方向进入磁场，最后平行于y 轴正方向射出，不
计粒子重力，则（ ）
A．磁场方向垂直于纸面向里
B．磁场方向垂直于纸面向外
C．粒子的轨迹半径小于圆形有界磁场半径
D．粒子的轨迹半径与圆形有界磁场半径相等
4．带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一。带电粒子流（每个粒子的质量为m、
电荷量为+q）以初速度v 垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用。对处在xOy 平面内的粒
子，求解以下问题。
（1）如图（a），宽度为2r1的带电粒子流沿x 轴正方向射入圆心为A（0，r1）、半径为r1的圆形匀强
磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点O，求该磁场磁感应强度B1的大小；
（2）如图（a），虚线框为边长等于2r2的正方形，其几何中心位于C（0，﹣r2）。在虚线框内设计一
个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到O 点的带电粒子流经过该区域后宽度变为2r2，并沿x 轴正方向
射出。求该磁场磁感应强度B2 的大小和方向，以及该磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过
程）；
（3）如图（b），虚线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于r3的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于r4的正方形。在
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为2r3的带电粒子流沿x 轴正方向射
入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点O，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为2r4，并沿x 轴正方向射出，从而实现带电粒
子流的同轴控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积（无需写出面
积最小的证明过程）。
