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专题06 一元二次方程根的分布问题
题型脑图·核心考法构建
考法深研·解题技能通关
题型01 根的0 分布
设二次函数
，对应方程
，记判别式
，对称轴
，两根
。
核心依托韦达定理+判别式，无需分析对称轴，分四类标准情形：
1.一正一负根：仅需
，此时
自动成立；
2.两个正根（含重根）：
3.两个负根（含重根）：
4.至少一个负根：分两类讨论——①一正一负；②两负根，取参数范围并集；
5.含零根：
，再单独判断另一根正负。
1．（2026 高三·全国·专题练习）关于
的方程
至少有一个负根的充要条件是_____．
2．（2026 高三·上海浦东新·期中）若关于
的一元二次方程
有两个同号实根， 则实数
的取值范围是____.
3．（2026 高三·重庆·期中）“
”是“一元二次方程
有两个正实根”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（2026 高三·全国·专题练习）若一元二次方程
（
）有一个正根和一个负根，则有
（ ）．
A．
B．
C．
D．
5．（2026 高三·广东广州·阶段检测）已知方程
有一正根一负根，则实数
的取
值范围是__________．
题型02 根的k 分布
设二次函数
，对应方程
，记判别式
，对称轴
，两根
。
1.一根小于
、一根大于
（跨点分布）：仅需
，
自动满足，计算最简；
2.两根均大于
：
3.两根均小于
：
原理：结合抛物线开口，对称轴控制根整体位置，
保证两点在
同侧。
6．（2026 高三·全国·专题练习）若一元二次方程
一个根大于1，另一个根小于1，
则实数
的取值范围为______．
7．（2026 高三·全国·专题练习）若关于x 的一元二次方程
两根都小于1，求实
数m 的取值范围．
8．（2026 高三·吉林·期中）已知关于
的一元二次方程
有两个不等根
，
，且满足
，则
的取值范围是________．
9．（2026 高三·全国·专题练习）已知方程
的两根都大于
，则实数
的取值范围是
（ ）．
A．
B．
C．
D．
或
题型03 根在区间上的分布
设二次函数
，对应方程
，记判别式
，对称轴
，两根
。
两根都在闭区间
内，四个约束条件缺一不可：
拓展：恰有一根在
①
内：
②
；
端点取等，一根等于区间端点、另一根在区间内
部，需单独验证。
10．（2026 高三·湖北武汉·期中）关于
的一元二次方程
在区间
内、外各有一个实
数根，则实数
的取值范围是___________.
11．（2026 高三·全国·课后作业）关于x 的方程
恰有一根属于
，则实数m 的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2026 高三·全国·专题练习）关于x 的方程
的两个不等根
都在
之内，则实
数a 的取值范围为_______．
13．（2026 高三·吉林长春·阶段检测）已知a，
，
，关于x 的方程
有两个不相等
的实根，且均大于
小于0，求
的最小值．
14．（2026 高三·全国·专题练习）设方程
在
上有两个根，求
的取值范围．
15．（2026 高三·全国·开学考试）若关于
的方程
的两个根
都在区间
上，
则a 的值范围为____________．
16．（2026 高三·江苏南京·期中）方程
的一根在
内，另一根在
内，则实数
的
取值范围是_____．
17．（2026 高三·甘肃金昌·阶段检测）关于
的方程
(1)若方程满足一个根在
内，另一个根在
内，求
的取值范围；
(2)若方程至少有一个非负实根，求
的取值范围.
题型04 根在区间外的分布
设二次函数
，对应方程
，记判别式
，对称轴
，两根
。
两根分居区间两侧，无需判别式、对称轴，仅需端点函数值异号：
1.一根
，一根
：
开口向上时
；开口向下时
；
2.简化记忆：抛物线两端点函数值同时与开口反向，图像穿过区间左右外侧。
18．（2026 高三·广西玉林·期中）关于x 的一元二次方程
有一个根小于
，另一个
根大于1，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（2026 高三·北京石景山·期中）若关于
的一元二次方程
有两个实根，且一个实根小于
1，另一个实根大于2，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
20．（2026 高三·全国·专题练习）已知关于
的方程
的两个实根一个小于
，另一个大于，
则实数
的取值范围是_____．
21．（浙江省G5 联盟2025-2026 学年高三学期期中联考数学试卷）关于
的方程
有
两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数
的取值范围是（ ）
A．
或
B．
C．
D．
题型05 整数根问题
1.基础思路：
①先讨论二次项系数为0（一次方程）；
②二次方程优先因式分解，直接解出根，利用整数条件限制参数；
③无法因式分解时用韦达定理：
均为整数，构造参数表达式，利用整除求解。
2.拓展题型（不等式整数解限定）：
二次不等式解集内仅有
个整数，结合二次函数零点区间，列不等式锁定零点左右边界，限制整数个
数。
22．（2026 高三·北京·开学考试）已知关于x 的方程
．
(1)求证：不论m 取何值，方程都有实数根；
(2)若方程有两个整数根，求整数m 的值．
23．（2026 高三·上海·期中）已知
，关于
的方程
；
(1)若方程有两个正实数根，求实数
的取值范围；
(2)若方程有两个整数根
，且
为整数，求
的值；
24．【多选】（2026 高三·福建泉州·期中）若关于x 的不等式
的解集中恰有两个整数，
则a 的值可能为（ ）
A．0
B．
C．1
D．
题型06 与绝对值结合
若遇到多层绝对值嵌套，则先分段划分绝对值内式子正负区间，拆分得到分段二次函数，再分别对每一
段二次函数使用根分布条件，联立所有区间约束，最终取参数交集得到完整取值范围，全程需舍去小于
0 的t 根，防止出现零点计数错误。
25．（2026·天津南开·模拟预测）已知
，若方程
有
四个不同的实数根，则实数
的取值范围为__________．
26．（2026 高三·江苏无锡·期末）已知函数
，
，若关于
的方程
恰有
4 个互异的实数根，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型07 综合
多约束叠加题型，统一标准解题流程：
1.定型：区分一次/二次函数，
单独讨论；
2.画图：根据开口、零点位置画出二次函数草图；
3.列约束：按需组合四类条件（
、对称轴、端点函数值、韦达定理）；
（1）两根同号/异号：搭配韦达；
（2）根跨定点/区间：搭配端点函数值；
（3）两根全部落在区间：全套四约束；
4.联立不等式组，取交集得到参数范围；
5.检验边界等号，排除增根。
27．（2026 高三·河北保定·期末）
为何值时，关于
的方程
的两根：
(1)都为正数根；
(2)异号且负根绝对值大于正根；
(3)一根大于2，一根小于2；
(4)两根都在区间
上.
28．（2026 高三·全国·一轮复习）关于
的方程
满足下列条件，求
的取值范围．
(1)有两个正根；
(2)一个根大于，一个根小于；
(3)一个根在
内，另一个根在
内；
(4)一个根小于
，一个根大于
；
(5)两个根都在
内．
29．（2026 高三·全国·专题练习）已知方程
，在下列条件下，求
的范围．
(1)有两个不同的正根；
(2)有两个不同的负根；
(3)一个根在
内，另一个根在
内；
(4)两个不同的根都大于
；
(5)两个不同的根都小于1；
(6)一个根大于1，一个根小于1；
(7)两个不同的根都在
内；
(8)有两个根，有且仅有一个根在
内；
(9)一个根小于2，一个根大于4；
(10)一个根在
内，另一个根在
内；
(11)一个正根，一个负根，且正根绝对值较大；
(12)在
内无实根．
题型08 在直线与双曲线交点的应用
1.联立直线与双曲线方程，消元得到含参一元二次方程；
2.双重限制：
①二次前提：二次项系数
（排除渐近线平行的直线，无两个交点）；
②判别式
：保证存在两个不同交点；
3.结合双曲线分支使用韦达定理根分布：
（1）交于右支两点：两根同正
；
（2）交于左支两点：两根同负
；
（3）左右支各一点：两根异号
；
4.联立全部不等式，解出斜率/截距参数范围。
30．（2026 高三·上海松江·期中）过点
作斜率为
的直线与双曲线
的右支相交于不同两点，
则
的值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．2
31．（2026 高三·全国·专题练习）已知双曲线
的左焦点为
，过点
的直线交双曲线的左支于
两点，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
32．（2026 高三·黑龙江哈尔滨·期末）直线
与双曲线
交于不同的两点，则斜率
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
33．（2026 高三·北京·阶段检测）已知直线
与双曲线
的右支有两个不同的交点，则k
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
34．（2026 高三·湖北·期末）已知过点
的直线与双曲线
的左，右两支均相交，则该直线斜
率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
