文档文本内容
导数
一、求函数单调区间（含参）
1.
已知函数
.
(1)若
在点
处的切线与直线
平行，求
在点
处
的切线方程；
(2)求函数
的单调区间.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数（含参）的单调区间
【分析】（1）由
在点
处的切线与直线
平行，求出
，
再求出点
处的斜率和坐标，利用点斜式得到切线方程.
（2）求出导函数
，对参数
进行分类讨论即可得到函数
的单调区间.
【详解】（1）
由题意，
，即
，
所以
，所以
处的切点为
所以
在点
处的切线方程为
，
（2）函数
的定义域为
，
当
时，
恒成立，
所以
单调递增区间为
，无单调减区间；
当
时，令
，解得
，令
，解得
，
所以
单调递增区间为
，单调减区间为
.
2.
已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程;
(2)讨论函数
的单调性.
【答案】(1)
；
(2)答案见解析.
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数（含参）的单调区间
【分析】（1）求出
及
，根据导数的几何意义即可求解；
（2）
，令
,得
或
，对
与的大小分类讨论，即可
判断
的单调性.
【详解】（1）
时，
，
则
.
又
，则
,
故曲线
在点
处的切线方程为
.
（2）函数
的定义域为
，
，
令
,得
或
，
当
，即
时，
，
故
在
上单调递增.
当
，即
时，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增.
当
，即
时，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增.
综上所述，当
时，
在
上单调递增;
当
，
在
和
上单调递增，在
上单调递减;
当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
3.
已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间
(2)讨论
的单调性；
【答案】(1)
在
单调递增，在
单调递减；
(2)答案见解析.
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数求函数（含参）的单调区间
【分析】（1）把
代入，利用导数求出函数的单调区间.
（2）求出函数导数，再按
分类讨论求解函数的单调性.
【详解】（1）当
时，函数
的定义域为
，
求导得
，
当
时，
；当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）函数
的定义域为
，求导得
，
当
时，
，函数
在
上单调递增；
当
时，由
，得
；由
，得
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以当
时，函数
在
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
4.
已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求函数
的单调递增区间.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数（含参）的单调区间
【分析】（1）求导
得切线斜率，求
得切点纵坐标，再根据点斜式得切线方程；
（2）求导得
，讨论
与
的大小，解
在定义域内的解集从而
得函数单调增区间.
【详解】（1）当
时，函数
，
所以
，
所以
，
所以所求切线方程为
，即
；
（2）因为
，其定义域为
，
所以
，
当
时，由
，解得
或
；
当
时，
恒成立且在
时取等号；
当
时，由
，解得
或
.
综上，当
时，函数
的单调递增区间为
；
当
时，函数
的单调递增区间为
；
当
时，函数
的单调递增区间为
.
5.
已知函数
，其中
．
(1)当
时，若直线
是曲线
的一条切线，求
的值；
(2)讨论
的单调性；
【答案】(1)
(2)答案详见解析
【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数（含参）的单调区间
【分析】（1）利用导数的几何意义可得答案；
（2）利用导数含参讨论函数的单调性即可.
【详解】（1）当
时，
，
则
，
当
时，解得
或
（舍），
则
，可得切点
，
代入切线方程得
，
解得
．
（2）已知
，
得
；
当
时，定义域为
，
，
二次函数
图象开口向上，且
令
，在
必有解
，
当
时，
在
上单调递减，
当
时，
在
上单调递增；
时，定义域为
，则
恒成立，
在
上单调递减，
综上所述：当
时，
在
上单调递减，在
上单调
递增；
当
时，
在
上单调递减．
二、求函数极值
6.
已知函数
.
(1)求证：曲线
在点
处的切线总与直线
平行；
(2)函数
在区间
上存在极值点，
（i）求
的取值范围；
（ii）求
在区间
上的零点个数.
【答案】(1)见解析
(2)（i）
；（ii）1 个零点
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据极值求参数、函数单调性、极值
与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点
【分析】（1）先对函数
求导，再求出
和
的值，根据导数的几何意义得到
切线方程，进而证明切线与直线
平行.
（2）（i）对函数
求导，根据函数在区间
上存在极值点，分析导数在该区间上
的正负变化，确定
的取值范围.
（ii）结合（i）问中
的取值范围，分析函数
在区间
上的单调性，判断零点个
数.
【详解】（1）由
，得
，
，
，
所以曲线
在点
处的切线的斜率为0，切线方程为
，
所以曲线
在点
处的切线总与直线
平行.
（2）（i）由（1）知
，因为
，
所以
，令
，
当
时，
，
在区间
上单调递增，且
，
所以
在区间
上恒成立，即
在区间
上恒成立，
在区间
上单调递增，无极值点.
当
时，
在区间
上递减，令
，得
.
若
，即
时，
在区间
上恒成立，
即
在区间
上恒成立，
在区间
上单调递减，无极值点.
若
，即
时，
当
时，
，则
，
单调递增；
当
时，
，则
，
单调递减，
所以
在
处取得极大值，满足函数
在区间
上存在极值点.
综上，
的取值范围是
.
（ii）由（i）知当
时，
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，且
，
当
时，函数
的趋势由起决定作用的项
决定，
因为
，所以
，
因此
在区间
上有且仅有1 个零点.
7.
已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求
的单调性和极值．
【答案】(1)
；
(2)答案见解析.
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值、利用导数求函数
（含参）的单调区间
【分析】（1）把
代入，求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）求出函数的导数，按
分类探讨函数的单调区间及极值.
【详解】（1）当
时，则
，求导得
，则
，而
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
.
（2）函数
的定义域为
，求导得
，显然
，
当
时，
，函数
在
上单调递增，无极值；
当
时，由
，得
；由
，得
，
因此函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
在
处
取得极大值
，无极小值，
所以当
时，函数
在
上单调递增，无极值；
当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，极大值为
，
无极小值.
8.
已知函数
．
(1)若
，求
的图象在
处的切线方程；
(2)若
恰有两个极值点
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据极值点求参数
【分析】（1）根据导数的几何意义求出
得到切线斜率，再由点斜式写出直线方程；
（2）由题知
有两个不相等的正实根，结合二次方程根的分布问题处理.
【详解】（1）当
时，
，
则
则
的图象在
处的切线方程为
，
即
（2）
令
，由
恰有两个极值点
，
则
有两个不同实数根
，且
则有
解得
9.
已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求
在
上的极值.
【答案】(1)
(2)极大值
，有极小值1
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值
【分析】（1）由函数解析式求导数
，从而求得切点坐标和切线斜率，由点斜式写出
切线方程；
（2）令导数
解得
，然后通过列表即可求得函数的极大值与极小值.
【详解】（1）
，
所以
，
，
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
；
（2）
，
令
，则
或
.
如下表，
1
0
0
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以，函数有极大值
，有极小值1.
10. 已知函数
，曲线
在
处的切线方程平行于
轴.
(1)求
的值；
(2)求函数
的极值.
【答案】(1)
(2)极小值为
，无极大值
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、求已知函
数的极值
【分析】（1）求导，得到函数在
处的斜率，列方程求出
的值；
（2）利用导数研究函数的单调性，进而求出极值.
【详解】（1）因为
，
所以
，
所以
，
又因为曲线
在
处的切线方程平行于
轴，
所以
，即
，解得
；
（2）由（1）可知
，所以
，
要使该函数有意义，则
，所以
且
，
所以函数
定义域为
又
，因为
，
令
，解得
或
（负值舍去），
所以
，
所以当
时，
，
，
单调递减，
当
时，
，
，
单调递减，
当
时，
，
，
单调递增，
所以函数
在
处取得极小值，极小值为
，
又极值点不能在区间端点处取得，所以该函数无极大值.
三、求函数最值
11.
已知函数
(1)当
时，求
的单调区间与极值；
(2)当
时，求
的最小值.
【答案】(1)单调递增区间为
，单调递减区间为
，
，无极大值；
(2)答案见解析.
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、函数单调性、极
值与最值的综合应用、由导数求函数的最值（含参）
【分析】（1）研究导函数正负情况即可求解；
（2）利用导数工具分当
、
、
、
四种情况研究函数的单调性
即可求解.
【详解】（1）当
时，
，定义域为
，
，
令
，即
，解得
，可得
，
，
的变化如下表所示，
0
－
0
＋
↘
极小值
↗
所以
的单调递增区间为
，单调递减区间为
，
所以
，无极大值
（2）
为增函数，
①当
时，在
上
，函数
单调递增，
此时
；
②当
时，令
解得
若
，即
，在
上
，函数
单调递增，
此时
；
若
，即
，在
上
，
，
的变化如下表所示，
－
0
＋
↘
极小值
↗
此时
；
若
，即
，在
上
，函数
单调递减，
此时
；
综上所述，当
时
取得最小值
，
当
时，
取得最小值
，
当
时
取得最小值
.
12. 已知函数
，
(1)若
是奇函数，求实数
的值，并求在此条件下满足
的实数的
取值范围；
(2)若
的定义域是
.
（i）求
的单调递增区间；
（ii）记
在定义域上的最小值是
，求
的解析式.
【答案】(1)
(2)（i）
和
； （ii）
【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用导数求函数（含参）的单调区间、根据函
数的单调性解不等式
【分析】（1）根据奇函数的定义求得
，求导可得函数的单调性，列不等式可得结果.
（2）（i）通过导数可求
的单调递增区间.
（ii）分析函数的极小值，与
作比较可得结果.
【详解】（1）由题意得，
定义域为
，关于原点对称.
因为
是奇函数，
所以
恒成立，
所以
，解得
，
所以
，
由
得，
或
，由
得，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
因为
，
，
所以
，即
，解得
或
，
所以实数的取值范围为
.
（2）（i）由题意得，
，
由
得
或
.
因为
，所以由
得，
或
，由
得，
，
所以
的单调递增区间为
和
.
（ii）由（i）得，
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
所以当
时，
的极小值为
，且
.
当
，即
时，
，
，
当
，即
时，
，
，
综上得，
.
13. 已知
，函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论函数
的单调性；
(3)当
时，求函数
在区间
上的最小值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用导数求函数（含参）的单调区间、求在曲
线上一点处的切线方程（斜率）
【分析】（1）求导，可得
，
，结合导数的几何意义，点斜式求切线方程；
（2）求导可得
，分
和
两种情况，利用导数分析
的
单调性；
（3）分类讨论
与区间
的关系，根据单调性求函数最小值即可.
【详解】（1）当
时，则
，
，
可得
，
，
即切点坐标为
，切线斜率
，
所以
在
处的切线方程为：
．
即切线方程为
.
（2）由题意可得：
，
注意到
，
①若
，
，则
在
上单调递减，
②若
，令
时，解得
，
当
，
；当
，
；
所以
在
上单调递增，在
上单调递减．
综上，
时，
在
上单调递减；
时，
在
上单调递增，在
上单调递减．
（3）由（2）知
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，
①当
时，即
时，函数
在区间
上单调递增，
所以
；
②当
时，即
时，函数
在区间
上单调递减，
在
上单调递增，所以
；
③当
，即
时，函数
在区间
上单调递减，
所以
.
综上，
时，
，
时，
，
时，
.
14. 已知函数
；
(1)若
，求函数
的单调区间；
(2)当
时，求函数
在
上的最大值．
【答案】(1)单调增区间为
，单调减区间为
.
(2)答案见解析.
【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】（1）代入得
，求导得
，分析其单调性即可；
（2）求导得
，分
和
讨论即可.
【详解】（1）函数定义域为
，
当
时，
，
则
，
令
，
令
，
所以
的单调增区间为
，单调减区间为
.
（2）
，
令
解得
①当
时，
当
时，
在区间
上单调递增，
当
时，
在区间
上单调递减．
.
②当
时，
当
时，
，
在区间
单调递增．
.
综上所述，当
时，
，
当
时，
.
四、利用导数证明不等式
15. 已知函数
，
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
有最大值，求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用导数证明不等式、求在曲线上一点处的切
线方程（斜率）
【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义求出切线方程；
（2）求出函数导函数，分
，
两种情况讨论函数的单调性，即可得到函数的最大
值，依题意即证
，构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可证
明.
【详解】（1）当
时，
．
，
则
，
，
故曲线
在点
处的切线方程是
．
（2）函数
的定义域为
，
又
，
当
时，
，故
在
上单调递增，无最大值；
当
时，令
，则
，
所以
时，
，
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减．
故
的最大值是
，
要证
，
令
，
，则
，
所以当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，则
．即
，得证．
16. 已知函数
.
(1)若
，求函数
的单调区间；
(2)若
恒成立，求a 的取值范围；
(3)证明：
，
.
【答案】(1)函数
的递增区间为
，递减区间为
；
(2)
；
(3)证明见解析.
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究
不等式恒成立问题
【分析】（1）直接利用函数
的导数判断函数的单调区间；
（2）将不等式转化为
恒成立，进而再构造函数
，故只需求出
的最大值，即可得所求值的范围；
（3）先证明不等式
，再根据不等式进行放缩并累加求和即可证明不等式.
【详解】（1）因为函数
，函数的定义域为
，
.
当
时，
，因为
，所以
，
.
故函数在
上单调递减，在
上单调递增.
故函数
的递增区间为
，递减区间为
.
（2）由
，即
，得
在
上恒成立；
令
，
.
由
得
，即
，所以当
，
.
所以
在
上单调递增，在
单调递减，所以
.
所以
，故a 的取值范围为
（3）先证明不等式
，令
，
.
所以
在
单调递减，所以
，即不等式
成立.
令
，即
，所以
.
所以
，
，
，
.
上述n 个式子相加得
.
故
，
成立.
17. 设函数
，
.
(1)若
存在大于0 的零点，求a 的取值范围；
(2)设点
在曲线
的任意一点的切线上，证明：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点
【分析】（1）由
的单调性结合零点存在性定理确定
，再构造函数
，根据其单调性确定参数范围即可；
（2）设切点坐标，根据导数的几何意义得出切线方程，将问题化为证明
，构造函数
，求导判定其单调性与最值证明即可.
【详解】（1）易知函数
在R 上单调递增，且
时，
，
若
存在大于0 的零点，则
，即
.
令
，易知函数
在R 上单调递增，
因为
，所以要使
，只需
，
即
的取值范围为
.
（2）易知
，设切点为
，
则切线为
，
由于
是切线上一点，故
，
要证
，即证
，
等价于证明
，
设
，则
.
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增.
又
，故
，
也即
得证.
18. 已知函数
，设
.
(1)求证：
是
上的单调递减函数；
(2)求证：当
时，
.
【答案】(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式
【分析】（1）二次求导，得到
在
上单调递减，结合特殊点函数值，得到
在
上恒成立，故
是
上的单调递减函数；
（2）令
，求导，分
和
两种情况，结
合（1）中所求及三角函数有界性，放缩得到
，综上，当
时，
.
【详解】（1）
，
，
令
，
则
在
上恒成立，
所以
在
上单调递减，其中
，
故
在
上恒成立，
故
是
上的单调递减函数；
（2）当
时，令
，
则
，
由（1）可知
是
上的单调递减函数，故
，
故
在
上恒成立，
故
在
上单调递减，
故
，故
，
当
时，
，
故
，
，
所以
，
所以
，
，
综上，当
时，
.
19. 已知函数
，
.
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：若
，则
存在唯一的极小值
，且
.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【知识点】求已知函数的极值、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等
式、利用导数求函数（含参）的单调区间
【分析】（1）利用导数分
和
两种情况讨论导数正负得出函数的单调区间；
（2）由题设
，
，并用导数研究
的单调性和极值，
即可证.
【详解】（1）因为
，其中
，
.
①当
时，
恒成立，
的增区间为
，无减区间；
②当
时，令
，得
，
由
可得
；由
可得
.
此时，函数
的减区间为
，增区间为
.
综上所述：当
时，
的增区间为
，无减区间；
当
时，函数
的减区间为
，增区间为
.
（2）当
时，
，
，
令
，
，则
在
上恒成立，
∴
在
上单调递增，
又∵
，
，则方程
只有一解，设为
，
∴存在唯一的
，使得
，即
，
当
时，
，当
时，
，
∴
在
上单调递减，在
上单调递增，
∴
，
∵
，∴
，
∴
，
即
.
20. 已知
.
(1)令
，求
的最小值；
(2)求证：当
时，
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式
【分析】（1）根据条件得
，利用导数直接求出
的单调区间，即
可求解；
（2）利用（1）中结果得
在区间
上单调递增，从而当
时，
，即可求解.
【详解】（1）因为
，则
，
所以
，易知
，
，
当
时，
，当
时，
，
即
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
所以
的最小值为
.
（2）因为
，则
，
由（1）可知
在
恒成立，
所以
在
恒成立，
即
在区间
上单调递增，
所以当
时，
，
即
，命题得证.
五、导数中的恒成立问题
21. 已知
，
，
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)求证：当
时，
；
(3)若
在
时恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析；
(3)
【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含
参）的单调区间
【分析】（1）通过导数，结合分类讨论，即可判断单调性；
（2）通过不等式变形，构造函数
，再求导即可判断单调性来进行证明；
（3）通过不等式变形，构造函数
，再利用求导，结合端点值效应，
必要性先行，再证明充分性，即可求解.
【详解】（1）由
，
当
时，
，则
在
上单调递增；
当
时，由
可解得：
，
由
可解得：
或
，
则
在区间
上单调递增，在区间
，
上单调递减；
（2）当
时，要证明
，即证明
，
即证明：
，令
，
，
则
，
所以
在
上单调递增，
即
，
所以原不等式
得证；
（3）由
可得：
，
因为
，所以
，即原不等式
，
令
，
，
，
又令
，则
，
又令
，则
，
先判断必要性：
因为
，
，
，
要证明当
，
，
则必满足在
及附近单调递减，则必有
，
当
时，
此时必存在区间
，使得
，即
在
上单调递增，
则
，即
在
上单
调递增，
则
，即
在
上单调递
增，
则
，从而可判断原不等式不成立，
即
是原不等式成立的必要条件；
再证明充分性：
当
时，
，
令
，则
，
所以
在
上单调递减，即
，
即可得
，
从而可得
，即可证明原不等式成立.
所以实数
的取值范围是
.
22. 已知函数
．
(1)求函数
在
处的切线方程；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可；
（2）令
，根据导数求得最小值，结合题意即可求解.
【详解】（1）函数
的导函数为
，所以
，
又
，所以
在
处的切线方程为
，即
；
（2）函数
的定义域为
，
由
恒成立，得
恒成立，
设
，则
，
当
时，
，所以函数
在区间
上单调递减；
当
时，
，所以函数
在区间
上单调递增，
所以
，所以
，
故实数
的取值范围是
．
23. 已知函数
.
(1)讨论
的单调区间和极值.
(2)若
，不等式
的解集为
，求
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含
参）的单调区间
【分析】（1）先求
，根据导数的正负确定函数单调性，进而可得单调区间和极值.
（2）将不等式恒成立问题转化为
结合函数单调性，即可求解.
【详解】（1）函数
的定义域为
，
，
（ⅰ）当
时，
，所以
在
上单调递增，无极值.
（ⅱ）当
时，令
，得
，
令
，得
.
在
上单调递减，在
上单调递增，
在
处取得极小值，
，
综上，当
时，
在
上单调递增，无极值；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
极小值为
，无极大值.
（2）
的定义域为
，
在
恒成立，
，由（1）知
在
单调递减，在
单调递增，
，所以
即
.
①当
时，不等式
不成立，不符合题意；
②当
时，设
，则
，所以
在
单调递
减，
又
，
等价于
，
；
综上，
的取值范围是
.
24. 已知函数
．
(1)若
，求曲线
在
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
(3)若
，
恒成立，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案详见解析
(3)
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、利
用导数求函数（含参）的单调区间
【分析】（1）由题可得切线方程斜率与切线所过点，据此可得答案；
（2）分类讨论
，
两种情况下，
的正负性可得单调区间；
（3）由题可得
，结合
单调性，可得
，最后由
单调性可得答案.
【详解】（1）若
，则
，
．
又
，所以
，
故曲线
在
处的切线方程为
，即
；
（2）
的定义域为
，
．
当
时，
，故
在
上单调递增；
当
时，令
，解得
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减；
（3）由
，可得
，
即
，
令
，易知
单调递增，
由
，可得
，
则
，即
．
设
，则
，当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，所以
，
所以
，因此
的取值范围为
．
25. 已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
在
内的最大值为2，求
的值；
(3)若
，求
的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
；
(3)
．
【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题、已知
函数最值求参数
【分析】（1）求导，分
、
、
、
四种情况讨论；
（2）结合第1 问的单调性求出最值即可；
（3）利用参变分离求最值即可.
【详解】（1）求导得
，
当
时，
，则
，得
，
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，令
，解得
或
，
当
时，
，则
，得
或
，
，得
，
则
在
内单调递减，在
和
上单调递增；
当
时，
，
，则
在区间
上单调递增；
当
时，
，则
，得
或
，
，得
，
则
在区间
内单调递减，在
和
上单调递增，
综上，
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
时，
在
内单调递减，在
和
上单调递增；
时，
在区间
上单调递增；
时，
在区间
内单调递减，在
和
上单调递增.
（2）由（1）知，当
时，
在
内单调递增，
则
，解得
与
矛盾；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，即
，
令
则
，
则
在
上单调递减，
又
，故
；
综上，
.
（3）由
可得
，
即
，
令
，则
，
则
得
；
得
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，则
，
故
，令
，
则
，令
，解得
，
则当
时，
，当
时，
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
，所以
，
故
的取值范围为
．
六、导数中的能成问题
26. 已知函数
.
(1)求
的单调区间；
(2)若对于任意
，总存在
，使得
，求
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究能成立问题
【分析】（1）先求解出
，然后根据
的正负可求解出
的单调区间；
（2）根据
的单调性将问题转化为“
在
上有解” ，然后通过分
离参数、构造函数以及换元法求解出
与新函数最值的关系，由此可求
的取值范围.
【详解】（1）函数
的定义域为
,
则
，
令
，可得
或
，令
，可得
或
，
则
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
和
（2）由（1）知：
在
上单调递增，在
上单调递减，
故当
时，
，
由已知：
在
上有解，
在
上有解，
在
上有解，
，
；
令
，则
，
在
上单调递增，
，
令
，
，则
在
上单调递增，
则
，故
.
的取值范围为
.
27. 已知函数
，
，
.
(1)求函数
在区间
上的最小值；
(2)若存在
，使得
成立，求实数
的取值范围；
(3)对于任意的
，总存在
，使得
成立，求实数
的
取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研
究能成立问题
【分析】（1）根据
单调性可确定最小值点，由此可得最小值；
（2）将问题转化为
，令
，利用导数可求得
的单
调性，由此可求得
，进而得到结果；
（3）将问题转化为
，根据
单调性可求得
，分离
变量可得
，令
，利用导数可求得
单调性，进而求得最小值，
由此可得
取值范围.
【详解】（1）由题意知：
；
与
在
上均为增函数，
在
上单调递增，
.
（2）当
时，由
得：
，
若存在
，使得
成立，则
；
令
，则
，
当
时，
，
在
上单调递增，
，
，即实数
的取值范围为
.
（3）由
得：
，
若对于任意的
，总存在
，使得
成立，则
；
在
上单调递增，
，
，
，
当
时，
，
；
令
，则
，
当
时，
；当
时，
；
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
，即实数
的取值范围为
.
28. 已知函数
.
(1)若
时，求曲线
在
处切线的斜率；
(2)求
的单调区间；
(3)设
，若对任意
，均存在
，使得
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、利
用导数研究能成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间
【分析】（1）根据导数几何意义直接求解即可；
（2）求导后，分别在
和
的情况下，根据
的正负得到结论；
（3）将问题转化为
，由二次函数性质可求得
，采用参变分
离的方式可得
，利用导数可求得
的最小值，进而得到结果.
【详解】（1）当
时，
，则
，
，
在
处切线的斜率为
.
（2）由题意知：
的定义域为
，
，
①当
时，
，
，
，
在
上单调递增；
②当
时，令
，解得：
，
当
时，
；当
时，
；
在
上单调递增，在
上单调递减；
综上所述：当
时，
的单调递增区间为
，无单调递减区间；当
时，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
（3）
对任意
，均存在
，使得
，
；
，
当
时，
，
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
；
令
，则
，
令
，解得：
，
当
时，
；当
时，
；
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
，即实数
的取值范围为
.
29. 已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
(3)设
，函数
，对于
，
，使得
，求实
数
的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)答案见解析；
(3)
.
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、利
用导数研究能成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间
【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程；
（2）对函数求导，应用分类讨论研究导数区间符号，进而确定单调区间；
（3）问题化为
在
，
成立，利用导数分别求出两函数在
给定区间内的最小值，即可得参数范围.
【详解】（1）当
时
，得
，
则曲线
在点
处的切线斜率为
且
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
；
（2）由题设
且
，
当
时
在
上单调递减；
当
时，令
，
当
时
在区间
上单调递减，
当
时
在
上单调递增，
综上，
当
时，
的减区间为
，无增区间，
当
时，
的增区间为
，减区间为
；
（3）由题设，对于
，
，使得
，
所以
在
，
成立，
由（2）知，当
时
，则
在
上单调递增，则
，
由
，
，则
在
上单调递增，则
，
只需
.
30. 已知函数
，其中
．
(1)求
在
处的切线方程；
(2)求函数
的极值；
(3)若关于
的不等式
在
上有解，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)极大值
，极小值0
(3)
【知识点】利用导数研究能成立问题、求已知函数的极值、求在曲线上一点处的切线方程
（斜率）
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程即可；
（2）求导
，令
，根据导数的符号确定函数单调性，进而得到
极值即可；
（3）
在
上有解，即
，令
，则
在
上单调递
增，令
，
在
上单调递减，则
，然后求解
即可.
【详解】（1）
，
，
，且
，
在
处的切线方程为：
.
（2）令
，得
或
，
当
和
时，
，则函数
单调递增；
当
时，
，则函数
单调递减，
为函数
的极大值点，极大值为
；
为函数
的极小值点，极小值为
.
（3）根据题意关于
的不等式
在
上有解，
即
在
上有解，
设
，
，
，
，
由于
，
在
上单调递增，
，
在
上单调递减，
，
则
，解得
，
实数
的取值范围为
.
七、利用导数研究函数零点
31. 已知函数
.
(1)若曲线
在
处的切线与在
处的切线的倾斜角互补，求
的值；
(2)已知
有三个不同的零点.求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
；
【知识点】已知切线（斜率）求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研
究函数的零点
【分析】（1）分段求出函数
的导数，再利用导数的几何意义，结合已知列式求解.
（2）由函数零点的意义分离参数，构造函数
，分类讨论，利用导数探讨函数
性质即可；
【详解】（1）由题意得：函数
，
求导得
，
则
，
因为曲线
在
处的切线与在
处的切线的倾斜角互补，
则
，即
，所以
.
（2）函数
的定义域为
，由
，得
，
令函数
，则
求导得
，
当
或
时，
；当
时，
，
则函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
在
取得极大值
，
当
从大于0 的方向趋近于0 时，
；当
时，
，
而
，当
时，恒有
，
又
有三个零点，则
，
所以
的取值范围为
.
32. 已知函数
.
(1)判断
在区间
的单调性；
(2)证明：当
时，
；
(3)证明：
在
上有且只有一个零点.
【答案】(1)
在
单调递增，在
单调递减
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式、利用导数研究函
数的零点
【分析】（1）求导数
，即可求得函数单调区间；
（2）构造函数
，求导数
，得到函数
单调区间，从而求得函数
最小值，即证明
，再由三角函数有界性得
，即可得证；
（3）由题意得
，求导数
，再令
，求导数
得到函数
在区间
上单调性，结合
端点处函数值，由零点存在性原理得到
存在零点，设
零点
得到函数
的单调区间，由零点存在性原理得证.
【详解】（1）由题意可得
，
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增；
所以
在
单调递增，在
单调递减.
（2）令
，
，
在
上单调递增，且
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
所以
，即
，
因为
，所以
，
所以
.
（3）依题得，
，
，令
，
则
，
当
时，
且
，且两项不同时为0，
所以
，
在
上单调递减，
因为
，
，
由零点存在定理得，存在
，使得
，
所以当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
因为
，所以
，
又因为
，
由零点存在定理得，存在
，使得
，
因为
在
上单调递减，所以零点
唯一，
又因为当
时，
单调递增，所以
，在此区间无零点.
综上，
在
上有且只有一个零点.
33. 已知函数
.
(1)若
，证明：当
时，
；
(2)若
，求
的最小值；
(3)讨论
的零点个数.
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
(3)答案见解析
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的
零点
【分析】（1）利用导数的性质，结合函数的单调性进行运算证明即可；
（2）根据导数的性质，结合函数的单调性进行求解即可；
（3）根据参变量分离法，通过构造新函数，利用数形结合思想分类讨论进行求解即可.
【详解】（1）
，
因为
，
，
所以
，因此
，
所以当
时，函数
在
上单调递减，
于是由
，证毕；
（2）当
时，
，
，
当
时，
，所以函数
在
时，单调递增，
当
时，
，
，显然
，
因此
，所以函数
在
时，单调递减，
所以当
时，函数
有最小值
；
（3）当
时，
，
所以此时该函数是实数集上的减函数，而
，
所以此时函数有唯一零点；
，
设
，
当
时，
，此时函数
单调递减，
当
时，
，此时函数
单调递增，且
，
函数
的图象和直线
的图象如下图所示：
显然当
时，直线
和函数
的图象有唯一交点
；
函数
在
处的切线斜率为
，
因此当
时，直线
和函数
的图象有唯一交点
；
因此当
时，直线
和函数
的图象有两个交点，
当
时，直线
和函数
的图象有两个交点，
综上所述：当
时，函数
有两个零点，
当
时，函数
有一个零点.
34. 已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论函数
的单调性；
(3)若函数
有三个零点，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知函数最值求参数、利用导数研究
函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间
【分析】（1）先求出导函数，再根据导数值得出切线斜率，最后由点斜式得出切线即可求
解；
（2）先求出导函数，再分类讨论当
，
时，分导函数的正负得出单调区间；
（3）结合（2）知
，再构造函数
，再求导数
得出最值再结合零点个数计算求参.
【详解】（1）当
时，
，
在点
处的切线方程为：
（2）定义域为
，
（i）当
时，
，令
得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减；
（ii）当
时，则由
得
或
，
当
时，
，所以
在
单调递增；
当
时，
，令
得
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
，令
得
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
综上所述，
当
时
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
时
在
单调递增；
当
时
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
（3）由（2）知
且
，
，
记
，则
且
，
当
时，
；当
时
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以有
，所以
，等号成立当且仅当
故当
时，由（2）知
有且只有一个零点，舍去
当
且
时，
，
要使得
有三个零点，则
，解得
所以
的取值范围是
35. 已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求证：
存在极大值点；
(3)求
的零点个数.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数单调性、极值与最值的综合应用、
利用导数研究函数的零点
【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；
（2）求导后结合零点存在性定理分析可得函数单调性，即可得其极值情况；
（3）结合函数单调性与零点存在性定理分析即可得.
【详解】（1）
，
则
，又
，
则曲线
在点
处的切线方程为
，即
；
（2）
，
令
，则
，
故
在
上单调递增，
又
，
，
故存在
，使得
，
当
时，
，当
时，
，
则当
时，
，当
时，
，
故
在
、
上单调递增，在
上单调递减，
故
是
的极大值点；
（3）由（2）得
在
、
上单调递增，在
上单调递减，
则
，
又
，
故
在
上有一零点，在
上无零点，
故
的零点个数为.
八、利用导数研究双变量问题
36. 已知函数
．
(1)求函数
在
上的最值及其零点个数；
(2)若对于任意的
，均有
，求
的取值范围．
【答案】(1)最大值为
，最小值为
，只有1 个零点；
(2)
【知识点】利用导数研究双变量问题、利用导数研究函数的零点、利用导数研究不等式恒
成立问题、由函数在区间上的单调性求参数
【分析】（1）利用导数计算函数的单调性计算最值，再根据零点存在性定理确定零点个数
即可；
（2）构造函数
，将问题化为函数
定义域上单调递增，即
恒成立，分离参数，再利用导数研究函数的单调性、最值计算即可.
【详解】（1）易知
，
则
定义域上恒成立，
所以
在
上单调递增，则
，
即最大值为
，最小值为
，
又
，根据零点存在定理和函数的单调性，则
在
上只有一个零点；
（2）设
，则对于任意的
，均有
，
即
在
上单调递增，
所以
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
令
，则
，
令
，则
，即
在
上单调递增，
又
，则
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，故
.
37. 已知函数
，
(1)若
在定义域内单调递增，求实数
的取值范围；
(2)当
时，若对任意
，不等式
恒成立，求实数
的
最小值；
(3)若
存在两个不同的极值点
，
，且
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)1
(3)
【知识点】利用导数研究双变量问题、根据极值点求参数、利用导数研究不等式恒成立问
题、由函数在区间上的单调性求参数
【分析】（1）
在定义域内单调递增等价于
恒成立，分离参数转化为最值问
题求解；
（2）由
，构造同构函数
，利用
的单调性求解；
（3）由极值点得双变量
之间关系，将
通过变量代换转化为关于
的函数，利
用导数判断单调性求其最值情况即可求解.
【详解】（1）由题
的定义域为
，
在
恒成立，且
的解不连续，
则
，
所以
的取值范围是
；
（2）当
时，不等式可化为
，变形为
，
令
，求导得
，所以
在
上是增函数，
故
，即
，即
，
所以对任意
，不等式
恒成立，即
对任意
恒成立，
令
，则
，
所以当
时，
，则
单调递增；
当
时，
，则
单调递减，
所以
，即满足不等式的实数
的取值范围为
，
所以
的最小值为1；
（3）因为
存在两个不同的极值点
，
所以由
可得
是方程
的两根，
所以
，且
，
，
所以
，故
，
又由
可得
，
而
，
令
，
则
，
∵
，∴
，即
，
则
，所以
在区间
上单调递减，
所以有
，即
，
所以实数
取值范围
.
38. 设函数
(1)分析
的单调性和极值；
(2)设
，若对任意的
，都有
成立，求实数m 的取值范围；
(3)若
，且满足
时，证明：
.
【答案】(1)
在
单调递减，在
单调递增，
的极小值为
，无极大
值.
(2)
(3)证明见解析
【知识点】利用导数研究双变量问题、利用导数研究不等式恒成立问题、求已知函数的极
值、利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】（1）求导研究函数单调性，求出极值；
（2）构造函数
，求导后注意到
，进而得到
，
，再验证充分性；
（3）构造函数利用导函数研究其单调性，从而证明不等式.
【详解】（1）函数
，则
，
令
，解得：
，且当
时，
，
时，
，
因此：
在
单调递减，在
单调递增，
故
的极小值为
，无极大值.
（2）对任意的
，都有
成立，
即对任意的
，
恒成立，
令
，则
，
注意到：
，若要
，必须要求
，即
，亦即
，
另一方面：当
时，因为
单调递增，
则当
时，
恒成立，
所以
在
时单调递增，故
；故实数
的取值范围为：
；
（3）记
，则
，
记
，
，
，
当
时，
，
为增函数，
当
时，
，
为减函数，
所以
，即
，
所以函数
在
单调递减，
则
为
，注意到
，不妨
，
要证
，只需证
，即证：
，
即证：
，即证：
，
记
，
则
，记
，
则
，所以
在
单调递增，所以
，
即
，所以
在
单调递减，所以
，
所以
，所以
，得证.
39. 已知函数
，其中参数
．
(1)求函数
的单调区间；
(2)设函数
，存在实数
，使得不等式
成立，求a 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【知识点】利用导数研究双变量问题、利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研
究能成立问题
【分析】（1）求导，对分类讨论求解单调区间；
（2）不等式
成立，转化为
，然后求解函数的最大与最小值
列出不等式求解．
【详解】（1）
，
（1）当
时，
，
，
的减区间是
．
（2）当
时，
，
的减区间是
．
（3）当
时，
，
，
的增区间是
，
，
的减区间是
．
综上，当
时，减区间是
；当
时，增区间是
，减区间是
.
（2）
，
，因为存在实数
，使得不等式
成立，
，
，
，
,
，
，
单减，
，
，
单增．
．
，
，
，
．
40. 设函数
.
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)若函数
有两个极值点
，且
，求
的最小值.
【答案】(1)调递增区间为
，
；单调递减区间为
(2)
【知识点】利用导数研究双变量问题、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数求函数
的单调区间（不含参）
【分析】（1）求导后，根据
的正负可确定单调区间；
（2）根据函数有两个极值点可得方程
在
上有两个不等实根
，由
此可得韦达定理的结论，将
表示为关于
的函数的形式，构造函数
，利用导数求得
即可.
【详解】（1）当
时，
，则
定义域为
，
，
当
时，
；当
时，
；
的单调递增区间为
，
；单调递减区间为
.
（2）
定义域为
，
，
有两个极值点
等价于
在
上有两个不等实根
，
，
，
，
，
；
设
，
则
，
在
上单调递减，
，
即
，
的最小值为
.
九、导数中的极值点偏移问题
41. 已知函数
，
.
(1)若对于任意
，都有
，求实数
的取值范围；
(2)若函数
有两个零点
，求证：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】导数中的极值偏移问题、利用导数研究函数的零点、利用导数研究不等式恒成
立问题
【分析】（1）通过转化构造函数
，利用导数求出该函数的最小值即可；
（2）通过利用极值点偏移的知识，令
，
，利用导数相关知识转化为证明
即可.
【详解】（1）结合题意：对于任意
，都有
，所以
，
因为
，所以只需
，
，
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增.
所以只需
；
（2）
等价于
，
设函数
，
，易知
在区间
上单调递增；
上单调递
减，
由
知
且
，
，
设函数
，其中
，
知
，
知
在区间
上单调递增，即
时
，
即
时，
，
即
，
又由已知由
且
，
有
且
，由
在
上单调递减，
所以
，即
.
42. 已知函数
.
(1)当
时，求函数
的零点个数.
(2)若关于
的方程
有两个不同实根
，求实数
的取值范围并证明
.
【答案】(1)有且仅有一个零点
(2)
，证明见解析
【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、导数中的极值偏移问题
【分析】（1）利用导函数与单调性的关系，以及零点的存在性定理求解；
（2）根据题意可得
有两个不同实根
，进而可得
，两
式相加得
，两式相减得
，从而有
，进而要证
，只需证
，即证
，
构造函数
即可证明.
【详解】（1）当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，
又因为
，
所以函数
有且仅有一个零点.
（2）方程
有两个不同实根
，等价于
有两个不同实根
，
得
，令
，则
，
令
，解得
；令
，解得
；
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以当
时，
取得最大值
，
由
，得当
时，
；
当
的大致图象如图所示，
所以当
，即
时，
有两个不同实根
；
证明：不妨设
且
两式相加得
，两式相减得
，
所以
，
要证
，只需证
，
即证
，
设
，令
，
则
，
所以函数
在
上单调递增，且
，
所以
，即
，
所以
，原命题得证.
【点睛】关键点点睛：本题第二问考查极值点偏移问题，常用解决策略是根据
，两式相加相减，进而可得
，进而要证
，只需证
，即证
，从而将双变量转化为单变量，
令
，讨论该函数的单调性和最值即可证明.
43. 已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
有两个不同零点
，求
的取值范围，并证明
.
【答案】(1)
；
(2)
，证明见解析.
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数研究
函数的零点、导数中的极值偏移问题
【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可；
（2）利用导数研究函数单调性及最值，分类讨论即可判定
的取值范围，构造差函数证明
即可.
【详解】（1）当
时，
，易知
，
所以曲线
在点
处的切线方程为：
；
（2）由已知可得
，
①若
，则
，
，
即
在
上单调递增，
上单调递减，
，
又
时，
，所以函数存在两个零点；
②若
时，
，显然不符合题意；
③若
时，令
，
当
时，令
或
，令
，
即
在
上单调递减，
和
上单调递增，
函数极小值为
，函数极大值为
，
此时函数至多有一个零点，不符合题意；
当
时，
，则
单调递增，至多一个零点，不符合题意；
当
时，令
或
，令
，
即
在
上单调递减，
和
上单调递增，
函数极大值为
，函数极小值为
，
此时函数至多有一个零点，不符合题意；
综上所述，
时函数有两个零点
，则
一正一负，
不妨令
，设
，
令
，即
在R 上单调递增，
所以
，
，
故
时，有
，
时，有
，
即
，所以
，
则
，
又因为
在
上单调递减，故
，证毕.
【点睛】第二问关键是分类讨论，通过判断单调性及极值、最值研究函数的零点个数，证
明
可利用构造差函数
，通过证明
来判定极值
点偏移问题.
44. 已知函数
.
(1)若函数
有两个零点，求
的取值范围；
(2)设
是函数
的两个极值点，证明：
.
【答案】(1)
(2)证明过程见解析.
【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、导数中的极值偏移问题
【分析】（1）根据函数零点定义，结合常变量分离法、构造函数法，结合导数的性质进行
求解即可；
（2）根据所证明不等式的结构特征，构造新函数，结合导数的性质进行求解即可.
【详解】（1）
，
该方程有两个不等实根，由
，
所以直线
与函数
的图象有两个不同交点，
由
，
当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，因此
，
当
时，
，当
，
，
如下图所示：
所以要想有两个不同交点，只需
，即
的取值范围为
；
（2）因为
是函数
的两个极值点，
所以
，由（1）可知：
，不妨设
，
要证明
，只需证明
，显然
，
由（2）可知：当
时，
单调递增，所以只需证明
，
而
，所以证明
即可，
即证明函数
在
时恒成立，
由
，
显然当
时，
，因此函数
单调递减，
所以当
时，有
，所以当
时，
恒成立，因此
命题得以证明.
【点睛】关键点睛：常变量分离构造新函数，利用新函数的单调性求解证明是解题的关键.
45. 已知函数
，直线
与曲线
相切．
(1)求实数
的值；
(2)若曲线
与直线有两个公共点，其横坐标分别为
．
①求实数
的取值范围；
②证明：
．
【答案】(1)
(2)①
；②证明见解析
【知识点】导数中的极值偏移问题、利用导数研究方程的根、已知切线（斜率）求参数
【分析】（1）利用导数的几何意义，即可求解
；
（2）①问题转化为
有2 个实数根，转化为
与
有2 个交
点，利用导数分析函数
，即可求解
的取值范围；
②构造函数
，
，利用导数判断函数的单调性，再结合极值点偏
移问题的解决方法，即可证明.
【详解】（1）设切点
，
，
得
，
，所以
，代入直线方程得
；
（2）①由（1）知
，若曲线
与直线有两个公共点，则等价于
有2 个实数根，
，
设
，则
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
，当
趋向于正无穷大时，
趋向于0，当
趋向于负无穷大时，
趋向于负无穷大，
则
；
②
，即
，等价于
，
令
，
，
，
因为
，所以
，故
，
所以
在
上单调递增，故
,
不妨设
，故
，即
，
由已知
，所以
，
由①知，当
时，
单调递增，
故
，所以
，
所以
.
【点睛】极值点偏移问题中（极值点为
），证明
或
的方法：
①构造
，
②确定
的单调性，
③结合特殊值得到
或
，再利用
，
得到
与
的大小关系，
④利用
的单调性即可得到
或
.
