文档内容
第 1 节 不等式的性质与一元二次不等式
考试要求 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式
(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过
函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解
一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.
1.实数大小比较的依据
(1)a>b a－b>0；
(2)a＝b a－b＝0；
⇔
(3)ab，c<0 acb>0，m>0，则<；>(b－m>0).
(2)若ab>0，且a>b <.
2.绝对值不等式|x|＞a(a＞0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|＜a(a＞0)的解
⇔
集为(－a，a).
记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.
3.对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形.
4.当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是，要注意区别.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)a＞b ac2＞bc2.( )
(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x ，x )，则必有a＞0.( )
⇔ 1 2
(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0(a<0)的解集
为R.( )
(4)≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
解析 (1)由不等式的性质，ac2＞bc2 a＞b；反之，c＝0时，a＞b / ac2＞bc2.
⇒ ⇒(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根，则不等式ax2＋bx＋c>0(a<0)的解集为.
(4)≥0等价于(x－a)(x－b)≥0且x－b≠0.
2.已知集合A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{x|x2－x－6<0}，则A∩B＝( )
A.(－2，3) B.(1，3)
C.(3，4) D.(－2，4)
答案 B
解析 由题意知A＝{x|1q D.p≥q
答案 B
解析 (作差法)p－q＝＋－a－b
＝＋＝(b2－a2)·
＝＝，
因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.
若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；
若a≠b，则p－q<0，故p0的解集是( )
A.(－∞，－1)∪(3，＋∞)
B.(1，3)
C.(－1，3)
D.(－∞，1)∪(3，＋∞)
答案 C
解析 关于x的不等式ax－b<0即ax0可化为(x＋1)(x－3)<0，解得－13.
故当x∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m∈[－1，1]，函数f(x)的值恒大于
零.
感悟提升 1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于 0就是相应的二次函数的
图象在给定的区间上全部在 x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给
定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求
最值.
2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁
就是主元，求谁的范围，谁就是参数.
训练2 函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)若当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围.
解 (1)∵当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，
解得－6≤a≤2，
∴实数a的取值范围是[－6，2].
(2)由题意可转化为x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2，2]上恒成立，
令g(x)＝x2＋ax＋3－a，
则有①Δ≤0或②或
③
解①得－6≤a≤2，解②得a∈，解③得－7≤a<－6.
综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7，2].
(3)令h(a)＝xa＋x2＋3.
当a∈[4，6]时，h(a)≥0恒成立.
只需即
解得x≤－3－或x≥－3＋.
∴实数x的取值范围是(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞).
一元二次方程根的分布
一元二次方程的根即为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此，一元二次方程的根的分布问题，可以借助二次函数图象，利用数形结合的方法来研究.
往往根据方程根的情况结合对应二次函数的图象建立不等关系式(组)，求得参数
的取值范围.
例1 关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0满足下列条件，求m的取值范围.
(1)有两个正根；
(2)有两个负根；
(3)有一正一负根.
解 (1)由题意得
解得0＜m≤1.
故m的取值范围为(0，1].
(2)由题意得
解得m≥9.
故m的取值范围为[9，＋∞).
(3)由题意得解得m＜0.
故m的取值范围为(－∞，0).
例2 关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0满足下列条件，求m的取值范围.
(1)一个根大于1，一个根小于1；
(2)一个根在(－2，0)内，另一个根在(0，4)内；
(3)一个根小于2，一个根大于4；
(4)两个根都在(0，2)内.
解 令f(x)＝x2＋(m－3)x＋m，
(1)若方程x2＋(m－3)x＋m＝0的一个根大于1，一个根小于1，则f(1)＝2m－2＜
0，解得m＜1.
故m的取值范围为(－∞，1).
(2)若方程x2＋(m－3)x＋m＝0的一个根在(－2，0)内，另一个根在(0，4)内，
则
解得－＜m＜0.
故m的取值范围为.
(3)若方程x2＋(m－3)x＋m＝0的一个根小于2，一个根大于4，
则解得m<－.故m的取值范围为.
(4)若方程x2＋(m－3)x＋m＝0的两个根都在(0，2)内，
则解得＜m≤1.
故m的取值范围为.
1.(2022·银川模拟)已知a，b，c满足a＞b＞c，且ac＞0，则下列选项中一定能成
立的是( )
A.ab＞ac B.c(b－a)＞0
C.ab(a－c)＞0 D.cb2＞ca2
答案 C
解析 法一 取a＝－1，b＝－2，c＝－3，则ab＝2＜ac＝3，cb2＝－12＜ca2＝
－3，排除A、D；取a＝3，b＝2，c＝1，则c(b－a)＝－1＜0，排除B.
法二 因为a＞b＞c，且ac＞0，所以a，b，c同号，且a－c＞0，所以ab(a－c)
＞0.
2.已知a ∈(0，1)，a ∈(0，1)，记M＝a a ，N＝a ＋a －1，则M与N的大小关
1 2 1 2 1 2
系是( )
A.M＜N B.M＞N
C.M＝N D.不确定
答案 B
解析 M－N＝a a －(a ＋a －1)
1 2 1 2
＝a a －a －a ＋1＝(a －1)(a －1)，
1 2 1 2 1 2
又a ∈(0，1)，a ∈(0，1)，
1 2
∴a －1＜0，a －1＜0.
1 2
∴(a －1)(a －1)＞0，即M－N＞0，
1 2
∴M＞N.
3.(2021·烟台模拟改编)若0＜a＜b＜1，c＞1，则下列选项错误的是( )
A.ca＜cb B.bac＜abc
C.＜ D.log c＜log c
a b答案 D
解析 对于A，当c＞1时，y＝cx单调递增，由a＜b可知ca＜cb，故A正确；
对于B，当c＞1时，c－1＞0，所以y＝xc－1在(0，＋∞)上单调递增，由0＜a＜b
＜1可得ac－1＜bc－1，两边同时乘ab得bac＜abc，故B正确；
对于C，因为－＝＝，
又0＜a＜b＜1，c＞1，所以c－a＞0，b－c＜0，所以<0，即＜，故C正确；
对于D，当c＞1时，y＝log x在(0，＋∞)上单调递增，由0＜a＜b＜1可得log
c c
a＜log b＜0，则＞，即log c＞log c，故D错误，故选D.
c a b
4.不等式|x|(1－2x)＞0的解集为( )
A.(－∞，0)∪ B.
C. D.
答案 A
解析 当x≥0时，原不等式即为 x(1－2x)＞0，所以0＜x＜；当x＜0时，原不
等式即为－x(1－2x)＞0，所以x＜0，综上，原不等式的解集为(－∞，0)∪.
5.(2022·渭南质检)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，那么不等式
a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax的解集为( )
A.{x|－2＜x＜1}
B.{x|x＜－2或x＞1}
C.{x|0＜x＜3}
D.{x|x＜0或x＞3}
答案 C
解析 由a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax整理得ax2＋(b－2a)x＋(a＋c－b)＞0.①
又不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，
所以a＜0，且－1，2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
由根与系数的关系可知
即②
将①两边同除以a得
x2＋x＋＜0，
将②代入得x2－3x＜0，解得0＜x＜3，故选C.
6.已知二次函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1(a∈Z)，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)＞1的解集是( )
A.(－∞，－1)∪(0，＋∞)
B.(－∞，0)∪(1，＋∞)
C.(－1，0)
D.(0，1)
答案 C
解析 由Δ＝[－(a＋2)]2－4a＝a2＋4＞0知，函数f(x)必有两个不同的零点，
又f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，
则f(－2)·f(－1)＜0，
即(6a＋5)(2a＋3)＜0，解得－＜a＜－.
又a∈Z，所以a＝－1，
此时不等式f(x)＞1即为－x2－x＞0，解得－1＜x＜0.
7.若不等式 x2＋ax＋4<0 的解集不是空集，则实数 a 的取值范围是
________________.
答案 (－∞，－4)∪(4，＋∞)
解析 由题意得Δ＝a2－4×4>0，
即a2>16.∴a>4或a<－4.
8.已知集合A＝{－5，－1，2，4，5}，请写出一个一元二次不等式，使得该不
等 式 的 解 集 与 集 合 A 有 且 只 有 一 个 公 共 元 素 ， 这 个 不 等 式 可 以 是
________________.
答案 (x＋4)(x－6)>0(答案不唯一)
解析 因为不等式(x＋4)(x－6)>0解集为{x|x>6或x<－4}，解集中只有－5在集
合A中.
9.设a＜0，若不等式－cos2x＋(a－1)cos x＋a2≥0对于任意的x∈R恒成立，则a
的取值范围是________.
答案 (－∞，－2]
解析 令t＝cos x, t∈[－1，1]，则不等式f(t)＝t2－(a－1)t－a2≤0对t∈[－1，1]
恒成立，
因此⇒
∵a＜0，∴a≤－2.10.若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(x＋2)－f(x)＝16x且f(0)＝2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若存在x∈[1，2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，求实数m的取值范围.
解 (1)由f(0)＝2，得c＝2，
所以f(x)＝ax2＋bx＋2(a≠0)，
由f(x＋2)－f(x)＝[a(x＋2)2＋b(x＋2)＋2]－(ax2＋bx＋2)＝4ax＋4a＋2b，
又f(x＋2)－f(x)＝16x，
得4ax＋4a＋2b＝16x，
所以故a＝4，b＝－8，
所以f(x)＝4x2－8x＋2.
(2)因为存在x∈[1，2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，
即存在x∈[1，2]，使不等式m<4x2－10x＋2成立，
令g(x)＝4x2－10x＋2，x∈[1，2]，
故g(x) ＝g(2)＝－2，所以m<－2，
max
即m的取值范围为(－∞，－2).
11.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x成
(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成.要求售价不能低于成本价.
(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定
义域；
(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围.
解 (1)由题意得，
y＝100·100.
因为售价不能低于成本价，
所以100－80≥0，解得0≤x≤2.
所以y＝f(x)＝40(10－x)(25＋4x)，
定义域为{x|0≤x≤2}.
(2)由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10 260，
化简得8x2－30x＋13≤0，解得≤x≤.
所以x的取值范围是.12.(2022·绵阳诊断)已知正实数x，y满足ln ＞lg ，则下列选项正确的是( )
A.ln x＞ln(y＋1) B.ln(x＋1)＜lg y
C.3x＜2y－1 D.2x－y＞1
答案 D
解析 因为正实数x，y满足ln ＞lg ，
所以ln x－ln y＞lg y－lg x，所以ln x＋lg x＞ln y＋lg y，
因为函数f(x)＝ln x＋lg x在(0，＋∞)上单调递增，
所以x＞y，
对于A，取x＝4，y＝3，此时ln x＝ln(y＋1)；
对于B，取x＝2，y＝1，此时ln(x＋1)＞lg y；
对于C，取x＝3，y＝2，此时3x＞2y－1，故C错误；
对于D，因为x＞y，所以2x－y＞20＝1，故D正确.
13.(2021·张家口月考)已知函数f(x)＝4x＋a·2x－a在x∈(0，＋∞)上的图象恒在x
轴上方，则实数a的取值范围是________.
答案 (－4，＋∞)
解析 函数f(x)＝4x＋a·2x－a在x∈(0，＋∞)上的图象恒在x轴上方即4x＋a·2x－
a＞0在x∈(0，＋∞)上恒成立.
a(2x－1)＞－4x，∴a＞－，
令t＝2x，则4x＝t2，t＞1，则0＜＜1，
故a＞－＝＝＝，
显然－≥－，故－≤－4，
故a＞－4.
14.解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0(a∈R).
解 原不等式可化为(ax－1)(x－2)＜0.
(1)当a＞0时，原不等式可化为a(x－2)＜0，根据不等式的性质，这个不等式等
价于(x－2)·＜0.
因为方程(x－2)＝0的两个根分别是2，，所以当0＜a＜时，2＜，则原不等式的
解集是；当a＝时，原不等式的解集是；
当a＞时，＜2，则原不等式的解集是.
(2)当a＝0时，原不等式为－(x－2)＜0，解得x＞2，即原不等式的解集是{x|x＞2}.
(3)当a＜0时，原不等式可以化为a(x－2)＜0，根据不等式的性质，这个不等式
等价于(x－2)·＞0，由于＜2.故原不等式的解集是.
综上所述，当a＜0时，不等式的解集为；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞2}；当0＜a＜时，不等式的解集为；当a＝时，
不等式的解集为；当a＞时，不等式的解集为.
