专题1.1 基本不等式及其应用
近三年：基本不等式是高中数学的核心内容之一，难度中等偏上，侧重考查不等式的理解与应用能力。主
要考查利用基本不等式求最值（如和的最小值、积的最大值）、证明不等式、解决实际应用问题（如面积、
体积、费用等优化问题）。常与函数、方程、解析几何等知识结合，体现综合性．
预测2026 年：预计2026 年高考仍将重视基本不等式的应用，尤其是与其他知识（如函数、数列、解析几
何）的综合考查。题目可能更注重实际情境与数学建模，突出数学的应用价值。备考应强化对基本不等式
成立条件的理解，训练其灵活配凑、变形能力，注重与函数、方程、几何等知识的交叉融合，提升解决综
合性问题的能力。
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题型01 公式的理解
解｜题｜策｜略
1 若a>0 , b>0，则a+b≥2❑√ab (当且仅当a=b时，等号成立).
2 运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等.
一正指的是a>0 , b>0；二定指的是ab是个定值，三等指的是不等式中取到等号.
1（25-26 高三上·上海·期中）已知实数a、b，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（ ）
A．a+ 1
a ≥2
B．❑√a
2+2+
1
❑√a
2+2
≥2
C．a+b
2
≤❑√ab
D．a
2+b
2≥2ab
2（多选）（25-26 高三上·辽宁·期中）下列不等式中正确的是（ ）
A．x
2+1≥2 x
B．x + y ≥2❑√xy
C．x
2+
4
x
2+2
≥2
D．若x> y >0，则x +
1
x - y + 1
y ≥4
3（多选）（25-26 高三上·福建泉州·期中）下列不等式一定成立的有（ ）
A．x + 1
x ≥2
B．❑√x + 1
❑√x ≥2
C．x (1- x)≤1
4
D．x
2+
3
x
2+2
≥2❑√3-2
题型02 倒数型
解｜题｜策｜略
1 倒数型，指的是类似at + b
t (a>0,b>0)，sinθ+
1
sinθ ，
❑√x
2+2+
1
❑√x
2+2
等，其中要注意的是是否能
够取到等号；
2 若取不到等号，要用到对勾函数单调性处理.
1（25-26 高三上·上海·月考）下列函数中，最小值为2 的是（ ）
A．y = x + 1
x
(x≠0)
B．y = 1
x +1(x ≤1)
C．y = ❑√x + 4
❑√x -2(x>0)
D．y =
❑√x
2+ 4 +
1
❑√x
2+ 4
(x∈R)
2（25-26 高三上·江苏南京·月考）下列说法中正确的是（ ）
A．x + 4
x
的最小值为4
B．a+b
❑√ab
的最小值为2
C．x
2+ 4
❑√x
2+3
的最小值为2
D．x
2+
1
x
2+1
的最小值为1
3（多选）（25-26 高三上·湖北武汉·月考）下列说法正确的是（ ）
A．x>0, x≠1，则y =lg x +
1
lg x
的最小值是2
B．x ≥0，则y = x +5
❑√x + 4
的最小值是5
2
C．x ≥0，则y =2
x+
1
4⋅2
x 的最小值是1
D．y =
1
sin
2 x
+
4
cos
2 x
的最小值为9
题型03 积与和型
解｜题｜策｜略
1 知积求和用a+b≥2❑√ab，知和求积用ab≤(a+b)
2
4
;
2 在解题中要注意对式子的观察，明确a，b所指，并且观察它们是否存在和与积的形式。
1（25-26 高三上·安徽合肥·期中）已知x>0, y >0, x +3 y =6，则xy的最大值为（ ）
A．3
B．6
C．9
D．12
2（2025·湖北·模拟预测）已知实数a，b满足(
1
a -2)(
1
b -3)=6，则ab的最大值为（ ）
A．1
25
B．1
24
C．1
12
D．1
4
3（25-26 高三上·上海·开学考试）已知x>0, y >0且x + y =1，则1
x + 1
y + 1
xy
的最小值为（ ）
A．4❑√2
B．8
C．2❑√2
D．4
题型04 配凑型
解｜题｜策｜略
1 有时利用基本不等式时，确定a和b时，想得较为简单，会做不到“二定或三等”的要求，比如
y = x +
1
x -2中令a= x，b=
1
x -2用基本不等式，做不到ab是定值，此时需要对a和b的确定作些调整，
进行配凑，达到做到“一正，二定，三等”的要求。
1（25-26 高三上·浙江宁波·期中）若m,n均为大于1 的实数，且mn=3+m+n，则m+2n的最小值为（ ）
A．6
B．9
C．3+2❑√2
D．3+ 4 ❑√2
2（25-26 高三上·四川广安·月考）若x>2，y >-2，x +2 y =0，则1
x -2 +
1
2 y + 4
的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．❑√3+1
D．❑√3-1
3（25-26 高二上·云南·月考）若x> y >0, 2 x - y = 4，则2- y
x +
1
x - y
的最小值为（ ）
A．9
B．9
4
C．2
D．16
9
题型05 积与和互化解不等式型
解｜题｜策｜略
一等式中存在a与b的和与积，利用基本不等式得到关于ab或a+b的不等式，从而求出它们的范围。
1（25-26 高三上·河北·期中）已知x , y为正实数，且xy = x + y +8，则xy的最小值为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．16 ❑√2
2（25-26 高三上·山东青岛·期中）已知x>0, y >0,2 x +3 y +6 xy = 5
4
，则2 x +3 y的最小值是（ ）
A．1
B．5
C．5
2
D．5
4
3（25-26 高三上·河北邯郸·期中）已知x , y ∈R，且x
2+ y
2+ x + y = 4，则x + y的最小值与最大值之和为
（ ）
A．-5
B．- 4
C．-3
D．-2
题型06 常数代换型
解｜题｜策｜略
1 特征：条件是一个包含等式的复杂关系，可以将其中一个常数用变量表达式代替；
2 解题思路：从条件等式中解出一个变量代入所求式子，或解出一个常数关系进行代换。
1（2025·浙江台州·一模）已知a,b∈(-1,+ ∞)，且a+
1
b+1 =2，则b+
9
a+2
的最小值为（ ）
A．2
B．9
4
C．5
2
D．3
2（25-26 高三上·湖北黄石·期中）已知实数a，b满足a>0，b>1，且a+b=5，则4
a +
1
b-1
的最小值为
（ ）
A．3
2
B．9
4
C．5
2
D．9
3（24-25 高三上·山西·月考）已知正实数x，y 满足x +2 y =3，则x
2+3 y
xy
的最小值为（ ）
A．2❑√2+1
B．4
C．4 ❑√2+1
D．6
题型07 消元型
解｜题｜策｜略
1 特征：条件是多个变量的等式关系，求某个表达式的最值；
2 解题思路：利用条件等式，将一个变量用其他变量表示，代入所求式子，转化为单变量函数或可直接
用基本不等式的形式；
3 在消元的时候要注意最后得到的“元”的取值范围。
1（25-26 高二上·浙江衢州·期中）已知实数x , y满足xy -2 x - y =0，则
(x -1)
2+( y -2)
2的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．9
2
2（25-26 高三上·湖北武汉·期中）已知实数x , y满足x
2+2 xy =1，则x
2+ 4 y
2的最小值为（ ）
A．1
B．2❑√2-1
C．2❑√2-2
D．2❑√3-1
3（25-26 高三上·重庆·期中）若正数x、y满足xy - x -3 y =1，则x + 4 y的最小值为（ ）
A．15
2
B．8
C．17
2
D．15
题型08 “1”代换综合型
解｜题｜策｜略
1 遇到类似1
a + 1
b 与a+b其一为已知条件，令一为求其范围时，可以采取巧1法；
2 所求式子中有时可以巧妙的利用“1”的特征（比如题中条件类似a+b=1或a
2+b
2=2，或一些公式
sin
2θ+cos
2θ =1等），把式子进行变形，使得其与已知条件的等式或不等式靠拢，从而达到求解的目
的。
1（25-26 高三上·重庆·期中）已知a,b>0，且ab=a+b，则a+ 4 b的最小值是（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
2（25-26 高三上·重庆南岸·期中）若1< x<2，则1
2- x +
4
x -1
的最小值为（ ）
A．2❑√2
B．4
C．9
D．9
2
3（25-26 高三上·安徽合肥·期中）已知m>0,n>0，且m(2-n)+n=0，则m+2n的最小值为（ ）
A．2
B．1
2
C．9
D．4
题型09 二次函数a x
2+bx +c
d x
2+ex + f 型
解｜题｜策｜略
1 类似a x
2+bx +c
d x
2+ex + f
，ae
x+b
c e
x+ f
的形式，常常利用到分离常数法与基本不等式等求其取值范围；
2 在处理的时候往往会用到一些函数性质，要做到每一步都严谨。
1（25-26 高三上·广东珠海·月考）函数f (x)= x
2-3 x
x +1
(x>-1)的最小值是（ ）
A．-3
B．-1
C．0
D．4
2 （25-26 高三上·福建厦门·期中）已知x>-1，则y = x
2+5 x +8
x +1
的最小值为（ ）
A．4
B．7
C．11
D．24
3（25-26 高三上·四川绵阳·月考）已知x>1，则f ( x)= x
2- x + 4
x -1
的最小值为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
题型10 换元型
解｜题｜策｜略
1 遇到含根式或高次幂的式子(类似
❑√x
2+2
x +1
，x
4+3 x
2
x
2+1
)，常常用到换元法;
2 换元法的本质是整体思想，在对式子变形时，要注意看是否存在结构相同的式子；
3 在换元时，要注意新元的取值范围。
1（25-26 高三上·河南·月考）已知x>0> y，且x -3 y = 1
x - 3
y + 4，则x -3 y的最小值为（ ）
A．2❑√5-2
B．2❑√5-1
C．1+2❑√5
D．2+2❑√5
2（24-25 高二下·山东济宁·月考）已知x>0, y >0，且x
2 y +2 x y
2+2 xy ≤x +2 y，则2
x + 1
y
的最小值为
（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
3（多选）（25-26 高三上·重庆渝中·月考）下列说法正确的是（ ）
A．函数y = x + 4
x
的最小值为2
B．函数y =
1
cos
2 x
+
4
sin
2 x
的最小值为9
C．函数y =
❑√x
2+8
x
2+9
的最大值为2❑√2
9
D．若x>0，y >0，且x + y = 4 +(
1
x + 1
y)
，则xy 的取值范围为(1,3+2❑√2]
题型11 双换元型
解｜题｜策｜略
双换元型，即引入两个新元代替原来的元，有时候采取双换元会使得式子变形得更简洁，在求解时会起
到简便的效果。
1（24-25 高三下·云南临沧·月考）若a、b∈R且a
2+2ab-3b
2=1，则a
2+b
2的最小值为（ ）
A．
❑√5+1
4
B．
❑√3-1
4
C．4+ ❑√26
D．❑√3-1
2（25-26 高三上·河南·月考）已知正实数a, b满足5a
2+ 4 ab=1+b
2，则12a
2+8ab-b
2的最小值为（ ）
A．7
3
B．19
8
C．19
4
D．7
6
3（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数a，b，c满足2a+b+3c =8，则a+b+2c
b+c
+
1
a+c
的最小值为
（ ）
A．2❑√2
B．3+2❑√2
4
C．3 ❑√2-1
D．5+2❑√2
4
题型12 齐次化构造型
解｜题｜策｜略
处理类似ax +b y
cx +dy 的齐次式，可以分子分母同除以y得到关于x
y 的式子，再求解.
1（25-26 高三上·天津·期中）已知x>0，y >0，且1
x + 1
y =1，则9 x
1- x + 4 y
1- y
的最大值为（ ）
A．-25
B．-18
C．-12
D．-9
2（24-25 高三下·陕西·月考）实数x，y满足5 x>2 y >0，则
y
5 x - y + x
y
的最小值是（ ）
A．
❑√5+1
5
B．2❑√5+1
5
C．
❑√5+2
5
D．2❑√5+2
5
3（24-25 高三·江苏·月考）若实数x , y 满足xy >0，则
x
x + y +
2 y
x +2 y
的最大值为（ ）
A．2- ❑√2
B．2+ ❑√2
C．4+2❑√2
D．4 -2❑√2
题型13 三角型
解｜题｜策｜略
遇到三角函数时，要注意sin
2θ+cos
2θ =1和sinθ或cosθ自身的取值范围[-1,1]，有时候也会用到换元
法。
1（23-24 高三上·广东深圳·月考）下列结论中正确的是（ ）
A．若a>0，则a
2+ 1
a
的最小值是2❑√a
B．对任意的实数a，b 均有a
2+b
2≥-2ab，其中等号成立的条件是a=-b
C．函数f ( x)= x + 1
x
的值域是[2,+ ∞)
D．函数f ( x)=
❑√sin
2 x(3+cos
2 x)的最大值是2
2（23-24 高三上·重庆·月考）已知α + β =π
2 ，则
1
sin
2α
+
4
sin
2 β
的最小值为（ ）
A．6
B．8
C．9
D．10
3（2025·四川达州·一模）设△ABC 的内角为A，B，C，AD⊥BC 于D．若△ABC 外接圆半径等于AD，则
sinB+sinC 的最小值是（ ）
A．❑√2
B．2
C．❑√3
D．1
题型14 恒成立或存在性求参数型
解｜题｜策｜略
对于恒成立问题，用到分离参数法，可能会构造出一些常见符合能够使用“基本不等式”的形式，此时
求参数范围时利用基本不等式求解。
1（25-26 高三上·江苏南通·月考）若存在x∈R，使得不等式a x
2-|x|+ 4 a≤0成立，则实数a的最大值为
（ ）
A．1
4
B．1
2
C．2
D．4
2（25-26 高三上·山东·期中）已知a，b为正实数，且3a
2-2ab+ 4 =0，若不等式b- 1
2 a≥m恒成立，则实
数m的取值范围是（ ）
A．(-∞,2]
B．(-∞,4]
C．(-∞,2❑√2]
D．(-∞,4 ❑√2]
3（25-26 高三上·山东济南·期中）若两个正实数x , y满足x + y =1且不等式1
x + 1
y <m
2-3m有解，则实数m
的取值范围是（ ）
A．(-1,4)
B．(-∞,- 4)∪(1,+ ∞)
C．(- 4,1)
D．(-∞,-1)∪(4 ,+∞)
4（2025 高三·全国·专题练习）若关于x的不等式3t
2-t ≤
x
2-2 x + 2
x
在(0,1)上恒成立，则实数t的取值范围
是（ ）
A．[- 2
3 ,1]
B．[-1, 2
3]
C．[- 4
3 ,1]
D．[-1, 4
3]
（建议用时：60 分钟）
1（25-26 高三上·河南新乡·期中）若a>0,b>0，且a+b= 4，则1
a + 1
b
的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．2
5
D．1
2（25-26 高三上·安徽·期中）已知a> 1
2
，当a+
1
2a-1
取最小值时，实数a的值为（ ）
A．1
B．
❑√2+1
2
C．❑√2+1
D．❑√2+ 1
2
3（25-26 高三上·山东菏泽·期中）函数f (x)= x
2- x +1
1- x
(x>1)的最大值为（ ）
A．1
B．-1
C．3
D．-3
4（25-26 高三上·贵州贵阳·月考）已知2 x + y =1，则xy +3 x + y的最大值是（ ）
A．1
B．3
2
C．2
D．1
2
5（25-26 高三上·江苏·月考）已知a、b、c均为正实数，ab+ac =2，则1
a +
1
b+c +
8
a+b+c
的最小值为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
6（25-26 高三上·湖南衡阳·期中）函数f (x)=
1
1+ x
2，若a，b>0，且f (a)+ f (b)=1，则a
2+b
2+18
a+b
的最小
值为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
7（25-26 高三上·江苏扬州·期中）已知实数x>0，y >0，1
x + 4
y =3，且x + y ≥m恒成立，则实数m的取值
范围为（ ）
A．{m|m≤9}
B．{m|m≤3}
C．{m|m≥9}
D．{m|m≥3}
8（多选）（25-26 高三上·江苏南通·月考）下列结论中，所有正确的结论有（ ）
A．若a
2>b
2，则1
a < 1
b
B．若xy >0，则x
y + y
x ≥4
C．当x∈(0,π )时，sin x +
4
sin x ≥4
D．若sin α +cos β =1，则sin
2α +cos
2 β ≥1
2
9（25-26 高三下·山西运城·月考）对任意的θ∈(0, π
2)
，不等式
1
sin
2θ
+
4
cos
2θ
≥2 x -1恒成立，则实数x
的取值范围是 ．
10（25-26 高三上·重庆·期中）已知一次函数f (x)为增函数，且满足f (f (x))= 4 x -3，
g(x)=kx +2k -2(k ≠0).
(1)若函数g(x)在[-1,2]上最大值与最小值的差为6，求k.
(2)当f (x)和g(x)满足f (g(x))= g(f (x))时.
（ⅰ）设a∈R，解关于x的不等式：a[g
2(x)- f (x)-1]> x -2.
（ⅱ）求h(x)= ❑√f (x)+ ❑√2- g(x)的最大值.
