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专题06 导数及其应用解答题讲义（解析版）
解题大招
【典例1】
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：当
时，
．
【典例2】
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．
【典例3】
（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数
.
(1)若
为
的极值点，求
；
(2)当
时，
恒成立，求
的取值范围.
【典例4】
（高考真题）已知函数
．
(1)若
，求a 的取值范围；
(2)证明：若
有两个零点
，则
．
【典例5】
（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
，求
的取值范围．
【典例6】
（2025·北京·高考真题）已知函数
的定义域是
，导函数
，设是
曲线
在点
处的切线．
(1)求
的最大值；
(2)当
时，证明：除切点A 外，曲线
在直线的上方；
(3)设过点A 的直线
与直线垂直，，
与x 轴交点的横坐标分别是
，
，若
，求
的
取值范围．
【典例7】
（2025·江西新余·模拟预测）已知函数
，
.
(1)当
时，证明：
；
(2)若
在
单调递增，求
的取值范围；
(3)若
且
，证明：
.
【典例8】
（25-26 高三上·江苏南京·月考）已知
、
，函数
，
.
(1)求
在
处切线的斜率；
(2)对任意
，都有
，求
的取值范围；
(3)若
，使得
，求证：
.
【典例9】
（2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数
在区间
的最大值；
（2）给定
和
，证明：存在
使得
；
（3）设
，若存在
使得
对
恒成立，求b 的最小值．
【典例10】
（2024·江西新余·模拟预测）已知函数
，
.
(1)若
，求证：
没有极值点.
(2)若
恒成立，求
的取值范围.
(3)若
，存在且仅存在一条直线既是
的切线又是
的切线，求
的值.
课后基础练
1．（25-26 高三上·甘肃·月考）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性．
2．（2025·江西·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调区间；
(2)证明：
．
3．（2025·贵州毕节·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
恒成立，求
的取值范围．
4．（2025·山西晋中·三模）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
对任意
恒成立，求实数
的取值范围．
5．（2025·辽宁·三模）已知函数
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
，证明：
.
课后能力练
6．（2025·陕西咸阳·一模）已知函数
．
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
在区间
上单调递减，求
的取值范围：
(3)若
存在两个极值点
，证明：
．
7．（2025·河北唐山·模拟预测）已知函数
．
(1)若函数
的图象关于点
对称，求
的值；
(2)若
是
的极大值点，求
的值；
(3)设
是
的极值点，且满足
，求
的取值范围.
8．（2025·广东·模拟预测）已知函数
.
(1)求
的单调区间；
(2)证明：当
时，
；
(3)若
有两个零点
，且
，证明：
.
9．（2025·全国·二模）已知函数
.
(1)求函数
的图象在
处的切线方程；
(2)（i）函数
是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，请说明理由；
（ii）证明：
（
，且
）.
10．（2025·吉林延边·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求
的单调递增区间；
(2)若
，
对
恒成立，求实数a 的取值范围．
课后压轴练
11．（25-26 高三上·福建·月考）已知函数
.
(1)若曲线
在
处的切线与在
处的切线的倾斜角互补，求
的值.
(2)设
是
的三个零点.
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
.
12．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)若
有两个正零点，求
的取值范围；
(3)设
有两个零点分别为
，求证：
.
13．（2025·广东江门·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调性．
(2)已知
，函数
，且
仅有两个零点．
①求
的取值范围；
②证明：
的两个零点之积小于1．
14．（2025·山东聊城·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论
的单调性.
(2)设
有两个零点a，b.
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
且
.
15．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
的极小值小于－1，求
的取值范围；
(3)当
时，证明：
有2 个零点．
