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专题四 概率与统计
第3 练 随机变量及其分布专项训练
一、单选题：
1.(2025·山西省吕梁市·模拟)一只纸箱中装有4双不同鞋码的运动鞋，售货员从中随机取出
4只鞋子凑成了X双相同鞋码的鞋，则X的数学期望E( X )=( )
A. 8
35
B. 24
35
C. 6
7
D. 38
35
2．（2025 高三·全国·专题练习）某校高三年级有1000 名学生，在一次检测考试中，数学
成绩
，若从所有学生中随机抽取10 名学生了解教学情况（总体数相对抽取
样本数较大，用独立重复试验估算），则10 名学生的成绩均在90 分以上的概率为（ ）
（参考数据：
，
）
A．
B．
C．
D．
3．（2025 高三上·湖南衡阳·专题练习）设随机变量
服从正态分布
.已知部分小概
率值和相应的临界值如下表：
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
0.1
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
若实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025 高三·全国·专题练习）中心极限定理是概率论中的一个重要定理.根据该定理，若
随机变量
，则当
且
时，
可以由服从正态分布的随机变量
近似替代，且
的期望与方差分别与
的均值与方差近似相等.现投掷一枚质地均匀的骰子
2500 次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300 的概率为（ ）（参
考数据：
）
A．0.99865
B．0.97725
C．0.84135
D．0.65865
5．（2025 高三·全国·专题练习）目前，多地大力实施“冰雪惠民计划”，推行“冰雪+”战
略，构建冰雪经济体系，促进冰雪运动产业转型，从而有效带动赛事经济以及冰雪体育产
业实现高质量发展．某地因此举行滑冰运动，有8 人进入决赛，其中男生5 人，女生3 人，
随机抽取2 人，则抽取到的男生人数的期望为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题：
6.(2025·河北省衡水市·模拟)下列说法正确的是( )
A. 数据1，3，5，7，9，11，13的第80百分位数为11
B. 已知随机变量ξ ∼B(6, 2
3 )，设η=3ξ +1，则η的方差D(η)=12
C. 用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是1
51
D. 若样本数据x1，x2，…，xn的平均数为2，则2 x1+3，2 x2+3，…，2 xn+3的平均数为
8
7.(2025·广东省惠州市·模拟)下列选项正确的是( )
A. 若随机变量X ～B(6, p)，E( X )= 4.8，则p=0.8
B. 设随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，若P(ξ >1)= p，则P(−1<ξ <0)= 1
2 −p
C. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件A =“第一次出现2点”，事件B =“两次点
数之和为奇数”，则事件A与B互斥．
D. 对于随机事件A与B，若P(B)=0.3，P(B|A )=0.7，则事件A与B独立．
三、填空题：
8.(2025·上海市市辖区·模拟)若随机变量X~N(1,σ
2),2P(X<0)=P(X≤2)=m,则m= .
9.(2025·重庆市·模拟)甲同学有3本故事书和1本科普书，乙同学有1本故事书和3本科普书，
若甲、乙两位同学各取出i(i=1,2,3)本书进行交换，记交换后甲同学有故事书的本数为
X , X的均值为Ei( X )，则E1( X )+ E3( X )= ．
10.(2025·陕西省西安市·模拟)某类考试报名人数为10000人，已知考试的成绩服从正态分
布N (300,2500)，若录取分数线为350分，则录取人数约为 .(结果四舍五入取整数)(
参考数据：若ξ服从正态分布N (μ,σ
2)，则P(μ−σ ≤ξ ≤μ+σ )≈0.6827)
四、解答题：
11.(2025·四川省乐山市·月考)国产动画电影《哪吒之魔童闹海》凭借其独特的艺术魅力与
深刻的故事情节吸引了无数观众的目光，电影中的人物哪吒也深得观众喜爱.某公司适时推
出10种款式不同的哪吒玩偶随机购活动，购买规则及概率如下：每次购买一个，且买到任
意一种款式是等可能的.小王特别喜欢10种款式中的一种．
(1)若10种款式的玩偶各有一个．
(i)求小王第二次才买到特别喜欢的款式的概率；
(ii)设小王买到特别喜欢的款式所需次数为X，求X的分布列及数学期望E( X )．
(2)若每种款式的玩偶数量足够多，每次玩偶被买后公司都会补充被买走的款式.为了满足
客户的需求，引进了保底机制：在购买前指定一个款式，若前6次未买到指定款式，则第7
次必定买到指定款式.设Y 为小王买到某指定款式所需的次数，求Y 的分布列及数学期望
E(Y )．
(参考数据：0.9
6≈0.53)
12.(2025·江苏省·模拟)某运动员为了解自己的运动技能水平，记录了自己1000次训练情况
并将成绩(满分100分)统计如下表所示．
成绩区
间
[50,60[60,70[70,80[80,90[90,100
频数
100
200
300
240
160
(1)求上表中成绩的平均值及上四分位数(同一区间中的数据用该区间的中点值为代表)；
(2)该运动员用分层抽样的方式从[50,80)的训练成绩中随机抽取了6次成绩，再从这6次成
绩中随机选2次，设成绩落在区间[60,70)的次数为X，求X的分布列及数学期望．
13.(2025·山西省·模拟)甲工厂有A，B两条生产线生产同一种零件，现利用分层抽样抽50
件零件统计零件尺寸的误差(单位：mm)如下表：
生产线抽取件数平均误
差
标准差
A
30
0.2
2.1
B
20
−0.3
1.1
(1)求这50件零件尺寸的误差的平均数和标准差；
(2)假设该工厂生产的零件尺寸的误差X服从正态分布N (μ,σ
2).以此次抽取样本的平均数
和标准差分别作为μ，σ的估计值，规定X ∈(−1.79,1.79)为一等品，其余为二等品．
(i)若从该工厂生产的零件抽取1000件，估计其中一等品的件数；
(ii)乙企业拟向甲工厂购买这种零件，先对该零件进行抽检，检测的方案是：从该工厂生
产的零件中逐一抽取进行检测，若检测出4件二等品或抽取件数达到20件即停止检测．设
第n(4≤n≤19,n∈N
∗)次检测停止的概率为an
，an
是否存在最大值？若存在，求an
取得
最大值时n的值；若不存在，试说明理由．
附：若随机变量Z服从正态分布N (μ,σ
2)，则P( μ−σ <Z < μ+σ )≈0.68，
P( μ−2σ <Z < μ+2σ )≈0.95．
参考数据： √3.19≈1.79， √1.76≈1.33．
