文档文本内容
第05 讲 对数与对数函数
（含对数型糖水不等式）
目录
考情探究.........................................................................................................................2
知识梳理.........................................................................................................................3
探究核心考点.................................................................................................................5
考点一 对数的运算......................................................................................................................5
考点二 对数函数的定义域..........................................................................................................8
考点三 对数函数的图象与性质..................................................................................................9
考点四 对数函数的单调性........................................................................................................11
考点五 对数函数的值域与最值................................................................................................14
考点六 对数函数中奇偶性的应用............................................................................................17
考点七 对数函数值的大小比较................................................................................................19
考点八 对数型糖水不等式的应用............................................................................................22
三阶突破训练...............................................................................................................24
基础过关......................................................................................................................................24
能力提升......................................................................................................................................28
真题感知......................................................................................................................................33
一、5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025 年全国一卷，第8 题,5 分
对数的运算性质的应用
对数函数单调性的应用
无
2024 年新I 卷，第6 题,5 分
判断对数函数的单调性
判断指数函数的单调性
根据分段函数的单调性求参数
2024 年新Ⅱ卷，第8 题,5 分
由对数函数的单调性解不等
式
函数不等式恒成立问题
2023 年新I 卷，第10 题,5 分
对数的运算性质的应用
对数函数模型的应用
对数函数的单调性解不等式
2021 年新Ⅱ卷，第7 题,5 分
比较对数式的大小
无
二、命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题常考内容，设题多为函数性质或函数模型，难度中等，分值为5-
6 分
【备考策略】1.理解对数的概念和运算性质，熟练指对互化，能用换底公式能将一般对数转化成自然对数
或常用对数
2.了解对数函数的概念，能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊
点
3.熟练掌握对数函数
且
与指数函数
且
的图象关
系
【命题预测】本节内容通常会考查指对幂的大小比较、对数的运算性质、对数的函数模型等，需要重点备
考复习
知识点1 对数的定义
如果a
b= N（a>0且a≠1），那么b 叫作以a 为底，（正）数N 的对数，记作 b= loga N ，这里，
a 叫作对数的 底数 ，N 叫作对数的 真数 ．
知识点2 常用对数与自然对数
通常将以10 为底的对数叫作常用对数，并把log10 N记作 lg N ，以无理数e=2.71828⋯为底数的
对数称为自然对数，并且把loge N记为 ln N
知识点3 对数的基本性质及对数恒等式
性质1
负数 和 零 没有对数
性质2
1 的对数是 0 ，即loga1= 0 (a>0,a≠1)
性质3
底数的对数是 1 即logaa= 1 (a>0,a≠1)
对数恒等式：a
loga N = N ，logaa
N = N
知识点4 对数的运算性质
如果a>0且a≠1，M >0，N >0，那么：
（1）loga(MN )= loga M +loga N ；
（2）loga
M
N = loga M −loga N ；
（3）loga M
n= nloga M (n∈R) ．
推广：loga(N 1 N 2⋯N k)=loga N 1+loga N 2+⋯+loga N k(N 1, N 2,⋯, N k>0)．
，
，
知识点5 换底公式
换底公式：
；
推广1：对数的倒数式
推广2：
。
知识点6 对数函数的一般形式及定义域
一般地，函数 y = loga x (a>0，且a≠1) 叫作对数函数，其中 x 是自变量，x 的范围是
(0,+∞)
对数函数的定义域
定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概
念，若自变量在真数上，则必须保证真数 大于0 ;若自变量在底数上，应保证底数 大于0 且不等
于1
知识点7 对数函数的图象及性质
a>1
0<a<1
图象
性
质
定义域
(0,+∞)
值域
R
过定点
过定点 (1,0) ，即x =1时，y =0
函数值的
变化
当0< x<1时， y <0
当x>1时， y >0
当0< x<1时， y >0
当x>1时， y <0
单调性
是(0,+∞)上的 增函数
是(0,+∞)上的 减函数
知识点8 解对数不等式
（1）形如loga f (x)>loga g(x)的不等式，借助函数y =loga x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分
a>1 与 0<a<1 两种情况讨论.
（2）形如loga f (x)>b的不等式，应将b化为 以a为底数的对数式 的形式，再借助函数y =loga x的
单调性求解.
（3）形如loga f (x)>logb g(x)的不等式，基本方法是将不等式两边化为 同底的两个对数值 ，利用
对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集.
（4）形如f (loga x)>0的不等式，可用 换元法（令t =loga x） ，先解f (t )>0，得到t的取值范围.然
后再解x的范围.
考点一 对数的运算
典例1．（2025·北京大兴·三模）已知
，则
的值为（ ）
A．15
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】结合指数与对数的转化及指数运算性质即可求解.
【详解】因为
，所以
，
又
，所以
.
故选：C.
典例2．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知正实数
满足
，则
．
【答案】15
【分析】由题意得
，由此即可得解.
【详解】因为
，则
．
故答案为：15.
典例3．（2025·天津红桥·二模）若
则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】A
【分析】根据指数对数转化，再应用对数运算律计算求解.
【详解】因为
所以
则
.
故选：A.
典例4．已知
，用
表示
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由指数和对数的关系以及对数的运算性质计算即可；
【详解】由题意可得
，
所以
故选：B.
典例5．（2025·吉林·模拟预测）满足条件
，且
的一组
为（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【答案】D
【分析】由指数转对数，结合对数的运算逐个判断即可.
【详解】设
，
，
，
，
，
，
结合选项，ABC 不符合，D 符合，
故选：D．
跟踪训练1．（2025·江西萍乡·三模）已知
，则
.
【答案】
【分析】利用对数的运算法则计算即可求解.
【详解】依题意，
，故
.
故答案为：
.
跟踪训练2．（2025·陕西安康·模拟预测）已知
，
，则
．
【答案】
【分析】根据指对数互化及对数运算的性质得出
，再根据换底公式及对数运算即可求解．
【详解】由已知得
，
，
，
．
故答案为：
．
跟踪训练3．（2025·山东临沂·二模）已知实数
满足
，则
（ ）
A．11
B．12
C．16
D．17
【答案】D
【分析】由指对互化公式即可求解.
【详解】因为
，所以
.
故选：D.
跟踪训练4．（2025·广东深圳·三模）已知实数
，且满足
，则
．
【答案】2
【分析】根据
与
的倒数关系，列式求值.
【详解】设
，则
，因为
，所以
.
由
或
（舍去）.
所以
.
故答案为：2
跟踪训练5．（2025·江苏·三模）（多选）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】对数函数的单调性判断
符号可判断A。利用对数的运算计算可判断B，根据换底公式及对数的
运算可判断CD.
【详解】因为
，所以
，故A 正确；
因为
，故B 正确；
因为
，故C 错误；
因为
，故D 正确.
故选：ABD
考点二 对数函数的定义域
典例1．（2025·北京丰台·二模）函数
的定义域为 ．
【答案】
【分析】利用对数的真数及被开方数，以及分母不为0 的条件来求解即可得定义域.
【详解】由
，解得
，
所以函数
的定义域为
，
故答案为：
跟踪训练1．（2025·上海·三模）函数
的定义域为 .
【答案】
【分析】根据对数真数大于零以及二次根式有意义的条件列不等式求解即可.
【详解】要使函数
有意义，
则
，解得
，
所以函数
的定义域为
，
故答案为：
.
跟踪训练2．（2025·湖北恩施·模拟预测）若函数
定义域为
，则a 的取值范围是
.
【答案】
【分析】应用一元二次不等式恒为正分
两种情况计算求解.
【详解】
对一切实数均成立，
所以当
时，显然成立；
当
时，
，
解得
；
故
的取值范围为
.
故答案为：
考点三 对数函数的图象与性质
典例1．（2025·上海宝山·二模）已知函数
且
)的图像经过定点
，则点
的坐标为
【答案】
【分析】根据指数函数和对数函数的图象与性质求解即可.
【详解】令
，可得
.
所以定点
的坐标为
.
故答案为：
.
典例2．（2025·湖南长沙·一模）已知
，且
，则函数
与
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】依题意可得
，再由指数函数和对数函数单调性即可判断得出结论.
【详解】由
可知，
，
故
，故函数
与函数
的单调性相同，
故选：B.
典例3．下列函数中，其图像与函数
的图像关于直线
对称的是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】分析：确定函数
过定点（1，0）关于x=1 对称点，代入选项验证即可．
详解：函数
过定点（1，0），（1，0）关于x=1 对称的点还是（1，0），只有
过此点．
故选项B 正确
点睛：本题主要考查函数的对称性和函数的图像，属于中档题．
跟踪训练1．（2025·安徽合肥·三模）（多选）已知
且
，则函数
的图象一
定经过（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】AB
【分析】根据对数函数图象性质判断即可.
【详解】由
，
且
，
则
，
即函数
过点
,
当
时，函数
单调递增，过第一、二、三象限；
当
时，函数
单调递减，过第一、二、四象限．
故选：AB．
跟踪训练2．已知
且
，则函数
与函数
的图象可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】化简对数型函数后可得正确的选项.
【详解】因
，故
，故
，
而
与
关于
对称，
各选项中只有B 满足，
故选：B.
跟踪训练3．已知函数
的图象关于直线
对称，则
（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用图象变换，结合偶函数的性质求出
值.
【详解】依题意，
，函数
是偶函数，其图象关于直线
对称，
函数
的图象可视为函数
的图象向左（
）或向右（
）平移
个
单位而得，
因此函数
的图象对称轴为
，所以
，即
.
故选：D.
考点四 对数函数的单调性
典例1．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数
在
上单调递增，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据复合函数单调性确定内层函数与外层函数的单调性，结合函数的定义域列不等式组即可得
的取值范围.
【详解】由函数
在
上单调递增，
可得
在
上单调递增，
且
在
上恒成立，故需满足
，解得
.
故选：B.
典例2．（2025·吉林·三模）若函数
（
且
）在区间
上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由对数的底数大于0，可得内函数
为增函数，结合复合函数的单调性可得
，再由
对于
恒成立，可得
的取值范围，再求交集即可.
【详解】
是由
，
复合而成，
由题意知：
，
在区间
上单调递增，
若函数
（其中
且
）在区间
上单调递减，
所以
单调递减，
可得：
,
又
对于
恒成立，
所以
，
解得：
，
综上所述：
.
故选：A
典例3．（2025·四川绵阳·二模）已知定义在
上的函数
，其中
是奇函数且在
上单调递减，
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，探讨函数
的奇偶性及单调性，再求解不等式.
【详解】依题意，
，
，
则函数
是
上的奇函数，而函数
在
上都单调递减，
因此
在
上单调递减，不等式
，则
，
解得
，所以所求解集是
.
故选：B
跟踪训练1．（2025·河北·模拟预测）已知函数
在
上单调，则实数
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的性质可得不等式
在
上恒成立，利用分离参数法和基本不等式可
得
.再结合复合函数的单调性及二次函数的性质即可求解实数
的取值范围.
【详解】由题意可知，
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立，
即
在
上恒成立.
又由基本不等式可得
，当且仅当
时，取得等号，
所以
.
因为函数
在
上单调，
所以
在
上单调，
由复合函数单调性可知
在
上单调，
所以结合二次函数的性质可得：
或
，解得
或
.
综上所述，实数
的取值范围为
.
故选：A.
跟踪训练2．函数
在
上单调递减，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由对数的定义及真数为正可得
及
，由此得
，故可知
在
上单调递增，要使得函数
整体在
上单调递减，则
，综上取交集即可得
的取
值范围.
【详解】由题意可得
及
，解得
，
所以
，故
在
上单调递增，
所以
，
，综上可得
，
故选：B.
跟踪训练3．（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数
在区间
单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据二次函数和对数函数性质即可得到不等式组，解出即可.
【详解】当
时，
，其在
上单调递增，
若
在
单调递增，
，所以
.
故选：D．
跟踪训练4．（2025·山西临汾·三模）已知
，则满足
的实数m 的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由函数解析式明确定义域，判其奇偶性，整理函数解析式，根据指数函数、对勾函数以及复合函
数的单调性，可得函数的单调性，简化不等式，可得答案.
【详解】由
，易知其定义域为
，
由
，则函数
为偶函数，
，
由
在
上单调递增，
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
即函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
由
，则
，即
，
整理可得
，化简可得
，
解得
.
故选：A
考点五 对数函数的值域与最值
典例1．（2025·河南·三模）函数
的定义域为 ，值域为 .
【答案】
【分析】先求证
恒成立，即可由
得出定义域，再化简
即可求出值域.
【详解】因为
，所以
恒成立，
由
，得
，则
的定义域为
，
，故
的值域为
.
故答案为：
；
典例2．（2025·江苏泰州·二模）已知函数
的值域为R，则实数a 的取值范围为
．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用对数函数值域确定真数取值集合，再利用二次函数求出范围.
【详解】由函数
的值域为R，得函数
的值域包含
，
因此
，解得
或
，
所以实数a 的取值范围为
.
故答案为：
跟踪训练1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数
的值域为
，则实
数
的值为 .
【答案】1
【分析】利用复合函数的单调性可得
的最大值为4，结合二次函数的性质确定参数
的值并验
证即得.
【详解】因
的值域为
，
即
，又
在定义域内为增函数，故
的最大值为4，
则
，由
，可得
时，
，解得
，
此时
的定义域为
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
则得
，符合题意.
故答案为：1.
跟踪训练2．（2025 高三·全国·专题练习）若函数
的值域为
，求
的取值范围 ．
【答案】
【分析】令
，结合题意可得
为值域的子集，从而可求解.
【详解】令
，则
，
因函数
的值域为
，
所以
，只需
，即
.
故
的取值范围为
.
故答案为：
.
考点六 对数函数中奇偶性的应用
典例1．（2025·天津·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用奇偶性定义，结合指对数函数的性质及复合函数的单调性判断各项对应函数是否满足题设，
即可得答案.
【详解】A：
，定义域为R，
是偶函数，不符；
B：
，定义域为
，
是奇函数，
根据复合函数的单调性，易知
在
上单调递减，不符；
C：
，定义域为R，
是偶函数，不符；
D：
，定义域为R，
是奇函数，
根据复合函数的单调性，易知
在R 上单调递增，符合.
故选：D
典例2．（2025·河北·模拟预测）若
（其中
）是偶函数，则
（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【答案】A
【分析】由偶函数的性质和对数的运算性质求解即可.
【详解】由题意知：
，
则
，
化简为
，则
，解得
．
故选：A．
跟踪训练1．（2025·陕西宝鸡·二模）若函数
为奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．8
D．16
【答案】D
【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称可得
，再根据
可得
，进而可得
.
【详解】由奇函数性质可得，
的定义域关于原点对称，
又定义域为
，即
且
，
，故
，解得
.
又
，故
，
此时
为奇函数，故
.
故选：D
跟踪训练2．（2025·河北·模拟预测）已知函数
，则
是（ ）
A．偶函数，有最小值
B．偶函数，有最大值
C．奇函数，在
上单调递增
D．奇函数，在
上单调递减
【答案】B
【分析】由偶函数的性质结合对数的运算可判断为偶函数，换元法令
结合对数的运算和
复合函数的单调性可得有最大值.
【详解】函数
的定义域为R，
，
，故函数
为偶函数.
令
，则
，
，
所以
，由复合函数的单调性可得
在
上单调递减，
在
处取得最大值，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用对数的运算性质化简
和换元法化简
.
考点七 对数函数值的大小比较
典例1．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将三个数化为
的形式，即可根据对数函数的单调性与图像进行判断.
【详解】因为
，
，
，
所以
.
故选：A
典例2．（2025·河南许昌·模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据指数函数及对数函数的单调性结合指对数运算比较大小.
【详解】由题意知
，
，
又函数
在
上单调递增，而3.4
，即
，
又
在
上单调递增，所以
，即
.
故选:D.
典例3．（2025·天津武清·模拟预测）已知定义在R 上的函数
，
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数的解析式，求得函数为奇函数，化简
，再结合函数的单调性，即可求解.
【详解】
，定义域为
，关于原点对称，
且
，所以函数
为奇函数，
所以
，
又
，
任取
，且
，则
，则
，
故
在
上单调递增，
又由对数函数的单调性可得
，
所以
，即
.
故选：D
跟踪训练1．（2025·山东泰安·模拟预测）
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据对数函数与指数函数的图象与性质，分别求得
的取值范围，即可求解.
【详解】由幂函数
为增函数，得
；
由指数函数
为减函数，得
；
由对数函数
为减函数，得
.
所以
.
故选：A.
跟踪训练2．（2025·天津·一模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】化简式子，然后借用中间值0 和1 来进行比较即可.
【详解】
，
，
，
所以
，
故选：A
跟踪训练3．（2025·天津·二模）设
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由对数的运算性质结合对数函数的单调性可得.
【详解】因为
，
，
所以
，即
；
又
，所以
，
故选：D．
跟踪训练4．（2025·黑龙江·一模）已知函数
是偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用偶函数的性质求解参数，结合导数判断单调性，再利用对数的运算性质将所有数转化到同一
单调区间内，比较大小即可.
【详解】因为函数
是偶函数，
且
，
，
所以
，即
，
解得
，得到
，其定义域关于原点对称，
此时
，
，
故
是偶函数，符合题意，
而
，
令
，
，令
，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
而
，且
，得到
，
而由偶函数性质得
，
而
，则
，
得到
成立，故A 正确.
故选：A
考点八 对数型糖水不等式的应用
典例1．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【法一】对数型糖水不等式
因为
, 所以
. 在上述推论中取
, 可得
,
且
.
所以
, 即
, 选 A.
【法二】普通型糖水不等式
由已知条件
, 可得
. 同公式 (2) 的证明过程, 可以得到
, 即
.
所以
, 即
.
, 即
, 所以
, 即
.
综上,
, 选 A.
典例2．比较大小:
与
？
【答案】
【法一】
。
【法二】
。
【法三】对数型糖水不等式直接可得
跟踪训练1．设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由对数函数的性质知
，
，
，
所以
，
，
；
当
时，
，
所以
，
取
，则
，
所以
，即
，
综上，
.
故选：C.
【点睛】结论点睛：对数比大小常用结论：
.
一、单选题
1．（2025·吉林长春·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，依次判断代入求值.
【详解】函数
，则
，
所以
.
故选：A
2．（2025·全国·模拟预测）集合
的真子集的个数为（ ）
A．63
B．64
C．127
D．128
【答案】A
【分析】先解不等式得到
的范围，再根据
是整数可以确定集合
，最后根据真子集个数的公式即可求
出最终结果.
【详解】由
得
，
又因为
，所以
，
则
的真子集的个数为
，
故选：A．
3．（2025·江西·模拟预测）若
，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
【答案】C
【分析】利用换底公式得
，令
，即得
解出即可.
【详解】由
有
，令
，
则
，
所以
，
故选：C.
4．（2025·河南·模拟预测）若
且
，则
（ ）
A．10 或
B．
C．100
D．10
【答案】A
【分析】利用换底公式可得
，求解可得结果.
【详解】因为
，
所以
，
所以
或
，
所以
或
.
故选：A
5．（2025·浙江绍兴·三模）已知函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】抓住
关于直线
对称的点为
即可求解.
【详解】因为
关于直线
对称的点为
，则
的对称点为
，
又
在函数
的图象上，故
，解得
，
故选：
.
6．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）若函数
的图象关于
对称，且
，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用函数的定义域，结合对称性特点求出
，再验证得解.
【详解】函数
有意义，则
，由
的图象关于点
对称，
得
的定义域关于数2 对称，由
不在
的定义域内，得不在
的定义域内，
则
，即
，此时
，
，
，
因此函数
的图象关于点
对称，符合题意，
所以
.
故选：A
7．（2025·广东·模拟预测）实数
满足：
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由换底公式可得
，令
，则
，
，求导研究函数
的单调
性及
，可得
，即可求解.
【详解】
，
令
，则
，
，
.
令
得
；令
得
，
∴函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
又
，∴
，即
，解得
.
故选：D.
8．（2025·北京·三模）已知
则下面结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意结合对数函数的单调性、指数函数的单调性可得
，即可得解.
【详解】根据题意，
，
所以
.
故选：C
9．（2025·天津·二模）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用指、对、幂的单调性比较大小即可.
【详解】
是增函数，
，
在
是增函数，
，故
，
在
是增函数，
，
即
，
故选：D.
10．（2025·江苏南通·模拟预测）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的单调性可得
利用对数的运算性质可得
，由此可确定
答案.
【详解】由题意得,
,
函数
在
为减函数，
，即
，
函数
在
为增函数，
，即
，
，
，
由
得，
，由
得
，
综上所述，
故选：A.
一、单选题
11．（2025·云南丽江·三模）已知函数
，则
的值为（ ）
A．24
B．4
C．12
D．8
【答案】A
【分析】由
，则
，从而可求解.
【详解】因为
，所以
，
又
，所以
.
故选：A.
12．（2025·北京东城·模拟预测）下列函数是奇函数，且函数值恒小于1 的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据奇偶性定义，结合指对幂函数的性质、正弦函数性质及基本不等式判断是否符合题设.
【详解】A：
，且定义域为R，
满足；
B：
，且定义域为
，
在
上
，故在
上
，不符合；
C：
且定义域为R，不符合；
D：
且定义域为
，
当
时，
，当且仅当
时取等号，不符合.
故选：A
13．（2025·天津南开·模拟预测）若
，
，则实数
、
、的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出
、
、，利用对数函数、幂函数的单调性可得出
、
、的大小顺序.
【详解】由题意可得
，
，可得
，
，
因为对数函数
为
上的增函数，则
，
幂函数
在
上为增函数，则
，
故
.
故选：D.
14．（2025·海南·模拟预测）若
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由指数函数
的单调性和对数函数的单调性，且
，即可比较大小.
【详解】由指数函数
的单调性可知
，
由对数函数
的单调性可知
．
又
，所以
，即
．
故选:D．
15．（2025·山东·模拟预测）已知
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由不等式的基本性质得出
，设函数
，则
，结合函数
的单调性可得出结论.
【详解】由
，可得
.
因为
，所以
，所以
.
设函数
，则
，
易知
在
上单调递增，所以
，即
.
故选：D.
二、多选题
16．（2025·河北廊坊·模拟预测）若
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】先由对数函数的单调性得
，利用作差法即可判断AB，构造函数
即可判断C，构
造函数
，利用导数研究单调性即可判断D.
【详解】因为
在
为增函数，由
有
，
对于A：由
，因为
，所以
，故A 正确；
对于B：由
，当
时，
，即
，故B 错误；
对于C：令
，可知
在
上单调递增，由
有
，故C 正确；
对于D：令
，则
，由
有
，
有
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，
，
当
时，
，故D 错误.
故选：AC.
17．（2025·重庆·模拟预测）若
，则下列结论正确的为（ ）
A．
有最大值
B．
有最小值
C．
有最大值
D．
有最小值
【答案】BD
【分析】本题可先根据已知条件得出
关于
的表达式，再分别分析
和
的最值情况.
【详解】由条件
或
.
选项：
时，
，故
没有最大值；
当
时，
；
当
时，
，
；
当
时，
；
故
有最小值 0，当
时取得. A 错误： B 正确.
C、D 选项：
，
当
时有最小值
，C 错误，D 正确.
故选：BD
18．（2025·安徽安庆·二模）若实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】设函数
，利用其为增函数，有一个零点得到
，即可判断A；由已知可得
，可得
，即可判断B；由
及
，可得
，即可判断C；由B 选
项可得
，进而得
，即可判断D.
【详解】设函数
，显然为增函数，
，由已知
，故
，故A 正确；
由
，有
，故
，
则
，故
，故B 正确；
由
，得
，故
，故C 错误；
由
得
，则
，
由于
，得
，故D 正确.
故选：ABD.
19．（2025·河北·三模）已知函数
，当
时，
，则下列结论正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
最小值为14
【答案】ACD
【分析】根据函数解析式得到函数图象，即可判断A，根据函数值相等以及对数的运算可判断B，根据基
本不等式以及成立条件可判断C、D.
【详解】对于A，
的图象是由
的图象向右平移2 个单位长度而得到，如图：
，
显然A 正确；
对于B，
，所以
，
即
，故B 不正确；
对于C，由选项B 可知
，即
，
解得
，当且仅当
时取等号，
，
，故C 正确；
对于D，
，
当且仅当
，即
时取等号，故D 正确.
故选：ACD.
20．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知正数a，b 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】对于AB，由已知条件得
，构造函数
，利用其单调性进
行判断，对于C，由幂函数
的单调性结合
进行判断，对于D，由已知可得
，再结合
的单调性分析判断.
【详解】对于AB，由
得，
，
所以
，
设
，因为
和
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，又
，
所以
，所以A 正确，B 错误；
对于C，因为幂函数
在
上单调递减，所以
，即
，C 正确；
对于D，因为
，所以
，因为
，
所以
，
由选项AB 可知
在
上单调递增，所以
，D 正确.
故选：ACD.
一、单选题
21．（2025·全国一卷·高考真题）已知
，则x，y，z 的大小关系不可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】法一：设
，对
讨论赋值求出
，即可得出大小关系，利
用排除法求出；
法二：根据数形结合解出.
【详解】法一：设
，所以
令
，则
，此时
，A 有可能；
令
，则
，此时
，C 有可能；
令
，则
，此时
，D 有可能；
故选：B．
法二：设
，所以，
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数
的图象，以上方程的根分别是函数
的图象与直线
的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着
的变化可能出现：
，
，
，
，
故选：B．
22．（2024·北京·高考真题）已知
，
是函数
的图象上两个不同的点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD 即可.
【详解】由题意不妨设
，因为函数
是增函数，所以
，即
，
对于选项AB：可得
，即
，
根据函数
是增函数，所以
，故B 正确，A 错误；
对于选项D：例如
，则
，
可得
，即
，故D 错误；
对于选项C：例如
，则
，
可得
，即
，故C 错误，
故选：B.
23．（2024·天津·高考真题）设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.
【详解】因为
在
上递增，且
，
所以
，
所以
，即
，
因为
在
上递增，且
，
所以
，即
，
所以
，
故选：D
24．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数
，若
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【分析】解法一：由题意可知：
的定义域为
，分类讨论
与
的大小关系，结合符号
分析判断，即可得
，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析
的符号，进而可得
的符号，即可得
，代入可得最值.
【详解】解法一：由题意可知：
的定义域为
，
令
解得
；令
解得
；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
若
，当
时，可知
，此时
；
当
时，可知
，此时
；
可知若
，符合题意；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
综上所述：
，即
，
则
，当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
；
解法二：由题意可知：
的定义域为
，
令
解得
；令
解得
；
则当
时，
，故
，所以
；
时，
，故
，所以
；
故
， 则
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：分别求
、
的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，
结合符号性分析判断.
25．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D 即可.
【详解】对于A，因为
在
上单调递增，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，故A 错误；
对于B，因为
在
上单调递增，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，故B 错误；
对于C，因为
在
上单调递减，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递增，故C 正确；
对于D，因为
，
，
显然
在
上不单调，D 错误.
故选：C.
二、填空题
26．（2024·全国甲卷·高考真题）已知
且
，则
．
【答案】64
【分析】将
利用换底公式转化成
来表示即可求解.
【详解】由题
，整理得
，
或
，又
，
所以
，故
故答案为：64.
27．（2023·北京·高考真题）已知函数
，则
．
【答案】1
【分析】根据给定条件，把
代入，利用指数、对数运算计算作答.
【详解】函数
，所以
.
故答案为：1
28．（2023·全国乙卷·高考真题）设
，若函数
在
上单调递增，则a 的取
值范围是 .
【答案】
【分析】原问题等价于
恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可
得
，由右侧函数的单调性可得实数
的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数
的取值范围.
【详解】由函数的解析式可得
在区间
上恒成立，
则
，即
在区间
上恒成立，
故
，而
，故
，
故
即
，故
，
结合题意可得实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
