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专题四 概率与统计
微专题1 排列组合与二项式定理
一、考点透析
考点1 排列组合问题
1.(2025·河南省开封市·模拟)在某互联网大会上，为了提升安全级别，将5名特警分配到3个
重要路口执勤，每个人只能选择一个路口，每个路口最少1人，最多3人，且甲和乙不能安
排在同一个路口，则不同的安排方法有( )
A. 180种
B. 150种
C. 96种
D. 114种
2.(2025·云南省昭通市·联考)甲、乙、丙、丁、戊五人完成A，B，C，D，E五项任务所
获得的效益如下表：
A
B
C
D
E
甲
11
13
10
13
11
乙
25
26
24
23
23
丙
10
14
15
13
11
丁
7
9
11
9
11
戊
14
16
15
16
12
现每项任务选派一人完成，其中甲不承担C任务，丁不承担A任务的指派方法数有 种；
效益之和的最大值是 ．
3．（2025·山东泰安·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了
二项式展开式中组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，用
代表第行，第
个
数，
，例如
，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正
确的是（ ）
A．
B．在第
行中，
最大
C．
D．
考点2 二项式定理
1.(2025·广东省东莞市·模拟)若(1−x)
7=a0+a1 x +a2 x
2+⋅⋅⋅+a7 x
7，则a2+a4+a6=( )
A. 31
B. 32
C. 63
D. 64
2.(2025·山东省淄博市·模拟)已知在(x−2
√x)
n，n∈N
∗的展开式中，有且只有第4项的二
项式系数最大，则展开式中x
3的系数为
3．（2025 高三·全国·专题练习）定义：给定一个正整数
，如果两个整数
满足
能
够被
整除，就称整数
对模
同余，记作
.若
，
，则
的一
组值可能为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
考点3 计数原理与概率
1.(2025·湖北省武汉市·模拟)为了提升数学素养，甲、乙、丙等五名同学打算选修学校开设
的数学拓展课程，现有几何画板、数学与生活、趣味数学、数独四门课程可供选修，每名
同学均需选修且只能选修其中一门课程，每门课程至少有一名同学选修，则甲不选修几何
画板，且数独只能由乙和丙中一人或两人选修的概率为( )
A. 7
80
B. 7
60
C. 13
80
D. 13
60
2．（多选题）（2025·云南·模拟预测）已知二项式
，若该二项
式的展开式的二项式系数之和为16，则（ ）
A．
B．
C．从
任取两个数
且
，则事件“
”的概率为
D．将
进行排列，共有30 种不同的情况
3.(2025·湖北省省直辖县级行政区划·模拟)对有n(n⩾4)个元素的总体{1,2,3,⋯,n}进行
抽样，先将总体分成两个子总体{1,2,⋯,m}和{m+1,m+2,⋯,n}(m是给定的正整数，
且2⩽m⩽n−2)，再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本，用Pij表示元素i和j同
时出现在样本中的概率，则P1n= ；所有Pij(1⩽i< j⩽n)的和等于 ．
二、跟踪练习
1.(2025·吉林省松原市·模拟)(
y
x +m)( x−y)
7的展开式中x
3 y
4的系数为−105，则实数m=
( )
A. −2
B. −1
C. 1
D. 2
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）设正整数
，其中
，记
为上述表示中
为1 的个数．例如：
，
所以
．已知集合
，下列说法正确的是（ ）
A．
B．对任意的
，有
C．若
，则使
成立的
的取值个数为
D．
3.(2025·湖南省郴州市·模拟)如图，这是一个平面图形，现提供四种颜色给图中的区域1、
区域2、区域3、区域4、区域5、区域6共六个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，相邻的
区域不能涂相同的颜色，则共有 种不同的涂色方案．
4.(2025·
吉
林
省
吉
林
市
·
模
拟
)
已
知
多
项
式
( x +1)
3(2 x−3)
2=a1( x−1)
5+a2( x−1)
4+a3( x−1)
3+a4( x−1)
2+a5( x−1)+a6
，
则
a2+a4+a6= ．
5.(2025·甘肃省白银市·模拟)甲、乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号1，2，3，
4，5，6的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡
片编号之和等于10或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，则甲抽了3张卡片时，
游戏恰好结束的概率为 ．
6．（2025 高三·全国·专题练习）设
，且
，求证：
(1)
；
(2)求证：
．
（证明过程中可以运用公式：对
个正数
，总有
，
式中等号成立的充要条件为
）
