文档文本内容
专题20 电学计算
考点
三年考情（2023-2025）
命题趋势
考点1 带电
粒子在组合场
中的运动
2025·河南卷·T15、2025·黑吉辽卷·T15、2024·黑吉辽卷
·T15、2024·海南卷·T18、2024·湖南卷·T14、2024·甘肃
卷·T15、2023·山东卷·T17、2023·海南卷·T13、2023·辽
宁卷·T14
(1)带电粒子在组合场中
的运动。
(2)电磁感应与动力学、
功能关系和动量综合问
题。
考点2 电磁感
应与动力学、
功能关系和动
量综合问题
2025·福建卷·T15、2025·山东卷·T18、2024·河北卷
·T14、
2024·浙江6 月选考卷·T19、2024·海南卷·T13、2024·北
京卷·T20、2024·江西卷·T15、2024·湖北卷·T15、2024·
安徽卷·T15
考点01 带电粒子在组合场中的运动
1．（2025·陕晋青宁卷·高考真题）电子比荷是描述电子性质的重要物理量。在标准理想二极
管中利用磁控法可测得比荷，一般其电极结构为圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统，结
构简化如图（a）所示，圆筒足够长。在O 点有一电子源，向空间中各个方向发射速度大
小为
的电子，某时刻起筒内加大小可调节且方向沿中心轴向下的匀强磁场，筒的横截面
及轴截面示意图如图（b）所示，当磁感应强度大小调至
时，恰好没有电子落到筒壁上，
不计电子间相互作用及其重力的影响。求：（R、
、
均为已知量）
(1)电子的比荷
;
(2)当磁感应强度大小调至
时，筒壁上落有电子的区域面积S。
2．（2025·河南·高考真题）如图，水平虚线上方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，下方区
域有竖直向上的匀强电场。质量为m、带电量为q（
）的粒子从磁场中的a 点以速度
向右水平发射，当粒子进入电场时其速度沿右下方向并与水平虚线的夹角为
，然后
粒子又射出电场重新进入磁场并通过右侧b 点，通过b 点时其速度方向水平向右。a、b 距
水平虚线的距离均为h，两点之间的距离为
。不计重力。
(1)求磁感应强度的大小；
(2)求电场强度的大小；
(3)若粒子从a 点以
竖直向下发射，长时间来看，粒子将向左或向右漂移，求漂移速度大
小。（一个周期内粒子的位移与周期的比值为漂移速度）
3．（2025·贵州·高考真题）如图所示，
轴水平向右，
轴竖直向上，
轴垂直纸面向里
（图中未画出），在
平面里有竖直向上的匀强电场
，在
的平面下方存在垂直
纸面向里的匀强磁场
，
的平面上方有垂直纸面向里的匀强磁场
（未知）。有
一带正电的粒子，质量为
，从坐标原点
出发，沿
轴正方向以速度
射出后做圆周运
动，其中
，
，
点坐标
。已知重力加速度为
，粒子电荷
量为
。求：
(1)电场强度
的大小及该粒子第一次经过
平面时的位置对应的
坐标值；
(2)当该带电粒子沿
轴正方向飞出到达
点时间最小时，求
的大小；
(3)若将电场
改成沿y 轴正方向，粒子同样从坐标原点
沿x 轴以速度
射出，求粒子的
轨迹方程。
4．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图（a），固定在光滑绝缘水平面上的单匝正方形导体框
，置于始终竖直向下的匀强磁场中，
边与磁场边界平行，
边中点位于磁场边
界。导体框的质量
，电阻
、边长
。磁感应强度B 随时间t 连续
变化，
内
图像如图（b）所示。导体框中的感应电流I 与时间t 关系图像如图
（c）所示，其中
内的图像未画出，规定顺时针方向为电流正方向。
(1)求
时
边受到的安培力大小F；
(2)画出图(b)中
内
图像（无需写出计算过程）；
(3)从
开始，磁场不再随时间变化。之后导体框解除固定，给导体框一个向右的初速
度
，求ad 边离开磁场时的速度大小
。
5．（2025·云南·高考真题）磁屏蔽技术可以降低外界磁场对屏蔽区域的干扰。如图所示，
区域存在垂直
平面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小为
（未知）。第一象
限内存在边长为
的正方形磁屏蔽区ONPQ，经磁屏蔽后，该区域内的匀强磁场方向仍
垂直
平面向里，其磁感应强度大小为
（未知），但满足
。某质量为
m、电荷量为
的带电粒子通过速度选择器后，在
平面内垂直y 轴射入
区域，经磁场偏转后刚好从ON 中点垂直ON 射入磁屏蔽区域。速度选择器两极板间电压
U、间距d、内部磁感应强度大小
已知，不考虑该粒子的重力。
(1)求该粒子通过速度选择器的速率；
(2)求
以及y 轴上可能检测到该粒子的范围；
(3)定义磁屏蔽效率
，若在Q 处检测到该粒子，则
是多少？
6．（2025·北京·高考真题）北京谱仪是北京正负电子对撞机的一部分，它可以利用带电粒子
在磁场中的运动测量粒子的质量、动量等物理量。
考虑带电粒子在磁感应强度为B 的匀强磁场中的运动，且不计粒子间相互作用。
(1)一个电荷量为
的粒子的速度方向与磁场方向垂直，推导得出粒子的运动周期T 与质量
m 的关系。
(2)两个粒子质量相等、电荷量均为q，粒子1 的速度方向与磁场方向垂直，粒子2 的速度
方向与磁场方向平行。在相同的时间内，粒子1 在半径为R 的圆周上转过的圆心角为
，
粒子2 运动的距离为d。求：
a．粒子1 与粒子2 的速度大小之比
；
b．粒子2 的动量大小
。
7．（2025·湖南·高考真题）如图。直流电源的电动势为
，内阻为
，滑动变阻器R 的最大
阻值为
，平行板电容器两极板水平放置，板间距离为d，板长为
，平行板电容器
的右侧存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。闭合开关S，当滑片处于滑动变阻器中点时，
质量为m 的带正电粒子以初速度
水平向右从电容器左侧中点a 进入电容器，恰好从电容
器下极板右侧边缘b 点进入磁场，随后又从电容器上极板右侧边缘c 点进入电容器，忽略
粒子重力和空气阻力。
(1)求粒子所带电荷量q；
(2)求磁感应强度B 的大小；
(3)若粒子离开b 点时，在平行板电容器的右侧再加一个方向水平向右的匀强电场，场强大
小为
，求粒子相对于电容器右侧的最远水平距离
。
8．（2025·浙江·高考真题）如图所示，接有恒流源的正方形线框边长
、质量m、电阻
R，放在光滑水平地面上，线框部分处于垂直地面向下、磁感应强度为B 的匀强磁场中。
以磁场边界CD 上一点为坐标原点，水平向右建立
轴，线框中心和一条对角线始终位
于
轴上。开关S 断开，线框保持静止，不计空气阻力。
(1)线框中心位于
，闭合开关S 后，线框中电流大小为I，求
①闭合开关S 瞬间，线框受到的安培力大小；
②线框中心运动至
过程中，安培力做功及冲量；
③线框中心运动至
时，恒流源提供的电压；
(2)线框中心分别位于
和
，闭合开关S 后，线框中电流大小为I，线框中心分别
运动到
所需时间分别为
和
，求
。
9．（2024·天津·高考真题）如图所示，在
平面直角坐标系的第一象限内，存在半径为R
的半圆形匀强磁场区域，半圆与x 轴相切于M 点，与y 轴相切于N 点，直线边界与x 轴平
行，磁场方向垂直于纸面向里。在第一象限存在沿
方向的匀强电场，电场强度大小为
E．一带负电粒子质量为m，电荷量为q，从M 点以速度v 沿
方向进入第一象限，正好
能沿直线匀速穿过半圆区域。不计粒子重力。
(1)求磁感应强度B 的大小；
(2)若仅有电场，求粒子从M 点到达y 轴的时间t；
(3)若仅有磁场，改变粒子入射速度的大小，粒子能够到达x 轴上P 点，M、P 的距离为
，求粒子在磁场中运动的时间
。
10．（2024·福建·高考真题）如图，直角坐标系
中，第Ⅰ象限内存在垂直纸面向外的匀
强磁场。第Ⅱ、Ⅲ象限中有两平行板电容器
、
，其中
垂直
轴放置，极板与
轴
相交处存在小孔
、
；
垂直
轴放置，上、下极板右端分别紧贴
轴上的
、
点。一带电粒子从
静止释放，经电场直线加速后从
射出，紧贴
下极板进入
，
而后从
进入第Ⅰ象限；经磁场偏转后恰好垂直
轴离开，运动轨迹如图中虚线所示。
已知粒子质量为
、带电量为
，
、
间距离为
，
、
的板间电压大小均为
，
板间电场视为匀强电场，不计重力，忽略边缘效应。求：
(1)粒子经过
时的速度大小；
(2)粒子经过
时速度方向与
轴正向的夹角；
(3)磁场的磁感应强度大小。
11．（2024·贵州·高考真题）如图，边长为L 的正方形
区域及矩形
区域内均存在电
场强度大小为E、方向竖直向下且与
边平行的匀强电场，
右边有一半径为
且
与
相切的圆形区域，切点为
的中点，该圆形区域与
区域内均存在磁感应强度
大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一带电粒子从b 点斜向上射入电场后沿图中曲
线运动，经
边的中点进入
区域，并沿直线通过该区域后进入圆形区域。所有区域
均在纸面内，粒子始终在该纸面内运动，不计粒子重力。求：
(1)粒子沿直线通过
区域时的速度大小；
(2)粒子的电荷量与质量之比；
(3)粒子射出圆形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角。
12．（2024·江苏·高考真题）同步辐射光源中储存环的简化模型如图所示，内、外半径分别为
、
的两个半圆环区域abcd、a'b'c'd'中均有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大
小为
。ab 与a'b'间有一电势差为U 的加速电场，cd 与c'd'间有一个插入件，电子每次经
过插入件后，速度减小为通过前的k 倍。现有一个质量为m、电荷量为e 的电子，垂直于
cd 射入插入件，经过磁场、电场再次到达cd 的速度增加，多次循环后到达
的速度不
再增加，达到稳定值。不考虑相对论效应，忽略经过电场和插入件和的时间。
(1)求该电子进入插入件前、后，在磁场中运动的半径之比
；
(2)求该电子多次循环后到达cd 的稳定速度v；
(3)若该电子运动到cd 的中点P 时达到稳定速度，并最终能到达边界的d 点，求电子从P
点运动到d 的时间t。
13．（2024·重庆·高考真题）有人设计了一粒种子收集装置。如图所示，比荷为
的带正电
的粒子，由固定于M 点的发射枪，以不同的速率射出后，沿射线MN 方向运动，能收集
各方向粒子的收集器固定在MN 上方的K 点，O 在MN 上，且KO 垂直于MN。若打开磁
场开关，空间将充满磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场，速率为v0
的粒子运动到O 点时，打开磁场开关，该粒子全被收集，不计粒子重力，忽略磁场突变
的影响。
(1)求OK 间的距离；
(2)速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关，该粒子仍被收集，求MO 间的距离；
(3)速率为4v0的粒子射出后，运动一段时间再打开磁场开关，该粒子也能被收集。以粒子
射出的时刻为计时O 点。求打开磁场的那一时刻。
14．（2024·浙江·高考真题）探究性学习小组设计了一个能在喷镀板的上下表面喷镀不同离子
的实验装置，截面如图所示。在xOy 平面内，除x 轴和虚线之间的区域外，存在磁感应
强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场，在无磁场区域内，沿着x 轴依次放置离子
源、长度为L 的喷镀板P、长度均为L 的栅极板M 和N（由金属细丝组成的网状电极），
喷镀板P 上表面中点Q 的坐标为（1.5L，0），栅极板M 中点S 的坐标为（3L，0），离
子源产生a 和b 两种正离子，其中a 离子质量为m，电荷量为q，b 离子的比荷为a 离子
的
倍，经电压U=kU0（其中
，k 大小可调，a 和b 离子初速度视为0）的电
场加速后，沿着y 轴射入上方磁场。经磁场偏转和栅极板N 和M 间电压UNM调控
（UNM>0），a 和b 离子分别落在喷镀板的上下表面，并立即被吸收且电中和，忽略场的
边界效应、离子受到的重力及离子间相互作用力。
（1）若U=U0，求a 离子经磁场偏转后，到达x 轴上的位置x0（用L 表示）。
（2）调节U 和UNM，并保持
，使a 离子能落到喷镀板P 上表面任意位置，求：
①U 的调节范围（用U0表示）；
②b 离子落在喷镀板P 下表面的区域长度；
（3）要求a 和b 离子恰好分别落在喷镀板P 上下表面的中点，求U 和UNM的大小。
15．（2024·海南·高考真题）如图，在xOy 坐标系中有三个区域，圆形区域Ⅰ分别与x 轴和y
轴相切于P 点和S 点。半圆形区域Ⅱ的半径是区域Ⅰ半径的2 倍。区域Ⅰ、Ⅱ的圆心
连线与x 轴平行，半圆与圆相切于Q 点，QF 垂直于x 轴，半圆的直径MN 所在的
直线右侧为区域Ⅲ。区域Ⅰ、Ⅱ分别有磁感应强度大小为B、
的匀强磁场，磁场方向
均垂直纸面向外。区域Ⅰ下方有一粒子源和加速电场组成的发射器，可将质量为m、电
荷量为q 的粒子由电场加速到
。改变发射器的位置，使带电粒子在OF 范围内都沿着y
轴正方向以相同的速度
沿纸面射入区域Ⅰ。已知某粒子从P 点射入区域Ⅰ，并从Q 点
射入区域Ⅱ（不计粒子的重力和粒子之间的影响）
（1）求加速电场两板间的电压U 和区域Ⅰ的半径R；
（2）在能射入区域Ⅲ的粒子中，某粒子在区域Ⅱ中运动的时间最短，求该粒子在区域Ⅰ
和区域Ⅱ中运动的总时间t；
（3）在区域Ⅲ加入匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，电
场强度的大小
，方向沿x 轴正方向。此后，粒子源中某粒子经区域Ⅰ、Ⅱ射入区
域Ⅲ，进入区域Ⅲ时速度方向与y 轴负方向的夹角成74°角。当粒子动能最大时，求粒子
的速度大小及所在的位置到y 轴的距离
。
16．（2024·北京·高考真题）我国“天宫”空间站采用霍尔推进器控制姿态和修正轨道。图为
某种霍尔推进器的放电室（两个半径接近的同轴圆筒间的区域）的示意图。放电室的左、
右两端分别为阳极和阴极，间距为d。阴极发射电子，一部分电子进入放电室，另一部分
未进入。稳定运行时，可视为放电室内有方向沿轴向向右的匀强电场和匀强磁场，电场
强度和磁感应强度大小分别为E 和
；还有方向沿半径向外的径向磁场，大小处处相等。
放电室内的大量电子可视为处于阳极附近，在垂直于轴线的平面绕轴线做半径为R 的匀
速圆周运动（如截面图所示），可与左端注入的氙原子碰撞并使其电离。每个氙离子的
质量为M、电荷量为
，初速度近似为零。氙离子经过电场加速，最终从放电室右端喷
出，与阴极发射的未进入放电室的电子刚好完全中和。
已知电子的质量为m、电荷量为
；对于氙离子，仅考虑电场的作用。
（1）求氙离子在放电室内运动的加速度大小a；
（2）求径向磁场的磁感应强度大小
；
（3）设被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比为常数k，单位时间内阴极发射的
电子总数为n，求此霍尔推进器获得的推力大小F。
17．（2024·甘肃·高考真题）质谱仪是科学研究中的重要仪器，其原理如图所示。Ⅰ为粒子加
速器，加速电压为U；Ⅱ为速度选择器，匀强电场的电场强度大小为
，方向沿纸面向
下，匀强磁场的磁感应强度大小为
，方向垂直纸面向里；Ⅲ为偏转分离器，匀强磁场
的磁感应强度大小为
，方向垂直纸面向里。从S 点释放初速度为零的带电粒子（不计
重力），加速后进入速度选择器做直线运动、再由O 点进入分离器做圆周运动，最后打
到照相底片的P 点处，运动轨迹如图中虚线所示。
（1）粒子带正电还是负电？求粒子的比荷。
（2）求O 点到P 点的距离。
（3）若速度选择器Ⅱ中匀强电场的电场强度大小变为
（
略大于
），方向不变，
粒子恰好垂直打在速度选择器右挡板的
点上。求粒子打在
点的速度大小。
18．（2024·广东·高考真题）如图甲所示。两块平行正对的金属板水平放置，板间加上如图乙
所示幅值为
、周期为
的交变电压。金属板左侧存在一水平向右的恒定匀强电场，右
侧分布着垂直纸面向外的匀强磁场。磁感应强度大小为B．一带电粒子在
时刻从左
侧电场某处由静止释放，在
时刻从下板左端边缘位置水平向右进入金属板间的电场
内，在
时刻第一次离开金属板间的电场、水平向右进入磁场，并在
时刻从
下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场。已知金属板的板长是板间距离的
倍，
粒子质量为m。忽略粒子所受的重力和场的边缘效应。
（1）判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量q；
（2）求金属板的板间距离D 和带电粒子在
时刻的速度大小v；
（3）求从
时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中，电场力对粒子做的功
W。
19．（2024·湖南·高考真题）如图，有一内半径为2r、长为L 的圆筒，左右端面圆心O′、O
处各开有一小孔。以O 为坐标原点，取O′O 方向为x 轴正方向建立xyz 坐标系。在筒内x
≤ 0 区域有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向沿x 轴正方向；筒外x ≥ 0 区域有一匀
强电场，场强大小为E，方向沿y 轴正方向。一电子枪在O′处向圆筒内多个方向发射电子，
电子初速度方向均在xOy 平面内，且在x 轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质量
为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力。
（1）若所有电子均能经过O 进入电场，求磁感应强度B 的最小值；
（2）取（1）问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x 轴正方向最大
夹角为θ，求tanθ 的绝对值；
（3）取（1）问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y 轴正方向的最大位移。
20．（2024·新疆河南·高考真题）一质量为m、电荷量为
的带电粒子始终在同一水
平面内运动，其速度可用图示的直角坐标系内，一个点
表示，
、
分别为粒
子速度在水平面内两个坐标轴上的分量。粒子出发时P 位于图中
点，粒子在水平
方向的匀强电场作用下运动，P 点沿线段ab 移动到
点；随后粒子离开电场，进
入方向竖直、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，P 点沿以O 为圆心的圆弧移动至
点；然后粒子离开磁场返回电场，P 点沿线段ca 回到a 点。已知任何相等的时
间内P 点沿图中闭合曲线通过的曲线长度都相等。不计重力。求
（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期；
（2）电场强度的大小；
（3）P 点沿图中闭合曲线移动1 周回到a 点时，粒子位移的大小。
考点02 电磁感应与动力学、功能关系和动量综合问题
21．（2025·山东·高考真题）如图所示，平行轨道的间距为L，轨道平面与水平面夹角为α，
二者的交线与轨道垂直，以轨道上O 点为坐标原点，沿轨道向下为x 轴正方向建立坐标
系。轨道之间存在区域I、Ⅱ，区域I（−2L ≤ x < −L）内充满磁感应强度大小为B、方向
竖直向上的匀强磁场；区域Ⅱ（x ≥ 0）内充满方向垂直轨道平面向上的磁场，磁感应强
度大小B1 = k1t+k2x，k1和k2均为大于零的常量，该磁场可视为由随时间t 均匀增加的匀
强磁场和随x 轴坐标均匀增加的磁场叠加而成。将质量为m、边长为L、电阻为R 的匀质
正方形闭合金属框epqf 时放置在轨道上，pq 边与轨道垂直，由静止释放。已知轨道绝缘、
光滑、足够长且不可移动，磁场上、下边界均与x 轴垂直，整个过程中金属框不发生形
变，重力加速度大小为g，不计自感。
(1)若金属框从开始进入到完全离开区域I 的过程中匀速运动，求金属框匀速运动的速率v
和释放时pq 边与区域I 上边界的距离s；
(2)金属框沿轨道下滑，当ef 边刚进入区域Ⅱ时开始计时（t = 0），此时金属框的速率为
v0，若
，求从开始计时到金属框达到平衡状态的过程中，ef 边移动的距离
d。
22．（2025·海南·高考真题）间距为L 的金属导轨倾斜部分光滑，水平部分粗糙且平滑相接，
导轨上方接有电源和开关，倾斜导轨与水平面夹角
，处于垂直于导轨平面向上的
匀强磁场中，水平导轨处于垂直竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小均为
，两相
同导体棒
、
与水平导轨的动摩擦因数
，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，
两棒质量均
，接入电路中的电阻均为
，
棒仅在水平导轨上运动，两导体棒在运动
过程中始终与导轨垂直并接触良好，且不互相碰撞，忽略金属导轨的电阻，重力加速度
为
。
(1)锁定水平导轨上的
棒，闭合开关，
棒静止在倾斜导轨上，求通过
棒的电流；
断开开关，同时解除
棒的锁定，当
棒下滑距离为
时，
棒开始运动，求
棒
从解除锁定到开始运动过程中，
棒产生的焦耳热；
(2)此后
棒在下滑过程中，电流达到稳定，求此时
、
棒的速度大小之差；
(3)
棒中电流稳定之后继续下滑，从
棒到达水平导轨开始计时，
时刻
棒速度为
零，加速度不为零，此后某时刻，
棒的加速度为零，速度不为零，求从
时刻到某时
刻，
、
的路程之差。
23．（2025·福建·高考真题）光滑斜面倾角为θ=30°，Ⅰ区域与Ⅱ区域均存在垂直斜面向外的
匀强磁场，两区磁感应强度大小相等，均为B。正方形线框abcd 质量为m，总电阻为
R，同种材料制成且粗细均匀，Ⅰ区域长为L1，Ⅱ区域长为L2，两区域间无磁场的区域长
度大于线框长度。线框从某一位置释放，cd 边进入Ⅰ区域时速度为v，且直到ab 边离开
Ⅰ区域时速度均为v，当cd 边进入Ⅱ区域时的速度和ab 边离开Ⅱ区域时的速度一致，则：
(1)求线框释放点cd 边与Ⅰ区域上边缘的距离；
(2)求cd 边进入Ⅰ区域时cd 边两端的电势差；
(3)求线框进入Ⅱ区域到完全离开过程中克服安培力做功的平均功率。
24．（2025·安徽·高考真题）如图，平行光滑金属导轨被固定在水平绝缘桌面上，导轨间距为
L，右端连接阻值为R 的定值电阻。水平导轨上足够长的矩形区域MNPQ 存在竖直向上的
匀强磁场，磁感应强度大小为B。某装置从MQ 左侧沿导轨水平向右发射第1 根导体棒，
导体棒以初速度v0进入磁场，速度减为0 时被锁定；从原位置再发射第2 根相同的导体
棒，导体棒仍以初速度v0进入磁场，速度减为0 时被锁定，以此类推，直到发射第n 根
相同的导体棒进入磁场。已知导体棒的质量为m，电阻为R，长度恰好等于导轨间距，与
导轨接触良好（发射前导体棒与导轨不接触），不计空气阻力、导轨的电阻，忽略回路
中的电流对原磁场的影响。
求：
(1)第1 根导体棒刚进入磁场时，所受安培力的功率；
(2)第2 根导体棒从进入磁场到速度减为0 的过程中，其横截面上通过的电荷量；
(3)从第1 根导体棒进入磁场到第n 根导体棒速度减为0 的过程中，导轨右端定值电阻R 上
产生的总热量。
25．（2024·浙江·高考真题）某小组探究“法拉第圆盘发电机与电动机的功用”，设计了如图
所示装置。飞轮由三根长
的辐条和金属圆环组成，可绕过其中心的水平固定轴
转动，不可伸长细绳绕在圆环上，系着质量
的物块，细绳与圆环无相对滑动。飞
轮处在方向垂直环面的匀强磁场中，左侧电路通过电刷与转轴和圆环边缘良好接触，开
关S 可分别与图示中的电路连接。已知电源电动势
、内阻
、限流电阻
、飞轮每根辐条电阻
，电路中还有可调电阻R2（待求）和电感L，
不计其他电阻和阻力损耗，不计飞轮转轴大小。
（1）开关S 掷1，“电动机”提升物块匀速上升时，理想电压表示数
。
①判断磁场方向，并求流过电阻R1的电流I1；
②求物块匀速上升的速度v1。
（2）开关S 掷2，物块从静止开始下落，经过一段时间后，物块匀速下降的速度与“电
动机”匀速提升物块的速度大小相等，
①求可调电阻R2的阻值；
②求磁感应强度B 的大小。
26．（2024·河北·高考真题）如图，边长为
的正方形金属细框固定放置在绝缘水平面上，
细框中心O 处固定一竖直细导体轴
。间距为L、与水平面成
角的平行导轨通过导
线分别与细框及导体轴相连。导轨和细框分别处在与各自所在平面垂直的匀强磁场中，
磁感应强度大小均为B。足够长的细导体棒
在水平面内绕O 点以角速度
匀速转动，
水平放置在导轨上的导体棒
始终静止。
棒在转动过程中，
棒在所受安培力达
到最大和最小时均恰好能静止。已知
棒在导轨间的电阻值为R，电路中其余部分的电
阻均不计，
棒始终与导轨垂直，各部分始终接触良好，不计空气阻力，重力加速度
大小为g。
（1）求
棒所受安培力的最大值和最小值。
（2）锁定
棒，推动
棒下滑，撤去推力瞬间，
棒的加速度大小为a，所受安培
力大小等于（1）问中安培力的最大值，求
棒与导轨间的动摩擦因数。
27．（2024·江西·高考真题）如图（a）所示，轨道左侧斜面倾斜角满足sinθ1 = 0.6，摩擦因
数
，足够长的光滑水平导轨处于磁感应强度为B = 0.5T 的匀强磁场中，磁场方
向竖直向上，右侧斜面导轨倾角满足sinθ2 = 0.8，摩擦因数
。现将质量为m 甲
= 6kg 的导体杆甲从斜面上高h = 4m 处由静止释放，质量为m 乙 = 2kg 的导体杆乙静止
在水平导轨上，与水平轨道左端的距离为d。已知导轨间距为l = 2m，两杆电阻均为R =
1Ω，其余电阻不计，不计导体杆通过水平导轨与斜面导轨连接处的能量损失，且若两杆
发生碰撞，则为完全非弹性碰撞，取g = 10m/s2，求：
（1）甲杆刚进入磁场，乙杆的加速度？
（2）乙杆第一次滑上斜面前两杆未相碰，距离d 满足的条件？
（3）若乙前两次在右侧倾斜导轨上相对于水平导轨的竖直高度y 随时间t 的变化如图
（b）所示（t1、t2、t3、t4、b 均为未知量），乙第二次进入右侧倾斜导轨之前与甲发生碰
撞，甲在0 ~ t3时间内未进入右侧倾斜导轨，求d 的取值范围。
28．（2024·湖北·高考真题）如图所示，两足够长平行金属直导轨MN、PQ 的间距为L，固定
在同一水平面内，直导轨在左端M、P 点分别与两条竖直固定、半径为L 的
圆弧导轨相
切。MP 连线与直导轨垂直，其左侧无磁场，右侧存在磁感应强度大小为B、方向竖直向
下的匀强磁场。长为L、质量为m、电阻为R 的金属棒ab 跨放在两圆弧导轨的最高点。
质量为2m、电阻为6R 的均匀金属丝制成一个半径为L 的圆环，水平放置在两直导轨上，
其圆心到两直导轨的距离相等。忽略导轨的电阻、所有摩擦以及金属环的可能形变，金
属棒、金属环均与导轨始终接触良好，重力加速度大小为g。现将金属棒ab 由静止释放，
求
（1）ab 刚越过MP 时产生的感应电动势大小；
（2）金属环刚开始运动时的加速度大小；
（3）为使ab 在整个运动过程中不与金属环接触，金属环圆心初始位置到MP 的最小距离。
29．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，金属导轨平行且水平放置，导轨间距为L，导轨光滑
无摩擦。定值电阻大小为R，其余电阻忽略不计，电容大小为C。在运动过程中，金属棒
始终与导轨保持垂直。整个装置处于竖直方向且磁感应强度为B 的匀强磁场中。
(1)开关S 闭合时，对金属棒施加以水平向右的恒力，金属棒能达到的最大速度为v0。当
外力功率为定值电阻功率的两倍时，求金属棒速度v 的大小。
(2)当金属棒速度为v 时，断开开关S，改变水平外力并使金属棒匀速运动。当外力功率
为定值电阻功率的两倍时，求电容器两端的电压以及从开关断开到此刻外力所做的功。
30．（2024·安徽·高考真题）如图所示，一“U”型金属导轨固定在竖直平面内，一电阻不计，
质量为m 的金属棒ab 垂直于导轨，并静置于绝缘固定支架上。边长为L 的正方形cdef 区
域内，存在垂直于纸面向外的匀强磁场。支架上方的导轨间，存在竖直向下的匀强磁场。
两磁场的磁感应强度大小B 随时间的变化关系均为B = kt（SI），k 为常数（k > 0）。支
架上方的导轨足够长，两边导轨单位长度的电阻均为r，下方导轨的总电阻为R。t = 0 时，
对ab 施加竖直向上的拉力，恰使其向上做加速度大小为a 的匀加速直线运动，整个运动
过程中ab 与两边导轨接触良好。已知ab 与导轨间动摩擦因数为μ，重力加速度大小为
g。不计空气阻力，两磁场互不影响。
（1）求通过面积Scdef的磁通量大小随时间t 变化的关系式，以及感应电动势的大小，并
写出ab 中电流的方向；
（2）求ab 所受安培力的大小随时间t 变化的关系式；
（3）求经过多长时间，对ab 所施加的拉力达到最大值，并求此最大值。
31．（2023·上海·高考真题）如图（a），线框
位于倾斜角
的斜面上，斜面上有
一长度为
的单匝矩形磁场区域，磁场方向垂直于斜面向上，大小为
，已知线框边
长
，
，总电阻
，现对线框施加一沿斜面向上的力
使之运动。斜面上动摩擦因数
，线框速度随时间变化如图（b）所示。（重力加
速度
取
）
（1）求外力
大小；
（2）求
长度
；
（3）求回路产生的焦耳热
。
32．（2023·浙江·高考真题）某兴趣小组设计了一种火箭落停装置，简化原理如图所示，它由
两根竖直导轨、承载火箭装置（简化为与火箭绝缘的导电杆MN）和装置A 组成，并形成
闭合回路。装置A 能自动调节其输出电压确保回路电流I 恒定，方向如图所示。导轨长度
远大于导轨间距，不论导电杆运动到什么位置，电流I 在导电杆以上空间产生的磁场近似
为零，在导电杆所在处产生的磁场近似为匀强磁场，大小
（其中k 为常量），方
向垂直导轨平面向里；在导电杆以下的两导轨间产生的磁场近似为匀强磁场，大小
，方向与B1相同。火箭无动力下降到导轨顶端时与导电杆粘接，以速度v0进入
导轨，到达绝缘停靠平台时速度恰好为零，完成火箭落停。已知火箭与导电杆的总质量
为M，导轨间距
，导电杆电阻为R。导电杆与导轨保持良好接触滑行，不计空
气阻力和摩擦力，不计导轨电阻和装置A 的内阻。在火箭落停过程中，
（1）求导电杆所受安培力的大小F 和运动的距离L；
（2）求回路感应电动势E 与运动时间t 的关系；
（3）求装置A 输出电压U 与运动时间t 的关系和输出的能量W；
（4）若R 的阻值视为0，装置A 用于回收能量，给出装置A 可回收能量的来源和大小。
33．（2023·新课标卷·高考真题）一边长为L、质量为m 的正方形金属细框，每边电阻为R0，
置于光滑的绝缘水平桌面（纸面）上。宽度为2L 的区域内存在方向垂直于纸面的匀强磁
场，磁感应强度大小为B，两虚线为磁场边界，如图（a）所示。
（1）使金属框以一定的初速度向右运动，进入磁场。运动过程中金属框的左、右边框始
终与磁场边界平行，金属框完全穿过磁场区域后，速度大小降为它初速度的一半，求金
属框的初速度大小。
（2）在桌面上固定两条光滑长直金属导轨，导轨与磁场边界垂直，左端连接电阻R1 =
2R0，导轨电阻可忽略，金属框置于导轨上，如图（b）所示。让金属框以与（1）中相同
的初速度向右运动，进入磁场。运动过程中金属框的上、下边框处处与导轨始终接触良
好。求在金属框整个运动过程中，电阻R1产生的热量。
34．（2023·湖南·高考真题）如图，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距为
，
两导轨及其所构成的平面均与水平面成
角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀
强磁场中，磁感应强度大小为
．现将质量均为
的金属棒
垂直导轨放置，每根金
属棒接入导轨之间的电阻均为
。运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属
棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，重力加速度为
。
（1）先保持棒
静止，将棒
由静止释放，求棒
匀速运动时的速度大小
；
（2）在（1）问中，当棒
匀速运动时，再将棒
由静止释放，求释放瞬间棒
的加速度
大小
；
（3）在（2）问中，从棒
释放瞬间开始计时，经过时间
，两棒恰好达到相同的速度
，
求速度
的大小，以及时间
内棒
相对于棒
运动的距离
。
35．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，水平桌面上固定一光滑U 型金属导轨，其平行部分的
间距为，导轨的最右端与桌子右边缘对齐，导轨的电阻忽略不计。导轨所在区域有方向
竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为
。一质量为
、电阻为
、长度也为的金
属棒P 静止在导轨上。导轨上质量为
的绝缘棒Q 位于P 的左侧，以大小为
的速度向
P 运动并与P 发生弹性碰撞，碰撞时间很短。碰撞一次后，P 和Q 先后从导轨的最右端滑
出导轨，并落在地面上同一地点。P 在导轨上运动时，两端与导轨接触良好，P 与Q 始终
平行。不计空气阻力。求
（1）金属棒P 滑出导轨时的速度大小；
（2）金属棒P 在导轨上运动过程中产生的热量；
（3）与P 碰撞后，绝缘棒Q 在导轨上运动的时间。
