第01 讲 数列的基本知识与概念
目录
01 常考题型过关练
题型01 数列的周期性
题型02 数列的单调性
题型03 数列最大（小）项
题型04 数列中的规律问题
题型05 数列中的递推关系
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 数列的周期性
1．已知数列{an)满足an+1=1+anan+1，a1=2，则此数列前100项的和为（ ）
A．97
2
B．99
2
C．50
D．103
2
2．已知数列{an}中，a1= 1
2，an+1=
1
1−an
，则a8=（ ）
A．−1
B．1
2
C．3
2
D．2
3．在数列{an}中，a1=2，an+
1
an−1
=1（n≥2，n∈N
∗），则a2025=（ ）
A．−1
B．1
C．1
2
D．−1
2
4．若数列{an)满足a1=a2=−2，an+2=|an+1−an)，则a2026−a2025= .
5．设3
n（n∈N
*）的个位数为an，则a1+a2+⋅⋅⋅+a25= ．
02 数列的单调性
6．数列{an)的通项公式如下，则递增数列是（ ）
A．an=sin nπ
2
B．an=(
1
2)
n
C．an=2n−3
D．an=n
2−3n
7．已知数列{
n+ λ
2
n )是单调递减数列，则λ的取值范围为（ ）
A．(0,+∞)
B．(1,+∞)
C．[1,+ ∞)
D．[0,+∞)
8．（多选）已知an={
3,n=1
2kn−k +1,n≥2)，若数列{an)不是递增数列，则下列数值中k的可能取值为（ ）
A．1
B．1
3
C．
❑√2
2
D．2
3
9．已知数列an=k n
2−3n−2为严格增数列，则实数k的取值范围为
10．已知数列{an)的通项公式是an=n
2−3n−28，画出该数列的图象．并根据图象，判断从第几项起，这
个数列是递增的．
03 数列的最大（小）项
11．已知数列{an)满足an+1=an+3n−16，则数列{an)的最小项是第（ ）项
A．5
B．6
C．7
D．8
12．已知数列{an)的通项公式为 an=(n−7
4)
2
，则{an)的最小项为（ ）
A．1
16
B．1
4
C．7
4
D．9
16
13．已知数列{an)的通项公式为an= n−2
2n−15，前n项的和为Sn，则Sn取到最小值时n的值是（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
14．已知数列{an)的通项公式为an=n(
2
3)
n
，则数列{an)中的最大项为（ ）
A．8
9
B．2
3
C．64
81
D．125
243
15．已知数列{an)的通项公式为an= n−2
2n−7 ，则{an)中的项最大为（ ）
A．1
5
B．0
C．−1
D．2
16．已知Sn为数列{an)的前n项和，2Sn=3n
2+n.
(1)求{an)的通项公式；
(2)若bn=(26−an)⋅2
n，求bn取得最大值时n的值.
17．已知数列{an)的通项公式是an=n(
2
3)
n
，n∈N +．试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最
大项的序号；若没有，请说明理由．
04 数列中的规律问题
18．已知数列1,−3,5,−7,9,⋯，则该数列的第99 项为（ ）
A．−197
B．197
C．−199
D．199
19．将正整数排成下表
则在表中数字2020 出现在（ ）
A．第44 行第85 列
B．第45 行第85 列
C．第44 行第84 列
D．第45 行第84 列
20．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此
又被称为“大自然的几何学”．按照如图1 所示的分形规律，可得如图2 所示的一个树形图．若记图2 中
第n行黑圈的个数为an，白圈的个数为bn，则下列结论错误的是（ ）
A．a4=8
B．b5=13
C．an+1=2an+bn
D．bn+1=2an−bn
21．将正偶数按如图所示的规律排列：
则4048 在第 行，从左向右该行的第 个数．
22．以下数表的构造思路来源于我国南宋数学家所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角”：
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一
个数，则这个数为 ．
23．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式以及第5项的图形和点数.
(1)
(2)
(3)
05 递推数列问题
1．已知数列{an)中，a1=2，an+1=an+n (n∈N
∗)，则a4的值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
2．对于数列{an)，若an+1=
an+1
−5an+3，且a1=1，则a2026=（ ）
A．0
B．-1
C．1
D．1
3
3．数列{an}满足a1= ❑√2，an+1=
2
2−an
(n=1,2,3,...)，则a1+a2+a3+...+a2024+a2025=（ ）
A．2024
B．2025
C．2024 + ❑√2
D．2024−❑√2
4．数列{an)中，若a1=2,an+1=
n
n+1 an，则数列{an)的通项公式为 ．
5．已知数列{an)的前n 项积为T n，a1=2且an+1=1−1
an
，则T 2025= ．
6．若数列{an}满足a1=1，a2=1，an+2=an+1+an (n∈N
∗)，则称数列{an}为斐波那契数列，又称黄金
分割数列，则数列的{an}的前2025项中偶数的个数为 ．
1．（2025·四川乐山·三模）已知数列{an)的通项公式为an=3n+(−1)
n，则下列不是数列{an)的项的是
（ ）
A．2
B．13
C．39
D．49
2．（2025·山东潍坊·二模）已知数列{an)满足an+1={
an
2 ,an 为偶数
3an+1,an 为奇数)
，若a1=1，则a5=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．（2025·安徽马鞍山·一模）已知数列{an)的通项公式为an= n−3
2n−17 ，前n 项和为Sn，则Sn取得最小时n
的值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
4．
（多选）（2025·云南·模拟预测）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3 再加上1；若是
偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数
学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数m=6，根据上述运算法则得出
6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需要8 个步骤变成1（简称为8 步“雹程”）.现给出“冰雹猜
想”的递推关系如下：已知数列{an)满足：a1=m（m为正整数），an+1={
an
2 ,an 为偶数,
3an+1,an 为奇数.
(n∈N
*))
.
记数列{an)的前n项和为Sn，若a6=1，则（ ）
A．m=5或32
B．a2025=1
C．当m最小时的“雹程”是2 步
D．S2025= 4774或4747
5．
（多选）（2025·陕西宝鸡·二模）近年来，宝鸡市教育局致力于构建“学好上、上好学、学
得好”的“宝鸡好教育”品牌体系．在关注学生身体健康的同时，也高度重视学生的心理健康，为此特别
推出了“和风计划”．某校积极响应“和风计划”，为了缓解学生的学习压力，面向1630 名高三学生开展
了团建活动．如果将所有参加活动的学生依次按照1，2，3，4，5，6，7，…编上号，并按图所示的顺序
排队，我们将2，3，5，7，10，…位置称为“拐角”，因为指向它的箭头与离开它时的箭头方向发生了改
变，那么下面说法正确的有（ ）
A．站在第20 拐角的学生是111 号
B．站在第23 拐角的学生是137 号
C．第133 号同学站在拐角位置
D．站在拐角位置的同学共有79 名
6．（2025·湖南长沙·模拟预测）任取一个大于1 的正整数m，若m是奇数，就将m乘以3 再加上1；若m是
偶数，就将m除以2．将所得之数反复进行上述两种运算，则经过k个步骤后，必将m变成1，然后进入循
环圈4→2→1，简称m为k步“雹程”，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．例
如取m=10，根据上述运算规则，先后得出的数为5→16→8→4→2→1，从而m=10为6 步“雹
程”．
（1）m=6为 步“雹程”；
（2）若m为7 步“雹程”，则m的最大值为 ．
1．（2022·浙江·高考真题）已知数列{an)满足a1=1,an+1=an−1
3 an
2(n∈N
∗)，则（ ）
A．2<100a100< 5
2B．5
2 <100a100<3
C．3<100a100< 7
2
D．7
2 <100a100<4
2．（2022·全国乙卷·高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环
绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{bn)：b1=1+ 1
α1
，
b2=1+
1
α1+ 1
α2
，
b3=1+
1
α1+
1
α2+ 1
α3
，…，依此类推，其中αk∈N
∗(k =1,2,⋯)．则（ ）
A．b1<b5
B．b3<b8
C．b6<b2
D．b4<b7
3．（2025·江苏苏州·三模）已知数列{an)满足a1=1, an+1
an
=1−1
2 an，则（ ）
A．an+1>an
B．an> 1
2
C．1013a2025<1
D．2025a2025<1
4．（2025·全国·模拟预测）据中国古代数学名著《周髀算经》记载：“勾股各自乘，并而开方除之（得
弦）．”意即“勾”a、“股”b与“弦”c之间的关系为a
2+b
2=c
2（其中a≤b）．当a,b,c∈N
∗时，有
如下勾股弦数组序列：(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25)，(9,40,41),⋯，则在这个序列中，第10 个勾股弦
数组中的“弦”等于（ ）
A．145
B．181
C．221
D．265
5．（多选）（2025·山西·三模）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3 再加上1；若是偶数，就将该
数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名
的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．如取正整数m=6，根据上述运算法则得出
6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8 个步骤变成1（简称为8 步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推
关系如下：已知数列{an)满足：a1=m（m为正整数），an+1={
an
2 ,当an 为偶数时,
3an+1,当an 为奇数时,)
记数列{an)的前
n项和为Sn．则（ ）
A．当a5=1时，m的值为16
B．当m=13时，a10=1
C．当m=13时，是10 步“雹程”
D．当m=13时，S2025= 4822
