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专题1.4 等式与不等式的性质
重难点题型1 不等式性质的应用
1．（2025·四川绵阳·三模）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】判断命题的必要不充分条件、由不等式的性质比较数（式）大小
【分析】结合不等式的基本性质及充分、必要条件的定义判断即可.
【详解】当
时，满足
，但不满足
；
当
时，
，则
.
所以“
”是“
”的必要不充分条件.
故选：B.
2．（2025·全国·模拟预测）已知
，
为实数，
，
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
不等式性质的应用
重难点题型2
比较数（或式）的大小与比较法证明不等式
重难点题型3
已知不等式的关系，求目标式的取值范围
重难点题型4
糖水不等式及其应用
重难点题型5
不等式的综合问题
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】判断命题的必要不充分条件、由不等式的性质证明不等式
【分析】利用举反例的方法及不等式的性质，结合必要不充分条件的定义即可判断.
【详解】因为
，
为实数，当
，
时，满足
，但是
，
所以若
则
是假命题；
而由
，当
时，得
；
当
时，得
，所以由
得
，
所以若
则
是真命题；
所以
是
的必要不充分条件.
故选：B.
3．（2025·重庆·模拟预测）设
为均不为零的实数，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、绝对值三角不等式
【分析】对A，B，根据题意可得
，当
时易判断；对C，根据条件结合绝对值三角不等
式求解判断；对D，举反例说明.
【详解】因为
为均不为零的实数，且
，
所以
，
对于A，由
，当
时，得
，故A 错误；
对于B，由
，当
时，得
，故B 错误；
对于C，因为
，所以
，即
，故C 正确；
对于D，举反例，如
，满足条件，但
，故D 错误.
故选：C.
4．（24-25 高一上·北京·期中）若
，
，为非零实数，且
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确
【分析】举反例说明ABD 是错误的，根据不等式的性质判断C 的真假.
【详解】令
，
，则
，
，
因为此时
，故A 不成立；
，故B 不成立；
，故D 不成立；
根据不等式的基本性质：
，
，故C 成立.
故选：C
5．（24-25 高三下·山西·阶段练习）（多选题）设
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【难度】0.65
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小
【分析】利用不等式性质推理，结合特殊值法验证，逐个判断正误即可.
【详解】因为
，
，故
，所以
，故A 正确；
不妨取
，
，则
，故B 错误；
因为
，
，所以
，即
，即
，故C 正确；
不妨取
，
，则
，故D 错误．
故选：AC.
6．（2025 高三·全国·专题练习）（多选题）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【难度】0.65
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确
【分析】由不等式的性质逐项判断即可；
【详解】对于A，取
，则
，A 错误；
对B，由
，则
，则有
，故B 正确；
对C，由
，则
，则
即
，等价于
，
等价于
，等价于
，即C 正确；
对D，由
，则
，
，即
等价于
，
由
，即等价于
，等价于
，即
，成立，故D 正确．
故选：BCD
重难点题型2 比较数（或式）的大小与比较法证明不等式
1．（2025·云南昆明·一模）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】作差法比较代数式的大小
【分析】根据题意，由原式可得
，然后由作差法分别比较
与
，
与
的大小关系，即可得到
结果.
【详解】由
，且
可得
，即
，
则
，
又
，即
，化简可得
，
即
，其中
，
所以
，即
，所以
，
所以
，所以
，
又
，所以
，
综上所述，
.
故选：A
2．（22-23 高一上·河南平顶山·阶段练习）若
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小
【分析】举出反例可得A、B、D 错误；借助作差法计算可得C.
【详解】对A：若
，
，则有
，
，
此时
，故A 错误；
对B：若
，
，则有
，
，
此时
，故B 错误；
对C：
，
由
，故
，
，
，故
，
即
，故C 正确；
对D：若
，
，则
，
，
此时
，故D 错误.
故选：C.
3．（2019·山西晋城·一模）若实数
，
，
满足
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】作商法比较代数式的大小
【分析】根据作商法比较大小，即可得出结果.
【详解】因为实数
，
，
满足
，
，
，
所以
，
∴
；
又
，
∴
；
∴
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查作商法比较大小，属于基础题型.
4．（2020 高三·上海·专题练习）设
，
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】作商法比较代数式的大小
【分析】首先配方判断
、
均大于零，然后作商即可比较大小.
【详解】
，
，
则
.
故
，当且仅当
时，取等号，
故选：D
【点睛】本题考查了作商法比较两个式子的大小，属于基础题.
5．（24-25 高二下·河北邢台·阶段练习）（多选题）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【难度】0.4
【知识点】作差法比较代数式的大小
【分析】利用作差法，适当放缩比较、
和
、
的大小，得到
、
、的大小关系即可求解.
【详解】
，
，
，
，
所以
，
，
所以
，所以
，
所以B、C、D 正确，A 错误.
故选：BCD
6．（24-25 高三下·河北·开学考试）（多选题）已知
则下列不等式中一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【难度】0.85
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小
【分析】利用作差法比较数的大小可判断AC；由已知可得
，可判断B；利用基本不等式可
求得
，可判断D.
【详解】当
时
故A 错误；
当
时，
，故B 正确；
当
时
故C 错误；
，故D 正确.
故选：BD.
重难点题型3 已知不等式的关系，求目标式的取值范围
1．（2025·云南玉溪·二模）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小
【分析】易得
，再结合已知可得
，由
，得
，即可比
较
，利用作差法即可比较
，即可得解.
【详解】由
，得
，
因为
，当且仅当
时取等号，
所以
，
因为
，所以
，
当
时，
，此时，
，
这与
矛盾，所以
，
由
，得
，
所以
，当且仅当
时取等号，
由A 选项知，当
时，不符题意，
所以
，
由
，可得
，
因为
，所以
，
所以
，
因为
，所以
，所以
，
由
，得
，
则
，
因为
，
，
所以
，
又因为
，所以
，所以
，
综上所述，
.
故选：A.
2．（24-25 高一上·山西晋城·期末）已知
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小
【分析】根据不等式的性质以及代入特殊值可求得结果.
【详解】对于A，令
，则
，故选项A 错误；
对于B，因为
，则
，故选项B 正确；
对于C，因为
，则
，故选项C 错误；
对于D，因为
，则
，所以
，故选项D 错误；
故选：B
3．（24-25 高三上·山东·阶段练习）下列选项说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小
【分析】利用不等式的性质，结合特例法逐一判断即可.
【详解】对于A，反例
，
，则
，故A 错误；
对于B，反例
，即
，而
，故B 错误；
对于C，若
，则
，所以
，故C 错误；
对于D，
，
，则
，所以
，即
，故D 正确.
故选：D.
4．（24-25 高一上·云南德宏·期末）（多选题）若
，则下列不等式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【难度】0.85
【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小
【分析】根据不等式的性质即可判断ABC；利用作差法即可判断D.
【详解】对于A，因为
，所以
，故A 正确；
对于B，因为
，所以
，
所以
，故B 正确；
对于C，由A 选项知，
，
，
所以
，故C 错误；
对于D，
，
因为
，所以
，
所以
，所以
，故D 正确.
故选：ABD.
重难点题型4 糖水不等式及其应用
1．（24-25 高三下·海南海口·阶段练习）已知
克糖水中含有
克糖（
），再添加
克糖（
，
假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】作差法比较代数式的大小
【分析】糖水变甜，表示糖的浓度变大，即
.
【详解】这一事实表示为一个不等式为
．
证明：
，
又
，
，
，
即
，
即
.
故选：
2．（24-25 高一上·福建莆田·期末）
克糖水中含有
克糖，糖的质量与糖水的质量比为
，这个质量比决
定了糖水的甜度，如果再添加
克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为
，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小
【分析】根据给定的信息，利用不等式的性质逐项判断即得.
【详解】对于A，
，
，A 错误；
对于B，
，
，则
，B 错误.
对于C，由
，得
，C 正确；
对于D，
，D 错误；
故选：C
3．（22-23 高一上·江苏常州·阶段练习）(多选题)生活经验告诉我们，a 克糖水中有b 克糖
且
，若再添加c 克糖
后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：
趣称之为“糖水不等
式”．根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（ ）
A．若
，
，则
与
的大小关系随m 的变化而变化
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则一定有
【答案】BCD
【难度】0.65
【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小
【分析】由作差法可判断ABC，由不等式的性质可判断D
【详解】对于A，
，
，
，
，故A 错误，
对于B，
，
，
，
，故B 正确，
对于C，
，
，
，
，
，
，故C 正确，
对于D，
，
，
，
，
，故D 正确，
故选：BCD
4．（2024 高三·全国·专题练习）糖水不等式：
成立的实数是有条件限制的，使糖水
不等式：
不成立的的值可以是 .（只需填满足题意的一个值即可）
【答案】
（答案不唯一）
【难度】0.65
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式
【分析】解不等式得出不等式成立的取值范围即可.
【详解】由
，得
，即
，解得
或
，
则当
或
时，不等式
成立，
所以
不成立的的值可以是
（答案不唯一）.
故答案为：
（答案不唯一）
重难点题型5 不等式的综合问题
1．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知实数
满足
，
，则下列结论成立的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由对数函数的单调性解不等式、由已知条件判断所给不
等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小
【分析】对于A，B，设
，利用比值代换可判断A，B 的正误，对于C，D，同样设
，利用比值代
换可判断它们的正误.
【详解】对于A，B，若
有一个为零，则它们都为零，此时A，B 均成立；
若
，设
，则
且
即
，
故
，则
，否则
，这显然不成立，故
，
，
当
时，
因
，即
，A 错误；
当
时，因
，
故
，故B 错误；
对于C，D，设
，则
且
，则
，
即
，则
，否则
，这显然不成立，
故
，则
故
，
当
时，
，因
，故
，故C 不成立，
而
，
设
，则
，
当
时，
；当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上为单调递增，
故
，
又
，则
，故D 成立.
故选：D.
【点睛】思路点睛：对于与指数或对数有关的多变量不等式关系的讨论问题，可结合方程的形式选择合适
的比值代换，从而把前者转化为一元不等式问题来处理，后者可结合导数来讨论.
2．（24-25 高三上·宁夏银川·阶段练习）若
，
，
，则
，
，的大
小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性、求含sinx(型)函数的值域和最值、
作差法比较代数式的大小
【分析】根据二倍角公式将变形，
，作差，结合三角函数的性质即可判断大小；判断
和，
和
的大小，可作差后构造函数，通过求导判断函数的单调性即可判断大小.
【详解】因为
，
，
，
所以
，
所以
，
，
构造函数
，则
，
所以
在
上单调递增，所以
，
所以
，又
，
所以
，即
，
，
构造函数
，
，
则
，
所以函数
在
上单调递增，所以
，
所以
，即
，
综上，
.
故选：
.
【点睛】关键点点睛：比较大小可通过作差法，然后结合题意构造函数，通过求导判断函数的单调性求解.
3．（23-24 高二下·内蒙古赤峰·期中）已知
，
，
，则
，
，的大小关系是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小、用导数判断或证明已知函数的
单调性
【分析】通过比较
的大小，可比较
的大小，由于
，则
，
构造函数
，利用导数求出其最小值，从而可比较
的大小，进而可得答案.
【详解】因为
，
，
所以
，
因为
，
所以
，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上递减，在
上递增，
所以
，
所以当
时，
，
所以
，所以
，
所以
，所以
，
综上
.
故选：D
【点睛】关键点点睛：此题考查比较大小，考查导数的应用，解题的关键是对
变形，然后构造函数，
利用导数判断其单调性求出最值，然后比较大小，考查计算能力和转化思想，属于较难题.
4．（24-25 高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知
，
，
，且
，则
的
最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】基本不等式求和的最小值、利用不等式求值或取值范围
【分析】由题意可得
，利用换元法可将原式变形再利用基本不等式即可求得结果.
【详解】由
可得
，且
因此
，
令
，则
；
又
；
当且仅当
时，即
时，等号成立；
此时
的最小值为
.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题关键在于将未知数个数减少，并合理变形利用基本不等式求解.
