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专题06 抽象函数大全培优归类
题型1 抽象函数基础：单调性型证明
解答抽象函数问题，用赋值法进行解答就是一种行之有效的方法.
赋值主要从以下方面考虑：
① 令
等特殊值求抽象函数的函数值；
② 令
或
，且
，判定抽象函数的单调性；
③ 令
，判定抽象函数的奇偶性；
④ 换
为
，确定抽象函数的周期；
⑤ 用
或换x 为
等来解答有关抽象函数的其它一些问题.
1．（24-25 云南昭通·模拟）已知函数
的定义域为
，且
，若
，
则（ ）
A．
B．
C．
为增函数
D．
为奇函数
2．（24-25 高三·河北保定·阶段练习）已知定义域为
的函数
满足
，
，且
时，
，则下列说法正确的（ ）
A．
B．
为减函数
C．
为奇函数
D．不等式
的解集为
3．（24-25 高三安徽蚌埠·开学考试）已知函数
的定义域为
，对
、
，满足
，当
时，
，且
，则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三·湖北武汉·模拟）已知函数
的定义域为
，对任意的
，都有
，当
时，
，且
，若
，则不等式
的解
集是（ ）
A．
或
B．
C．
或
D．
题型2 抽象函数基础：奇偶性型
抽象函数奇偶性证明，严格遵守奇偶性定义，构造f（x）与f（-x）的关系。
1．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数
满足：对于任意的x，
，都有
成立，且
，则
（ ）
A．2025
B．2024
C．1013
D．1012
2．（2025·甘肃定西·模拟预测）若定义在
上的函数
满足对任意
均有
，则称
为“
函数”.已知
为“
函数”，且
，
，则
（ ）
A．
B．0
C．
D．1
3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）函数
的定义域为
，且对任意的实数
，都有
，且
，则下列说法错误的是（ ）
A．
为偶函数
B．
为周期函数且周期为12
C．
D．
4．（2025·山东·二模）已知定义在
上的函数
满足
，且
，则
A．
B．0
C．1
D．2
题型3 抽象函数基础：周期型
在赋值判断基础上，可以借助类比“正余弦函数周期”方式来判断抽象函数的周期。
1．（2025·河北保定·一模）已知函数
的定义域为
，且
为偶函数，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
2．（24-25 高三上·河北衡水·阶段练习）定义在
上的函数
满足
且
，有
，且
，
，则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高二下·安徽宿州·期末）已知函数
的定义域为
，
为奇函数，且
，
，则
（ ）
A．
B．1
C．0
D．
4．（24-25 高三·山西吕梁·阶段练习）已知函数
的定义域为
，且
，
．若对任意实数
，
都有
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
题型4 抽象模型：直线型
线性抽象函数，过原点型：
--过原点直线型f（x）=kx
1．（23-24 高三上·北京·阶段练习）已知定义在
上的函数
满足
，且当
时，
．给出以下四个结论：
①
；
②
可能是偶函数；
③
在
上一定存在最大值
；
④
的解集为
．
其中正确的结论为（ ）
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④
2．（23-24 高三·四川成都·阶段练习）若
且函数
在
上单调，
则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（22-23 高三·重庆沙坪坝阶段练习）已知连续函数
对任意实数
恒有
,当
时,
,
,则以下说法中正确的是( )
①
②
是
上的奇函数
③
在
上的最大值是
④不等式
的解集为
A．①③
B．①②
C．①②③
D．①②③④
4．（22-23 高三·云南玉溪·阶段练习）设定义在R 上的函数
对任意实数x，y 满足
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．0
D．4
题型5 抽象模型：上下平移型
线性抽象函数上下平移型，不过原点直线型型：
1．（24-25 高三·江苏南京·阶段练习）已知函数
的定义域为
，对任意实数
，
满足
，且
，当
时，
．给出以下结论：①
；②
；③
为
上减函数；④
为奇函数；其中正确结论的序号是（ ）
A．①②④
B．①④
C．①②
D．①②③④
2．（24-25 高一上·河南驻马店·期末）已知函数
对于任意
、
，总有
，
且当
时，
，若
，则不等式
的解集为( )
A．
B．
C．
D．
3．（2024 高三下·全国·专题练习）若对
，
，有
，则函数
在
上的最大值和最小值的和为（ ）
A．4
B．8
C．6
D．12
4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数
的定义域为R，对任意实数x，y 都有
，当
时，
，且
，则关于x 的不等式
的解
集为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型6 抽象模型：一元二次型
一元二次函数型模型：
模型特征：线性抽象+xy 型
1．（24-25 高三上·山东菏泽·模拟）已知函数
的定义域为
，且满足
，
，则
（ ）
A．4
B．8
C．14
D．16
2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数
满足
，若
，则
（ ）
A．25
B．125
C．625
D．15625
3．（23-24 高三上·贵州遵义·阶段练习）已知函数
满足
，则
（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
4．（2023·全国·三模）已知对于每一对正实数
，
，函数
满足：
，若
，则满足
的
的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
题型7 抽象模型: 一元三次型
一元三次函数型
1．（21-22 高三上·黑龙江牡丹江·模拟）已知函数
对任意的实数
都有
，且
，若当
，且
时，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·青海·二模）已知定义在R上的函数
，其导数为f
' (x)，且满足
，
，
，给出下列四个结论：①
为奇函数；②
；③
：④
在(0,1)上单调递减.其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①②
B．①③
C．②③④
D．①②④
3．（多选）（24-25 高三上·陕西安康·开学考试）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，且
，当
时，
，且
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
为偶函数
B．
C．
在
上单调递增
D．
4．（多选）（23-24 高三下·河南·阶段练习）已知非常数函数
的定义域为
，且
，则（ ）
A．
B．
或
C．
是
上的增函数
D．
是
上的增函数
题型8 抽象模型: 正切函数型
分式正切函数两角和公式型
1．（多选）（20-21 高三上·广东汕头·阶段练习）下列指定的函数
中，一定有
的有（ ）
A．指定的函数
是奇函数；
B．指定的函数
满足：
，都有
；
C．指定的函数
满足：
，都有
且当
时，
；
D．设
，指定的函数
满足：
都有
.
2．（多选）（22-23 高三上·福建宁德·期末）已知函数
满足
有定义，
，当
时，
，且当
都有意义时，
，则以下说法正确的是（ ）
A．
是奇函数
B．
是周期函数
C．
在
上是增函数
D．
的图象关于直线
对称
3．（多选）（2023·全国·模拟预测）已知函数
的定义域为
，且
，
，则（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
为周期函数，且4 为
的周期
D．
4.（2007·山东·高考真题）给出下列三个等式：
，
，
．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型9 抽象模型: 余弦与双曲余弦型
余弦与双曲余弦模型
1．定义域为
的函数
，对任意
，且
不恒为0，则下列
说法错误的是（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
D．若
，则
2.已知定义在
上的函数
满足
，且
，则（ ）
A．
B．
为奇函数C．
有零点
D．
3.函数
的定义域为
，且
，
.若对任意实数
，
都有
，则
（ ）
A．
B．-1
C．0
D．1
4.设函数
的定义域为R，且
，
，若对于任意实数x，y，恒有
则下列说法中不正确的是
A．
B．
C．
D．
题型10 抽象模型: 正弦与双曲正弦型
正弦与双曲正弦型：
1．（2024·广西南宁·一模）已知函数
的定义域为
，且当
时，
，则（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
是增函数
D．
是周期函数
2．（24-25 高三上·山东菏泽·阶段练习）已知函数
的定义域为R，
，
且当
时，
，则下列正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．
是周期函数
C．当
时，
D．当
时，
3．（23-24 高二下·浙江温州·期末）已知函数
的定义域为
，且满足
，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
是奇函数
D．
4．（24-25 高三上·广西·阶段练习）已知函数
的定义域为
，且当
时，
，则下列正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．
是周期函数
C．当
时，
D．当
时，
题型11 抽象模型：对数反比例型
对数反比例型：
1．（22-23 高三上·山东·阶段练习）已知函数
的定义域为
，对任意的
，
，都有
，且当
时，
恒成立.若
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（22-23 高三·浙江·模拟）定义在
的函数
，当
时
，若
，
，
，则P，Q，R 的大小为
A．
B．
C．
D．
3．（多选）（2023·浙江·模拟预测）若定义在
上的函数
满足
，且当
时，
，则下列结论正确的是（ ）．
A．若
，
，
，则
B．若
，则
C．若
，则
的图像关于点
对称
D．若
，则
4．（多选）（20-21 高三湖南·阶段练习）定义在
上的函数
满足
，当
时，
，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
为单调递减函数
D．
为单调递增函数
题型12 抽象模型：反比例型
反比例模型：
1.（24-25 高三·湖南·阶段练习）定义在
上的函数
满足条件①
，
，②
，
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（多选）（23-24 高三上·山东·阶段练习）对于任意非零实数x，y﹐函数
满足
，且
在
单调递减，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
为奇函数
D．
在定义域内单调递减
3.（24-25 高三·宁夏石嘴山·期末）定义在
上的函数
满足条件①
，②
，
，则
的值为（ ）
A．0
B．
C．1
D．
结束
