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专题06 导数及其应用大题
（4 维精讲+3 维精练）
考前百日冲刺目录
引领风向--最新模考新颖题（5 题）............................................1
最新热点热搜题（5 题）.....................................................10
最新高频经典题（5 题）.....................................................18
最新高考真题回顾（5 题）...................................................26
最新模考基础练（5 题）.....................................................37
最新模考能力练（5 题）.....................................................42
最新模考压轴练（5 题）.....................................................48
引领风向
-- 最新模考新颖题（
5 题）
【典例】1．（2025·江苏·模拟预测）已知函数
．
(1)若直线
是曲线
的切线，求a 的值；
(2)令
．
①若
，
是
的两个极值点，当
时，求
的值；
②设曲线
在
处的切线为l，若直线l 上的点都不在
图象的下方，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
；
或
.
【分析】（1）求导，利用导数的几何意义构造方程，构造新函数，利用导数分析函数单调性，进而求解；
（2）先求出函数定义域，利用求导求出相应极值点，再计算求解；对函数求导，确定切线方程，构造新
函数，求出新函数的最值即可求解．
【详解】（1）
，定义域为
，
求导得
，
设切点为
，切线斜率
，
切线方程为
，
是切线，过原点
，
，
令
，其定义域为
，
求导得
，则在
上
，即
在
上单调递增，
，
，
切线斜率
．
（2）①
，
，定义域为
，
若
，
，
当
时，
，
求导得
，
令
，解得
或
（舍去），故极值点为
；
当
时，
，求导得
，
令
，解得
（舍去）或
，故极值点为
；
；
②
，
，
令
（其中
）
在
上单调递增，
上单调递减；
上单调递增；
上单调递减，作出
大致
图象如下
，知
为上凸函数
设为
左右两支的公切线且分别与
左右支切于
，
，
，
，
公切线可表示为：
①
也可表示为：
②
①②可分别化简为
由两式表示同一方程
，解得
结合图象得
或
.
【典例】2．（2025·广东深圳·一模）已知函数
，其中
的解析式由下面第
（1）题确定.
(1)将函数
的图象的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），再把所得图象向右平移1 个
单位得
的图象，求
的解析式；
(2)若
在
上是单调减函数，求
的最大值，其中
表示不超过
的最大整数；
(3)证明：
【答案】(1)
(2)4
(3)证明见解析
【分析】（1）根据三角函数图象变换的知识求得
.
（2）先求得
，然后根据
的范围进行分类讨论，求得
的最大值.
（3）根据（2）求得
，利用赋值法，结合对数运算证得不等式
成立.
【详解】（1）（1）将函数
的图象的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），
得到
的图象，即
的图象，
再向右平移1 个单位之后得到
，即
.
（2）（2）由（1）得
.
，因为
在
上是单调减函数，
所以
在
上恒成立，即
在
上恒成立.
①当
时，
，
当
时，不等式
恒成立.
②当
时，
，
所以
在
上恒成立，
下面证明
：
构造函数
，
，
所以函数
在区间
上单调递增，
而
，所以
.
由
，得
，
所以
，
当
时等号成立，所以
，
其中
时，
，
所以
.
（3）对于
，令
，即
，
由（2）知，
在
上是单调减函数，
所以当
时，
，
即
.
令
，则
，
从而
,
所以
.
【典例】3．（2025·重庆·模拟预测）已知函数
(
)
(1)讨论函数
的单调性
(2)若函数
存在两个零点
，求证:
；
(3)已知数列
的前
项和为
，数列
是首项为2 的等比数列，若存在正整数
，使得对任
意正整数
，均有
，求
的最大值.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)5
【分析】（1）求导，分
，
讨论函数的单调性.
（2）极值点偏移问题，先把问题转化成
，
，设函数
（
），分析函数的单调性，即可证明.
（3）先根据
求数列
的通项公式，再借助等比数列的通项公式，可把问题转化成
，
再设
，
，利用导数分析它们的单调性，再求
的最大值.
【详解】（1）对
求导有
（
），
①当
时，
，故
在
单调递减；
②当
时，由
；由
.
所以
在
单调递减，在
单调递增.
（2）
，令
，则有
，
由
；由
.
所以
在
上单调递增，在
单调递减．
若函数
存在两个零点，则不妨有
，且有
，
要证
，即证
，即证
，即证
，
即证
，等价于
，
令
（
），
则有
，
令
，则有
，则
，
所以
在
上单调递增，所以
，得证.
（3）
，当
时，
符合
，所以
.
设
公比为
，则有
，即
恒成立，则
，
对任意
，均有
，即
（
时）恒成立．
分别令
，
，
则
，所以
在
上单调递增，在
单调递减，
，
令
，则
，
当
时，
，所以
在
上单调递减.
所以
，故
，所以
在
上单调递减.
①当
时：
，解得
，
②当
时：
，解得
（不成立），
所以
的最大值为．
【典例】4．（2025·浙江绍兴·二模）已知函数
．
(1)设
，
（i）证明：
，并由此求
(精确到
)．
（ii）比较
与
的大小并说明理由．
(2)求证：当
趋于0 时，
．
【答案】(1)（i）证明见解析；
（ii）
，理由见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）（i）利用导数的定义结合合理变形得到结论，再利用结论估值计算即可.
（ii）合理构造函数，利用导数判断其最大值，最后得到要求证明不等式即可.
（2）对原目标式子合理变形，转化为证明
，再构造函数并利用导数求出
，进而证明出
，判断出原目标式子成立.
【详解】（1）（i）由题意得
的导数一定存在，
结合导数的定义可得
，
则
，
故
得证，
由题意得
，
当
时，
，故
，
则
，
，符合
，
因为
，
所以
，
因为要进行估计，不妨取
，所以
.
（ii）由题意得
的定义域为
，
构造
，则
，
令
，
，令
，
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
可得
，
即
，得到
，即
得证.
（2）我们欲证当
趋于0 时，
，则证
即可，
即证
即可，故证
即可，
则证
即可，令
，故证
即可，
因为
，所以
，令
，
得到
，令
得，
，令
得，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
的最小值为
，得到
时，
，
即当
时，
，故
，
可得
，故原命题得证.
【典例】5．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知
，
．
(1)判断
的单调性；
(2)若函数
图象在
处切线斜率为
，求
；
(3)求证：
．
【答案】(1)
在
上单调递增；
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导后借助因式分解与二次函数的性质可得其导函数的正负，即可得其单调性；
（2）借助导数的几何意义可得
，计算即可得解；
（3）结合
的取值范围，可将所需证明的不等式转化为证明
，构造函数
，
，则可借助导数结合基本不等式得到
的单调性，即可得证.
【详解】（1）
，
由
，则
，
故
，
，
故
在
上恒成立，故
在
上单调递增；
（2）由题意知
，
则
，
故
或
，
由
，
故
无解；
则
，即
，又
，故
；
（3）由
，则
，
，
要证
，只需证
，
即只需证
，
由（1）知
在
上单调递增，
故
，即
，
故只需证
，即只需证
，
即只需证
，
令
，
，
则
，
由
，当且仅当
时等号成立，
由
，故不能取等，即有
，
则
，
令
，
，则
，
故
在
上单调递增，则
，
即
，故
在
上单调递增，则
，
即有
，即得证.
最新热点热搜题（
5 题）
【典例】6．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知函数
，
．
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)若当
时，恒有
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导函数，求得
，进而由点斜式方程可求得切线方程；
（2）令
，求导，分
，
两种情况判断
是否恒成立，可得结论.
【详解】（1）因为
，所以切点为
，
又
，所以
，
所以
，
所以由点斜式方程得切线方程为
，即
；
（2）当
时，恒有
，即
对
恒成立，
令
，
，
求导得
，
因为
，所以
在
上单调递减，且
，
所以
在
上单调递增，所以
，
当
时，
，函数
单调递增，所以
，
即
，所以
；
当
时，
，又
时，
，
所以存在
，使
，当
，
，
所以
在
上单调递减，所以
，
所以
，所以
对
不恒成立，
综上所述：当
时，恒有
，实数
的取值范围为
．
【典例】7．（2025·江苏南京·一模）已知函数
.
(1)当
时，求证：
；
(2)若
对于
恒成立，求
的取值范围；
(3)若存在
，使得
，求证：
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由由
，得
，构造函数
，求解单调性，证明结果;
（2）求解
令
，则
，分类讨论求解
的范围;
（3）由（2）知
，设
，判断
单调性，
，所以只需证
，由
，即
，只需证
（*）进而证明结果.
【详解】（1）由
，得
.
要证
，只需证
.
令
，则
.
当
时，
，则
单调递减，
当
时，
，则
单调递增，
所以
，故
，
因此
.
（2）
令
，则
①当
时，由
，得
，
因此
，满足题意.
②当
时，由
，得
，
因此
，则
在
上单调递增.
若
，则
，
则
在
上单调递增，
所以
，满足题意；
若
，则
，
因此
在
存在唯一的零点
，且
，
当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，
所以
，不合题意.
综上，
的取值范围为
.
（3）由（2）知
，设
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
注意到
，
故
在
上存在唯一的零点
.
注意到
，且
在
上单调递增.
要证明
，只需证
，
因为
，所以只需证
，
即证
.
因为
，即
，
所以，只需证
，
只需证
（*）
由（1）得
，
因此
，
设
，
则
，所以
在
上单调递增，
所以
，
从而
，即
，因此（*）得证，
从而
.
【典例】8．（2025·山东济南·一模）已知
，函数
，
.
(1)当
时，求
的极值；
(2)若
存在零点.
（i）当
时，求
的取值范围；
（ii）求证：
.
【答案】(1)答案见解析；
(2)（i）
；（ii）证明见解析.
【分析】（1）直接求导得
，再分
和
讨论即可；
（i）转化得
有解，再设
，求导后再对
分类讨论，最后利用隐零点法即可得到其
范围；
（ⅱ）分析得
表示原点与直线
上的动点
之间的距离，再等价转化为证明
，再设新函数并多次求导即可证明.
【详解】（1）
时，
，
当
时，
，函数
单调递增，既无极大值也无极小值.
当
时，
，
，函数
单调递减，
，
，函数
单调递增，
函数
的极小值是
，无极大值.
（2）（ⅰ）当
时，因为函数
存在零点，故
有解，
若
，此时无解，所以
，
有解，
，
①若
单调递增，
此时不存在零点；
②若
，令
，
，
，
由零点存在定理可知存在
，
所以
在
上为减函数，在
上为增函数，
故
，解得
，故
.
（ⅱ）因为函数
存在零点，所以
有解
，其中
，
若
，则
，该式不成立，故
.
故
，考虑直线
，
表示原点与直线
上的动点
之间的距离，
，所以
，
时，要证
，只需证
，
解法一：即证
.
令
，则
，
令
，
，故
在
上为增函数，故
.
即
在
上为增函数，
故
，故
，即
成立.
解法二：令
,则
，
令
，得
单调递减，
令
，得
单调递增，
所以
.
【典例】9．（2025·山东烟台·一模）已知函数
在
处有极大值.
(1)求实数的值；
(2)若函数
有三个不同的零点，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意题干中的函数进行求导，根据极值与导数的关系建立方程，分别检验解得的根，可
得答案；
（2）由（1）明确函数解析式，利用导数求得其极值与单调性，并作图，根据零点定义，将问题等价转化
为函数交点问题，可得答案.
【详解】（1）由函数
，求导可得
，
由函数
在
处取极大值，则
，解得
或
，
当
时，可得
，
易知当
时，
；当
时，
，
则此时函数
在
处取得极小值，不符合题意，舍去；
当
时，可得
，
易知当
时，
；当
时，
，
则此时函数
在
处取得极大值，符合题意.
综上所述，
.
（2）由（1）可得函数
，求导可得
，
令
，解得
或，可得下表：
单调递
增
极大
值
单调递
减
极小
值
单调递
增
所以函数
的极大值为
，极小值为
，
函数
存在三个零点，等价于函数
图象与直线
存在三个交点，
如下图：
由图可得
，则
.
【典例】10．（2025·广西·一模）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)证明：
．
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)证明见解析.
【分析】（1）求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）不等式对
恒成立可得
对
恒成立，再构造函数并利用导数探讨单调性推理
得证.
（3）由（2）取
可得不等式
，再取
，并借助裂项相消法求得证.
【详解】（1）函数
，求导得
，则
，而
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
.
（2）不等式
，
由
时，
恒成立，得
，
令
，由当
时，
恒成立，
得
，
，求导得
，令
，
求导得
，而
，则当
，即
时，
，
函数
在
上单调递增，
，函数
在
上单调递增，
则
，符合题意，因此
；
当
时，由
，得
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
则当
时，
，不符合题意，
所以实数
的取值范围是
.
（3）由（2）知，当
时，
，
取
，则
，而
，
因此
，
所以
.
最新高频经典题（
5 题）
【典例】11．（2025·安徽·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)若对任意
，
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
的单调递减区间是
，单调递增区间是
(2)
【分析】（1）利用导数求函数的单调性；
（2）分离参数得
，构造
，利用导数求最大值即得.
【详解】（1）当
时，函数
的定义域是
，
，
令
，得
，解得
，故
的单调递减区间是
，
令
，得
，解得
，故
的单调递增区间是
，
综上，
的单调递减区间是
，单调递增区间是
.
（2）由任意
，
知
恒成立.
因
，故
，在
上恒成立.
设
，则
，
令
，得
，
（舍去），
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
故当
时，
取得极大值，也是最大值，且
，
所以若
在
上恒成立，则
，
故实数
的取值范围是
.
【典例】12．（2025·湖北·二模）已知函数
.
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
，讨论方程
的根的个数.
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【分析】（1）应用分类讨论及导数研究函数的单调区间即可；
（2）根据已知有
，构造
并应用导数研究函数的单调性，得到
，利用导数研究右侧的单调性和最值，即可得参数范围.
【详解】（1）
的定义域为
，则
，
因
，由
，解得
，
①当
时，
恒成立，
所以
的无递增区间，递减区间为
；
②当
时，
，
令
，得
；令
，得
，
所以
的递增区间为
，递减区间为
；
③当
时，
，
令
，得
；令
，得
，
所以
的递增区间为
，递减区间为
；
综上所述，
当
时，
无递增区间，递减区间为
；
当
时，
的递增区间为
，递减区间为
；
当
时，
的递增区间为
，递减区间为
；
（2）由题设
，
令
，则
，即
在
上单调递增，
故上式
中满足
，则有
，可得
，
令
，则
，由
解得
.
当
时，
，当
时，
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，
且
，当
时，
，
故
.
结合图象，可知，
当
时，方程
有0 个实根；
当
或
时，方程
有1 个实根；
当
时，方程
有2 个实根.
【典例】13．（2025·湖北·二模）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
有两个不同的零点
，
.
（ⅰ）求实数
的取值范围；
（ⅱ）证明：
.
【答案】(1)
(2)（ⅰ）
；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，根据点斜式得解；
（2）（ⅰ）转化为
有两个相异正根
，
，利用导数研究
的大
致情况得解；
（ⅱ）设
，利用导数判断函数单调性，据此可得当
时，
，再由
及函数单调性得出
得证.
【详解】（1）当
时，
，所以
，
所以
，又
，
所以曲线
在
处的切线方程为
，即
（2）（ⅰ） 易知
的定义域为
，
由题意得，方程
有两个相异正根
，
，
即方程
有两个相异正根
，
，
设
，则
，
因为
，所以
，
令
，得
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
，
由
，
及
的性质知，
当
且
时，
，
，
所以当
时，
，又
，
，
所以要使
有两个相异正根
，
，必有
，
故实数
的取值范围为
.
（ⅱ）证明：由题意可知，
，不妨设
，则
，
设
，则
，
令
，
则当
时，
，
所以
在
上单调递减，则当
时，
，
所以当
时，
，
所以
在
上单调递减，故当
时，
，
所以当
时，
，
所以
，即
，
又
，
，
由（ⅰ）可知，
在
上单调递减，所以
，故
.
【典例】14．（2025·四川成都·三模）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
有两个零点，
为
的导函数.
（i）求实数
的取值范围；
（ii）记
较小的一个零点为
，证明：
.
【答案】(1)答案见解析
(2)（i）
；（ii）证明见解析
【分析】（1）利用导数分
和
求解；
（2）（i）由（1）知
，且最小值为
小于0 即可得
的取值范围；
（ii）结合（i）知
，要证
，即
，分
和
进行
证明.
【详解】（1）函数
的定义域为
，
，
①当
时，
，函数
在
单调递减；
②当
时，令
，解得
，
当
时，
，函数
单调递减；
当
时，
，函数
单调递增.
综上所述，当
时，函数
在
单调递减；
当
时，函数
在
上单调递减，在
单调递增.
（2）（i）若
，由（1）知，
至多有一个零点；
若
，由（1）知，当
时，
取得最小值，最小值为
.
因为当
时，
；
当
时，
，
所以函数
有两个零点当且仅当
.
设
，函数
在
单调递增.
因为
，
的解集为
.
综上所述，
的取值范围是
.
（ii）因为
，由
，结合（i）知
，
要证
，即证
，即
，
当
时，因为
，
，不等式恒成立；
当
时，由
得
.
即证
.
即证
.
即证
.
设
，
，由
，
所以
在
单调递增.所以
，故原不等式成立.
所以
.
【典例】15．（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数
．
(1)设
，求
的零点并判断
的单调性；
(2)若
，且
，证明：
（i）
；
（ii）
．
【答案】(1)
的零点为0；
在
上单调递减，在
上单调递增.
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数分析
的单调性，可得到
在
上有唯一零点.利用
的单调性得到
及
的解，从而得到判断
的单调性；
（2）（i）构造新函数，通过分析新函数的单调性，结合
的单调性证得
，即
；
（ii）构造新函数，根据新函数的单调性分析，结合
的单调性证得
，即
．
【详解】（1）由函数
，得
.
所以
.
因为
恒成立，且
在
上单调递增.
因为
，所以
在
上有唯一零点.
所以
的零点为0.
所以，当
时，
；当
时，
.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）由（1）知，
在
上单调递减，在
上单调递增.
所以
在
处取得极小值，即最小值，最小值为
.
若
，且
，则
.
.
令
，则
.
所以
是增函数，所以
.
由（1）知
，所以
，所以
，即
.
因为
在
上单调递增，所以
，即
.
（ii）设
，则
令
，则
.
令
，则
.
所以
在
上单调递增，即
在
上单调递增.
所以
，所以
在
上单调递增.
所以
.
所以，当
时，
恒成立，即
.
即
.
两边同乘以
，得
.
因为
，所以
，
所以
，
即
.
因为
，所以
，所以
，即
.
所以，
.
因此，
得证.
最新高考真题回顾（
5 题）
【典例】16．（2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数
在区间
的最大值；
（2）给定
和
，证明：存在
使得
；
（3）设
，若存在
使得
对
恒成立，求b 的最小值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用导数结合三角变换得导数零点，讨论导数的符号后得单调性，从而可求最大值；或者
利用均值不等式可求最大值.
（2）利用反证法可证三角不等式有解；
（3）先考虑
时
的范围，对于
时，可利用（2）中的结论结合特值法求得
，从而
可得
的最小值；或者先根据函数解析特征得
，再结合特值法可得
，结合（1）的结果可得
的最小值.
【详解】（1）法1：
，
因为
，故
，故
，
当
时，
即
，
当
时，
即
，
故
在
上为增函数，在
为减函数，
故
在
上的最大值为
.
法2：我们有
.
所以：
.
这得到
，同时又有
，
故
在
上的最大值为
，在
上的最大值也是
.
（2）法1：由余弦函数的性质得
的解为
，
，
若任意
与
交集为空，
则
且
，此时
无解，
矛盾，故无解；故存在
，使得
，
法2：由余弦函数的性质知
的解为
，
若每个
与
交集都为空，
则对每个
，必有
或
之一成立.
此即
或
，但长度为的闭区间
上必有一整数
，
该整数
不满足条件，矛盾.
故存在
，使得
成立.
（3）法1：记
，
因为
，
故
为周期函数且周期为
,故只需讨论
的情况.
当
时，
，
当
时，
，
此时
，
令
，则
，
而
，
，故
，
当
，在（2）中取
，则存在
，使得
，
取
，则
，取
即
，
故
，故
，
综上
，可取
，
使得等号成立.
综上，
.
法2：设
.
①一方面，若存在
，使得
对任意
恒成立，
则对这样的
，同样有
.
所以
对任意
恒成立，这直接得到
.
设
，则根据
恒成立，有
所以
均不超过
，
再结合
，
就得到
均不超过
.
假设
，则
，
故
.
但这是不可能的，因为三个角
和单位圆的交点将单位圆三等分，
这三个点不可能都在直线
左侧.
所以假设不成立，这意味着
.
②另一方面，若
，则由（1）中已经证明
，
知存在
，使得
.
从而
满足题目要求.
综合上述两个方面，可知
的最小值是
.
【典例】17．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数
，其中
．
(1)证明：
在区间
存在唯一的极值点和唯一的零点；
(2)设
分别为
在区间
的极值点和零点.
（i）设函数
.证明：
在区间
单调递减；
（ii）比较
与
的大小，并证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）证明见解析；（ii）
，证明见解析.
【分析】（1）先由题意求得
，接着构造函数
，利用导数工具
研究函数
的单调性和函数值情况，从而得到函数的单调性，进而得证函数
在区间
上存在
唯一极值点；再结合
和
时
的正负情况即可得证
在区间
上存在唯一零点；
（2）（i）由（1）
和
结合（1）中所得导函数
计算得到
，再结合
得
即可得证；
（ii）由函数
在区间
上单调递减得到
，再结合
，
和函数
的单调性以以及函数值的情况即可得证.
【详解】（1）由题得
，
因为
，所以
，设
，
则
在
上恒成立，所以
在
上单调递减，
，令
，
所以当
时，
，则
；当
时，
，则
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
上存在唯一极值点，
对函数
有
在
上恒成立，
所以
在
上单调递减，
所以
在
上恒成立，
又因为
，
时
，
所以
时
，
所以存在唯一
使得
，即
在
上存在唯一零点.
（2）（i）由（1）知
，则
，
，
，
则
，
，
，
即
在
上单调递减.
（ii）
，证明如下：
由（i）知：函数
在区间
上单调递减，
所以
即
，又
，
由（1）可知
在
上单调递减，
，且对任意
，
所以
.
【典例】18．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
(1)若
，且
，求
的最小值；
(2)证明：曲线
是中心对称图形；
(3)若
当且仅当
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）求出
后根据
可求
的最小值；
（2）设
为
图象上任意一点，可证
关于
的对称点为
也在函数
的图像上，从而可证对称性；
（3）根据题设可判断
即
，再根据
在
上恒成立可求得
.
【详解】（1）
时，
，其中
，
则
，
因为
，当且仅当
时等号成立，
故
，而
成立，故
即
，
所以
的最小值为
.，
（2）
的定义域为
，
设
为
图象上任意一点，
关于
的对称点为
，
因为
在
图象上，故
，
而
，
，
所以
也在
图象上，
由
的任意性可得
图象为中心对称图形，且对称中心为
.
（3）因为
当且仅当
，故
为
的一个解，
所以
即
，
先考虑
时，
恒成立.
此时
即为
在
上恒成立，
设
，则
在
上恒成立，
设
，
则
，
当
，
，
故
恒成立，故
在
上单调递增，
故
即
在
上恒成立.
当
时，
，
故
恒成立，故
在
上单调递增，
故
即
在
上恒成立.
当
，则当
时，
故在
上
单调递减，故
，不合题意，舍；
综上，
在
上恒成立时
.
而当
时，
而
时，由上述过程可得
在
递增，故
的解为
，
即
的解为
.
综上，
.
【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对
一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范
围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.
【典例】19．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；
（2）解法一：求导，分析
和
两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得
，
构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知
有零点，可得
，进而利用导数求
的
单调性和极值，分析可得
，构建函数解不等式即可.
【详解】（1）当
时，则
，
，
可得
，
，
即切点坐标为
，切线斜率
，
所以切线方程为
，即
.
（2）解法一：因为
的定义域为
，且
，
若
，则
对任意
恒成立，
可知
在
上单调递增，无极值，不合题意；
若
，令
，解得
；令
，解得
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，
则
有极小值
，无极大值，
由题意可得：
，即
，
构建
，则
，
可知
在
内单调递增，且
，
不等式
等价于
，解得
，
所以a 的取值范围为
；
解法二：因为
的定义域为
，且
，
若
有极小值，则
有零点，
令
，可得
，
可知
与
有交点，则
，
若
，令
，解得
；令
，解得
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，
则
有极小值
，无极大值，符合题意，
由题意可得：
，即
，
构建
，
因为则
在
内单调递增，
可知
在
内单调递增，且
，
不等式
等价于
，解得
，
所以a 的取值范围为
.
【典例】20．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)当
时，
，求
的取值范围．
【答案】(1)极小值为
，无极大值.
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.
（2）求出函数的二阶导数，就
、
、
分类讨论后可得参数的取值范围.
【详解】（1）当
时，
，
故
，
因为
在
上为增函数，
故
在
上为增函数，而
，
故当
时，
，当
时，
，
故
在
处取极小值且极小值为
，无极大值.
（2）
，
设
，
则
，
当
时，
，故
在
上为增函数，
故
，即
，
所以
在
上为增函数，故
.
当
时，当
时，
，
故
在
上为减函数，故在
上
，
即在
上
即
为减函数，
故在
上
，不合题意，舍.
当
，此时
在
上恒成立，
同理可得在
上
恒成立，不合题意，舍；
综上，
.
【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导
数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.
最新模考基础练（
5 题）
【典例】21．（2026·四川巴中·一模）已知
在
处取得极小值
．
(1)求
在
处的切线方程；
(2)若
，讨论
零点的个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由题意可得
，联立等式可得函数
，根据导数的几何意义可求得切
线方程；
（2）根据导数及三次函数性质可得其图象，结合图象可得答案.
【详解】（1）由题意得
．因为
在
处取得极小值
，
则
，解得
，
，
所以
，
，
故
，
，
则切线方程为
，即
；
（2）令
，所以
．
令
，解得
或
．则
，
，
的关系如下表：
2
0
0
单调递增
单调递减
单调递增
作出函数
的图象如下：
所以，①当
或
时，
有两个零点；
②当
或
时，
有一个零点；
③当
时，
有三个零点．
【典例】22．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数
，且曲线
在点
处的切线与x 轴平行．
(1)求a，b；
(2)求
的极值点个数．
【答案】(1)
，
(2)两个
【分析】（1）由题意知，
，
，求导数，代入计算，即可得解；
（2）
，令
，则问题转化为函数
的变号零点的个数，对函数
求导，判断
的正负，得到函数
的单调性，进而判断变号零点个数，从而得解.
【详解】（1）由题得
，解得
，
又
，则
，解得
，
故
，
（2）由（1）可知
，
令
，则
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
又
，
，
，
，使得
，故
，
所以当
时，
，函数
在
上单调递增，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
则
在
内单调递增，在
单调递减，在
递增，
所以
有两个极值点．
【典例】23．（2025·贵州毕节·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
恒成立，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依据题意求出切点，利用导数的几何意义求出斜率，进而得到切线方程即可.
（2）利用导数求出
的最小值，再建立不等式并结合给定条件求出参数范围即可.
【详解】（1）当
时，
，
而
，则切点坐标为
，
易得
，得到切线斜率为
，
故曲线
在点
处的切线方程为
，
即
.
（2）由题意得
的定义域为
，
且
，
而
，令
，
，令
，
，
即
的单调递减区间为
，单调递增区间为
，
则当
时，
有最小值
，
得到
，解得
，
，
，即
的取值范围为
.
【典例】24．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知函数
，其中
．
(1)当
时，求函数
的图象在
处的切线方程；
(2)若
恒成立，求a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，得到
，利用导数几何意义求出切线方程；
（2）转化为
，令
，求导得到单调性和最小值，即可得出结果.
【详解】（1）当
时，
，则
所以
，又
，
则所求切线方程为
．
（2）
，其中
，
所以问题转化为
（
）恒成立，
记
，则
，
令
，得
；令
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
的最大值为
，所以
．
【典例】25．（2025·辽宁·三模）已知函数
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
，证明：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义，求函数在
处的切线方程.
（2）分析函数
的单调性，求函数
的最小值，根据
可证
.
【详解】（1）因为
，所以
，
则
，则
.
因为
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
.
（2）
的定义域为
，
令
，得
.
令
，得
，则
在
上单调递减；
令
，得
，则
在
上单调递增.
.
因为
，所以
，即
.
最新模考能力练（
5 题）
【典例】26．（2026·河北·模拟预测）设函数
.
(1)当
时，求函数
在点
处的切线方程．
(2)已知
是函数
的导函数，若
恒成立，求
的最大值．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）求导，根据切点横坐标求出切线斜率和该点坐标，再结合直线点斜式求切线方程;
（2）根据
可得
，设函数
，求导求解最小值.
【详解】（1）由
，知
则
,得
，
故函数
在点
处的切线方程为
，即
.
（2）由
恒成立，可得
，
即
在
恒成立，
设
，
，则
，
当
时，
，
在
单调递增，
当
时，
，
在
单调递减，
所以
，即
的最小值为1，
所以
，即
的最大值为1．
【典例】27．（2026·河北沧州·一模）已知函数
．
(1)过原点是否存在一条直线与
的图象相切？并说明理由；
(2)当
时．
①若
，求
的取值范围；
②证明：当
时，
．
【答案】(1)过原点不存在一条直线与
的图象相切，理由见解析
(2)①
；②证明见解析
【分析】（1）利用导数来求切线方程，利用切线过原点可得参数的方程，通过方程无解，来判断过原点
的切线不存在；
（2）①利用导数来求函数
在
的值域，再结合不等式恒成立，转化为
，从
而可得
的取值范围；②利用极值点偏移证明方法，结合分析法来构造函数求导证明即可.
【详解】（1）设
为
图象上的任意一点，
因为
，
所以在
点处的切线斜率为
，
所以切线方程为
，
假设存在一条切线经过坐标原点，则
，
因为
，所以
，即
，
此时等式
显然不成立，即方程
无解，
所以假设不成立，所以过原点不存在一条直线与
的图象相切．
（2）①当
时，
，其中
，
当
时，
，
在
单调递减，
当
时，
，
在
单调递增，
则当
时，
在
处取得最小值为
，
因为
时，
，而
，
所以
在
处取得最大值为
，
因为
，所以
，
即
的取值范围为
．
②当
时，因为
在
单调递减，
在
单调递增，
所以不妨设
，要证
，
只需要证明
，又因为
，
在
单调递增，
所以只需要证明
，
由于
，即只需要证明
，
令
，
，
因为
，所以
，
则
，
故
在
上单调递减，
故当
时，
，
即
，其中
，所以
成立，
故
．
【典例】28．（2026·河北邢台·一模）已知函数
在
处取得极小值
.
(1)求
的值;
(2)证明：
时，
.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）先进行求导，根据极值的定义，求解
的值，将
的值进行检验得出结果；
（2）将不等式进行转化，构造函数，利用导数研究函数的性质，总结得出结论即可.
【详解】（1）由题知
，则
，又因为
，所以
.
检验：若
， 则
，
当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，
为
的极小值点，符合题意.
所以：
.
（2）由（1）知
，
证
，即证
，
即证
，即证
.
设
，则
，
令
，得
或
，
当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增.
又
，所以
.
所以当
时，
.
【典例】29．（2025·安徽合肥·一模）已知函数
.
(1)求
的单调区间；
(2)若对于任意
，总存在
，使得
，求
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）先求解出
，然后根据
的正负可求解出
的单调区间；
（2）根据
的单调性将问题转化为“
在
上有解” ，然后通过分离参数、构造函
数以及换元法求解出
与新函数最值的关系，由此可求
的取值范围.
【详解】（1）函数
的定义域为
,
则
，
令
，可得
或
，令
，可得
或
，
则
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
和
（2）由（1）知：
在
上单调递增，在
上单调递减，
故当
时，
，
由已知：
在
上有解，
在
上有解，
在
上有解，
，
；
令
，则
，
在
上单调递增，
，
令
，
，则
在
上单调递增，
则
，故
.
的取值范围为
.
【典例】30．（2025·广东广州·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论函数
的单调性；
(3)若函数
有三个零点，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）先求出导函数，再根据导数值得出切线斜率，最后由点斜式得出切线即可求解；
（2）先求出导函数，再分类讨论当
，
时，分导函数的正负得出单调区间；
（3）结合（2）知
，再构造函数
，再求导数得出最值再结
合零点个数计算求参.
【详解】（1）当
时，
，
在点
处的切线方程为：
（2）定义域为
，
（i）当
时，
，令
得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减；
（ii）当
时，则由
得
或
，
当
时，
，所以
在
单调递增；
当
时，
，令
得
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
，令
得
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
综上所述，
当
时
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
时
在
单调递增；
当
时
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
（3）由（2）知
且
，
，
记
，则
且
，
当
时，
；当
时
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以有
，所以
，等号成立当且仅当
故当
时，由（2）知
有且只有一个零点，舍去
当
且
时，
，
要使得
有三个零点，则
，解得
所以
的取值范围是
最新模考压轴练（
5 题）
【典例】31．（2026·河北沧州·一模）已知函数
．
(1)讨论
的零点个数；
(2)当
时，证明：
；
(3)若
，求
的取值集合．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）令
，可得
，然后通过研究
值域可得答案；
（2）由题可得
在
上单调递增，由零点存在性定理可得存在唯一
，使得
，
从而可得
，最后由题意及基本不等式可完成证明；
（3）分
，
，
，
四种情况，结合多次求导分析
与0 大小关系可得答案.
【详解】（1）由
，得
，
设
，则
，
所以
在
上单调递增，所以
，
所以当
时，
无零点；当
时，
有一个零点；
（2）当
时，
，则
，
易知
在
上单调递增，
因为
，
所以存在唯一
，使得
．
当
时，
，
当
时，
，所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
．
由
，得
，即
，
所以
，
又
，所以
，
所以
．
（3）由
，得
，
设
，
则
，令
，
则
，
①当
时，
当
时，
，所以
，
当
时，
．
则
在
上单调递增，所以
，
所以
为
在
上的唯一极小值点，
则
，所以
时，
恒成立；
②当
时，
当
时，
，有
，
当
时，
，有
.
又
，所以
，
即
在
上单调递增．
注意到
，
又
，所以存在
，使得
，
当
时，
，
在
上单调递减，所以
，不符合题意；
③当
时，同②有
为增函数，
当
时，
．则
，
又因为
，所以存在
，使得
，
当
时，
，
在
上单调递增，所以
，不符合题意；
④当
时，
当
时，
，有
，
当
时，
，有
，
又
，所以
，
在
上单调递增，
又因为
，所以当
时，
，不符合题意．
综上所述，
的取值集合为
．
【典例】32．（2026·湖北·模拟预测）（1）已知函数
.
（i）若
，求曲线
在点
处的切线方程；
（ii）若
时，
恒成立，求
的最大值；
（2）不等式
对任意的
成立，求
的取值范围.
【答案】（1）（i）
；（ii）
；（2）
【分析】（1）（i）先求出导函数得出切线斜率，再点斜式得出切线方程；（ii）根据已知构造新函数
，
应用导函数正负得出函数单调性得出参数的最大值；
（2）先应用参数分离得出
，再应用特殊值代入得出
，最后构造函数
，化简得出值域范围即可判断.
【详解】（1）（i）若
时，
，则
，
，
，
所以曲线
在点
处的切线方程为：
.
（ii）设
，则
，
又
，设
，则
，
若
，则
，
故存在
，使得
，总有
，
故
在
为增函数，故
，
故
在
为增函数，故
，与题设矛盾.
若
，则
，
证：对任意
，总有
成立，
证明：设
，故
，
故
在
上为减函数，故
即
成立.
由上述不等式有
，
故
总成立，即
在
上为减函数，所以
.
当
时，有
，
所以
在
上为减函数，所以
.
综上：
，即
的最大值为
.
（2）不等式
对任意的
成立，
即
，
令
，则
，
下证
时，
恒成立，
因为
，所以
，
即要证
，
设
得证.
综上可得，
.
【典例】33．（2025·湖北·模拟预测）已知函数
，
，
(1)判断
在
上零点的个数并证明
(2)当
，求证：
【答案】(1)1 个，证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）首先得到
的解析式，并通过导数研究它在
上的单调性，判断
值的正负，由零点存在性定理即可得到
在
上零点的个数；
（2）将原不等式转化为证明
，借助导数分别求出
在
上的最小值及
在
上的最大值，即可得证.
【详解】（1）因为
，
所以
，则
.
令
，得
或
，由
，得
或
；
故当
在
上变化时，
，
的变化情况如下表：
1
+
0
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
根据上表知
的极大值为
，
又因为
，
，
所以由零点存在性定理可知，函数g
在
上零点的个数为1 个；
（2）要证明
，即证明
.
令
，则
.令
可得
.
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
.
设函数
，则
.
令
，则
，
易知
在
上单调递增.
因为
，所以存在
，使得
，
从而函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
所以
，
，
故存在
，使得
，
即当
时，
；当
时，
，
从而函数
在
上单调递减；在
上单调递增.
因为
，
，故当
时，
.
因为
，所以
，
所以
.
【典例】34．（2026·重庆·一模）设定义在
上的可导函数
满足
，且
.
(1)用
表示
，并求
的单调区间；
(2)若
，记
在点
处的切线为，证明:除切点外，曲线
在
上的图象
位于切线上方；
(3)证明:当
时，
.
【答案】(1)
，函数
的递减区间为
，没有递增区间.
(2)证明见详解
(3)证明见详解
【分析】（1）由等式得
，令
并求
的值，通过导数
即可求得
的值域，
从而得到
的范围，即可求得函数
的单调区间.
（2）写出切线方程，然后令
，求导数
，通过函数
的导数，求得函数
单
调性，从而得到
的单调区间，即可求得
的值域，从而得证；
（3）令
，求导数
，在令
，通过导数
得到
在
单调性，从而求得
的值域，即可求得
的值域，从而得到函数
的值域，即可得证.
【详解】（1）∵
，∴
，
令函数
，
则
，
当
时，
，即
，函数
单调递增，∴
，
当
时，
，即
，函数
单调递减，∴
，
∴
，
∴
，
即函数
的递减区间为
，没有递增区间.
（2）在
切线
，
即
，
令函数
，
则
，则
，
由（1）可知
，令
，
则
，
当
时，
，
，∴
且
，
∴
，即函数
单调递增；
∴当
时，
，即
，∴
单调递减，
当
时，
，即
，∴
单调递增，
∴
，即
，
∴除切点外，曲线
在
上的图象位于切线上方；
（3）令函数
，则
，
，∵
，
∴
，
令
，则
，
当
时，
，
，故
，即函数
单调递增，
∴
，
即当
时，
，
∴
，即
，
∴
.
【典例】35．（2026·湖北荆州·一模）设函数
.
(1)若对
，
成立，求实数a 的取值范围；
(2)（ⅰ）当
时，比较
与
的大小；
（ⅱ）证明；当
，
时，
.
【答案】(1)
(2)（ⅰ）当
时，
；（ⅱ）证明见详解
【分析】（1）求导，根据题意结合端点效应可得
，解得
，并代入检验其充分性即可；
（2）（ⅰ）设
，
，利用导数法得
在区间
上单调递减，进而可得结
果；（ⅱ）由（1）可知：当
时，
，当
，
时，可得
，由
（ⅰ）可得
，进而放缩可得
，利用裂项相消法求和即可
证明.
【详解】（1）因为
，则
，
若对
，
成立，注意到
，
则
，解得
，
若
，则
，
可知
在
内单调递减，则
，即
符合题意；
综上所述：实数a 的取值范围为
.
（2）（ⅰ）设
，
，则
，
令
，
，则
，
可知
在区间
上单调递减，则
，
即
，可知
在区间
上单调递减，
则
，所以当
时，
；
（ⅱ）由（1）可知：当
时，
，等价于
，
当
，
时，可得
，
又因为当
时，
，可得
，
则
，
即
，
则
，
所以当
，
时，
.
