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专题07 立体几何与空间向量
1．
.
2．B
3．
4．
5．
6．
1．
/
2．BC
3．ACD
1．B
2．D
3．AC
4．A
5．D
6．D
1．A
2．AC
1．【详解】（1）在正四棱柱
中，以
为原点，直线
分别为
轴建立空间
直角坐标系，
考点1
几何体表面积体积问题
考点2
截面、轨迹与最短距离问题
考点3
点线面位置关系
考点4
空间向量基本定理
考点5
空间向量线面角问题
则
，
，
由
，得
，所以
.
（2）设平面
的法向量为
，而
，
则
，取
，得
，又
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
2．【详解】（1）证明：因为
平面
，
平面
，所以
，
因为
为下底面圆的直径，所以
，
因为
为
的中点，所以
，
所以
，
又
，
，
平面
，
所以
平面
.
（2）以
为坐标原点，
，
，
的方向分别为
轴、轴、
轴的正方向，建立如图所示的空间直
角坐标系，
不妨设
，
则
，
，
，
，
则
，
，
.
设平面
的一个法向量为
，
则
取
，得
.
设直线
与平面
所成角为
，
则
，
故直线
与平面
所成角的正弦值为
.
1．【详解】（1）证法一：因为
分别是圆
上在
同侧的两点，
且
,
所以
是等边三角形，
，所以
，
又
平面
平面
，所以
平面
，
因为
分别是圆柱
的上底面，下底面的直径，且
，
考点6
空间向量二面角与面面角问题
所以
，
所以四边形
是平行四边形，所以
，
又
平面
平面
，所以
平面
，
因为
平面
平面
平面
，
所以平面
平面
，又
平面
，所以
平面
，
证法二：如图，在线段
上取一点
，使得
，
因为
分别是圆
上在
同侧的两点，且
，
所以
是等边三角形，
，所以
，
又
，所以四边形
是平行四边形，
，
因为
分别是圆柱
的上底面，下底面的直径，且
，
所以
，
所以
，四边形
是平行四边形，所以
.
又
平面
平面
，所以
平面
；
（2）解：在圆
中过点
作
，又
平面
平面
，
所以
，以
为原点
所在直线分别为
轴，
轴，
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设圆柱
的底面半径为，
因为圆柱
的高为
，表面积为
，
所以
，即
，
解得
（舍）或
，
因为
，
所以
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，即
，
令
，得
，
即
为平面
的一个法向量，
设平面
的法向量为
，
则
，即
，
令
，得
，
即
为平面
的一个法向量，
设平面
与平面
的夹角为
，
则
，
即平面
与平面
夹角的余弦值为
．
2．【详解】（1）在线段PA 上取N，使得
，取线段
的中点
，连接
，
则
，
，
，
在梯形
中，
，E 为CD 的中点，则
，
因此
，四边形
为平行四边形，
，
而
平面
，
平面
，所以
平面
.
（2）由平面
平面
，平面
平面
，
，
平面
，则
平面
，
因为
，
，
则
，则
，即直线
两两垂直，
以A 为坐标原点，直线
分别为
轴建立空间直角坐标系，
不妨设
，则
，
则
，
设平面MEF 的法向量为
，
则
，取
，得
，
设平面
的法向量为
，
则
，取
，得
，
则
，
所以平面MEF 与平面PEF 夹角的余弦值为
.
3．【详解】（1）取
中点
,连接
,
因为
分别为PC，PB 中点，所以
,
,
又因为
，所以
所以四边形
为平行四边形，所以
,
又因为
平面
，
平面
,
所以:
平面
.
（2）取AB 中点O,连接PO,
因为
是正三角形，所以
,
又因为
则
，所以
,
又因为
,
,
平面PAB,
所以
平面PAB，
又因为
平面ABCD,所以平面PAB
平面ABCD，
因为
，
平面PAB, 平面PAB
平面ABCD
所以
平面ABCD；
在平面PAB 内过点A 作
,则
平面ABCD；
如图所示，以A 为原点，AB,AD,AM,分别为
轴建立空间直角坐标系
则
，
则
设平面
的法向量为
则
即
，取
则
平面
的法向量为
；
设平面
与平面
夹角为
，
则
所以平面
与平面
夹角的余弦值为
4．【详解】（1）因为
，
是
中点，所以
，
因为
平面
，平面
平面
，
且平面
平面
，所以
平面
．
因为
平面
，所以
．
（2）如图所示，以O 为坐标原点，
为
轴，
为y 轴，垂直
且过O 的直线为x 轴，建立空间直角
坐标系
，
，
由（1）知
平面
，三棱锥
的体积为
，
所以
．
法1：
，
，
，
，
，
所以
，
，
设
为平面
的法向量，
则由
，
，
得平面
的一个法向量为
．
又平面
的一个法向量为
，
所以
，
由观察知二面角为锐角，所以二面角大小为45°，
法2：
过E 作
交BD 于H，过H 作
于G，连
，
因为
平面BCD，所以
平面BCD．
因为
平面BCD，所以
．
因为
，
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
因为
，所以
为二面角
的平面角，
因为
，所以
，
，
得
，得
，
由
，得
，而
，
得
，得
，而
，
得
，得
，
在
中，
，
所以
，所以二面角
的大小为
．
5．【详解】（1）如图，以
为坐标原点，
分别为
轴，建立空间直角坐标系，
不妨设正方体
的棱长为4，则
，
设
，
，则
，
，
因为
，所以
.
（2）若正方体
的棱长为4，
则
的面积
，
所以三棱锥
的体积
.
（3）当
时，则
，
可得
，
，
，
设平面
的法向量
，则
，
令
，则
，可得
；
设平面
的法向量
，则
，
令
，则
，可得
；
因为
，
所以二面角
的余弦值的绝对值为
.
1．ABC
2．【详解】（1）取PB 中点
，连接
，
分别为
的中点，
考点7
空间向量点到面距离问题
且
，
且
，
，且
，则四边形
为平行四边形，
，
平面
平面
，
平面
.
（2）取AB 中点
，连接OP，OD，BD
因为
，所以
，
∵平面
平面
，
面
，
为交线，
平面
，
，
为正三角形，
，
以
为原点，分别以OB，OD，OP 为
，
，
轴建系，如图，
设
，
则
，
，
，
，
，
所以
，
易知平面PAB 的法向量可取
，
设平面PAE 的法向量为
，
因为
，令
，可取
，
所以
，解得
，
所以
，
，
，
设平面PBC 的法向量为
，
因为
，令
，可得
，
所以
.
1．【详解】（1）连接
，
因为四边形
为正方形，G 是线段
的中点，
所以G 是线段
的中点.
又因为F 是线段
的中点，
所以
，
又因为
平面
，
平面
，
所以
平面
.
（2）因为平面
平面
，平面
平面
，
，
平面
，
所以
平面
，
过点
作，
，所以
平面
，
又因为
，所以以点
为原点，以
为
轴，建立空间直角坐标系，
设
，则
，
所以
，
考点8
空间向量探索性问题
取平面
的法向量为
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，
令
，则
，
因为平面
与平面
夹角余弦值为
，
所以
，
即
，
化简得到
，解得
或
（舍去），
因为
，所以
，故
.
2．【详解】（1）如图，连接AC，交BD 于点O，则O 为AC 的中点．连接OE，
因为
是
的中点，所以
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
，
（2）
，且三棱锥
与三棱锥
底面积相同，
三棱锥
的高是三棱锥
的高的二倍，
（3）存在点F，使得二面角
的正弦值为
．
因为底面
是菱形，
底面
，
与
平面
，
所以
，
，
，
故以O 为坐标原点，分别以OA，OB 所在直线为x，y 轴，以过点O 且平行于PD 的直线为z 轴，建立如图
所示的空间直角坐标系Oxyz．
则
，
，
，
，
，
，
故
，
，
，
设
，
，
则
，
．
设平面
的法向量为
，
则
，
，
则
，令
，则
，故
，
设平面BDF 的法向量为
，
则
，即
，
则
，令
得
，故
，
因为二面角
的正弦值为
，
所以二面角
的余弦值的绝对值为
，
令
，
化简得
，解得
或
．
因为
，所以
或
．
3．【详解】（1）因为
，
，
，
所以
，则
．
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又因为
平面
，所以
．
（2）存在，由（1）知，
平面
且
，
以
为坐标原点，
，
，
的方向分别为
轴，
轴，
轴的正方向建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
所以
，
，
设
，
则
．
设平面
的一个法向量为
，
则
，故可取
．
设点
到平面
的距离为
，
则
，解得
或
（舍）．
所以在线段
上存在点
，且
．
4．【详解】（1）因为
，则
，且
，可得
，
将
沿
折起到
的位置，始终有
，
因为
平面
，所以
平面
，
由
平面
，可得
，
且
，
，
，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，所以平面
平面
；
（2）由（1）可知，
两两垂直，翻折前，因为
，且
，
所以
，
，所以
，
翻折后
，由勾股定理得
，
故可以
为原点，直线
分别为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
当
时，
，
，
，
，
，
，可得
，
，
，
设平面
的法向量
，则
，
令
，则
，可得
，
设平面
的法向量
，则
，
令
，则
，
，可得
，
设平面
与平面
夹角为
，
则
，
所以平面
与平面
夹角的余弦值为
；
（3）由（2）可知
，
，
，
设平面
的法向量
，则
，
令
，则
，
，可得
，
且
，
，
因为直线
与平面
所成角为
，
则
，
当且仅当
时，等号成立，
取最大值，
则
，故点
到平面
的距离为
，
又
，则
，
所以三棱锥
的体积为
．
5．【详解】（1）在直棱柱
中，令
，则
是
的中点，
由
，得
是
中点，而点
为
的中点，则
，
即
，而
平面
，
平面
，
所以
平面
.
（2）（ⅰ）分别取
的中点
，则
，又
平面
，
所以
平面
，由
，得
，则直线
两两垂直，
以点
为原点，向量
的方向分别为
轴的正方向，建立空间直角坐标系，
令
，则
，
，
，
设平面
与平面
的法向量分别为
，
，
则
，令
，得
，
，令
，得
，
由平面
与平面
所成角的余弦值为
，
得
，解得
或
，
由
是锐角三角形，得
，即
，则
，即
，
又
，则
，
而
，因此
，
所以异面直线
与
所成的角为
.
（ⅱ）由（ⅰ）知，
，则
，
，而平面
的法向量
，
因此
，而
，
所以
.
6．【详解】（1）在正方形
中，
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
又因为
平面
，平面
平面
，所以
；
（2）以点
为原点，
为
轴，
如图建立空间直角坐标系
，
则
，
，
，
，
，
（i）因为点
在直线上，
设
，因为
，则
，即
，
设点
所在球
的球心
，
则
，
即
，
解得
，即球心
，半径为
，
又
，
所以点
在球
的球面上；
（ii）设
，且
，
设平面
的法向量为
，则
，
可取
，记直线
与平面
所成的角为
，
则
，
解得
或
，
所以
的长为
或
.
