文档文本内容
专题07 数列的单调性与最值问题
目录
高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求）
核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧）
聚焦题型精准解密（5 大题型精讲+变式拔高训练）
题型一 单调性判断（作差 / 作商 / 函数法）（
）
题型二 分段数列的单调性（含参数范围）（
）
题型三 由递推关系判断数列单调性（
）
题型四 单调性与最值综合（求数列最大 / 小项）（
）
题型五 单调性与充分必要条件结合（
）
实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升）
高考中以选择题、填空题以单调性判断、分段数列参数范围、最值求解为主（分值 5-10 分），解答
题中多作为第二问设问（结合递推数列、数列求和，分值 6-8 分），属于中档题核心模块：
基础知识必备：掌握数列单调性定义（递增：an+1>an；递减：an+1<an，对任意n∈N
*成立）及最值定
义（最大项满足{
an≥an-1
an≥an+1
，最小项反之）。熟练运用作差法、作商法、函数法三种核心方法判断单调性，
掌握分段数列、递推数列的通项求解与单调性分析逻辑。理解充分必要条件的判定规则，能结合数列单调
性定义完成逻辑推导，熟知等比、等差数列与单调性的关联性质。掌握数列前n 项和Sn与通项an的关系（
an={
S1,n=1
Sn- Sn-1,n≥2），为单调性分析奠定基础。
2026 高考预测：核心考向：分段数列含参数的单调性仍为高频考点，侧重多条件不等式组求解；单调性与
最值综合题会强化 “先判单调再求最值” 的逻辑链，可能结合函数导数辅助分析； 创新趋势：单调性
与充分必要条件、新定义数列（如 “拟递增数列”）的结合考查概率上升，跨模块融合（与不等式恒成
立、函数值域衔接）成为难点突破方向； 命题特点：题目设计会注重 “性质应用” 而非 “概念记忆”，
强调逻辑推导和计算严谨性，避免复杂技巧，侧重通性通法的灵活运用。
重难知识汇总：①单调性判断三重核心：作差法（适用于所有数列，核心判an+1-an正负）、作商法（仅
适用于正项 / 负项数列，注意符号对结论的影响）、函数法（将an= f (n)转化为y = f ( x)，结合x∈N
*
修正单调性）。②分段数列单调性：需满足 “分段内单调 + 衔接处单调” 双重条件，一次函数段关注
斜率，指数 / 幂函数段关注底数，衔接处需保证前一段末项与后一段首项满足单调关系。③递推数列单调
性：先通过构造法（等差 / 等比数列）、迭代法求通项，再判单调性；无法求通项时，直接通过递推式变
形比较an+1与an大小。最值求解关键：单调性法（先增后减取顶点，单调数列取首尾）、不等式组法（锁
定最值项的前后项关系）、函数法（结合二次函数对称轴、对勾函数性质，限定正整数域）。
常用技巧方法：作差法速算：化简an+1-an时，优先合并同类项、因式分解，快速判断正负（如含二次式
可配方，含分式可通分）。作商法避坑：先判断an符号，正项数列直接比大小，负项数列需反转不等号
（如
an+1
an
>1时，负项数列递减）。函数法转化：将an= f (n)视为函数，用导数或基本函数性质（如二次
函数对称轴、对勾函数拐点）确定单调性，再验证n∈N
*的对应项。
易错避坑提效：①作商法忽略符号：忘记判断an正负，直接用
an+1
an
与 1 的大小下结论，导致单调性判断
错误。②分段数列漏衔接：仅保证各分段内单调，忽略前一段末项与后一段首项的大小关系（如递增数列
需满足a6<a7，分段点为n=6）。③函数法混淆定义域：将函数y = f ( x)的单调性直接等同于数列单调性，
忽略x∈N
*与x∈R的区别（如函数在(2,3)递增，数列需验证a2<a3）。④最值求解漏条件：用不等式
组法时，忘记n≥2的限制，导致多解或漏解（如求最大项时，未排除n=1的特殊情况）。⑤逻辑关系颠倒：
混淆充分性和必要性，如认为 “a2>a1” 是 “数列递增” 的充分条件，忽略 “所有n∈N
*需满足
an+1>an”。⑥递推数列求通项失误：未正确构造等差 / 等比数列，导致通项求解错误，进而影响单调性
分析，建议先验证前 3 项的规律再推导通项。
题型一 单调性判断（作差 / 作商 / 函数法）
方法点拨：①作差比较法：当an+1-an>0时，{an}递增；当an+1-an<0时，{an}递减.
②作商比较法：若an>0，则当
an+1
an
>1时，{an}递增；当
an+1
an
<1时，{an}递减.
③函数法：将an= f (n)转化为函数y = f ( x)，利用导数或基本函数单调性，结合x∈N
*推导数列单调性。
【典例01】（2025·湖北·模拟预测）已知数列
前
项和为
，
，
，
，则
的
最大值为（ ）
A．4
B．9
C．10
D．12
【典例02】（2025·上海·三模）已知数列
的通项公式为
，
，则关于数列
的最值叙述正确的是（）
A．既有最大项也有最小项
B．只有最大项没有最小项
C．没有最大项只有最小项
D．没有最大项也没有最小项
【变式01】1．（2025·河北唐山·模拟预测）数列
的前
项和为
，
的前
项和为
，
则数列
（ ）
A．有最大项也有最小项
B．无最大项也无最小项
C．有最小项但无最大项
D．有最大项但无最小项
【变式02】（2025·吉林通化·一模）数列{an}的通项公式为
，该数列的前50 项中最大项是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式03】（2025 高三·全国·专题练习）(多选)已知数列
的通项公式为
．则下
列说法正确的是（ ）
A．这个数列的第10 项为
B．
是该数列中的项
C．数列中的各项都在区间
内
D．数列
是单调递减数列
题型二 分段数列的单调性（含参数范围）
方法点拨：①保证各分段内部单调：一次函数段需满足斜率正负，指数 / 幂函数段需满足底数范围。
②保证分段衔接处单调：前一段的末项小于后一段的首项（递增数列）或大于后一段的首项（递减数列）。
③列不等式组求解参数：结合上述两点建立不等式，注意参数需同时满足所有条件。
【典例01】（2025·湖南湘潭·一模）已知函数
，数列
满足
，
，则“
为递增数列”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【典例02】（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列
的通项公式为
，若
是
中唯一的最小项，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式01】（24-25 高三上·安徽宣城·期末）已知数列
是递增数列，且
，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式02】（25-26 高三上·河北衡水·月考）已知数列
满足
，若
为递增数列，
则实数的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式03】（2025·上海普陀·一模）设
且
，
、
、
都是正整数，数列
的通项公式为
，记数列
中前
项的最小值为
，由所有
的值所组成的集合记为
，
若集合
中仅有四个元素，则下列说法中错误的是（ ）
A．当
时，
的取值范围是
B．不存在
和
的值，使得
C．当
时，
的取值范围是
D．存在
和
的值，使得
题型三 由递推关系判断数列单调性
方法点拨：①先求通项：通过构造法（等差 / 等比数列）、迭代法等求出an的表达式。再判单调性：
对通项使用作差、作商或函数法判断，若无法求通项，可直接通过递推式变形比较an+1与an的大小。
②特殊情况：若递推式为an+1= f (an)，可通过分析函数f ( x)的单调性间接判断数列单调性。
【典例01】（2025·江西·二模）已知数列
满足：
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
有最大值
D．
不是单调数列
【典例02】（24-25 高三上·天津·月考）在无穷数列
中，
，
，数列
的前n 项和为
，则
的最大值与最小值的差为（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定
【变式01】（2025·江西·模拟预测）已知数列
满足
，
（
），若
是单调递
增数列，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式02】（2025 高三·全国·专题练习）已知数列
的首项为
，若
的前n 项积
，则
（ ）
A．数列
有最大项，无最小项
B．数列
无最大项，有最小项
C．数列
有最大项，有最小项
D．数列
无最大项，无最小项
【变式03】（25-26 高三上·江西·月考）记首项为1 的数列
的前
项和为
，且
是以
为公比的
等比数列．若对于任意正整数
，均有
，则整数
的最大值为（ ）
A．0
B．
C．
D．
题型四 单调性与最值综合（求数列最大 / 小项）
方法点拨：①单调性法：若数列先增后减，最大值在单调性转折处；若单调递增则末项最大，单调递
减则首项最大。②不等式组法：设an为最大项，则{
an≥an-1
an≥an+1
(n≥2)；最小项则将不等号反向。③结合函数
最值：将数列通项视为函数，求函数在正整数域内的最值，对应数列的最大 / 小项。
【典例01】（24-25 高三上·山西大同·期末）等比数列
中，
为其前
项和，
，且
成
等差数列，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【典例02】（25-26 高三上·安徽合肥·月考）已知数列
中，
.
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)求
的前
项和
；
(3)令
，求数列
的最大项.
【变式01】（2025·江西·模拟预测）已知数列
满足
的前12 项组成一组数据，其第90
百分位数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式02】（24-25 高三上·浙江·月考）(多选)已知数列
的通项公式是
，记
的前
项和为
，则（ ）
A．
B．
C．
时，
取最大值
D．
【变式03】（25-26 高三上·山东临沂·期中）已知数列
中，
，
.
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)求
的前
项和
；
(3)令
，求数列
的最大项.
题型五 单调性与充分必要条件结合
方法点拨：①明确单调性定义：如 “递增数列” 需满足对所有n∈N
*，an+1>an，而非局部项满足。
②双向验证逻辑关系：判断条件p（如a2>a1）能否推出单调性（充分性），单调性能否推出条件p（必要
性）。③举反例排除：若存在数列满足条件p 但不单调，或单调但不满足p，即可判断充分 / 必要关系。
【典例01】（2025·四川自贡·三模）命题
：数列
为等比数列，命题
：数列
满足
，
，
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【典例02】（2025·江苏·三模）在正项数列
中，设甲：
，乙：
是等比数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【变式01】（2025·湖南长沙·三模）数列
是公比不为1 的等比数列，前
项积为
，则“
，
”是“
”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【变式02】（2025·江苏南京·一模）在数列
中，“对于任意的正整数
，都有
”是
“数列
为等比数列”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【变式03】（25-26 高三上·福建厦门·期中）已知数列
满足
，则“数列
是递增
数列”的充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
（限时训练：15 分钟）
1． （25-26 高三上·江苏苏州·期中）已知数列
的通项公式为
，则数列
的最小项
是（ ）
A．第1 项
B．第6 项
C．第7 项
D．第13 项
2．（25-26 高三上·湖南长沙·开学考试）数列
的通项为
，且
为单调递增数列，
则k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2025·贵州黔南·三模）数列
满足
，若数列
单调递增，则实数
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 高三上·贵州贵阳·月考）设函数
，数列
满足
，且数列
是递增数列，则a 的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·天津·二模）已知
是一个无穷数列，“
”是“
为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5. （2025·北京顺义·一模）设
为等比数列，则“存在
，使得
”是“
为递减数
列”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6. （2025·山东济南·一模）若数列
各项均为正数，则“
为等比数列”是“
为等差数列”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
7. （24-25 高三上·河北·月考）已知数列
的通项公式为
，若对于任意正整数n，都有
≤
成立，则m 的值为（ ）
A．15
B．16
C．17
D．18
8. （2025·四川成都·二模）(多选)已知数列
的通项公式
，前
项和为
，则（ ）
A．数列
为等差数列
B．
，使得
C．当
时，
取得最小值
D．数列
的最大项的值为
9. （2025·北京房山·一模）已知数列
的各项均为正数，且满足
（
是常数，
），
则下列四个结论中正确的是（ ）
A．若
，则数列
是等比数列
B．若
，则数列
是递增数列
C．若数列
是常数列，则
D．若数列
是周期数列，则最小正周期可能为2
