文档文本内容
第04 讲 基本不等式
易错分析
易错点一 忽视基本不等式成立的条件而致误
题型方法
题型一 利用基本不等式求最值
题型二 重要不等式链
题型三 对勾函数的应用
题型四 柯西不等式
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b 时，等号成立．
(3)其中叫做正数a，b 的算术平均数，叫做正数a，b 的几何平均数．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b 同号)．
题型梳理
知识清单
(3)ab≤
(a，b∈R)．
(4)≥
(a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．利用基本不等式求最值
(1)已知x，y 都是正数，如果积xy 等于定值P，那么当x＝y 时，和x＋y 有最小值2.
(2)已知x，y 都是正数，如果和x＋y 等于定值S，那么当x＝y 时，积xy 有最大值S2.
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
【易错点一】忽视基本不等式成立的条件而致误
【例1】（2021·全国乙卷·高考真题）下列函数中最小值为4 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质可判断
选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出
不符
合题意，
符合题意．
【详解】对于A，
，当且仅当
时取等号，所以其最小值为，A 不符合题意；
对于B，因为
，
，当且仅当
时取等号，等号取不到，所以其最小值不
为
，B 不符合题意；
对于C，因为函数定义域为
，而
，
，当且仅当
，即
时取等号，所以
其最小值为
，C 符合题意；
易错分析
对于D，
，函数定义域为
，而
且
，如当
，
，D 不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可
解出．
【举一反三】【变式1】（多选）（2024·江苏南通·一模）下列函数中最小值为4 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】对于A：举反例说明即可；对于BCD：利用基本不等式运算求解即可.
【详解】对于选项A：例如
，则
，可得
，
所以
的最小值不为4，故A 错误；
对于选项B：因为
，
则
，当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为4，故B 正确；
对于选项C：因为
，
则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为4，故C 正确；
对于选项D：因为
，且
，
则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为4，故D 正确；
故选：BCD.
【变式2】（多选）（2022·江苏南通·一模）下列函数中最小值为6 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项.
【详解】解：对于A 选项，当
时，
，此时
，故A 不正确.
对于B 选项，
，当且仅当
，即
时取“
”，故B 正确.
对于C 选项，
，当且仅当
，即
时取“
”，故C 正确.
对于D 选项，
，
当且仅当
，即
无解，故D 不正确.
故选：BC.
【变式3】（多选）（2022·海南·模拟预测）下列各式中，最小值为2 的是（ ）
A．
B．
（
为锐角）
C．
D．
【答案】AB
【分析】利用基本不等式求最值的使用条件来加以判断，即可得到选项.
【详解】对于A，因为
，所以
，则由基本不等式得
，
当且仅当
，即
时，此时
取等号，即选项A 正确；
对于B，因为
为锐角，所以
，则由基本不等式得
，
当且仅当
，即
时，此时
取等号，即选项B 正确；
对于C，由于
，则由基本不等式得
，
当且仅当
，而
，此时等号不成立，即选项C 错误；
对于D，因为
，所以
，即
，所以它的最小值不可能是2，
即选项D 是错误的；
故选:AB.
【题型一】利用基本不等式求最值
【例1】（2021·天津·高考真题）若
，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】两次利用基本不等式即可求出.
题型方法
【详解】
，
，
当且仅当
且
，即
时等号成立，
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
解题技巧
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“ 1”代换的方法；三
是消元法．
【举一反三】【变式1】（2025·河南·三模）若
，
，且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据“1”的代换，结合基本不等式求出
的最小值，即可得出答案.
【详解】因为
，
，且
，
所以
，
当且仅当
，
，
，即
，
时等号成立，
所以
的最大值为
．
故选：A.
【变式2】（2025·山东济宁·模拟预测）已知
，
，且
，则
的最大值（ ）
A．12
B．
C．36
D．
【答案】D
【分析】由条件
得
，代入
再运用均值不等式即可求出
的最大值.
【详解】由
，得
，则
，
因为
，
，所以
当且仅当
，
时等号成立，
所以
的最大值为
，
故选：D.
【变式3】（2025·陕西安康·模拟预测）已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】D
【分析】将
变形得
，代入
再根据基本不等式可求出结果.
【详解】由题意，知
，
.由
，得
，
两边同时除以
，得
.
因为
，
当且仅当
，即
，
时取等号，
所以
的最小值为
.
故选：D.
【题型二】重要不等式链
【例2】（多选）（2024·辽宁·模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】对于ABC 由基本不等式逐项验证，对于D，利用代入消元，借助二次函数求解.
【详解】对于A：
，当且仅当
时取等号，正确；
对于B：因为
，所以
当且仅当
时取等号
所以
，当且仅当
时取等号，正确；
对于C:
，当且仅当
时取等号，错误；
对于D:因为
，所以
又
，所以
成立，正确
故选：ABD
【举一反三】【变式1】（多选）（2023·云南昆明·模拟预测）已知实数a，b 满足
，则下列结论正确的是
（ ）
A．
B．当
时，
C．
D．
【答案】BCD
【分析】由作差法可判断AC，根据基本不等式可判断BD.
【详解】对于A，
，由于
，所以
，故
，因此
，故A 错误，
对于B, 当
时，由于
，所以
，因此
，故B 正确，
对于C，由于
，所以
，所以
，故C
正确，
对于D, 由于
，
，故D 正确，
故选：BCD
【变式2】（多选）（2025·福建漳州·模拟预测）已知正实数x，y 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】对于A，由基本不等式建立不等式，可得其正误；对于B，由等量关系可得函数解析式，根据二次函数的性
质，可得其正误；对于C，利用基本不等式隐藏“1”的妙用，可得其正误；对于D，由等量关系可得函数解析式，利
用基本不等式，可得其正误.
【详解】对于A，
，当且仅当
，等号成立，则
，故A 正确；
对于B，由
，则
，由
，则
，
所以
，故B 错误；
对于C，
，当且仅当
，等号成立，故C 正确；
对于D，由B 易知
，当且仅当
，等号成立，则
，故D 正确.
故选：ACD.
【变式3】（多选）（2022·湖南衡阳·三模）已知实数
，
，
．则下列不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】对于A、D 利用
换元整理，
，
，再结合基本不等
式；对于B 根据
，代入整理；对于C
，结合
计算处理．
【详解】∵
，则
∴
，当且仅当
即
时等号成立
A 正确；
令
，则
，当且仅当
即
时等号成立
D 正确；
∵
，即
，则
，当且仅当
时等号成立，B 正确；
∵
，当且仅当
时等号成立
，C 不正确；
故选：ABD．
【题型三】对勾函数的应用
【例3】（2025·山西·二模）若函数
在
上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据对勾函数的单调性，即可求解.
【详解】当
时，
为单调递增函数，不符合题意，
当
时，
均为单调递增函数，故
为单调递增函数，不符合题意，
当
时，
在
单调递增，在
单调递减，
故
在
上单调递减，则
，
故选：C
【举一反三】【变式1】（2025·山东青岛·一模）已知等比数列
的公比
，存在
，满足
，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据等比数列的性质可得
，再根据基本不等式结合对勾函数性质求解即可．
【详解】在等比数列
中，由
，得
，即
，
则
，则
，
当且仅当
，即
时取等号，此时
，而
，
由对勾函数的性质知，当
时，
；
当
时，
，又
，
所以当
时，
取得最小值为
.
故答案为：
【变式2】（2024·四川成都·模拟预测）已知
，
且
，若当
取最小值时有
，
则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】先判断
，当且仅当
时等号成立，根据对勾函数
的单调性可得
，
解不等式即可得答案.
【详解】由于
，当且仅当
时等号成立.
.
由于对勾函数
在
上单调递减，
上单调递增，
若
取最小值时有
，则
，即
.
解得
，
又由于
，所以
的取值范围是
.
故答案为:
.
【变式3】（2021·全国·模拟预测）已知等差数列
满足
，
.
(1) 求数列
的通项公式；
(2) 若等差数列
的前
项和为
，数列
的前
项和为
，求
的最大值.
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】(1)根据已知等式及等差数列的通项公式求出数列
的公差，即可得数列
的通项公式；(2)根据(1)得到
，进而得到数列
的通项公式，并利用裂项相消法求出
，进而得到
，最后借助对勾函数的单调性求得
的最大值.
【详解】(1) 设等差数列
的公差为
，.
因为
，
，
所以
，解得
，
所以
，
.
(2) 由(1)可知，
，
于是
，
所以
，
则
，
由对勾函数的图象与性质可知函数
在
上单调递增，
所以当
时，
取得最大值，且最大值为
.
【题型四】柯西不等式
【例4】（2021·浙江·高考真题）已知平面向量
满足
.记向量
在
方向
上的投影分别为x，y，
在
方向上的投影为z，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】设
，由平面向量的知识可得
，再结合柯西不等式即可得解.
【详解】由题意，设
，
则
，即
，
又向量
在
方向上的投影分别为x，y，所以
，
所以
在
方向上的投影
，
即
,
所以
，
当且仅当
即
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由平面向量的知识转化出
之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即
可求得最小值.
【举一反三】【变式1】（2024·北京朝阳·模拟预测）函数
的最大值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】C
【分析】由柯西不等式求解即可.
【详解】
，由
，解得
，
当
时，
，当
，
，
当
，则
，
此时
且
，
由柯西不等式可得
，
当且仅当
，即
时取等号，此时
，即
，
所以函数
的最大值为2.
故选：C.
【变式2】（2021·陕西西安·模拟预测）在直角坐标系中，定义两点
与
之间的“直角距离”为
.若A，B 是椭圆
上任意两点，则
的最大值是
【答案】
【分析】法一：设
，
，直接利用柯西不等式求解；法二：设
，
，则
，
，两式相乘得到
，再由
，利用柯西不等
式求解；
【详解】法一：设
，
，由柯西不等式可知
.
法二：设
，
，则
，
.
，
所以
，
则
，
由柯西不等式可知
，
所以
，
所以
，
的最大值是
.
故答案为：
【变式3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知
均为正实数，且
．证明：
(1)
；
(2)若
，则
．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用柯西不等式推理即得.
（2）利用（1）的结论，再作差比较推理即得.
【详解】（1）由
均为正实数，得
，又
，
则
，当且仅当
时取等号，
所以
.
（2）当
时，由（1）得：
，
因此
，当且仅当
时取等号，
则
，由
，即得
取等号，
所以
.
一、单选题
1．（2025·天津红桥·一模）已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．4
D．2
【答案】D
【分析】利用基本不等式即得.
【详解】因为
，
所以
，
当且仅当
，且
，即
时，取等号，
所以
的最小值为2.
好题必刷
故选：D.
2．（2025·湖北·模拟预测）已知实数
，
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题设可得
，再应用基本不等式求目标式的最大值.
【详解】因为
，所以
，
因为
，
当且仅当
，即
时等号成立，故
的最大值为
.
故选：B
3．（2025·全国·模拟预测）若
，则在
的展开式中（ ）
A．x 的系数有最小值
B．
的系数有最小值
C．
的系数有最小值
D．
的系数有最小值
【答案】A
【分析】分别求出
展开式中
、
、
、
的系数即可得出结果.
【详解】
的展开式的通项公式为
，
，
展开式中
的系数为
，
因为
，所以
，当且仅当
，即
时取等号，所以
的系数有最小值，
展开式中
的系数为
，
当
时，
，该系数趋近于，但无最小值.
展开式中
的系数为
，
当
时，该系数趋近于
，无最小值.
展开式中
的系数，为
，
当
时，该系数趋近于
，无最小值.
综上，
的系数有最小值.
故选：A.
4．（2021·浙江·模拟预测）已知
，
，且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】依题意得
，则
，进而由柯西不等式可得最大值.
【详解】由
可得
，即
.
由
可知
，所以
.
由
，
可得
，
由柯西不等式得
，
所以
，当
即
时，取等号.
所以
的最大值为
.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：在得出
之后，关键在于根据题目特点应用柯西不等式求
最大值.
二、多选题
5．（2021·江苏南通·一模）已知
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据基本不等式及其性质，结合“1”的妙用以及对勾函数的性质，逐项进行分析判断即可得解.
【详解】对于A，因为
，所以
，
从而
，正确.
对于B，因为
，所以
，解得
，
所以
，正确.
对于C，令
(
)，
，在
为增函数，
所以
在
上单调递增，从而
，即
，错误.
对于D，因为
，所以
，正确.
故选：ABD
6．（2022·辽宁鞍山·二模）已知函数
，若f(x)=a 有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4，且满足
x1<x2<x3<x4，则下列命题正确的是（ ）
A．0<a<1
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】A 选项：将方程
的解转化为函数
与
图象交点的横坐标，然后结合图象即可得到
的范围；
BCD 选项：由题意可得
，整理得
，利用二次函数的对称性得到
，然后利用对勾函数
的单调性求范围即可.
【详解】
函数
的图象如上所示，
方程
的解可以转化为函数
与
图象交点的横坐标，由图可知
，故A 正确；
由题意可知
，即
，解得
，由图可知
，所以
，令
，则函数
在
上单调递增，当
时，
，
时，
，所以
的范围为
，故B 错；
函数
的对称轴为
，所以
，又
，所以
，函数
在
上单调递增，
，
，所以
，故C 正确；
，函数
在
上单调递减，
上单调递增，
，
，
，
所以
，故D 正确.
故选：ACD.
7．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知正数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】A 选项，由基本不等式得到
，得到
；B 选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小
值；C 选项，平方后得到
，结合A 知
；D 选项，
，故
D 正确.
【详解】A 选项，正数
满足
，故
，
解得
，当且仅当
，即
时，等号成立，A 正确；
B 选项，
，
当且仅当
，即
，即
时，等号成立，B 正确；
C 选项，
，
由A 知，
，故
，
故
，C 错误；
D 选项，因为
，所以
，
故
，当且仅当
，即
时，等号成立，D 正确.
故选：ABD
三、填空题
8．（2024·上海奉贤·三模）若
，则
有最大值为 ．
【答案】
/0.25
【分析】根据基本不等式即可求解.
【详解】因为
，显然当
时，
取得最大值，所以
，
当且仅当
时等号成立，所以
，
所以
有最大值为
.
故答案为：
.
9．（2023·上海嘉定·一模）函数
在
上的最大值和最小值的乘积为
【答案】
/
【分析】令
，化简
，令
，利用对勾函数的性质求解最值即可.
【详解】令
，
，∵
，∴
，
∴
，
令
，
由对勾函数的性质可知，函数
在
上为减函数，在
上为增函数，
∵
，
∴
∴函数
在
上的最大值和最小值分别为
，
∴函数
在
上的最大值和最小值的乘积为
．
故答案为：
．
10．（2024·河南·模拟预测）如图，已知半圆
的直径
是半圆
上异于点
的四点，且
，则当六边形
面积最大时，
的大小为 .
【答案】
【分析】将六边形
的面积表示出来，然后使用柯西不等式即可.
【详解】设六边形
的面积为，
再设
那么
……①
对①式使用柯西不等式有(对①式使5 维基本不等式有)：
取等条件：
……②
由题知：
……③
联立②③解得：
.
故答案为：
.
【点睛】本题是填空最后一个题，难度中档，属于跨章节综合题.在高中阶段计算最值的常用方法：①不等式(包括基
本不等式，柯西不等式)②辅助角公式③导数求极值.
四、解答题
11．（2024·四川南充·三模）若a，b 均为正实数，且满足
.
(1)求
的最大值；
(2)求证：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用柯西不等式直接求解；
（2）由分析法转化为求证
，换元后由函数单调性得证.
【详解】（1）由柯西不等式得：
，
即
，故
，
当且仅当
，即
时取得等号，
所以
的最大值为
.
（2）要证：
，
只需证：
，
只需证：
，
即证：
，
由a，b 均为正实数，且满足
可得
，
当且仅当
时等号成立，即
，
设
，则设
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，
，
即
.
12．（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知
的三个内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
.
(1)当
时，求
外接圆的面积；
(2)求
的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理的推论求得
，进而求得
，再利用正弦定理求得
外接圆的半径，从而得解；
（2）利用余弦定理，结合基本不等式并检验即可得解.
【详解】（1）因为
，
，则
，
所以
，
又
，所以
，
设
外接圆的半径为，则
，故
，
所以
外接圆的面积为
.
（2）因为
，
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
此时
，满足
，即
为直角三角形，
所以
的最小值为
.
13．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数
.
(1)解不等式
；
(2)记（1）中不等式的解集为
，
中的最大整数值为，若正实数
，
，满足
，求
的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）零点分段法求解绝对值不等式；
（2）先得到
，
，利用基本不等式得到
，相加后得到
答案.
【详解】（1）
，
当
时，
，解得
，故此时解集为
，
当
时，
，解得
，此时
，
当
时，
，解得
，此时
，
综上，不等式的解集为
（2）由（1）可得
，
满足要求的最大整数为
，
故
，
为正实数，故
，
当且仅当
时，等号成立，
故
，
故
的最大值为
.
14．（2025·河北·模拟预测）如图，在
中，角
所对的边分别为
，已知
是
的角平分线，
且
．
(1)求角
的值；
(2)若
，求
长的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据
，利用三角形面积公式列出等式，即可求出角
；
（2）根据余弦定理，利用重要不等式求出
的范围，通过换元，借助对勾函数在
的单调性，即可求出
的最
大值.
【详解】（1）设
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）由余弦定理知
，
，
，
又
，当且仅当
时，等号成立．
，
令
，则
，
令
，则
，
在
上单调递增，
，
，此时
，即
，即
.
