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专题1.3 不等式的性质及一元二次不等式
【考点1：利用不等式的性质比较大小】............................................................................................................... 4
【考点2：利用不等式的性质求值或取值范围】...................................................................................................4
【考点3：解一元二次不等式（不含参）】...........................................................................................................4
【考点4：解一元二次不等式（含参）】............................................................................................................... 4
【考点5：一元二次不等式恒成立问题】............................................................................................................... 4
【考点6：一元二次不等式的应用】.......................................................................................................................4
【考点7：其他不等式】........................................................................................................................................... 4
【考点8：利用基本不等式求最值或范围】...........................................................................................................4
【考点9：基本不等式的应用】...............................................................................................................................4
【考点1：利用不等式的性质比较大小】
1．（25-26 高一上·江苏·期中）已知
，
，
，则
与
的大小关系为_________.
【答案】
【分析】根据已知条件，利用不等式的性质进行比较大小即可.
【详解】由
，
，
则
，
则
，
又
，
则
.
故答案为：
2．（25-26 高一上·天津和平·阶段检测）若
，
，则
与
的大小关系为______
【答案】
【分析】利用作差法比较大小即可.
【详解】因为
，
所以
.
故答案为：
3．（2026 高三·全国·专题练习）若
，则
与
的大小关系是_______．（用“>”连接）
【答案】
【分析】法一：通过作商法可判断，法二：通过作差法可判断；
【详解】方法一（作商法）：因为
，
所以
，
所以
．
方法二（作差法）：
，即
．
故答案为：
4．（25-26 高一上·天津滨海新区·阶段检测）若x 为任意实数，
____
；
____
（用
＞
或
＜
填空）
“
”
“
”
【答案】 > >
【分析】利用作差法得到结论.
【详解】
，
∴
，
，
∴
，
故答案为：>，>.
5．（25-26 高三上·全国·一轮复习）若
，
，则
与
的大小关系为______.
（用“
连接）
”
【答案】
【分析】利用作商法以及基本不等式可得出两个对数式的大小关系.
【详解】
，
因为
，
，则
，
，
所以
.
故答案为：
.
【考点2：利用不等式的性质求值或取值范围】
1．（25-26 高二·全国·暑假作业）若
，则
的取值范围是________．
【答案】
【详解】因为函数
在
上单调递减，
由
得，
，解得
.
所以
的取值范围是
.
2．（25-26 高二上·云南昭通·期末）已知
，则
的取值范围是___________
【答案】
【分析】先根据
的范围求出
的范围，再与
的范围相加，从而得到
的取值范围.
【详解】因为
，所以
，
又因为
，所以
，
即
的取值范围为
．
故答案为：
3．（25-26 高一下·山东德州·阶段检测）已知
，则
的取值范围为______
【答案】
【分析】利用不等式待定系数配凑求解
【详解】设
展开得
对比系数列方程得
，解得
所以
因为
，
所以
，即
，两不等式相加得
，即
9．（25-26 高一下·辽宁盘锦·开学考试）记
表示
中最大的数，已知
，
则
的最小值为______.
【答案】
【分析】由题得
中一个为正，两个为负，不妨设
，利用基本不等式即可求解.
【详解】由
，所以
中一个为正，两个为负，
不妨设
，所以
，
又
，
当且仅当
即
时等号成立，
所以
，所以
，所以
，
所以
的最小值为
.
10．（25-26 高一上·安徽芜湖·阶段检测）已知
，
，
且
，则
的
值为____________．
【答案】
【分析】利用
的范围，以及条件，可得到
的值，利用取等情况可得答案.
【详解】由已知条件
，
，
，
可得：当
时，
取到最大值，
；
当
时，
取到最小值为，
.
因此
，而题设给出
，
故必有
，当且仅当
或
时成立.
当
时，
，
，
，
；
当
时，
，
，
，
.
因此，
的值为
.
【考点3：解一元二次不等式（不含参）】
1．（25-26 高一上·广西河池·期中）求函数
的解集__________.
【答案】
【详解】对原不等式
两边同时乘以
，不等号方向改变，得到
.
因式分解得
，因此原不等式等价于
.
令
，解得两根为
和
.
由于二次函数
的二次项系数为正，图象开口向上，
因此
解集为
.
2．（25-26 高一下·山东德州·阶段检测）函数
的定义域是________
【答案】
【详解】要使函数
有意义，
需使
，即
，
所以
，即
或
.
故函数
的定义域是
.
3．（25-26 高三下·上海徐汇·阶段检测）若
，
，则
_____________.
【答案】
【分析】先求解一元二次不等式得到集合
，再根据交集的定义计算
与
的交集.
【详解】首先求解集合
：
对不等式
因式分解得
，解得
，即
.
已知
，所以
.
4．（25-26 高三下·上海金山·阶段检测）若集合
，则
__________.
【答案】
【详解】由
可得
，解得
，
所以
，
所以
.
5．（25-26 高二下·上海·期中）已知函数
，则不等式
的解集为
__________.
【答案】
【分析】根据函数的单调性解不等式即可.
【详解】因为
，
在
上均为减函数，所以
在
上为减函数.
所以不等式
等价于
，
整理得
，解得
或
.
故该不等式的解集为
.
【考点4：解一元二次不等式（含参）】
1．（25-26 高一上·湖南常德·阶段检测）若关于
的不等式
恰有两个正整数解，则
的
取值范围是______.
【答案】
【分析】不等式化为
，讨论
与1 的大小解出不等式，依题意判断
的取值范围即可得
出．
【详解】关于
的不等式
可化为
，
当
时，解得
，要使解集中恰有两个正整数解，则
，得
；
当
时，不等式化为
，此时无解；
当
时，解得
，要使解集中恰有两个正整数，则
， 此时解集中无正整数解；
综上，实数
的取值范围为
．
故答案为：
2．（2026 高一·全国·专题练习）若不等式组
的解集中所含整数解只有
，则
的
取值范围是________．
【答案】
【分析】解
，得解集为
；分类讨论
与
的大小关系，解不等式
，再根据不等式组
的解集中所含整数解只有
，列式可求出结果．
【详解】由
，得
，得
或
，
所以
的解集为
，
由
，得
，
当
，即
时，得
，
所以
的解集为
，此解集中不含
，不符合题意；
当
，即
时，
化为
，
所以
的解集为空集，不符合题意；
当
，即
时，得
，
所以
的解集为
，
因为不等式组
的解集中所含整数解只有
，
结合数轴分析可知
，得
．
3．（25-26 高一上·上海·阶段检测）已知集合
，若
，
则实数
的取值范围是_____．
【答案】
【分析】由题意可得集合
以及两集合之间的包含关系，分情况讨论
的解集，建立不等式得解．
【详解】由
可得
，
又
，
，
当
时，
，由
可得
或
，所以
；
当
时，
，满足
；
当
时，
，由
可得
或
，所以
；
综上，实数
的取值范围是
．
4．（25-26 高一上·上海·期末）若关于
的不等式
的解集是
，则关于
的不等式
的解集是___________
【答案】
【分析】根据一元二次不等式的解集性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.
【详解】因为关于
的不等式
的解集是
，
所以有
，
所以
，或
，
所以原不等式的解集为
.
故答案为：
5．（25-26 高二下·宁夏银川·期中）已知关于
的不等式
．
(1)若不等式的解集为
，求a，b 的值；
(2)若
，求已知关于
的不等式的解集．
【答案】(1)
，
(2)当
时解集为
；当
时解集为
；当
时解集为
；
当
时解集为
；当
时解集为
【分析】(1)等价转化为
和
是方程
的两个实根，从而求解a，b 的值；
(2)对a 作分类讨论，分
，
；对于二次不等式，要先判断二次项系数 a 的正负，它决定了抛物线
的开口方向；再继续对二次方程的2 个根作比较大小讨论.
【详解】（1）因为不等式
的解集为
，所以
，
且
和
是方程
的两个实根，
可得
，
，
解得
，
；
（2）当
，不等式为
，即
当
①
时，不等式化为
，解得
，解集为
；
当
②
时，若
，则
，不等式解集为
；
若
，则
，不等式为
，解集为
；
若
，则
，不等式解集为
；
当
③
时，不等式化为
解得
或
，解集为
.
综上， 当
时，解集为
； 当
时，解集为
；
当
时，解集为
；当
时，解集为
；
当
时，解集为
.
【考点5：一元二次不等式恒成立问题】
1．（25-26 高二下·吉林长春·期中）命题
：“
，
为假命题，则
”
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】原命题的否命题
：“
，
为真命题，结合不等式恒成立求解即可
”
.
【详解】命题
：“
，
为假命题，即命题
”
：“
，
为真
”
命题．
①当
时，
恒成立，符合题意；
②当
时，则
，结合
.
综上，
．
2．（25-26 高一下·四川眉山·期中）若命题“
，使得
是假命题，则实数
”
m 的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】问题化为
，都有
为真命题，结合一元二次不等式恒成立求参数范围.
【详解】由
，使得
为假命题，
则
，都有
为真命题，
当
，则
，满足，
当
，则
，满足，
综上，
.
3．（2026·河南·一模）已知函数
，若
，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】对
分类讨论：分
，
，
，
四种情况讨论即可.
【详解】当
时，
的对称轴
在
轴的右边，
在
上单调递减，
在
上单调递增，
所以
，解得
，结合
得，
；
当
时，
，
恒成立，满足条件
；
当
时，
在
上单调递减，所以
，解得
，
所以只需考虑
的情况，
的对称轴为
，
若
，即
时，
的最小值为
，
，解得
，故
满
足条件；
若
，即
时，
在
上单调递减，
，解得
，所以
满足条件；
综上所述，a 的取值范围是
.
4．（25-26 高二下·安徽蚌埠·阶段检测）已知命题“
，
为真命题，则实数
”
m 的取
值范围是__________．
【答案】
【详解】当
时，不等式化为
，对任意
恒成立，符合题意；
当
时，
对任意
恒成立，需满足：
，解得
，
综上可得
．
5．（2026 高一·全国·专题练习）已知二次函数
，设对任意的
，都有
恒成立，则实数
的取值范围为______.
【答案】
【详解】 对任意的
∵
，
恒成立，当
∴
时，
.
二次函数
∵
，
函数
∴
的图象开口向上，对称轴为直线
，
分以下三种情况讨论：
（i）当
，即
时，函数
在区间
上单调递增，
∴
，
∴
，即
，解得
或
，
∵
，∴
.
（ii）当
，即
时，
函数
在区间
上单调递减，在
上单调递增，
∴
，
∴
，即
，
二次项系数大于
∵
0 且
，不等式无解
∴
.
（iii）当
，即
时，函数
在区间
上单调递减，
∴
，
∴
，即
，解得：
或
，
∵
，∴
.
综上可知，实数
的取值范围为
.
【考点6：一元二次不等式的应用】
1．（2026 高一·全国·专题练习）某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．
该商品原来每件售价为
元，年销售万件．据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少
件，
要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为______元.
【答案】
【详解】设每件定价为元，依题意得
，
整理得
，解得：
．
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为
元．
2．（25-26 高三·全国·一轮复习）某商品每件成本价为80 元，售价为100 元，每天售出100 件．若售价降
低x 成（1 成
），售出商品数量就增加
成．要求售价不能低于成本价．
(1)设该商店一天的营业额为y，试求y 与x 之间的函数关系式
，并写出定义域；
(2)若再要求该商品一天营业额至少为10260 元，求x 的取值范围．
【答案】(1)
，定义域为
(2)
【分析】（1）求出售价降低
成后每件售价的价钱，销售量增加
成后售出商品的数量，列出
关于
的函数，利用售价不能低于成本价得到
的不等式，从而得到函数的定义域.
（2）列出关于
的不等式，计算得解.
【详解】（1）售价降低
成后，每件售价为
元，
销售量增加
成后售出商品的数量为
件，
则
．
因为售价不能低于成本价，所以
．
所以
，定义域为
．
（2）由题意得
，化简得
，
解得
，所以
的取值范围是
．
3．（25-26 高一上·广西河池·期中）某工厂生产一种产品，其成本函数为
（元），其中
为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为
元，求：
(1)工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？
(2)若工厂希望利润不低于
元，那么至少需要生产多少件产品？
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题可知平均成本
；
要使平均成本不超过售价50 元则有
；
∵
，所以两边同乘以
得
；
化简得
，解得
；
∵
，
至少生产
∴
2 件产品.
（2）利润
∵
=售价×数量-成本,所以利润
，
即
，
要使利润不低于100 元，则有
；
解得不等式的解集为
，
至少需要生产
∴
件产品.
4．（25-26 高二下·河北承德·阶段检测）有
和
两道谜语，甲猜对
谜语的概率为
，猜对得
奖金10 元；甲猜对
谜语的概率为
，猜对得奖金20 元．规则规定：只有在猜对第一道谜语的情
况下，才有资格猜第二道．
(1)若
，且甲先猜
谜语，求甲得10 元奖金的概率；
(2)如果猜谜顺序由甲选择，他应该选择先猜哪一道谜语能得到更多的奖金．
【答案】(1)
(2)当
时，
，采用
先猜
“
B 谜语，后猜A 谜语
方式得到的奖金更多；
”
当
时，
，两种方式得到的奖金一样多；
当
时，
，采用
先猜
“
A 谜语，后猜B 谜语
方式得到的奖金更多．
”
【分析】（1）分析得10 元奖金的猜谜情况，可得其相应的概率；
（2）分别求出先猜谜A 和先猜谜B，所得到的奖金的期望值，再根据期望作决策；
【详解】（1）当
，甲得10 元奖金，即甲猜对A 谜语，没有猜对B 谜语，
所以甲得10 元奖金的概率为
.
（2）记甲
先猜
“
A 谜语，后猜B 谜语
所得奖金为
”
，则
可取0，10，30，
P( X =0)=1−p;
P( X =10)=p[1−2
3 (1−p))=2
3 p
2+1
3 p;
．
所以
的期望E( X )=0×(1−p)+10×(
2
3 p
2+1
3 p)+30×(
2
3 p−2
3 p
2)=−40
3 p
2+70
3 p
记甲
先猜
“
B 谜语，后猜A 谜语
所得奖金为
”
，则
可取0，20，30，
P(Y =0)=1−2
3 (1−p)=1+2 p
3
;
P(Y =20)=2
3 (1−p)(1−p)=2
3 (1−p)
2;
P(Y =30)=2
3 (1−p) p.
所以
的期望E(Y )=0× 1+2 p
3
+20× 2
3 (1−p)
2+30× 2
3 (1−p) p=−20
3 p
2−20
3 p+40
3
故E( X )−E(Y )
=(−40
3 p
2+70
3 p)−(−20
3 p
2−20
3 p+40
3 )
=−10
3 (2 p
2−9 p+4)
=−10
3 (2 p−1)( p−4)(0<p<1)
当
时，
，采用
先猜
“
B 谜语，后猜A 谜语
方式得到的奖金更多；
”
当
时，
，两种方式得到的奖金一样多；
当
时，
，采用
先猜
“
A 谜语，后猜B 谜语
方式得到的奖金更多．
”
5．（25-26 高一上·江苏盐城·期末）某人购买了一辆新能源汽车从事滴滴客运业务，根据市场分析，该汽
车的运营利润
（万元）与运营年数
的关系为
(1)该新能源汽车运营到哪年时，运营利润超过
万元？
(2)该新能源汽车运营到哪年时，年平均利润最大？
【答案】(1)第年
(2)第年
【分析】（1）解不等式
，结合
，得出
的值，可得结论；
（2）利用基本不等式求出
的最大值，利用等号成立的条件可得出
的值，即可得出结论.
【详解】（1）令
，整理可得
，解得
，
因为
，故
，故该新能源汽车运营到第年时，运营利润超过
万元.
（2）该新能源汽车的年平均利润为
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
故该新能源汽车运营到第年时，年平均利润最大.
【考点7：其他不等式】
1．（25-26 高三上·江西赣州·期末）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求出集合
、
，利用交集的定义可求得集合
.
【详解】因为
，
由
可得
，解得
，即
，
故
.
故选：C.
2．（2026·辽宁辽阳·二模）不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】借助分式不等式与高次不等式的解法计算即可得.
【详解】
，
故
，解得
或
，
故该不等式的解集为
.
3．（25-26 高二下·河北保定·期中）设p：
，q：
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【答案】B
【详解】由
可得
，解得
；
由
可得
，解得
；
因为
是集合
的真子集，所以命题
是命题
的必要不充分条件.
4．（多选）（2026·江西宜春·模拟预测）（多选）若
，则
的值可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】通过解分式不等式，根据指数函数，对数函数以及三角函数性质逐项分析即可.
【详解】由
，解得：
或
，
对于A，因为
，所以
，
由
，故A 正确；
对于B，由
，故B 错误；
对于C，由
，故C 正确；
对于D，由
，故D 正确．
5．（2026·上海杨浦·模拟预测）若集合
，集合
，则
__________．
【答案】
【分析】利用分段讨论的方法将集合
中方程的绝对值符号去掉，通过解方程得到集合
，通过解分式不
等式及高次不等式得到集合
，再根据交集的定义计算即可得解.
【详解】当
时，
，
令
，解得
，与
矛盾，故方程无解；
当
时，
，
等式恒成立，所以
都是方程的解；
当
时，
，
令
，解得
，与
矛盾，故方程无解，
所以
.
因为
等价于
，即
，
用穿根法可得不等式组的解为
或
，
所以
.
因为
，
，
所以
.
【考点8：利用基本不等式求最值或范围】
1．（2026·湖南株洲·三模）已知
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用已知条件
对所求表达式变形，结合基本不等式求最小值，即可得取值范围.
【详解】∵
，
，
当且仅当
，即
，
时等号成立.
的取值范围是
.
2．（2026·重庆·模拟预测）已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】直接由基本不等式的变形不等式
可得关于
的一元二次不等式，进而可得最小
值.
【详解】因为
，
，且
，
由基本不等式得
，当且仅当
时等号成立，
即
，得
，因为
，所以
.
由
代入
，解得
，
因此当
，
的最小值为
.
3．（2026·上海·三模）已知
均为正数，且
，则
的最小值为___________
【答案】2
【详解】因为
，所以
.
，当且仅当
时等号成立.
4．（2026·河南开封·模拟预测）设
，则
的最小值为_____________．
【答案】
【分析】利用基本不等式求解即可.
【详解】因为
，则
，
所以
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立.
故当
时，
的最小值为
.
5．（25-26 高一下·上海·期中）已知
，则
的最小值为________.
【答案】
【详解】
，
.
由于
，
，则
，
当且仅当
时取等号.
【考点9：基本不等式的应用】
1．（25-26 高一上·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租
（单位：万
元）与仓库到超市的距离
（
，单位：千米）的函数关系式为
，每月货物运输费
（单位：
万元）与
的函数关系式为
，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用
之和最少，最少费用为______万元．
【答案】
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】
，
等号成立时
，
故该超市应该把仓库建在距离超市千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为
万元.
故答案为：；
2．（25-26 高一上·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个
相同的矩形
和
构成的面积为
的十字形地域.计划在正方形
上建一座花坛，造价
为
；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210 元
；在四个空角
（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80 元
.设总造价为
（单位：元），则当总造价
最小时，
的长度为______m.
【答案】
【分析】设
，
，根据十字形地域的面积，得出
的关系式，进而求出各个图形的面积，
将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时
的长.
【详解】设
，
，则
，所以
，
所以
，
，即
，解得
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以当
时，该休闲场所的总造价最小，最小值为
元.
故答案为：
.
3．（25-26 高三上·安徽淮北·期中）某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5 米，底面积为100 平方米，
且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方
体前面新建墙体的报价为每平方米320 元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160 元，地面以及其他
报价共计9600 元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为
（
）米，原有墙体足够长.
(1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为
（
）元，若无论左
面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求
的取值范围.
【答案】(1)10 米
(2)
【分析】（1）由题意建立甲工程队报价与左面墙的长度间的函数关系，再根据基本不等式求得最低报价
及对应的左面墙的长度；
（2）利用（1）的结论，列出不等式，分离参数
，并根据基本不等式求得
的取值范围.
【详解】（1）设甲工程队的总报价为
元，
依题意，左、右两面墙的长度均为
（
）米，
则长方体前面新建墙体的长度为
米，
所以
，
即
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
故当左面墙的长度为10 米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为19200 元.
（2）由题意可知，
，
即
对任意的
恒成立，
所以
，可得
，即
.
，
当且仅当
，即
时，
取最小值36.
所以
，即
的取值范围是
.
4．（25-26 高一上·山东潍坊·开学考试）中欧班列是推进
一带一路
沿线国家道路联通、贸易畅通的重
“
”
要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利
用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为
，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管
员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400
元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150 元，屋顶和地面以及其他报价共计7200 元，设屋子的左右两
面墙的长度均为x m（
）．
(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为
元（
），若无论左右两面
墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a 的取值范围．
【答案】(1)当左右两面墙的长度为4 米时，甲工程队的报价最低
(2)
【分析】（1）首先由题意抽象出甲工程队的总造价的函数，再利用基本不等式求最值，结合等号成立的
条件，即可求解；
（2）由题意，转化为不等式
恒成立，参变分离后，根据基本不等式，即
可得答案.
【详解】（1）设甲工程队的总造价为
元，依题意，左右两面墙的长度均为
（
），
则屋子前面新建墙体长为
，
所以
即
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故当左右两面墙的长度为4 米时，甲工程队的报价最低为
元；
（2）由题意可知，当
对任意的
恒成立，
即
，所以
，即
，
因为
，
当且仅当
，
，即
时，
的最小值为12，
即
，所以
的取值范围是
.
5．（25-26 高一上·安徽阜阳·期末）物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息
承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业
制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租
地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费
(单位：万元)，仓库到车站的
距离
(单位:千米，
)，其中
与
成反比，每月库存货物费
(单位：万元)与
成正比；若在距
离车站8 千米处建仓库，则
和
分别为2 万元和6.4 万元．
(1)求出
与
的解析式．
(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少?
【答案】(1)
，
.
(2)仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是
万元.
【分析】（1）由题意设
，
，其中
，根据题目数据代入求出
即可
得到答案；
（2）利用基本不等式即可求出答案.
【详解】（1）由题意设
，
，其中
，
当
时，
，解得
，
，解得
，
所以
，
.
（2）由（1）知
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是
万元.
一、单选题
1．（25-26 高三下·山东·阶段检测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，得
，又
，
所以
；
因为
得
，所以
，
则
.故选项C 正确.
2．（2026·湖南长沙·三模）已知
，且
，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】选项A，因为
，所以
，所以
成立.
选项B，若
，则
不成立.
选项C，因为
，并且
(
，等号取不到)，所以
，
因此
，
成立.
选项D，
，等号在
时成立，但是
，所以等号无法取到，
因此
.
3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知关于
的不等式
的解集为
，则关于
的不等
式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】C
【详解】因关于
的不等式
的解集为
，
则
，即
，
则
，即
，
所以
，解得
或
．
4．（2026·重庆·模拟预测）已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】直接由基本不等式的变形不等式
可得关于
的一元二次不等式，进而可得最小
值.
【详解】因为
，
，且
，
由基本不等式得
，当且仅当
时等号成立，
即
，得
，因为
，所以
.
由
代入
，解得
，
因此当
，
的最小值为
.
5．（25-26 高三下·重庆·阶段检测）设
且
，
且
，若
，则
的最小值
是（ ）
A．3
B．
C．9
D．18
【答案】B
【分析】利用对数换底公式化简已知条件，得到
与
的关系式，再用基本不等式求最小值.
【详解】由换底公式可得
，
原式化为
，所以
，
因为
，由基本不等式得
，
当且仅当
，即
时，取等号成立.
所以
的最小值是
.
6．（2026·湖南长沙·三模）设数列{
}的前n 项和为
且
则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，所以
，所以
，
所以
，
所以
，
根据对勾函数的性质，
在
上单调递减，在
上单调递增，
又当
时，
，当
时，
，
又
，所以
的最小值为
.
二、多选题
7．（2026·安徽芜湖·模拟预测）若非零实数
满足
，则下列结论一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】应用特殊值法判断A，由基本不等式判断B、C，应用柯西不等式判断D.
【详解】由
时，满足
，此时
，A 错，
由
，有
，当且仅当
时取等号，B 对，
由
，当且仅当
时取等号，C 对，
由
，则
，当且仅当
，即
时取等号，D 对.
8．（2026 高三·全国·专题练习）（多选）设正实数
，
满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
有最大值
B．
有最小值
C．
有最大值
D．
有最小值
【答案】ABC
【分析】结合已知条件
，利用基本不等式及其变形逐一判断各选项即可.
【详解】对于A，由基本不等式
，代入
得
，即
，
当且仅当
时等号成立，所以
最大值为
，故A 正确；
对于B，
，由基本不等式
，
故
，当且仅当
时等号成立，
所以
最小值为
，故B 正确；
对于C，
，由选项A 知
，
故
，即
，
当且仅当
时等号成立，所以
最大值为
，故C 正确；
对于D，
，由选项A 知
，故
，
则
，
即
最小值为
，不是
，故D 错误.
三、填空题
9．（2026·江苏常州·三模）已知随机变量
，正实数
，
满足
，
则
的最小值为_________.
【答案】
【分析】根据正态分布的对称性性质得到
，再利用基本不等式求最小值.
【详解】因为随机变量
，正态分布的概率密度曲线关于均值
对称，
因为
，根据正态分布的对称性性质得
化简得
，所以
所以
根据基本不等式
,当且仅当
时，等号成立，
此时
结合
，
，得
,
,
所以
，当且仅当
,
, 等号成立，
所以
的最小值为
.
10．（2026·河北沧州·模拟预测）已知实数
满足
，则
的最大值为__________.
【答案】
【分析】设点
，由已知等式可得到点
在以点
为圆心，2 为半径的圆上，将
整理为
，看到
和
的平方和为1，故设
，则
，结合图形得到
，利用正弦函数的图像和性质得到所求的取值范围.
【详解】由
，可得
，
设点
，则点
在以点
为圆心，2 为半径的圆上，
所以
，
根据几何意义设
，则
，
过点
作圆
的切线，与圆
交于点
，
此时
，
故
，
所以
，
因为
，所以
，即
所以
，所以
，
故最大值为
.
四、解答题
11．（25-26 高一下·广东揭阳·阶段检测）（1）已知
，
，求
，
，
的取值
范围．
（2）已知
，
，比较
与
的大小
【答案】（1）
，
，
；（2）
【分析】（1）利用不等式的性质求解；
（2）利用作差法比较大小.
【详解】（1）由
，
①
，得
②
，
由
得：
②
，
③
由①+③得：
，
由
得：
②
，
④
由
得：
①④
．
故
，
，
.
（2）
因为
，
，则
，故
．
12．（25-26 高一上·广东珠海·阶段检测）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜
园．设菜园的长为
米，宽为
米．
(1)若菜园面积为36 平方米，则
，
为何值时，所用篱笆总长最小？
(2)若使用的篱笆总长为30 米，则
，
为何值时，菜园面积最大？
(3)若使用的篱笆总长为30 米，求
的最小值．
【答案】(1)长
为
，宽
为
时，所用篱笆总长最小．
(2)菜园的长
为15
，宽
为
时，菜园面积最大．
(3)
．
【分析】（1）明确
，在此条件下求
的最小值，并明确等号成立的条件即可.
（2）明确
，在此条件下，求
的最大值，并明确等号成立的条件即可.
（3）结合
，求
的最小值.
【详解】（1）由题意得，
，所用篱笆总长为
．
因为
，
当且仅当
时，即
，
时等号成立．
所以菜园的长
为
，宽
为
时，所用篱笆总长最小．
（2）由题意得，
，菜园面积为
．
因为
，
当且仅当
时，即
，
时等号成立．
所以菜园的长
为15
，宽
为
时，菜园面积最大．
（3）由题意得，
，
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
的最小值是
．
