文档文本内容
第07 讲不等式的性质与解法
（知识清单+4 典例精讲+6 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
一元二次不等式解法（因式分解）、集合交集运算
单选题/填空
题/解答题
5 分/10 分
不等式性质判断、比较大小
单选题/填空
题
5 分
含参一元一次不等式组求解、整数解判断
单选题填空
题/解答题
5 分/10 分
分式不等式转化、解集求解（结合定义域限制）
单选题
5 分
【知识点01】不等式的基本性质
核心性质（前提：a,b,c∈ℝ，重点区分“可加性”“可乘性”条件）：
1. 对称性：若a>b，则b<a；反之亦然（双向等价）；
2. 传递性：若a>b，b>c，则a>c（注意：同向不等式可传递，异向不可）；
3. 可加性：若a>b，则a+c>b+c（两边加同一个数/整式，不等号方向不变）；
4. 可乘性：若a>b，c>0，则ac>bc；若a>b，c<0，则ac<bc（关键：乘负数，不等号方向改变）；
5. 同向可加：若a>b，c>d，则a+c>b+d；
6. 同向同正可乘：若a>b>0，c>d >0，则ac>bd；
7. 乘方性质：若a>b>0，则a
n>b
n（n∈ℕ
∗）；
8. 开方性质：若a>b>0，则n√a>
n√b（n∈ℕ
∗）。
易错提醒：① 可乘性必须注意c的符号，无符号则无法判断不等号方向；② 异向不等式不可传递（如a>b，
b<c，无法推出a>c）。
【例1】判断下列命题的真假，并说明理由。
（1）若a>b，则ac>bc；（2）若a>b，c>d，则ac>bd；（3）若a>b>0，则1
a < 1
b。
解析：结合不等式性质逐一判断：
（1）假命题。理由：未说明c的符号，若c≤0，则ac≤bc（如a=3，b=2，c =−1，则3×(−1)<2×(−1)）；
（2）假命题。理由：未满足“同向同正”，若a=3，b=1，c =−1，d =−2，则3×(−1)=−3，1×(−2)=−2，此
时ac<bd；
（3）真命题。理由：a>b>0，则ab>0，两边同时除以ab（正数，不等号方向不变），得a
ab > b
ab，即1
b > 1
a，
故1
a < 1
b。
【知识点02】一元一次不等式（组）的解法
先化简不等式，转化为ax>b（或ax<b、ax ≥b、ax ≤b）的标准形式，再根据a的符号求解，重点关注a=0的特
殊情况。
标准解法步骤：
1. 去分母（两边同乘各分母的最小公倍数，注意分母不为0，且乘负数时不等号方向改变）；
2. 去括号（遵循去括号法则，符号不变）；
3. 移项（把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边，移项要变号）；
4. 合并同类项（化简为ax>b形式）；
5. 系数化为1（根据a的符号，判断不等号方向是否改变）。
【例2】解不等式2 x−1
3
−3 x +2
6
>1，并写出它的整数解。
解析：按步骤化简求解：
1. 去分母：两边同乘6（正数，不等号方向不变），得2(2 x−1)−(3 x +2)>6；
2. 去括号：4 x−2−3 x−2>6；
3. 移项：4 x−3 x>6+2+2；
4. 合并同类项：x>10；
5. 整数解：所有大于10 的整数（如11，12，13，...）。
【知识点03】一元二次不等式的解法
一元二次不等式的标准形式为a x
2+bx +c>0（或<0、≥0、≤0），其中a≠0，解题核心是“结合二次函数图像”，
根据判别式Δ=b
2−4 ac判断方程a x
2+bx +c =0的根，再结合a的符号确定不等式的解集。
核心步骤（以a>0为例）：
1. 计算判别式Δ=b
2−4 ac；
2. 求方程a x
2+bx +c =0的根（求根公式x = −b± ❑√Δ
2a
，或因式分解）；
3. 根据Δ的符号，结合二次函数开口方向，确定解集：
① 若Δ>0，方程有两个不相等实根x1< x2，则a x
2+bx +c>0的解集为(−∞, x1)∪( x2,+∞)，a x
2+bx +c<0的解
集为( x1, x2)；
② 若Δ=0，方程有两个相等实根x1= x2=−b
2a，则a x
2+bx +c>0的解集为(−∞, x1)∪( x1,+∞)，
a x
2+bx +c<0的解集为∅；
③ 若Δ<0，方程无实根，则a x
2+bx +c>0的解集为ℝ，a x
2+bx +c<0的解集为∅；
4. 若a<0，先两边同乘−1（不等号方向改变），转化为a>0的情况求解。
【例3】：解下列一元二次不等式：
（1）x
2−3 x−4>0；（2）−2 x
2+5 x−2≥0。
解析：按核心步骤求解，注意a的符号：
（1）解不等式x
2−3 x−4>0：
① a=1>0，判别式Δ=(−3)
2−4×1×(−4)=9+16=25>0；
② 求方程x
2−3 x−4 =0的根，因式分解得( x−4)( x +1)=0，根为x1=−1，x2= 4（x1< x2）；
③ 结合开口向上，解集为(−∞,−1)∪(4 ,+∞)。
（2）解不等式−2 x
2+5 x−2≥0：
① 先转化为a>0的形式，两边同乘−1（不等号方向改变），得2 x
2−5 x +2≤0；
② a=2>0，判别式Δ=(−5)
2−4×2×2=25−16=9>0；
③ 求方程2 x
2−5 x +2=0的根，因式分解得(2 x−1)( x−2)=0，根为x1= 1
2，x2=2（x1< x2）；
④ 结合开口向上，2 x
2−5 x +2≤0的解集为[ 1
2 ,2]，即原不等式的解集为[ 1
2 ,2]。
【知识点04】分式不等式的解法
分式不等式的标准形式为f ( x)
g( x) >0（或<0、≥0、≤0），解题核心是“转化为整式不等式”，注意分母不能为0。
核心转化规则（等价转化）：
1. f ( x)
g( x) >0⇔f ( x)⋅g( x)>0（且g( x)≠0）；
2. f ( x)
g( x) <0⇔f ( x)⋅g( x)<0（且g( x)≠0）；
3. f ( x)
g( x) ≥0⇔{f ( x)⋅g( x)≥0
g( x)≠0
；
4. f ( x)
g( x) ≤0⇔{f ( x)⋅g( x)≤0
g( x)≠0
。
【例4】解分式不等式2 x−3
x +1 ≤0。
解析：等价转化为整式不等式，注意分母不为0：
1. 等价转化：2 x−3
x +1 ≤0⇔{(2 x−3)( x +1)≤0
x +1≠0
；
2. 解整式不等式(2 x−3)( x +1)≤0，求根得x1=−1，x2= 3
2，解集为[−1, 3
2 ]；
3. 排除分母为0 的情况：x +1≠0⇒x≠−1；
4. 综上，原不等式的解集为(−1, 3
2 ]。
【知识点05】绝对值不等式的基础解法
核心要点：绝对值不等式的核心是“去掉绝对值符号”，转化为不含绝对值的不等式，常见形式及解法如下（a>0
）：
1. | x|>a⇔x<−a或x>a；
2. | x|<a⇔−a< x<a；
3. |ax +b|>c⇔ax +b<−c或ax +b>c；
4. |ax +b|<c⇔−c<ax +b<c。
注意：若a≤0，需结合绝对值的非负性判断（如| x|>−2，解集为ℝ；| x|<−2，解集为∅）。
【例5】解下列绝对值不等式：
（1）|2 x−1|>3；（2）|3 x +2|≤4。
解析：去掉绝对值符号，转化为整式不等式求解：
（1）解|2 x−1|>3：
等价于2 x−1<−3或2 x−1>3；
分别求解：2 x<−2⇒x<−1；2 x>4⇒x>2；
解集为(−∞,−1)∪(2,+∞)。
（2）解|3 x +2|≤4：
等价于−4≤3 x +2≤4；
移项得−6≤3 x ≤2；
系数化为1，得−2≤x ≤2
3；
解集为[−2, 2
3 ]。
【题型一】不等式的性质
【例1】（2026·重庆·二模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】对于ABD，举反例即可，对于C，利用不等式的基本性质即可证明.
【详解】对于A：当
时，不等式不成立，故A 错误；
对于B：取
，则
，故B 错误；
对于C：因为
，所以
，即
，故C 正确；
对于D：取
，则
，故D 错误.
【例2】（多选）（2024·江西·模拟预测）已知
，则下列不等式一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据不等式的性质逐项判断可得答案.
【详解】对于A，因为
，所以
，故A 正确；
对于B，因为
，
，所以
，故B 正确；
对于C，当
，
，
，
时，
，故C 不正确；
对于D，因为
，所以
，又
，所以
.故D 正确.
故选：ABD.
【例3】（2025·吉林长春·二模）正整数
满足
，则
的最大值为_______．
【答案】
/
【分析】当
取最小的正整数时，所求最大.
【详解】
，要使其最大，则
都最小即可，
因为
，且
为正整数，故取
，
此时
，
故答案为：
【变式1】（2026·辽宁盘锦·一模）若实数
且
，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】对A，当
时，满足题意，但
不成立，故A 错；
对B，当
时，满足题意，但
不成立，故B 错；
对C，根据不等式的基本性质：不等式两边同时乘以同一个负数，不等号的方向会发生改变，
因为
，所以
，故C 对；
对D，
等价于
，取
，满足题意，
但
，
不成立，故D 错.
【变式2】（多选）（2026·陕西·模拟预测）如果
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BD
【分析】选项A 和C，取反例求解即可；选项B，约掉
即可；选项D，用作差法即可判断.
【详解】对于A：取
，则
，故A 错误；
对于B：由
，可知
，所以
，同除
，得到
，故B 正确；
对于C：取
，
，此时
，故C 错误；
对于D：
，
因为
，所以
；又
，
，
即
，故
，故D 正确.
【变式3】（2025·福建福州·模拟预测）已知
，对于任意的
，都有
，则
________
【答案】2
【分析】根据绝对值不等式的性质以及已知条件，通过分析
与任意正数
的关系，得出
的值，进而求出
的值.
【详解】已知对于任意的
，都有
.
因为
是一个确定的非负实数，而
可以取任意大于
的数.
假设
，那么我们总可以找到一个正数
，使得
，这与已知条件“对于任意的
，都有
”矛盾.
所以
只能等于
，即
.
根据绝对值的性质，若
，则
，所以由
可得
，解得
.
故答案为：2.
【题型二】一元二次不等式的解法
【例4】（2026·江苏·三模）已知集合
，
，则
中元素的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】先解集合
中的一元二次不等式，再根据集合的交集运算求出
，进而即可得到
中元素的个数．
【详解】由
，解得
，即
，
所以
，所以
中元素的个数是．
【例5】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分别求解集合
的具体范围，再利用集合交集的定义得出结果.
【详解】集合
，
由
，解得
，故
；
因此
.
【例6】（2026·陕西渭南·二模）不等式
的解集为______．
【答案】
【分析】分
和
两种情况求解一元二次不等式的解集，最后求并集即得到结果.
【详解】当
时，不等式变为
，即
，
解得
，又
，所以此时不等式的解集为
；
当
时，不等式变为
，即
，
解得
，又
，所以此时不等式的解集为
；
所以不等式
的解集为
.
【变式1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】依题意，
，
，
所以
.
【变式2】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知关于
的不等式
的解集为
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】C
【详解】因关于
的不等式
的解集为
，
则
，即
，
则
，即
，
所以
，解得
或
．
【变式3】（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）若关于
的不等式
的解集为
，则实数
_________．
【答案】
【详解】由题意知
和6 是方程
的两个实数根，
所以
，所以
．
【题型三】一元二次不等式恒成立问题
【例7】（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“
,
”为真命题，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由命题“
”为真命题，利用判别式，即可确定实数
的取值范围．
【详解】由命题“
”为真命题，
，
解得：
，
【例8】（2026·广东汕头·模拟预测）已知
，对任意实数x 恒成立．若
，
则t 的取值范围是_______________．
【答案】
【分析】根据一元二次不等式恒成立问题，结合条件，分析求解，即可得答案.
【详解】因为
，所以
，
因为
，所以
，
则
，即
，
所以关于b 的一元二次不等式有解，且
，
所以
，
因为
，所以
，解得
或
，
当
时，不等式为
，得
，符合题意；
当
时，不等式为
，得
，符合题意，
则t 的取值范围是
.
故答案为：
【例9】（2025·广东梅州·模拟预测）已知函数
的定义域为实数集
，则实数
的取值范围为
______.
【答案】
【分析】利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解.
【详解】要使
有意义，则有
，
函数
的定义域为实数集
，
在
上恒成立，
当
时，
，恒成立；
当
时，则有
，解得
；
综上，实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
【变式1】（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题
“
，使得不等式
成立”为假命题，则实数
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】题意说明
：“
，
恒成立”是真命题，然后对
分类讨论可得.
【详解】命题
“
，使得不等式
成立”为假命题，则命题
：“
，
恒
成立”是真命题，
时，不等式为
恒成立，满足题意，
时，则
，解得
，
综上，
的范围是
.
【变式2】（2025·河南南阳·模拟预测）已知
，若当
时，不等式
恒成立，则
的取值范围是__________.
【答案】
【分析】令
，根据函数的单调性可得
，利用通向可加性即可求解.
【详解】令
，则
为单调函数或常数函数，
若当
时，不等式
恒成立，
则
，
所以
，所以
，
所以
.
故答案为：
.
【变式3】（2024·陕西西安·模拟预测）当
时，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是________．
【答案】
.
【分析】根据题意分离参数
，进而构造函数求定区间的最值即可.
【详解】当
时，不等式
恒成立，
所以当
时，
恒成立，则
，
令
，则
在
单调递增，
所以
，所以
.
故答案为：
.
【题型四】其他不等式
【例10】（2025·全国二卷·高考真题）不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可.
【详解】
即为
即
，故
，
故解集为
.
故选：C.
【例11】（2026·新疆·三模）不等式
的解集为__________.
【答案】
或
.
【详解】由
可得
，
故
或
，
故不等式的解集为
或
.
【例12】（2026·安徽安庆·二模）设
.
(1)解不等式
;
(2)设
，若存在
，使得
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因
，则
，
故
，
即
，解得
，
故原不等式的解集为
.
（2）因
，
由
，可得
为奇函数.
又
，因
，
，则
故
在
上单调递增.
故存在
使得
等价于存在
使得
，
等价于存在
使得
，
即存在
使得
，
因
，
，
则当
时，
取得最小值
，故得
.
故实数
的取值范围是
.
【变式1】（2026·甘肃张掖·模拟预测）设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】解分式不等式得集合
，然后根据交集的定义即可求解.
【详解】分式不等式
等价于
，解得
，又因为
，因此
，
已知集合
，所以
.
【变式2】（2025·江苏宿迁·二模）设函数
， 其中
.若不等式
对任意
恒成立，则
________.
【答案】
/
【分析】先设
，代入函数解析式计算得出根，再对应相等计算求解.
【详解】若
，取
，所以
，
则
，
所以
的根为
且
，
的根为
且
，
由于
与
均为首项系数为正的三次多项式，要使其乘积
恒成立，则它们的零点必须完全相
同，
所以只有当
时，
成立，
所以
，所以
.
故答案为：
.
【变式3】（2025·四川·模拟预测）关于
的不等式
的解集记为
．关于
的不等式
的解集
记为
．
(1)求集合
；
(2)若“
”是 “
”的必要不充分条件，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解二次不等式即可得到集合
；
（2）根据题意求出集合
，再由“
”是 “
”的必要不充分条件，得到集合
是集合
的
真子集，则
，解不等式即可．
【详解】（1）不等式
，
即
，解得
，
；
（2）不等式
，
即
，解得
，
所以集合
，
又因为“
”是 “
”的必要不充分条件，
集合
是集合
的真子集，
，解得
，
则实数
的取值范围是
．
【解题大招01】性质判断法——抓条件、避陷阱
判断不等式命题真假、比较大小，核心是紧扣不等式8 条基本性质，重点关注3 个易错陷阱：① 可乘性中“乘数
符号”；② 同向不等式不可直接相减、异向不可传递；③ 乘方、开方仅适用于“正数同向”，避免忽略特殊情况
（如c=0、负数底数）。
性质应用优先“找条件、举反例”，遇到无明确符号的参数（如c），必分类讨论。
【例1】已知a、b、c 为实数，判断下列命题的真假，并说明理由。
（1）若a > b，则ac > bc；（2）若a > b > 0，则1
a < 1
b；（3）若a > b，c < d，则a - c > b - d。
解析：运用性质判断法，逐一规避陷阱：
（1）假命题。陷阱：忽略c 的符号。当c ≤ 0 时，ac ≤ bc（例：a=3，b=2，c=-1，3×(-1) < 2×(-1)）；只有当c
> 0 时，ac > bc 才成立。
（2）真命题。符合“正数同向可乘性”推论：a > b > 0，则ab > 0，两边同除以正数ab，不等号方向不变，得
a
ab > b
ab，即1
b > 1
a。
（3）真命题。转化为同向可加：c < d -c > -d
⇒
，又a > b，根据“同向可加”性质，a + (-c) > b + (-d)，即a - c >
b - d。
【解题大招02】分步化简法——定步骤、防出错（适配一元一次不等式/组）
解一元一次不等式（组），严格遵循“5 步标准化流程”，避免跳步出错：① 去分母（乘最小公倍数，注意符号）；
② 去括号（符号不变）；③ 移项（变号）；④ 合并同类项；⑤ 系数化为1（注意不等号方向）；解不等式组
需“分别解、求交集”，最后结合整数解、参数范围筛选。
易错点集中在“去分母漏乘、移项不变号、系数化为1 变号失误”，每一步都需核对符号。
【例2】解不等式2 x−3
4
−x +1
6
≥1，并写出它的非负整数解。
解析：按分步化简法，规范求解：
1. 去分母：两边同乘12（各分母4、6 的最小公倍数，正数，不等号不变），得3(2x - 3) - 2(x + 1) ≥ 12；
2. 去括号：6x - 9 - 2x - 2 ≥ 12；
3. 移项：6x - 2x ≥ 12 + 9 + 2（移项变号，-9、-2 移到右边变为+9、+2）；
4. 合并同类项：4x ≥ 23；
5. 系数化为1：x ≥ 23
4 （即5.75）；
非负整数解：6、7、8、...
【解题大招03】图像辅助法——定开口、找根定解集（适配一元二次不等式）
解一元二次不等式的核心是“数形结合”，3 步快速求解：① 化标准形式（保证二次项系数a≠0，优先转化为a >
0，方便判断开口）；② 求方程ax² + bx + c = 0 的根（因式分解优先，无法分解用求根公式）；③ 结合二次函
数开口方向，“大于取两边、小于取中间”（注意等号是否包含根）。
当a < 0 时，务必先转化为a > 0，避免开口方向判断错误；Δ=0 时，注意“大于0 取两边（不包含等根）、小于
0 无解”。
【例3】解下列一元二次不等式：（1）x² - 4x + 3 < 0；（2）-2x² + 5x + 3 ≥ 0。
解析：运用图像辅助法，分步求解：
（1）解x² - 4x + 3 < 0：
① 标准形式：a=1 > 0，开口向上；
② 求根：因式分解得(x - 1)(x - 3) = 0，根为x =1
₁
，x =3
₂
（x < x
₁
₂）；
③ 定解集：a > 0，不等式“< 0”，取两根之间，即(1, 3)。
（2）解-2x² + 5x + 3 ≥ 0：
① 转化标准形式：两边同乘-1（不等号改变），得2x² - 5x - 3 ≤ 0，a=2 > 0，开口向上；
② 求根：因式分解得(2x + 1)(x - 3) = 0，根为x =-
₁
1
2，x =3
₂
（x < x
₁
₂）；
③ 定解集：a > 0，不等式“≤ 0”，取两根之间，即[-1
2, 3]。
【解题大招04】等价转化法——化分式为整式、避分母为0（适配分式不等式）
分式不等式不能直接去分母（分母符号未知），核心是“等价转化为整式不等式”，同时严格保证“分母不为0”，4
类核心转化（g(x)≠0）：
1. f ( x)
g( x) >0⇔f ( x)⋅g( x)>0；2. f ( x)
g( x) <0⇔f ( x)⋅g( x)<0；
3. f ( x)
g( x) ≥0⇔{f ( x)⋅g( x)≥0
g( x)≠0
；4. f ( x)
g( x) ≤0⇔{f ( x)⋅g( x)≤0
g( x)≠0
。
易错点是忘记排除分母为0 的情况，转化后需单独标注“g(x)≠0”，最后筛选解集。
【例4】解分式不等式3 x−1
x−2 ≤0。
解析：运用等价转化法，规避分母为0 陷阱：
1. 等价转化：3 x−1
x−2 ≤0⇔{(3 x−1)( x−2)≤0
x−2≠0
；
2. 解整式不等式(3x - 1)(x - 2) ≤ 0：求根得x =
₁ 1
3，x =2
₂
，解集为[1
3, 2]；
3. 排除分母为0：x - 2 ≠ 0 x ≠ 2
⇒
；
4. 综上，原不等式解集为[1
3, 2)。
【解题大招05】绝对值拆分法——定符号、去绝对值
解绝对值不等式的关键是“去掉绝对值符号”，核心拆分规则（a > 0）：
1. |x| > a
x < -a
⇔
或 x > a；2. |x| < a
-
⇔a < x < a；
3. |ax + b| > c
⇔ax + b < -c 或 ax + b > c；4. |ax + b| < c
-c <
⇔
ax + b < c；
若a ≤ 0，结合绝对值非负性判断（如|x| > -2，解集为R；|x| < -2，解集为空集）。
拆分后注意解两个不等式（“或”取并集、“且”取交集），系数化为1 时关注不等号方向。
【例5】解下列绝对值不等式：（1）|3x - 2| > 4；（2）|2x + 1| ≤ 3。
解析：运用绝对值拆分法，分步去绝对值：
（1）解|3x - 2| > 4：
等价于3x - 2 < -4 或 3x - 2 > 4；
分别求解：3x < -2 x < -
⇒
2
3；3x > 6 x > 2
⇒
；
解集为(-∞, -2
3) (2, +∞)
∪
。
（2）解|2x + 1| ≤ 3：
等价于-3 ≤ 2x + 1 ≤ 3；
移项得-4 ≤ 2x ≤ 2；
系数化为1：-2 ≤ x ≤ 1；
解集为[-2, 1]。
【解题大招06】分类讨论法——定参数、分情况
解含参数的不等式（如ax² + bx + c > 0），核心是“按参数影响解集的关键节点分类”，优先分类依据：① 二次项
系数a 的符号（a=0、a>0、a<0）；② 判别式Δ 的大小（Δ>0、Δ=0、Δ<0）；③ 方程根的大小（含参数的根）
分类时不重不漏。
分类讨论的关键是“找分类节点”，优先判断二次项系数是否为0，再判断Δ，最后比较根的大小，避免重复或遗
漏。
【例6】解关于x 的不等式ax² - 2x + 1 < 0（a R
∈
）。
解析：运用分类讨论法，按a 的取值分类求解：
1. 当a = 0 时，不等式化为-2x + 1 < 0，解得x > 1
2，解集为(1
2, +∞)；
2. 当a > 0 时，Δ = (-2)² - 4a×1 = 4 - 4a：
① 若Δ > 0（即0 < a < 1），方程ax² - 2x + 1 = 0 的根为x =
₁ 1−❑√1−a
a
，x =
₂ 1+ ❑√1−a
a
（x < x
₁
₂），解集为
(x , x )
₁
₂ ；
② 若Δ = 0（即a = 1），方程化为(x - 1)² = 0，根为x =x =1
₁
₂
，不等式为(x - 1)² < 0，解集为空集；
③ 若Δ < 0（即a > 1），方程无实根，二次函数开口向上，解集为空集；
3. 当a < 0 时，Δ = 4 - 4a > 0（a<0 时，-4a>0，Δ 恒正），方程根为x =
₁ 1−❑√1−a
a
，x =
₂ 1+ ❑√1−a
a
（a<0，x₁
> x₂），二次函数开口向下，解集为(-∞, x ) (x , +∞)
₂
₁
∪
。
综上：
当a < 0 时，解集为(-∞, 1+ ❑√1−a
a
) (
∪1−❑√1−a
a
, +∞)；
当a = 0 时，解集为(1
2, +∞)；
当0 < a < 1 时，解集为(1−❑√1−a
a
, 1+ ❑√1−a
a
)；
当a ≥ 1 时，解集为空集。
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2026·广西贵港·三模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
，可得
，故
，
u
，故
.
2．（2026·山东枣庄·二模）已知集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，
，
所以
，
，
故ACD 错误，B 正确.
3．（2026·重庆·三模）已知集合
则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由不等式
，得
且
，解得
，
则
，而
，
所以
．
二、多选题
4．（2024·河南新乡·二模）已知集合
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】先求解不等式
得集合
，利用集合的交集、并集、补集定义运算和集合间的包含关系即可一一判
断正误.
【详解】由
可得
或
，即
或
.
对于A 项，
或
，故A 项错误；
对于B 项，
或
,故B 项正确；
对于C 项，因
或
，故
，故C 项正确；
对于D 项，
，故D 项正确.
故选：BCD.
5．（2024·广东·模拟预测）已知全集
，集合
，若
有4 个子集，且
，则（ ）
A．
B．集合
有3 个真子集
C．
D．
【答案】ACD
【分析】解一元二次不等式化简集合
，结合已知得出
，由此即可逐一判断各个选项.
【详解】依题意，
，
而
有4 个子集，
，故
，故集合
有7 个真子集，B 错误，
，
，
，ACD 均正确.
故选：ACD.
三、填空题
6．（2024·湖南衡阳·三模）已知集合
，集合
，若
，则
______．
【答案】0 或1
【分析】先求出集合
，再由
可求出
的值.
【详解】由
，得
，解得
，
因为
，所以
，
所以
，
因为
，且
，
所以
或
，
故答案为：0 或1
7．（2024·全国·模拟预测）已知实数
满足
，则
的取值范围是_________．
【答案】
【分析】根据不等式的性质即可求解.
【详解】由
可得
，所以
，
故答案为：
四、解答题
8．（2023·河南南阳·模拟预测）设p：实数x 满足
，q：实数x 满足
．
(1)若
，且p 和q 均为真命题，求实数x 的取值范围；
(2)若
且
是
的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）根据一元二次不等式求解p，q 为真命题时的范围，即可求解，
（2）根据充分不必要条件，即可列不等式求解.
【详解】（1）当
时，由
，得
，
解得
，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是
由
，解得
，
即q 为真命题时，实数x 的取值范围是
．
所以若p，q 均为真命题，则实数x 的取值范围为
．
（2）由
，得
，
因为
，所以
，故p：
．
若
是
的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件，
所以
，解可得
．故实数a 的取值范围是
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2026·江苏·模拟预测）已知实数
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
时，
，
，
，
又
时，取
，
，此时
，
所以
，则“
”是“
”的充分不必要条件.
2．（2026·云南昆明·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先解分式不等式得出集合A，再应用交集定义计算求解.
【详解】
，即
，
，解得
，
又因为集合
，则
.
二、多选题
3．（2025·云南昆明·模拟预测）已知关于x 的不等式
的解集为
，则下列说法正确的有
（ ）．
A．
B．不等式
的解集为
C．
D．
【答案】AB
【分析】由不等式的解集为两根之间可判断A；由不等式的解集可知对应方程的根，从而得到
之间的关系，可
判断BCD.
【详解】关于x 的不等式
的解集为
，
由不等式的解集为两根之间，得
，故A 正确；
由题意可知
和4 是方程
的两根，
可得
，解得
，
对于B，
，所以
，
所以不等式的解集为
，故B 正确；
对于C，
，故C 错误；
对于D，当
时，
，故D 错误.
故选：AB．
三、填空题
4．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知
为偶函数，则不等式
的解集为______．
【答案】
【分析】根据偶函数的定义，由
可求a 的值，然后将不等式看作关于
的二次不等式求解即可．
【详解】已知
，则
，
由
，得
即
对所有
成立．
若
，化简得
，不满足对所有
成立，舍去；
若
，化简得
，解得
．
将
代入
，得
不等式
，即
，即
，即
，
∵
，∴
，即
，
∴
．
故答案为：
．
5．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知
，则
的取值范围为______
【答案】
【分析】利用换底公式
换为
，结合对勾函数求解即可.
【详解】因为
，
所以令
，则
，所以
，由
的图象可知，
所以
，
，所以
.
故答案为：
.
四、解答题
6．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数
．
(1)求
极值点的个数，并解不等式
；
(2)求证：若
，则
【答案】(1)2 个；
；
(2)证明见解析
【分析】（1）求导
，由
不同实根的个数判断；由
，利用穿根法求解；
（2）由
，设
，代入
求解.
【详解】（1）因为
，
所以
，
令
，
因为
，两个根为
，
当
或
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
所以
在
处取得极值，所以有两个极值点；
由
，
当
时，
，则
；
当
时，
，则
，
当
时，
，则
，
当
时，
，则
，
所以
的解集为：
.
（2）由
，
设
，
则
，
，
所以
，
所以当
时，
.
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）当
，
且满足
时，若
恒成立，则
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
，
，
，利用基本不等式推得
，再由
恒成立得
，
求解即得.
【详解】因为
，
且满足
，
，
即
，则
，即
，当且仅当
时，等号成立，
又因为
恒成立，所以
，即
，
即
，解得
.
2．（2026·浙江·二模）已知
且
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】因为
，
由
，所以
，故
，充分性成立，
由
，得
或
，必要性不成立，
所以“
”是“
”的充分不必要条件.
二、多选题
3．（2026·青海海东·二模）已知函数
存在两个极值点
、
，则（ ）
A．
B．
C．
的取值范围为
D．
的取值范围为
【答案】BC
【分析】分析可知关于
的方程
有两个不等的正根
、
，利用二次方程根的分布结合韦达定理逐项
判断即可.
【详解】函数
的定义域为
，且
，
由题意可知，关于
的方程
有两个不等的正根
、
，
所以
，解得
，即实数
的取值范围为
，
故
，A 错D 错，B 对C 对.
三、填空题
4．（2025·甘肃白银·三模）定义：
表示不等式
的整数解，已知
，
，若
与
有唯一公共解
，则实数
的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据新定义及绝对值不等式的解法求解
，根据新定义及一元二次不等式的解法求解
，
根据唯一公共解
列不等式组求解即可.
【详解】
得
，所以
或
，即
或
，
即
的整数解为
或
内的整数，
得
，
所以
，由题意
满足
，所以
，
所以
的解为
，
即
的整数解为
内的整数，
因为
与
有唯一公共解
，所以
，所以
，
即实数
的取值范围是
.
故答案为：
四、解答题
5．（2024·吉林长春·模拟预测）定义区间
、
、
、
的长度均为
，其中
．
(1)若关于
的不等式
的解集区间长度为2，求
的值；
(2)若
且
，求关于
的不等式
的解集区间长度范围．
【答案】(1)
；
(2)
．
【分析】（1）设出不等式的解集区间，借助韦达定理及区间长度列式计算即得.
（2）由给定条件，可得
及
，再求出不等式的解集区间即可.
【详解】（1）依题意，设不等式
的解集区间为
，
则
是方程
的两个不等实根，且
，
，
即有
，由
，得
，
解得
，满足题意，
所以
的值是
．
（2）由
且
，得
，
由
及
，得
，则
，
不等式
化为
，即
，解得
，
所以其解集区间长度为
，范围为
.
