专题1.3 不等式与复数（举一反三复习讲义）
【全国通用】
命题规律
分析
1、不等式
不等式是每年高考的重要内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题
为主，主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值等问题。但不等式
的相关知识往往可以渗透到高考的各个知识领域，作为解题工具与函数、
向量、解析几何、数列等知识相结合，在知识的交汇处命题，难度中档，
其中在解析几何中利用基本不等式求解范围或解决导数问题时利用不等式
进行求解，难度偏高。
2、复数
复数是高考的热点内容，是高考的必考内容之一。从近几年的高考情况
来看，高考对复数的考查比较稳定，题型为单选题或填空题（多位于前2
题），分值5 分，试题难度较低，以基础题为主，主要考查复数的概念、运
算及其几何意义。
高考真题
统计
考点
2023 年
2024 年
2025 年
不等式
I 卷：第1 题，5 分
全国二卷：第4 题，5
分
北京卷：第6 题，4 分
天津卷：第15 题，5
分
上海卷：第2 题，4 分
上海卷：第8 题，5 分
复数
I 卷：第2 题，5 分
卷
Ⅱ
：第1 题，5 分
新课标I 卷：第2 题，
5 分
新课标
卷
Ⅱ
：第1 题，
5 分
全国甲卷（文数）：
第1 题，5 分
全国甲卷（理数）：
第1 题，5 分
全国一卷：第1 题，5
分
全国二卷：第2 题，5
分
北京卷：第2 题，4 分
天津卷：第10 题，5
分
上海卷：第10 题，5
分
2026 年
命题预测
预测在2026 年全国卷高考数学中，不等式与复数的考情将继续维持稳
定态势。不等式依旧以单选题或填空题的形式考查，分值为5 分，主要考查
基本不等式求最值、不等式的求解，或与基础知识点（如：集合、常用逻
辑用语等）相结合考查，难度不大。
预测复数仍以选择题的考查形式为主，分值为5 分，主要考查复数的概
念、几何意义、模长以及复数的四则运算，是基础题。
不等式与复数二者都是易得分的基础模块，二轮复习备考时要加强对基
础知识的掌握，做到简单题不丢分。
知识点
1
不等式的性质
1．不等式的性质
(1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.
(2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.
(3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c.
(4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.
(5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
(6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
(7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．
2．比较大小的基本方法
关系
方法
作
差
法
与0 比较
作
商
法
与1 比较
a>b
a−b>0
a
b >1(a ，b>0)
或
a
b <1(a，b<0)
a=b
a−b=0
a
b=1(b≠0)
a<b
a−b<0
a
b <1(a ，b>0)
或
a
b >1(a，b<0)
知识点
2
基本不等式
1. 基本不等式与最值
已知x，y 都是正数，
(1)如果积xy 等于定值P，那么当x＝y 时，和x＋y 有最小值2；
(2)如果和x＋y 等于定值S，那么当x＝y 时，积xy 有最大值 S2.
温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取
等号的条件．
2．常见的求最值模型
(1)模型一：
mx + n
x ≥2√mn (m>0,n>0)
，当且仅当
x=√
n
m 时等号成立；
(2)模型二：
mx +
n
x−a=m( x−a)+
n
x−a +ma≥2√mn +ma (m>0,n>0)
，当且仅当
x−a=√
n
m 时等号成
立；
(3)模型三：
x
ax 2+bx +c
=
1
ax +b+ c
x
≤
1
2√ac +b (a>0 , c>0)
，当且仅当
x=√
c
a 时等号成立；
(4) 模型四：
x(n−mx )= mx (n−mx )
m
≤1
m⋅（mx +n−mx
2
)2= n2
4m (m>0,n>0,0<x< n
m )
，当且仅当
x= n
2m 时等号成立.
3．利用基本不等式求最值的几种方法
(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．
(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成和为常数或积为常数的形式
“
”
“
”
.
(3)常数代换
法
：主要解决形如已知
“
x+y=t(t 为常数),求
的最值的问题，先将
”
转化为
，再用基本不等式求最值.
(4)消元
法
：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出和为
“
常数或积为常数的形式，最后利用基本不等式求最值
”
“
”
.
知识点
3
一元二次不等式
1．一元二次不等式的解法
(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：
①通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
②计算对应方程的判别式；
③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
④根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集．
(2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤：
①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0 与小于0 进行讨论；
②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ 进行讨论；
③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
2．分式、高次、绝对值不等式的解法
(1)解分式不等式的一般步骤：
①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不
为零．
②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为
零，然后再用上述方法求解．
(2)解高次不等式的一般步骤：
高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用穿针引线
“
法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集.
(3)解绝对值不等式的一般步骤：
对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解.
3．一元二次不等式恒成立、存在性问题
不等式对任意实数x 恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R
的条件
．
一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R 的条件为
．
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0 的解集为∅的条件为
．
知识点
4
复数有关问题及其解题策略
1．复数的概念的有关问题的解题策略
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)，其中a，b 分别是它的实部和虚部.若z 为实数，则虚部b=0，与实部a 无关；若z
为虚数，则虚部b≠0，与实部a 无关；若z 为纯虚数，当且仅当a=0 且b≠0.
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)的模记作
或
，即
.
(3)复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为
，则
，即
，若
，则
.
2．复数的运算的解题策略
(1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算；
(2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轮复数.
3．复数的几何意义的解题策略
由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解
析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.
4．复数的方程的解题策略
(1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用.
(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.
【题型1 不等式的性质及其应用】
【例1】（2025·湖北·模拟预测）已知a>b，且c>d，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．ac>bd
B．ac<bd
C．a+c>b+d
D．1
a < 1
b
【变式1-1】（2025·山西临汾·二模）若3≤a≤5,−2≤b≤1，则2a−b的范围是（ ）
A．[8,9)
B．[4,8)
C．[5,8)
D．[5,12)
【变式1-2】（2025·云南玉溪·二模）已知x>0，x
2−2 xy + z
2=0，x
2< yz，则（ ）
A．y > z> x
B．x> y > z
C．y > x> z
D．z> x> y
【变式1-3】（2025·四川绵阳·一模）若a>b,c<0，则下列选项正确的是（ ）
A．1
a < 1
b
B．c
a > c
b
C．a−c<b−c
D．ac<bc
【题型2 利用基本不等式求最值】
【例2】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知a>0,b>0，且a+2b=1，则b
a + 1
b
的最小值为（ ）
A．9
2
B．4
C．3
D．2
【变式2-1】（2025·湖北黄冈·一模）已知x，y为正实数，且x + y =1，则x +9 y
xy
的最小值为（ ）
A．12
B．16
C．18
D．20
【变式2-2】（2025·四川德阳·模拟预测）已知a>0，b>0，且ab=1，则1
2a + 1
2b +
8
a+b
的最小值为
（ ）
A．4
B．8
C．1
D．2
【变式2-3】（2025·浙江台州·一模）已知a,b∈(−1,+∞)，且a+
1
b+1 =2，则b+
9
a+2
的最小值为
（ ）
A．2
B．9
4
C．5
2
D．3
【题型3 基本不等式中的恒成立问题】
【例3】（2025·吉林延边·一模）已知正实数x，y满足x + y −1
2 xy =0，且不等式x + y −a>0恒成立，则a
的取值范围是（ ）
A．a<2
B．a<8
C．a<6
D．a<4
【变式3-1】（24-25 高一上·安徽池州·期中）已知x>0, y >0，且x + y =5，若4
x +1 +
1
y +2 ≥2m+1恒成
立，则实数m的取值范围是（ ）
A．(−∞, 1
16)
B．(−∞, 2
5)
C．(−∞, 1
2)
D．(−∞,4)
【变式3-2】（2025·江西·一模）已知正数x，y 满足x + y =6，若不等式a≤x
2
x +1 +
y
2
y +2
恒成立，则实数a
的取值范围是 ．
【变式3-3】（25-26 高一上·湖南·期末）已知x>0，y >0，且x + y =1，若4
x +1 + 1
y ≥1
2 m+ 4恒成立，则
实数m的取值范围是
.
【题型4 解常见的不等式】
【例4】（2025·河南·模拟预测）已知关于x的一元二次不等式2 x
2−x +a<0的解集为
{x|−1< x <m))(m>−1)，则a+m=（ ）
A．−3
2
B．3
2
C．−5
2
D．5
2
【变式4-1】（2025·陕西西安·二模）已知集合A ={x ∣|x −2)<2},B ={x ∣x
2−4 x −5≤0)，则
(∁R A)∩B =（ ）
A．{x∣−1≤x ≤0)
B．{x∣4≤x ≤5)
C．{x∣0≤x ≤4)
D．{x∣−1≤x ≤0或4≤x ≤5}
【变式4-2】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）不等式6
x +1 ≥1的解集为（ ）
A．{x∣−1< x ≤5}
B．{x∣x ≤−1)
C．{x∣−1≤x ≤5)
D．{x∣x>5}
【变式4-3】（2025·浙江·模拟预测）若关于x的不等式x
2+ px +q<0的解集为(5,6)，则不等式
x
2+ px−12
x +q
>0的解集为（ ）
A．(−1,12)∪(30,+ ∞)
B．(−∞,−12)∪(0,30)
C．(−∞,−30)∪(−1,12)
D．(−30,−1)∪(12,+∞)
【题型5 一元二次不等式恒成立、有解问题】
【例5】（2025·陕西咸阳·二模）已知命题“∃x∈R，使x
2+ x +a−2≤0 是假命题，则实数
”
a的取值范围
是（ ）
A．(−∞,0)
B．[0,4)
C．[4 ,+∞)
D．(
9
4 ,+ ∞)
【变式5-1】（2025·广东江门·模拟预测）若命题“∀x∈R , x
2+ x +a≠0 的否定是真命题，则实数
”
a的取
值范围是（ ）
A．[
1
2 ,+ ∞)
B．(
1
2 ,+ ∞)
C．(−∞, 1
4)
D．(−∞, 1
4)
【变式5-2】（2025·湖北黄冈·模拟预测）若“∀x∈R , x
2−mx +2>0 是真命题，则实数
”
m的取值范围为
（ ）
A．(−2❑√2,2❑√2)B．[−2❑√2,2❑√2)
C．(−2,2)
D．[−2,2)
【变式5-3】（2025·重庆·一模）已知a∈R，则“x
2+2 x +a>0的解集为R 是
”
“a>0 的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【题型6 复数的四则运算】
【例6】（2025·陕西西安·模拟预测）复数z =1+i，z 的共轭复数为z，则z⋅z =（ ）
A．❑√2
B．2
C．−❑√2
D．−2
【变式6-1】（2025·浙江温州·一模）已知z =−1+i，则z
z +1 =（ ）
A．−1+i
B．−i
C．1−i
D．1+i
【变式6-2】（2025·广西柳州·一模）若复数z 满足z (1−i)=1+3i，则|z)=（ ）
A．❑√10
B．❑√5
C．❑√3
D．❑√2
【变式6-3】（2025·安徽·模拟预测）已知复数z满足z +2
z
=2+i（其中i 为虚数单位），则| z + 4i|=
（ ）
A．❑√3
B．❑√5
C．❑√10
D．2❑√3
【题型7 复数的几何意义】
【例7】（2025·四川内江·一模）在复平面内，复数2i
2−i
对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【变式7-1】（2025·陕西西安·模拟预测）已知复数z =2+i，则复数z
i
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【变式7-2】（2025·广东·模拟预测）设m∈R，复平面内表示复数z =2m+(m−3)i的点在直线x + y =0
上，则z =（ ）
A．2+2i
B．2−2i
C．−2−2i
D．−2+2i
【变式7-3】（2025·广东·模拟预测）设z =
3
2−i
3，则其共轭复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【题型8 与复数有关的最值问题】
【例8】（2025·广东广州·模拟预测）复数z满足|z−2i)=1，则|z)的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式8-1】（2025·湖北黄冈·一模）已知z∈C，且|z−1)=1，i为虚数单位，则|z−2i)的最大值是（
）
A．❑√5+1
B．❑√5−1
C．2
D．❑√5
【变式8-2】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知复数z 满足|z−1−i)=1，则|z +i)的最大值为（ ）
A．❑√2+1
B．❑√5
C．2❑√2+1
D．❑√5+1
【变式8-3】（2025·广东·模拟预测）若复数z 满足| z +i|+| z−i|=2，那么| z−1|的最大值是（ ）
A．1
B．❑√2
C．2
D．❑√5
点一
不等式
考
一、单选题
1．（2025·全国二卷·高考真题）不等式x−4
x−1 ≥2的解集是（ ）
A．{x∣−2≤x ≤1}
B．{x∣x ≤−2}
C．{x∣−2≤x<1}
D．{x∣x>1}
2．（2025·北京·高考真题）已知a>0,b>0，则（ ）
A．a
2+b
2>2ab
B．1
a + 1
b ≥1
ab
C．a+b>❑√ab
D．1
a + 1
b ≤
2
❑√ab
3．（2023·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）已知集合M = {−2,−1,0,1,2)，N ={x|x
2−x −6≥0))，则M ∩N =
（ ）
A．{−2,−1,0,1)
B．{0,1,2)
C．{−2)
D．{2)
二、填空题
4．（2025·上海·高考真题）不等式x−1
x−3 <0的解集为
．
5．（2025·上海·高考真题）设a,b>0,a+ 1
b =1，则b+ 1
a
的最小值为
．
6．（2025·天津·高考真题）若a,b∈R，对∀x∈[−2,2]，均有(2a+b)x
2+bx−a−1≤0恒成立，则
2a+b的最小值为
.
7．（2024·上海·高考真题）已知x∈R ,则不等式x
2−2 x−3<0的解集为
．
8．（2023·全国乙卷·高考真题）设a∈(0,1)，若函数f (x)=a
x+(1+a)
x在(0,+ ∞)上单调递增，则a 的取
值范围是
.
点二
复数
考
一、单选题
1．（2025·全国二卷·高考真题）已知z =1+i，则1
z−1 =（ ）
A．−i
B．i
C．−1
D．1
2．（2025·北京·高考真题）已知复数z 满足i⋅z +2=2i，则| z|=（ ）
A．❑√2
B．2❑√2
C．4
D．8
3．（2025·全国一卷·高考真题）(1+5i)i的虚部为（ ）
A．−1
B．0
C．1
D．6
4．（2024·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）若
z
z−1 =1+i，则z =（ ）
A．−1−i
B．−1+i
C．1−i
D．1+i
5．（2024·北京·高考真题）已知z
i =−1−i，则z =（ ）．
A．−1−i
B．−1+i
C．1−i
D．1+i
6．（2024·全国甲卷·高考真题）设z = ❑√2i，则z⋅z =（ ）
A．−2
B．❑√2
C．−❑√2
D．2
7．（2024·全国甲卷·高考真题）若z =5+i，则i(z + z)=（ ）
A．10i
B．2i
C．10
D．2
8．（2024·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）已知z =−1−i，则|z)=（ ）
A．0
B．1
C．❑√2
D．2
二、填空题
9．（2025·天津·高考真题）已知i 是虚数单位，则|
3+i
i )=
．
10．（2025·上海·高考真题）已知复数z 满足z
2=( z)
2,| z|≤1，则| z−2−3i|的最小值是
．
11．（2024·上海·高考真题）已知虚数z，其实部为1，且z + 2
z =m(m∈R)，则实数m为
．
12．（2024·天津·高考真题）i是虚数单位，复数(❑√5+i)⋅(❑√5−2i)=
．
