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第05 讲 二次函数与一元二次不等式
易错分析
易错点一 忽视对二次项系数的分类讨论
题型方法
题型一 解一元二次不等式
题型二 一元二次不等式恒成立（有解）求参数（范
围）
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数的图象
方程的根
有两个不相等的实数
根x1，x2(x1<x2)
有两个相等的实数根
x1＝x2＝－
没有实数根
不等式的解集
{x|x<x1，或x>x2}
{x|x≠－}
R
2．分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；
(2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
题型梳理
知识清单
3．简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)．
【易错点一】忽视对二次项系数的分类讨论
【例1】（2024·陕西·二模）若
，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【举一反三】【变式1】（2025·陕西渭南·二模）若关于
的不等式
有且只有一个整数解，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2023·上海黄浦·一模）设a、b、c、p 为实数，若同时满足不等式
、
与
的全体实数x 所组成的集合等于
.则关于结论：①a、b、c 至少有一个为0；②
.下列判断中
正确的是（ ）
A．①和②都正确
B．①和②都错误
C．①正确，②错误
D．①错误，②正确
【变式3】（2025·甘肃兰州·模拟预测）若不等式
对任意
都成立，则实数
的取值范围
是 ．
【题型一】解一元二次不等式
【例1】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
解题技巧
易错分析
题型方法
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ 与0 的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
【举一反三】【变式1】（2024·浙江绍兴·二模）已知集合
，
，且
有4 个子集，
则实数
的最小值是 .
【变式2】（2021·上海闵行·模拟预测）已知
，
，
.
(1)当
时，解关于
的不等式
；
(2)若存在
，使得
成立，求实数
的取值范围.
【变式3】（2023·安徽·模拟预测）已知集合
，集合
，全集为
.
(1)若
，求
；
(2)若“
”是“
”的必要不充分条件，求实数
的取值范围.
【题型二】一元二次不等式恒成立（有解）求参数（范围）
【例2】（2023·辽宁鞍山·二模）已知当
时，不等式：
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
解题技巧
恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R 上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式
Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
【举一反三】【变式1】（2024·贵州遵义·模拟预测）
，关于
的一元二次不等式
恒成立，则实
数
的取值范围是 .
【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知函数
，
.
(1)若不等式
对任意的
恒成立，求实数a 的取值范围；
(2)若不等式
有解，求实数m 的取值范围.
【变式3】（2022·河南·模拟预测）已知函数
．
(1)求不等式
的解集；
(2)若关于x 的不等式
恒成立，求实数m 的取值范围．
一、单选题
1．（2025·浙江绍兴·三模）设集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合
，
，若
⫋
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·江西上饶·二模）若不等式
恒成立，则
的取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023·福建厦门·二模）不等式
（
）恒成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023·全国·模拟预测）已知函数
，若不等式
恒成立，则实数a 的最大值为
（ ）
A．
B．2
C．
D．4
二、多选题
7．（2024·甘肃定西·一模）设集合
，则（ ）
A．
好题必刷
B．
的元素个数为16
C．
D．
的子集个数为64
8．（2025·辽宁·三模）若关于
的不等式在
上恒成立，则该不等式称为单位区间不等式.下列不等式是单位区
间不等式的有（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．不等式
的解集是
B．不等式
的解集是
C．若不等式
恒成立，则a 的取值范围是
D．若关于x 的不等式
的解集是
，则
的值为
三、填空题
10．（2024·山东泰安·二模）设集合
，集合
，则
.
11．（2023·北京东城·二模）若
，则实数
的一个取值为 .
12．（2023·陕西榆林·三模）若不等式
对
恒成立，则a 的取值范围是 ，
的最小
值为 ．
四、解答题
13．（2023·湖北黄冈·模拟预测）设
，
，函数
.
(1)求关于
的不等式
解集；
(2)若
在
上的最小值为
，求
的取值范围.
14．（2023·河南郑州·模拟预测）已知关于x 的不等式
对任意实数x 恒成立.
(1)求满足条件的实数a，b 的所有值；
(2)若
对
恒成立，求实数m 的取值范围.
15．（2021·陕西榆林·模拟预测）已知函数
，
.
(1)当
时，求函数
的值域
(2)如果对任意的
，
恒成立，求实数k 的取值范围.
16．（2022·江西·模拟预测）已知函数
.
(1)求不等式
的解集；
(2)若不等式
对一切实数
恒成立，求实数
的取值范围.
