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专题1.5 基本不等式
重难点题型1 基本不等式及其应用
1．（2023·河北衡水·一模）《几何原本》卷2 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数
学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为
无字证明．现有如图所示图形，点
在半圆
上，点
在直径
上，且
，设
，
，
则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·浙江·二模）数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords，也被称为无字证明，是指仅用图象
而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证
明更为优雅与有条理．如下图，点
为半圆
上一点，
，垂足为
，记
，则由
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
基本不等式及其应用
重难点题型2
“直接法”求最值
重难点题型3
“配凑法”求最值
重难点题型4
“1”的代换求最值
重难点题型5
齐次化求最值
重难点题型6
与
、平方和、
有关问题的最值
重难点题型7
其它综合问题
可以直接证明的三角函数公式是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（22-23 高三上·浙江）如图在北京召开的第24 届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家
赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.我们教材中利用该图作为
一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是（ ）
A．如果
，
，那么
B．如果
，那么
C．对任意实数
和
，有
，当且仅当
时等号成立
D．对任意实数
和
，有
，当且仅当
时等号成立
4．（2023·上海奉贤·二模）已知两个正数
，
的几何平均值为1，则
的最小值为 ．
5．（2017·天津河东·二模）已知
，
，且
，则
的最小值是 ．
重难点题型2 “直接法”求最值
1．（24-25 高一上·云南昭通·期中）若正实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（2025·云南昆明·模拟预测）已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
3．（2025·广东汕头·模拟预测）已知
，
为
和
的等差中项，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·福建漳州·模拟预测）（多选题）已知正实数x，y 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·安徽淮北·二模）若实数
和
的等差中项为1，则
的最小值为 .
6．（24-25 高三上·江西萍乡·期中）已知正数
满足
，则
的最小值为 .
7．（2023·河北·高三学业考试）若，
，且
，则
的最大值为______．
重难点题型3 “配凑法”求最值
1．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）已知
，则
的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．
D．6
2．（2025·辽宁·模拟预测）已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
3．（2025·四川德阳·二模）若
，则函数
的最小值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
4．（2025·河北石家庄·一模）已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·重庆·模拟预测）若
，且
，则
的最小值为 ．
6．（2025·福建·模拟预测）已知
，则
的最小值为 .
重难点题型4 “1”的代换求最值
1．（2025·河北·三模）已知
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．4
D．9
2．（2025·山东济南·二模）若随机变量
，且
，则
的最
小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
3．（2025·广西·三模）在公差不为0 的等差数列
中，若
是
与
的等差中项，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·山东日照·一模）点
在直线
上，且
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
5．（2025·重庆·模拟预测）若
，且
，则
的最小值为 ．
6．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知
，
，
，则
的最小值为 ．
7．（24-25 高一下·贵州遵义·阶段练习）
中，
为边
的中点，
为中线
上的一点（不包含端
点），且
，则
的最小值为 .
8．（21-22 高一下·河北邢台·阶段练习）已知向量
，若
，则
的
最小值为 ．
重难点题型5 齐次化求最值
1．（2025·河南·模拟预测）若
，且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
2．（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数
，
，满足
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·四川德阳·模拟预测）已知
，
，
，
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数
，
满足
，则
的最小值是 ．
5．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知
，且
，则
的最小值是 .
6．（24-25 高一上·山西大同·阶段练习）已知
，
，且
，则
的最大值为
.
重难点题型6 与
、平方和、
有关问题的最值
1．（2024·四川攀枝花·一模）（多选题）已知实数
，且满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·安徽·模拟预测）（多选题）已知
，
均为正数且
，则下列不等式正确的有
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·江西上饶·二模）（多选题）若正实数
满足
，则（ ）
A．
的最大值是
B．
的最小值是9
C．
的最大值是
D．
的最小值是
4．（多选题）（2023·重庆·统考模拟预测）若实数，满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
重难点题型7 其它综合问题
1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
2．（2023·江西·二模）实数
，
，满足：
，则
的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·河北秦皇岛·三模）设
，则
的最大值为 .
4．（24-25 高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知
，
，且
，若
的最小
值为3，则
.
