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第05 讲 二次函数与一元二次不等式
易错分析
易错点一 忽视对二次项系数的分类讨论
题型方法
题型一 解一元二次不等式
题型二 一元二次不等式恒成立（有解）求参数（范
围）
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数的图象
方程的根
有两个不相等的实数
根x1，x2(x1<x2)
有两个相等的实数根
x1＝x2＝－
没有实数根
不等式的解集
{x|x<x1，或x>x2}
{x|x≠－}
R
2．分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；
(2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
题型梳理
知识清单
3．简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)．
【易错点一】忽视对二次项系数的分类讨论
【例1】（2024·陕西·二模）若
，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
将
代入原不等式，可得
，解之即可求解.
【详解】由题意知，当
时，
可变为
，符合题意；
当
时，由
，得
，
即
，解得
或
且
；
综上，实数a 的取值范围为
.
故选：D
【举一反三】【变式1】（2025·陕西渭南·二模）若关于
的不等式
有且只有一个整数解，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】当
时，解得：
，不满足条件；
故
，关于
的不等式
可得
，
易错分析
所以
，即
，
方程
的两根为
，
当
时，不等式可化为
，
，
解集为：
，不满足条件；
当
时，不等式可化为
，
当
时，则
，即
，不等式的解集为：
，
要使不等式有且只有一个整数解，则
，又因为
，不满足条件；
当
时，则
，即
，不等式的解集为空集，
当
时，则
，即
，不等式的解集为
，
要使不等式有且只有一个整数解，则
，解得：
，
故实数
的取值范围是：
.
故选：B.
【变式2】（2023·上海黄浦·一模）设a、b、c、p 为实数，若同时满足不等式
、
与
的全体实数x 所组成的集合等于
.则关于结论：①a、b、c 至少有一个为0；②
.下列判断中
正确的是（ ）
A．①和②都正确
B．①和②都错误
C．①正确，②错误
D．①错误，②正确
【答案】A
【分析】分类讨论研究一元二次不等式的解集即可.
【详解】由题意知，
、
、三个都不小于0，
对于①，若
、
、
，则由二次函数的图象与性质可得，
必定存在
，使得三个不等式均成立，
不符合题意，所以“
、
、至少有一个为0”是正确的.
对于②，由题意知，
、
、三个都不小于0，
当
，
，
时，
解集为R，
解集为
，
解集为
，所以三个集合交集为
；
当
，
，
时，
解集为
，
解集为
，
解集
为R，所以三个集合交集为
；
当
，
，
时，
解集为
，
解集为
，
解集为R，所以三个集合交集为
；
同理可得：当
，
，
时，当
，
，
时，当
，
，
时，三个集合交集也是
；
当
，
，
时，
若
有两个不同的根，设
的两根为
、
，则
，
，所以
且
，所以
解集为
或
，
只有一个根时，
解集为
，
无根时，
解集为R，
所以集合的交集为
，与题意不符，
综述：
、
、中有一个为0 且另外两个大于0 或
、
、中有两个为0 且另外一个大于0，
.
故选：A.
【变式3】（2025·甘肃兰州·模拟预测）若不等式
对任意
都成立，则实数
的取值范围
是 ．
【答案】
【分析】先将原不等式变形，然后分
和
两种情况进行讨论，当
时直接判断不等式是否恒成立，当
时，根据二次函数的性质列出不等式组求解，最后综合两种情况得出
的取值范围.
【详解】原不等式等价于
，
当
时，对
，不等式恒成立；
当
时，则有
，解得：
综上所述，实数
的取值范围是
故答案为：
.
【题型一】解一元二次不等式
【例1】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合
，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合
中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为
，而
，
所以
．
故选：C．
方法二：因为
，将
代入不等式
，只有
使不等式成立，所以
．
题型方法
故选：C．
解题技巧
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ 与0 的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
【举一反三】【变式1】（2024·浙江绍兴·二模）已知集合
，
，且
有4 个子集，
则实数
的最小值是 .
【答案】
/0.5
【分析】根据
的子集个数，得到
元素个数，分
和
讨论，进而得到实数m 的取值范围.
【详解】由
有4 个子集，所以
中有2 个元素，
所以
，所以
，
所以满足
，或
，
综上，实数
的取值范围为
，或
，
故答案为：
【变式2】（2021·上海闵行·模拟预测）已知
，
，
.
(1)当
时，解关于
的不等式
；
(2)若存在
，使得
成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）根据解一元二次不等式的方法进行求解即可；
（2）根据二次函数的性质分类讨论进行求解即可.
【详解】（1）
，
当
时，由
，
所以不等式的解集为
（2）
，该函数的对称轴为
，
当
时，
，不存在实数
，使得
成立；
当
时，函数
在
上单调递增，显然在
上也单调递增，而
，所以当
时，
，故不存在
，使得
成立；
当
时，因为函数在
上单调递增，所以在
时也单调递增，而
，所以此时
不成立；
当
时，即
时，要想
在
有解，只需
，
或
，而
，
因此
，
当
时，即
时，要想
在
有解，只需
，即
，
综上所述：实数
的取值范围为
.
【变式3】（2023·安徽·模拟预测）已知集合
，集合
，全集为
.
(1)若
，求
；
(2)若“
”是“
”的必要不充分条件，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
或
.
(2)
【分析】（1）化简集合
，根据补集与交集的运算性质即可得答案；
（2）根据题意可得
，结合一元二次不等式的解集讨论集合
的取值情况即可得实数
的取值范围.
【详解】（1）由题知：当
时，
，
又
，
或
.
（2）若“
”是“
”的必要不充分条件，则
，
，
①当
时，集合
，满足题意；
②当
时，集合
，
，则
，又
时，
符合
，
可得
；
③当
时，集合
，
，则
，又
时，
符合
，
可得
.
综上，实数
的取值范围为
【题型二】一元二次不等式恒成立（有解）求参数（范围）
【例2】（2023·辽宁鞍山·二模）已知当
时，不等式：
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先由
得
，由基本不等式得
，故
.
【详解】当
时，由
得
，
因
，故
，当且仅当
即
时等号成立，
因当
时，
恒成立，得
，
故选：C
解题技巧
恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R 上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式
Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
【举一反三】【变式1】（2024·贵州遵义·模拟预测）
，关于
的一元二次不等式
恒成立，则实
数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据二次函数的性质得
，即可求解.
【详解】由题意可知，
，得
.
故答案为：
【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知函数
，
.
(1)若不等式
对任意的
恒成立，求实数a 的取值范围；
(2)若不等式
有解，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先分类取绝对值，再根据单调性求出最小值，最后把恒成立问题转化为最小值即可求解；
（2）根据绝对值三角不等式求出最小值，再把有解问题转化为最小值解一元二次不等式即可求解.
【详解】（1）设
，则
，
易知当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，
故
,
要使
对任意的
恒成立，
需
，即
，解得
，
故实数a 的取值范围为
.
（2）
，当且仅当
时等号成立.
因为
有解，所以
，解得
或
.
所以实数m 的取值范围是
.
【变式3】（2022·河南·模拟预测）已知函数
．
(1)求不等式
的解集；
(2)若关于x 的不等式
恒成立，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)
或
(2)
【分析】（1）把不等式
转化为
，分类讨论，即可求解；
（2）根据分段函数和一次函数的性质，求得函数
取得最小值为
，根据题意转化为不等式
，即
可求解.
【详解】（1）解：由题意，函数
，
不等式
，即为
．
当
时，
，解得
，故
；
当
时，
，解得
，故
；
当
时，
，解得
，故
．
综上所述，不等式
的解集为
或
.
（2）解：由题意，函数
，
根据一次函数的性质，可得当
时，函数
取得最小值，最小值为
，
又由不等式
恒成立，所以
，
即
，解得
，即m 的取值范围为
一、单选题
1．（2025·浙江绍兴·三模）设集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求出
，再由交集和并集的定义求解即可.
【详解】因为
，所以
，解得：
，
所以
，
对于A、B，
，故A 错误，B 正确；
对于C、D，
，故CD 错误；
故选：B.
2．（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
好题必刷
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】解绝对值不等式求出集合
，解一元二次不等式求出集合
，再根据补集、交集的定义计算可得.
【详解】由
，即
，解得
，
所以
，
由
，即
，解得
，
所以
，
所以
，则
.
故选：B
3．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合
，
，若
⫋
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】解不等式化简集合
，再利用集合的包含关系求解.
【详解】依题意，
，
，
因为
⫋
，所以
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
故选：C.
4．（2025·江西上饶·二模）若不等式
恒成立，则
的取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用换元法，把原不等式转化为
恒成立问题，再分
，
，
讨论即可.
【详解】设
，则
，
.
原不等式可化为：
.
因为
，所以
，
.
当
时，
，所以
在
恒成立，所以
；
当
时，
，所以
成立；
当
时，
，所以
在
上恒成立，所以
.
综上可得：
.
故选：A
5．（2023·福建厦门·二模）不等式
（
）恒成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分
和
两种情况讨论求出
的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】当
时，
，得
，与题意矛盾，
当
时，则
，解得
，
综上所述，
，
所以不等式
（
）恒成立的一个充分不必要条件是A 选项.
故选：A.
6．（2023·全国·模拟预测）已知函数
，若不等式
恒成立，则实数a 的最大值为
（ ）
A．
B．2
C．
D．4
【答案】C
【分析】先根据导函数结合余弦函数的范围得出函数单调递增.又
，根据已知可推得
恒成立，得
出
，求解即可得出答案.
【详解】由题，
，
当
时，
恒成立，
；
当
或
时，
，
，所以
．
所以
在R 上单调递增．
又
，
所以由
恒成立，可得
恒成立，
即
恒成立，
故
，得
，所以a 的最大值为
．
故选：C.
二、多选题
7．（2024·甘肃定西·一模）设集合
，则（ ）
A．
B．
的元素个数为16
C．
D．
的子集个数为64
【答案】BCD
【分析】解二次不等式化简集合
，进而求得集合
，利用集合的交并运算与常用数集的定义，结合集合子集个数的
求法逐一分析各选项即可得解.
【详解】对于ABC，因为
，
所以
，即
，
所以
有
个元素，故A 错误，BC 正确；
对于D，而
有
个元素，所以
的子集个数为
，故D 正确.
故选：BCD.
8．（2025·辽宁·三模）若关于
的不等式在
上恒成立，则该不等式称为单位区间不等式.下列不等式是单位区
间不等式的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据求解一元二次不等式和基本不等式判断关于
的不等式在
上是否恒成立，即可得解.
【详解】
的解集为
，A 错误；
当
时，
（当且仅当
时，等号成立），因为
，
所以
在
上恒成立，B 正确；
的解集为
，在
上恒成立，C 正确；
当
时，
（当且仅当
时，等号成立），因为
，
所以
在
上恒成立，D 正确.
故选：BCD.
9．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．不等式
的解集是
B．不等式
的解集是
C．若不等式
恒成立，则a 的取值范围是
D．若关于x 的不等式
的解集是
，则
的值为
【答案】CD
【分析】对于AB，直接解一元二次不等式即可判断；对于C，对
分类讨论即可判断；对于D，由一元二次不等式的
解集与一元二次方程的根的关系，先求得
，然后即可判断.
【详解】对于A，
或
，故A 错误；
对于B，
，故B 错误；
若不等式
恒成立，
当
时，
是不可能成立的，
所以只能
，而该不等式组无解，综上，故C 正确；
对于D，由题意得
是一元二次方程
的两根，
从而
，解得
，
而当
时，一元二次不等式
满足题意，
所以
的值为
，故D 正确.
故选：CD.
三、填空题
10．（2024·山东泰安·二模）设集合
，集合
，则
.
【答案】
【分析】求解一元二次不等式得集合
，再进行并集运算.
【详解】根据题意，
，或
，
则
，或
.
故答案为：
11．（2023·北京东城·二模）若
，则实数
的一个取值为 .
【答案】
（答案不唯一）
【分析】根据题意，由交集的定义可知不等式
的解集为
的子集即可满足题意.
【详解】因为
，
且当
时，即
时，
，
当
时，即
时，才有可能使得
，
所以
的解集为
的子集，
则
，所以
，所以实数
的一个取值可以为
.
故答案为:
12．（2023·陕西榆林·三模）若不等式
对
恒成立，则a 的取值范围是 ，
的最小
值为 ．
【答案】
【分析】根据题意，结合二次函数的性质，求得
，再利用基本不等式，即可求解.
【详解】当
时，不等式
对
不恒成立，不符合题意（舍去）；
当
时，要使得
对
恒成立，
则满足
，解得
，所以实数
的取值范围为
.
因为
，可得
，所以
，
当且仅当
时，等号成立，所以
的最小值为
．
故答案为：
；
.
四、解答题
13．（2023·湖北黄冈·模拟预测）设
，
，函数
.
(1)求关于
的不等式
解集；
(2)若
在
上的最小值为
，求
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；
(2)
.
【分析】（1）由题可得
，然后分类讨论即得；
（2）根据二次函数的性质结合条件可得
，进而即得.
【详解】（1）因为
，又
，
，
的解集等价于
的解集，
当
即
时，不等式的解集为
，
当
即
时，不等式的解集为
，
当
即
时，不等式的解集为
；
综上，当
时，不等式的解集为
，当
时，不等式的解集为
，当
时，不等式的解集为
；
（2）因为
，
，
，函数
的对称轴为
，抛物线开口向下，
又
在
上的最小值为
，
，即
，
，即
的取值范围为
.
14．（2023·河南郑州·模拟预测）已知关于x 的不等式
对任意实数x 恒成立.
(1)求满足条件的实数a，b 的所有值；
(2)若
对
恒成立，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）代入得
和
得
，
，联立即可得到答案；
（2）由（1）化简得
，分离参数得
在
上恒成立，再利用基本不等式即可得到
右边最值，即可得到答案.
【详解】（1）当
时,不等式化为
,,
所以
,①
当
时,同理可得
,②
联立①和②，解得
.
而
时,原不等式为
显然恒成立,所以
.
（2）由（1）知
,
所以
,
因为
,所以
,所以
在
上恒成立.
令
,则
.
因为
,
当且仅当
,即
时等号成立,所以
,
所以
,即实数
的取值范围为
.
15．（2021·陕西榆林·模拟预测）已知函数
，
.
(1)当
时，求函数
的值域
(2)如果对任意的
，
恒成立，求实数k 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）
，
，计算得到值域.
（2）令
，
，题目转化为
对任意的
恒成立，
，计算最值得到答案.
【详解】（1）
，
，
，
设
，
，
，
，故函数
的值域为
.
（2）
，即
，
令
，
，
对任意的
恒成立.
对任意的
恒成立，
，设
.
设
，
，故
.
实数
的取值范围为
.
16．（2022·江西·模拟预测）已知函数
.
(1)求不等式
的解集；
(2)若不等式
对一切实数
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分
，
和
三种情况求解即可，
（2）先求出
的最小值为3，则问题转化为
，从而可求出实数
的取值范围
【详解】（1）因为
所以不等式
等价于
或
或
解得
不等式的解集为
（2）由（1）知：当
时，
；当
时，
；当
时，
.
故函数
的值域为
，即
的最小值是3
不等式
对一切实数
恒成立，
，解得
故实数
的取值范围是
