文档内容
微专题：复数范围内方程的根
【考点梳理】
复数范围内实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为
(1)当Δ≥0时，x＝；
(2)当Δ<0时，x＝.
【典例剖析】
典例1．已知虚数z是关于x的方程 的一个根，且 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
典例2．已知m， ，若 是方程 的一个复数根，则该方程的另一个解为（ ）
A． B． C． D．
典例3．已知 是关于 的方程 在复数范围内的一个根，则 （ ）
A． B． 或 C． D．
典例4．已知 是方程 的两根，且 在复平面上的对应点在第一象限，则 （ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
5．下列命题正确的是（ ）
A．复数 是关于 的方程 的一个根，则实数
B．设复数 ， 在复平面内对应的点分别为 ， ，若 ，则 与 重合
C．若 ，则复数 对应的点 在复平面的虚轴上(包括原点)
D．已知复数 ， ， 在复平面内对应的点分别为 ， ， ，若 （ 是虚数单位，
为复平面坐标原点， ， ），则
6．方程 的两个根在复平面上对应的点的距离为（ ）
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．5 C． D．
7．已知关于 的实系数方程 两个虚根为 ， ，且 ，则 （ ）
A． B． C． 或 D．不存在
8．设 是实系数一元二次方程 的两个根，若 是虚数， 是实数，则 （ ）
A．0 B． C． D．1
9．设 ， 是方程 在复数范围内的两个解，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知 是关于x的方程 的一个根，则 （ ）
A．0 B．-2 C．2 D．4
11．方程 在复数集内解的个数为（ ）.
A． B． C． D．
12．设 、 ，若 （ 为虚数单位）是一元二次方程 的一个虚根，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
13．“ ”是“实系数一元二次方程 有虚根”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．在复数范围内方程 的两根为 ， ，则 （ ）
A．2 B． C． D．5
15．已知 ，“实系数一元二次方程 的两根都是虚数”是“存在复数z同时满足 且
”的（ ）条件.
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．充分非必要 B．必要非充分
C．充分必要 D．既非充分又非必要
16．若 是关于 的实系数方程 的一个复数根，则（ ）
A． B．
C． D．
17．若方程 有两个虚根 ，且 ，则实数m的值为（ ）
A． B． C．2 D．
18．已知复数 ， 是关于x的方程 的两个根，则 （ ）
A．9 B．81 C． D．82
19．方程 在复数集中的解有
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
20．方程 在复数范围内的虚根有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．6个
【高分突破】
一、单选题
21．已知关于 的实系数一元二次方程的一个根在复平面上对应点为 ，则这个方程可以为（ ）
A． B．
C． D．
22．复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D． 或
23．已知复数 ， 是方程 的两根，则（ ）
A． B．
C． D．
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司24．二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有一个实数根，一个虚数根
C．有一对共轭虚数根 D．有两个虚数根
25．已知复数3＋2i是方程 的一个根，则实数a＝( )
A．－5 B．5 C．－6 D．6
26．若关于x的实系数一元二次方程的两个根分别是 和 ，则这个一元二次方程可以是
（ ）.
A． B． C． D．
二、多选题
27．已知复数 满足 （ 是虚数单位），则下列关于复数 的结论正确的是（ ）
A．
B．复数 的共轭复数为
C．复平面内表示复数 的点位于第三象限
D．复数 是方程 的一个根
28．若复数 满足 （ 为虚数单位），则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 的共轭复数 D． 是方程 的一个根
29．已知在复数范围内关于 的方程 两根为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 与 互为共轭复数 B．
C． D．
30．已知 为虚数单位， ， ，则下列选项中正确的有（ ）
A． B． 的虚部为1
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．在复数范围内， 为方程 的根 D．
三、填空题
31．已知 ， 是方程 在复数范围内的两个根，则 _________.
32．设复数 满足 ，使得关于 的方程 有实根，则这样的复数 的和为________
33．若关于 的实系数一元二次方程 的一根为 （ 为虚数单位），则 ____．
34．若 是关于 的实系数方程 的一个复数根，则 ___________
35．若复数z满足： ，且|z|＝ ，则实数a＝_____．
36．若方程 有一个虚根的模为 ，则实数 的值为___________.
37．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0 有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于____.
四、解答题
38．关于复数 的方程 ．
（1）若此方程有实数解，求 的值；
（2）用反证法证明：对任意的实数 ，原方程不可能有纯虚数根．
39．已知关于x的方程 在复数范围内的两根分别为 ､ .
(1)若该方程没有实根，求实数a的取值范围；并在复数范围内对 进行因式分解；
(2)若 ，求实数a的值.
40．已知 是实系数一元二次方程 的两个虚根，且 ，求 的值．
41．已知复数 （ 为虚数单位）.
（1）若 ，求复数 的共轭复数；
（2）若 是关于 的方程 一个虚根，求实数 的值.
42．方程 的两个虚根为 ， ，且 ，求实数 的范围．
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．D
【解析】
【分析】
设 ，代入原方程，根据复数相等和 可得答案.
【详解】
设 （ 且 ），
代入原方程可得 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以 .
故选：D.
2．B
【解析】
【分析】
根据复数乘方运算及复数相等列方程得解.
【详解】
由题可得 ，化简得 ，解得 ， ．
由韦达定理知，该方程的另一个复数解为 ．
故选：B.
3．A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程在复数域内的两个虚根互为共轭复数及韦达定理即可求解.
【详解】
因为 是关于 的方程 在复数范围内的一个根，
所以关于 的方程 的另一个根为 ，
由韦达定理，得 ，解得 ， 或 （舍），
所以 .
故选：A.
4．D
【解析】
【分析】
在复数范围内解方程得 ,进而根据复数除法运算求解即可.
第 6 页【详解】
解：根据题意，在复数范围内解方程 得 ，
由于 在复平面上的对应点在第一象限
所以 ，
所以
故选：D
5．C
【解析】
【分析】
结合一元二次方程的复数根、复数模、复数对应点、向量运算等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
对于A：复数 是关于 的方程 的一个根，所以： ，
，故A错误；
对于B：设复数 ， 在复平面内对应的点分别为 ， ，若 ，
即这两个向量的模长相等，但是 与 不一定重合，故B错误；
对于C：若 ，设 ，故： ，整理得： ，故 ，故
C正确；
对于D：已知复数 ， ， 在复平面内对应的点分别为 ， ， ，
若 ，所以 ，
，
，
解得： ， ，故 ，故D错误．
故选：C．
6．A
【解析】
【分析】
求出方程两根，进而可得对应点的坐标，即可得解.
【详解】
由题意，方程 的两个根 ，
所以该方程两根在复平面上对应的点为 ，
第 7 页距离为 .
故选：A.
7．A
【解析】
【分析】
关于 的实系数方程 两个虚根为 ， ，所以 ，可得 ，
利用根与系数的关系可得 ，设 ，则
，根据 ，可得 可求得答案.
【详解】
关于 的实系数方程 两个虚根为 ， ，
，所以
设
所以
，即 ，即
由 ，即 ，解得 或 .
又 ， ，则 ，所以
所以
故选：A
【点睛】
本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、判别式、根与系数的关系、复数的模的计算公式，考查了推理
能力和计算能力，属于中档题．
8．D
【解析】
【分析】
由实系数一元二次方程的的虚数根成对出现，它们互为共轭复数的性质，设 ，则
，然后由 是实数，得出 的关系，再计算 后可得．
【详解】
第 8 页因为 是实系数一元二次方程 的两个根，且 是虚数，则 也是虚数，且 是 的共轭复数，
设 ，则 ，
则 ，
又 是实数，所以 ，又 ，所以 ， ，
，
由于 ， ，
所以 ，
所以 ．
故选：D．
9．D
【解析】
【分析】
先由方程 解出 ， ，再由复数的运算及复数的模判断4个选项即可.
【详解】
由方程 得 ，由求根公式得 ，不妨设 ， .
，A错误； ，B错误；
，C错误； ，D正确.
故选：D.
10．C
【解析】
【分析】
根据实系数一元二次方程的虚数根互为共轭复数，即可根据根与系数的关系求出 ．
【详解】
因为 是关于x的方程 的一个根，则方程的另一根为 ，所以
，解得： ，即 ．
第 9 页故选：C．
11．C
【解析】
【分析】
令 ，再根据复数的运算及复数的模，解方程.
【详解】
令 ，则 ，
得
当 时， ， 或 ；
当 时， ， 或 （舍）.
综上共有6个解： ， ， ，
故选；C.
12．C
【解析】
【分析】
分析可知实系数一元二次方程 的两个虚根分别为 、 ，利用韦达定理可求得 、 的值，即可
得解.
【详解】
因为 是实系数一元二次方程 的一个虚根，则该方程的另一个虚根为 ，
由韦达定理可得 ，所以 .
故选：C.
13．B
【解析】
根据充分必要条件的定义判断．
【详解】
时，方程为 ，只有实根，无虚根，不充分，
一元二次方程 有虚根，则 ， ，是必要的，
因此是必要不充分条件．
故选：B．
14．B
【解析】
【分析】
由 ，可得复数范围内方程 的两根为 ，然后根据复数的模
长公式即可求解.
第 10 页【详解】
解：因为方程 ，所以 ，
所以 ，
不妨令 ，
则 ，
故选：B.
15．D
【解析】
【分析】
分别求出实系数一元二次方程 的两根都是虚数，存在复数z同时满足 且 的等价条件，
分析二者的关系即可得出结论.
【详解】
∵实系数一元二次方程 的两根都是虚数，
∴ ，∴ ；
设 ，
由 可得 ，表示以 为圆心，以2为半径的圆；
由 可得 是以 为圆心，以1为半径的圆.
由题意可知复平面上的圆 和圆 有公共交点.
所以 ，即 ，
所以，实数 ，
因为 不能推出 ， 也不能推出 ，
所以“实系数一元二次方程 的两根都是虚数”是“存在复数z同时满足 且 ”的既不是
充分条件也不是必要条件.
故选：D.
16．D
【解析】
【分析】
把 代入方程，整理后由复数相等的定义列方程组求解.
【详解】
由题意1 i是关于 的实系数方程
∴ ，即
第 11 页∴ ，解得 .
故选：D．
17．A
【解析】
【分析】
根据给定条件可得 与 互为共轭复数，设 ，可得 ，再将 或 代入方程，经计
算整理借助复数为0即可得解.
【详解】
因方程 有两个虚根 ，则 与 互为共轭复数，设 ，有 ，
由 得 ，解得 ，
把 代入 得： ，整理得 ，
而 ，于是得 ，且 ，解得 ， ，若 ，同理得 ， ，
所以实数m的值为 .
故选：A
18．C
【解析】
【分析】
利用求根公式和复数的模求解.
【详解】
解：因为复数 ， 是关于x的方程 的两个根，
所以 ，
所以 或 ．
故选：C
19．C
【解析】
设 ，代入方程，化简后按 或 进行分类讨论，由此求得方程的解，进而得出正确选项.
【详解】
设 ，代入方程得 ，
化简得 ①，
所以 或 ，
当 时，由①得 ，
第 12 页即 ，
对应的复数为 .
当 时，由①得 ，解得 或 ，
对应的复数为 、 .
综上所述，共有 个解.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查方程在复数范围内的解，属于中档题.
20．C
【解析】
【分析】
n次方程在复数范围内有n个根，除去实根剩下即为虚根.
【详解】
，易得方程的实根为2和-2，于是方程有4个虚根.
故选：C.
21．A
【解析】
【分析】
由实系数一元二次方程虚根的性质可得 ， ，再由韦达定理即可得解.
【详解】
由题意，该方程的一个根为 ，
则该方程的另一个根 ，
由 ， 可得方程可以为 .
故选：A.
22．B
【解析】
【分析】
由题可得 ，即得.
【详解】
∵复数 满足 ，
∴ ，
∴ .
故选：B.
23．B
【解析】
【分析】
第 13 页解方程可得 与 ，进而判断各选项.
【详解】
由 ，
得 ， ，
故 ，A选项错误；
， ，B选项正确；
，C选项错误；
，D选项错误；
故选：B.
24．D
【解析】
【分析】
设方程的根为 ，带入方程利用复数相等解出 ，可判断根的情况.
【详解】
解：设方程的根为 ，则有 ，
即 ，即 ，解得： ，所以方程的根为 或 .
故选：D.
25．C
【解析】
【分析】
将复数代入方程即可求得a的值．
【详解】
由题意可得 ，即 ，解得a＝－6．
故选：C．
26．B
【解析】
【分析】
设方程为 ，根据韦达定理分别将 用 表示，即可得出答案.
【详解】
解：设方程为 ，
第 14 页则 ，所以 ，
，所以 ，
则方程为 ，
故只有B选项符合题意.
故选：B.
27．ABD
【解析】
【分析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一分析四个选项得答案．
【详解】
解：由 ，得 ．
，故A正确；
，故B正确；
平面内表示复数 的点的坐标为 ，位于第二象限，故C错误；
，
复数 是方程 的一个根，故D正确．
故选：ABD．
28．BD
【解析】
【分析】
设 ，根据复数相等可求得实数 、 的值，可判断A选项的正误；利用复数的模长公式可判断B
选项的正误；利用共轭复数的定义可判断C选项的正误；解方程 可判断D选项的正误.
【详解】
设 ，则 ，可得 ，解得 ，所以， ，
A错；
，B对；
，C错；
解方程 ，即 ，解得 或 ，D对.
故选：BD.
29．AC
【解析】
【分析】
第 15 页根据实系数一元二次方程求根公式求出 ，然后逐一判断即可.
【详解】
由 ，或 ，
显然 与 互为共轭复数，因此选项A正确；
因为 ，所以选项B不正确；
因为 ，所以选项C正确；
因为 ，所以选项D不正确，
故选：AC
30．BC
【解析】
【分析】
根据虚数定义可判断 A；根据复数的分类可判断B；把 ，代入 验证可判断C；分别计算
、 可判断D.
【详解】
因为 都是虚数，所以不能比较大小，故 A错误；
因为 ，所以 的虚部为1，故 B正确；
因为 ，所以 ，
所以 为方程 的根，故C正确；
， ，
所以 ，故 D错误.
故选：BC.
31．
【解析】
【分析】
利用根与系数关系可得 ， ，进而求 ，即可求模长.
【详解】
由题设， ， ，
，故 ，
所以 .
故答案为：
第 16 页32．
【解析】
【分析】
设 ，（ 且 ），将原方程变为 ，则 ①且
②；再对 分类讨论可得；
【详解】
解：设 ，（ 且 ）
则原方程 变为
所以 ，①且 ，②；
（1）若 ，则 解得 ，当 时①无实数解，舍去；
从而 ，此时 ，故 满足条件；
（2）若 ，由②知， 或 ，显然 不满足，故 ，代入①得 ，
所以
综上满足条件的所以复数的和为
故答案为：
【点睛】
本题考查复数的运算，复数相等的充要条件的应用，属于中档题.
33．
【解析】
【分析】
根据实系数一元二次方程的根的特征，可得 的共轭复数也是方程的根，利用韦达定理得到方程，计算可得；
【详解】
解：因为 为实系数一元二次方程 的一根，
所以 也为方程 的根，
所以 ，解得 ，所以 ；
故答案为：
34．1
【解析】
【分析】
利用实系数方程虚根成对定理，转化求解即可．
【详解】
因为 是关于 的实系数方程 的一个复数根，所以 也是方程的根，
第 17 页由根与系数的关系可知： ，所以 ， ．
所以
故答案为：1．
35．±1
【解析】
【分析】
设z＝x+yi(x,y∈R)是 的一个根，由复数的性质可得 是另外一个根，进而可得
，即可求a的值．
【详解】
设z＝x+yi(x,y∈R)是 的一个根，
∴ 是 的另一个根，
由 ＝5，即a2＝1，解得a＝±1；
故答案为：±1．
36．9
【解析】
【分析】
设方程的一个虚根为 ，则 ，再根据韦达定理得到方程，解得即可；
【详解】
解：设方程 的一个虚根为 ，则另一个虚根为 ，依题意可得
，由韦达定理可得 ，即 ，所以 ，解得
故答案为：
37．
【解析】
【分析】
利用方程的根适合方程并化简，再结合复数相等的定义列方程，解方程即得结果.
【详解】
由题意关于x的方程有实数根n，则n适合方程，即n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即 ，故 ，解得 ∴ .
故答案为： .
38．（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
第 18 页（1）设方程的解为 ，将 代入原方程，整理化简，令实部与虚部分别为零解 的值及 的值；
（2）先假设存在一个实数 ，使原方程有纯虚数根，并设纯虚数根为 ，然后将 代入原式推出矛
盾，证明假设错误.
【详解】
（1）解：设方程的实数解为t，则 ，
所以 ，
所以 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
（2）证明：假设原方程有纯虚数根，令 ，且 ，
则 ，
整理可得 ，
即
对于①，由于判别式 ，所以方程①无解，故方程组无解，故假设不成立，
故原方程不可能有纯虚数根．
【点睛】
本题考查复数的综合运算，考查了复数与二次方程的结合，难度一般.解答时注意方程的实数根与虚数根的区别，
结合二次方程有解的条件判断即可.
39．(1) ，
(2) 或
【解析】
【分析】
（1）若该方程没有实根，则 ，解之即可，由 ，可得 ，即可
在复数范围内对 进行因式分解；
（2）分 和 两种情况讨论，结合韦达定理从而可得出答案.
(1)
解：若该方程没有实根，
则 ，解得 ，
由 ，得 ，
所以 ，即 ，
所以在复数范围内对 ；
(2)
第 19 页解：当 ，即 时，
则 都是实数，
由韦达定理可知 ，
故 都是非负数，
所以 ，所以 ；
当 ，即 时，方程有两个共轭虚根，设为 ，
则 ，
故 ，解得 或 （舍去），
综上所述， 或 .
40．
【解析】
【分析】
根据实数系一元二次方程虚根成对原理，写出 的值，再代入式子计算即可.
【详解】
∵ 为实系数一元二次方程 的两个虚根，
不妨设 ，则 ，
， ，则 ,
即 ，
∴
∵ n ≠ 0 ,∴
即
∴ ，
若 则
若 ，则
第 20 页综上所述，
故答案为：
41．（1） ；（2）2．
【解析】
【详解】
分析：（1）因为 ，所以 ，求出 ，即可得到 的共轭复数；
（2）将 代入方程 ，根据复数相等可求求实数 的值.
详解：（1）因为 ，所以 ，
所以复数 的共轭复数为 .
（2）因为 是关于 的方程 的一个虚根，
所以 ，即 .
又因为 是实数，所以 .
点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等的充要条件、共轭复数的定义，考查了计算能力，属于基础题．
42．
【解析】
【分析】
设 ，则 ．根据韦达定理可得 ，再根据模长公式化简不等式可得
，由 可得答案.
【详解】
设 ，则 ．
因为方程 有虚根， ，所以 ，解得 ，
根据韦达定理得 ，∴ ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
∴ ．
第 21 页∴ .
【点睛】
本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理，考查了韦达定理以及复数的模长公式，属于基础题.
第 22 页第 23 页
