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专题1.1 集合
重难点题型1 元素与集合的关系
1．（2025·辽宁·三模）已知集合
，则下列判断错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】判断元素与集合的关系、描述法表示集合
【分析】根据题意，求出集合
，利用元素与集合的关系判断.
【详解】依题意可得
，所以
.
故选：A.
2．（2025·河南·一模）已知集合
，若
且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
元素与集合的关系
重难点题型2
集合与集合间的关系
重难点题型3
有限集合的子集问题
重难点题型4
集合的交并补混合运算
重难点题型5
根据集合的交并补运算求参数范围
重难点题型6
韦恩图在集合中的应用
重难点题型7
集合的新定义问题
【知识点】根据元素与集合的关系求参数
【分析】根据题意列出不等式组即可求出结果.
【详解】由题可知
且
解得
.
故选：C.
3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）下列四个命题正确的个数是（ ）
①
是空集；②若
，则
；③集合
有两个元素；④集合
是
有限集
A．1
B．2
C．3
D．0
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】判断元素与集合的关系、描述法表示集合、空集的概念以及判断、集合的分类
【分析】对①，根据空集的定义可判断；对②，根据元素与集合的关系判断；对③，求出方程的根可判断；
对④，根据集合的表示，无限集合定义可判断.
【详解】对于①，
不是空集，空集中无任何元素，故①错；
对于②，若
，当
时，
，故②错；
对于③，集合
，只有一个元素，故③错；
对于④，集合
是无限集，故④错；
综上，正确的命题有0 个.
故选：D.
4．（2024·河南新乡·三模）下列集合中有无数个元素的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】描述法表示集合、列举法求集合中元素的个数、集合的分类
【分析】求出各个选项的元素个数即可得出答案.
【详解】对于A，因为
，
，则
，
，故A 错误；
对于B，因为
，
，则
，
所以
，故B 错误；
对于C，
，
，所以
，故C 错误；
对于D，
有无数个元素.故D 正确.
故选：D.
5．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合
，其中
且
，则实数m 的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】根据元素与集合的关系求参数
【分析】借助元素与集合的关系计算即可得.
【详解】由题意可得
，解得
.
故选：A.
6．（23-24 高三下·江西·阶段练习）已知
，若
，且
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】根据元素与集合的关系求参数
【分析】根据题目条件得到不等式，求出答案.
【详解】由题意得
且
，解得
．
故选：A
7．（2024·全国·模拟预测）（多选题）非空集合A 具有如下性质：①若
，则
；②若
，
则
下列判断中，正确的有（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．若
，则
【答案】ABC
【难度】0.65
【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义
【分析】根据元素与集合的关系进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于A，假设
，则令
，则
，
令
，则
，
令
，不存在
，即
，矛盾，
∴
，故A 对；
对于B，由题，
，则
∴
，故B 对；
对于C，∵
，
，
，
∵
故C 对；
对于D，∵
，
，若
，则
，故D 错误．
故选：ABC．
8．（2024·四川遂宁·二模）已知等差数列
的公差为
，集合
有且仅有两个元
素，则这两个元素的积为 ．
【答案】
/
【难度】0.4
【知识点】由余弦（型）函数的周期性求值、等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、
根据集合中元素的个数求参数
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理
作答.
【详解】
，
则
，
其周期为
，而
，即
最多3 个不同取值，
集合
有且仅有两个元素，设
，
则在
中，
或
，
或
，又
，即
，
所以一定会有相邻的两项相等，设这两项分别为
,
于是有
，即有
，解得
，
不相等的两项为
，
故
，
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：此题关键是通过周期性分析得到相等的项为相邻的两项，不相等的两项之间隔一项，
从而求得答案.
重难点题型2 集合与集合间的关系
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知
，
，
，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】根据集合的基本关系分类讨论计算求参即可.
【详解】因为
，所以当
，即
时，
，满足
，即
；
当
，即
时，
，满足
，即
；
当
，即
时，由
，得
，
，即
；
综上，
．
故选：C．
2．（24-25 高三上·山东·阶段练习）已知
，
，若
，则实数
的取值构
成的集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数
【分析】运用集合与集合之间的关系构造方程计算参数即可.
【详解】由
得
.
当
时，
，满足
；
当
时
，因为
，
所以
或
，
解得
或
.
故选：C.
3．（2024·河南·二模）已知集合
，若集合
有15 个真子集，则实数
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、根据集合中元素的个数求参数
【分析】根据真子集的定义，推断出集合
含有4 个元素，即不等式
的解集中有且仅有4 个整
数解，由此进行分类讨论，列式算出实数
的取值范围．
【详解】若集合
有15 个真子集，则
中含有4 个元素，
结合
，可知
，即
，且区间
,
中含有4 个整数，
①当
时，
,
的区间长度
，此时
,
中不可能含有4 个整数；
②当
时，
,
,
，其中含有4、5、6、7 共4 个整数，符合题意；
③当
时，
,
的区间长度大于3，
若
,
的区间长度
，即
．
若
是整数，则区间
,
中含有4 个整数，根据
，可知
，
，
此时
,
,
，其中含有5、6、7、8 共4 个整数，符合题意．
若
不是整数，则区间
,
中含有5、6、7、8 这4 个整数，则必须
且
，解得
；
若
时，
,
,
，其中含有5、6、7、8、9 共5 个整数，不符合题意；
当
时，
,
的区间长度
，此时
,
中只能含有6、7、8、9 这4 个整数，
故
，即
，结合
可得
．
综上所述，
或
或
，即实数
的取值范围是
,
,
．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：由真子集的个数可得
，且区间
,
中含有4 个整数，结合区间长度
，
即可对
讨论求解.
4．（22-23 高一上·河南郑州·阶段练习）若
，
，
，则这三个集合间的关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】判断两个集合的包含关系
【分析】先化简集合A,B,C,再结合集合的包含关系判断集合间关系即可.
【详解】依题意，
，
，
，而
，{偶数}
，
因此集合
中的任意元素都是集合
中的元素，即有
，集合
中的每一个元素都是集合
中的元素，
即
，
所以
.
故选：C.
5．（2024·江苏常州·三模）集合
，
，若
，则
实数m 的取值范围为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数
【分析】结合B 是否为空集进行分类讨论可求
的范围．
【详解】由
，且
，
当
时，
，则
，即
，
当
时，若
，则
，解得
，
综上，实数
的取值范围为
．
故答案为：
．
6．（2024·广西·二模）已知集合
，
，若
，则实数
．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】根据子集关系求出可能解，再利用集合中元素的互异性求出不能取的值即可得出m 的值.
【详解】因为
，所以
或
，
或
，
又由集合中元素的互异性可知
且
且
，
且
，
综上
.
故答案为：
.
重难点题型3 有限集合的子集问题
1．（24-25 高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）满足
的集合
的个
数为（ ）
A．8
B．7
C．6
D．4
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、解不含参数的一元二次不等式
【分析】由题意可得：
，分析可知集合
的个数即为集合
的子集个数，即
可得结果.
【详解】因为
，
，
由题意可得：
，可知集合
必有元素
，可能有元素
，
满足条件的集合
的个数即为集合
的子集个数，有
个.
故选：A.
2．（22-23 高一上·江苏徐州·期中）若集合
的所有子集个数是
，则
的
取值是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】分析可知，集合
有且只有一个元素，分
、
两种情况讨论，在第一种情况下直
接验证即可，在第二种情况下，由
求出
的值，综合即可得解.
【详解】因为集合
的所有子集个数是
，则集合
有且只有一个元素，
①当
时，即当
时，则
，合乎题意；
②当
时，即当
时，则关于
的方程
只有一个实数解，
则
，解得
.
综上所述，
或
.
故选：D.
3．（2022·广东·一模）从集合
的非空子集中随机选择两个不同的集合A，B，则
的概
率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、其他排列模型、计算古典概型问题的概率
【分析】写出集合
的非空子集，求出总选法，再根据
，列举出集合
的所有情况，
再根据古典概型公式即可得解.
【详解】解：集合
的非空子集有
共7 个，
从7 个中选两个不同的集合A，B，共有
种选法，
因为
，
当
时，则
可为
共3 种，
当
时，
共1 种，
同理当
时，则
可为
共3 种，
当
时，
共1 种，
则符合
的共有
种，
所以
的概率为
.
故选：A.
4．（2025·福建福州·模拟预测）已知集合
，则
的真子集
个数为（ ）
A．3 个
B．6 个
C．7 个
D．8 个
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、余弦函数图象的应用、由标准方程确定圆心和半径
【分析】数形结合，判断方程组
解的个数，即
中元素的个数，再根据集合中元素的个数
确定其真子集的个数即可.
【详解】集合
是坐标平面内，以原点为圆心，2 为半径的圆上的点的集合，
集合
是坐标平面内，函数
图象上的点的集合，
在同一坐标系内作出圆
及函数
的部分图象，如图：
观察图象知，圆
及函数
的图象有3 个公共点，
所以
有3 个元素，共有
个真子集．
故选：C
5．（2024·全国·模拟预测）已知集合
，集合
，则
的子集
个数为（ ）
A．8
B．3
C．2
D．1
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】判断直线与圆的位置关系、判断集合的子集（真子集）的个数、交集的概念及运算
【分析】集合
都是点集，根据圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到直线与圆相切，所以有一个
交点，有
个子集.
【详解】集合A 表示直线
上的所有点的集合，集合B 表示圆
上所有点的集合，
因为圆心
到直线
的距离为
，等于圆的半径，故直线与圆相切，
故
中只有一个元素，故
的子集个数为
．
故选：C.
6．（2024·全国·模拟预测）已知集合
，则
的子集个数为
.
【答案】4
【难度】0.65
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、由指数函数的单调性解不等式、交集的概念及运算
【分析】根据题意先求集合B，进而可得
，根据元素个数求子集个数.
【详解】令
，即
，可得
，解得
，
则
，
可得
，共两个元素，
所以其子集的个数为
.
故答案为：4.
重难点题型4 集合的交并补混合运算
1．（2023·全国乙卷·高考真题）设集合
，集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、补集的概念及运算、交并补混合运算
【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为
即可.
【详解】由题意可得
，则
，选项A 正确；
，则
，选项B 错误；
，则
或
，选项C 错误；
或
，则
或
，选项D 错误；
故选：A.
2．（2024·广东·一模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】交集的概念及运算、具体函数的定义域、复合函数的值域
【分析】通过计算函数
定义域求出集合
，计算函数
值域求出集合
，最后通
过交集运算即可求解.
【详解】由
，有
，即
，所以
；
由
令
，根据二次函数的性质有
，
所以
，又因为
，所以
，
；
所以
.
故选：D
3．（2023·北京·三模）已知集合
,则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】交集的概念及运算、分式不等式、由指数函数的单调性解不等式
【分析】分别解集合
,再用集合的交集运算即可得出答案
【详解】集合
,解得
,
,即
,解得
,故
,
所以
故选：C
4．（2023·黑龙江大庆·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】交集的概念及运算、求对数型复合函数的定义域、分式不等式
【分析】结合对数函数定义域和分式不等式解法化简集合A，B，由集合交集的定义求解即可．
【详解】函数
的定义域为
，
不等式
，可化为
或
，所以
，
所以
，
，
所以
．
故选：A．
5．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式
【分析】解一元二次不等式求出A 集合，解一元一次不等式求出B 集合，利用交集的定义运算即可.
【详解】因为
，
，
所以
.
故选：B
6．（2023·广东佛山·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式
【分析】求出集合
再求交集即可.
【详解】
，
，
则
.
故选：B.
重难点题型5 根据集合的交并补运算求参数
1．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合
，
，若
，则
的取值范围是：（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】根据交集结果求集合或参数、由对数函数的单调性解不等式
【分析】化简集合A，根据集合交集不为空集建立不等式即可得解.
【详解】因为
，
，
，
所以
且
，解得：
，
故选：C
2．（24-25 高三上·河北承德·阶段练习）已知集合
，
．若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数
【分析】根据
得到
，当
时满足，求出
的取值范围，当
时，列出不等式
组求出
的取值范围，结合两种情况求出
的取值范围.
【详解】因为
，所以
，
因为
，且满足
，
，
所以当
时满足
，
此时
，解得
，
当
时，则有
，
解得
,综上，
，
即实数
的取值范围为
．
故选：A．
3．（2024·浙江杭州·三模）设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】交集的概念及运算
【分析】利用最小公倍数排除A，B，利用奇数和偶数排除C，求解即可.
【详解】易知集合
，
，
则
中
前面的系数应为
的最小公倍数，故排除A，B，
对于C，当
时，集合
为
，
而令
，可得
不为整数，故
不含有7，
可得
中不含有7，故C 错误，
故选：D
4．（2014·全国·一模）设集合
，
，且
，则满足条件的实数
的个数
是
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个.
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】根据并集结果求集合或参数
【分析】根据集合元素的互异性，得x≠±1 且x≠4．再由A B={1
∪
，4，x}，得x
2=x 或x
2=4，可解出符合题意
的x 有0，2，-2 共3 个．
【详解】
，
，
所以由集合的互异性可得
且
，
，则
或
解之得
或
满足条件的实数
有
共3 个，
故选C.
【点睛】本题给出含有未知数x 的集合A、B，在已知它们并集的情况下求实数x 值，着重考查了集合元素
的基本性质和集合的运算等知识，属于基础题．
5．（2024·河南·模拟预测）已知集合
，
，若
，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数
【分析】可求出集合
，然后根据
，得到
，从而求出实数
的取值范围.
【详解】由
，可得
，
由于
，且
，则
，
所以
，则实数
的取值范围是
，
故答案为：
6．（2024·全国·模拟预测）已知全集
，集合
，
．若
，则
的最大值为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数、分式不等式、公式法解绝对值不等
式
【分析】先求集合
，对
分类讨论，并结合
，数形结合求出
的取值范围，注意端点值能否取到．
【详解】因为
，
当
时，
，若
，则
．
在数轴上表示出集合
，
，如图，
则
；
当
时，
，此时
不成立，
当
时，
，此时
不成立．
综上，
的最大值为
．
故答案为：
重难点题型6 韦恩图在集合中的应用
1．（2024·湖北·模拟预测）已知全集是实数集
，集合
，
，则图中阴影
部分所表示的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】交并补混合运算、利用Venn 图求集合
【分析】根据题意，求得
且
，结合
，即可求解.
【详解】由不等式
，解得
或
，所以
或
，
又由
，可得
且
，
又因为
.
故选：B.
2．（2019·北京朝阳·一模）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至
少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数的最大值是（ ）
A．6
B．5
C．7
D．8
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】容斥原理的应用、利用Venn 图求集合
【分析】根据题意，作出维恩图，由数形结合列出方程求解即可.
【详解】作维恩图，如图所示，
则周一开车上班的职工人数为
，周二开车上班的职工人数为
，
周三开车上班的职工人数为
，这三天都开车上班的职工人数为x.
则
，得
，
得
，当
时，x 取得最大值6.
故选：A
3．（2023·广东·模拟预测）已知全集
，集合
或
，
或
，则图中阴
影部分表示的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】交并补混合运算、利用Venn 图求集合
【分析】利用集合的交并补的定义，结合
图即可求解.
【详解】因为
或
，
或
，
所以
或
或
或
，
或
或
或
.
由题意可知阴影部分对于的集合为
，
所以
，
或
.
故选：D.
4．（2024·河北石家庄·三模）（多选题）某校“五一田径运动会”上，共有12 名同学参加100 米、400 米、
1500 米三个项目，其中有8 人参加“100 米比赛”，有7 人参加“400 米比赛”，有5 人参加“1500 米比
赛”，“100 米和400 米”都参加的有4 人，“100 米和1500 米”都参加的有3 人，“400 米和1500 米”
都参加的有3 人，则下列说法正确的是（ ）
A．三项比赛都参加的有2 人
B．只参加100 米比赛的有3 人
C．只参加400 米比赛的有3 人
D．只参加1500 米比赛的有1 人
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】根据交集结果求集合元素个数、容斥原理的应用
【分析】根据总人数和各个项目的人数，可求出三项比赛都参加的人数，从而可判定各选项.
【详解】根据题意，设
{
是参加100 米的同学}，
{
是参加400 米的同学}，
{
是参加1500 米的同学}，
则
且
则
，
所以三项比赛都参加的有2 人，只参加100 米比赛的有3 人，
只参加400 米比赛的有2 人，只参加1500 米比赛的有1 人.
故选：ABD
重难点题型7 集合的新定义问题
1．（24-25 高三上·四川·开学考试）定义：如果集合
存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称
为不交）的非空真子集
且
，那么称子集族
构成集合
的 一个
划分.已知集合
，则集合
的所有划分的个数为（ ）
A．3
B．4
C．14
D．16
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】集合新定义
【分析】解二次不等式得到集合
，由子集族的定义对集合
进行划分，即可得到所有划分的个数.
【详解】依题意，
，
的2 划分为
，共3 个，
的3 划分为
，共1 个，
故集合
的所有划分的个数为4.
故选：B.
2．（2023·河南郑州·模拟预测）若
且
，
，则称a 为集合A 的孤立元素．若集合
，集合N 为集合M 的三元子集，则集合N 中的元素都是孤立元素的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】计算古典概型问题的概率、集合新定义
【分析】根据题意列举出满足条件的集合
，然后根据题意结合古典概型公式求解.
【详解】集合
的三元子集有
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共20 个．
满足集合中的元素都是孤立元素的集合N 可能为
，
，
，
，一共4 种．
由古典概率模型公式，可得集合N 中的元素都是孤立元素的概率
．
故选：C．
3．（2024·北京朝阳·一模）设A，B 为两个非空有限集合，定义
其中
表示集合S 的元
素个数.某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6 门高中学业水平
等级性考试科目中自主选择3 门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为
，
，
，
.
已知
{物理，化学，生物}，
{地理，物理，化学}，
{思想政治，历史，地理}，给出下列四个结
论：
①若
，则
{思想政治，历史，生物}；
②若
，则
{地理，物理，化学}；
③若
{思想政治，物理，生物}，则
；
④若
，则
{思想政治，地理，化学}.
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①③
【难度】0.65
【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、集合新定义
【分析】对于①③：直接根据定义计算即可；对于②：通过定义计算得到
必为偶数，讨论
和
两种情况下的求解即可；对于④：通过举例
{物理，地理，历史}来说明.
【详解】对于①：
，所以
，所以
，
又
{地理，物理，化学}，所以
{思想政治，历史，生物}，①正确；
对于②：
，即
，
所以
，所以
必为偶数，又
，
当
时，
，不符合
，
所以
，且
，此时
情况较多，比如
{物理，地理，生物}，②错误；
对于③：若
{思想政治，物理，生物}，则
，
所以
，③正确；
对于④：当
{物理，地理，历史}时，
，
满足
，但不是
{思想政治，地理，化学}，④错误.
故选：①③
【点睛】方法点睛：对于新定义题目，一定要深刻理解定义的意义，然后套用定义进行计算即可，很多时
候新定义题目难度并不很大，关键是要大胆做，用心做.
4．（2022·湖南长沙·一模）对于集合
的子集
，定义
的“特征数列”
为
，
，
，
，其中
，其余项均为0，例如子集
的“特征数列”为0，
1，1，0，0，
，0．
（1）子集
的“特征数列”的前四项和等于 ；
（2）若
的子集
的“特征数列”
，
，
，
满足
，
，
，
的子集
的
“特征数列”为
，
，
，
，满足
，
，
，则
的元素个数为
．
【答案】 3 33 或34
【难度】0.65
【知识点】集合新定义、数列新定义
【分析】（1）根据“特征数列”的定义写出子集
的“特征数列”再求解即可；
（2）根据所给信息直接写出P，Q 的“特征数列”分析即可
【详解】（1）子集
的“特征数列”为1，0，1，1，1，0，0，…，0，所以
．
（2）P 的“特征数列”为1，0，1，0，1，0，…，1，0， Q 的“特征数列”满足
，且
，
或
，故为1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，0，1 或1，0，1，1，0，
1，…，0，1，1，
则
，
或
.考虑P，Q
的“特征数列”周期的最小公倍数为6，一个周期内
的元素个数为2，且共
，故
的元素共
或
，即33 或34 个．
故答案为：3,33 或34.
