文档文本内容
第06 讲平面向量的综合应用
（知识清单+3 典例精讲+5 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
1. 向量与实际情景结合；2. 向量与平面几何结合（三角形、线段背景下数量积运
算）；3. 向量坐标运算与数量积综合应用
单选题/解答
题
5 分/10 分
1. 向量垂直、平行的坐标判定；2. 数量积与向量性质辨析（充分必要条件判
断）；3. 向量模长的综合运算；4. 向量与基础几何的简单结合
单选题/多选
题/填空题/解
答题
5 分/6 分/5
分/10 分
1. 向量与圆的综合问题；2. 三个向量和的性质及数量积运算；3. 向量几何意义的
应用（图形法求解数量积）
单选题/填空
题/解答题
5 分/5 分/10
分
【知识点01】平面向量与平面几何综合
利用向量的线性运算、数量积，结合平面几何图形（三角形、四边形、圆）的性质，求解线段长度、夹角、垂
直关系、面积等问题；关键是将几何图形中的边、角转化为向量，借助向量运算简化求解。
核心结论：
1. 若AB
→
+ AC
→
= AD
→，则D 为BC 中点，AD
→为△ABC 的中线向量；
2. 若AB
→
⋅AC
→
=0，则AB AC
⊥
，△ABC 为直角三角形；
3. 向量OA
→、OB
→满足|OA
→
|=|OB
→
|，则O 在AB 的垂直平分线上。
【例1】在△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AD 中点，若BE
→
= λ AB
→
+ μ AC
→
，求λ 和μ 的值。
【知识点02】平面向量与三角函数综合
将向量的数量积、模长运算与三角函数的化简、求值、性质结合，常见场景：以向量垂直、平行为条件，转化
为三角函数等式，求解角的大小、三角函数值或最值。
利用向量垂直（a
→
⋅b
→
=0）、平行（a
→
∥b
→
⇔x1 y2= x2 y1）的条件，建立三角函数关系式，再利用三角恒等变换、
三角函数性质求解。
【例2】已知向量a
→
=(sin x ,cos x)，b
→
=(cos x ,−cos x)，且a
→
⊥b
→
，求tan (2 x−π
4 )的值。
【知识点03】平面向量与最值、范围问题综合
利用向量数量积、模长公式，将最值问题转化为二次函数、三角函数、基本不等式的最值求解，常见场景：求
a
→
⋅b
→、| a
→
+t b
→
|（t 为实数）的最值或取值范围。
1. 坐标法：建立平面直角坐标系，将向量坐标化，转化为代数最值；2. 几何法：利用向量几何意义，结合图
形直观求解；3. 转化法：转化为二次函数或三角函数，利用相关性质求解。
【例3】已知|a
→
|=2，|b
→
|=1，a
→
与b
→
的夹角为60
∘，若c
→
= a
→
+t b
→
（t ∈ℝ），求| c
→
|的最小值及此时t 的值。
【知识点04】平面向量与实际情景综合
将实际中的位移、速度、力等矢量，转化为平面向量，利用向量的线性运算、数量积解决实际问题，常见场景：
位移合成、风速与航速合成、力的合成与分解。
明确实际矢量的方向和大小，建立向量模型，借助向量运算求解实际问题中的未知量（如合速度大小、合位移
方向等）。
【例4】一艘船以10km/h 的速度向正北航行，此时刮起西北风（风向为西北，即指向东南），风速为6km/h，
求船的实际航行速度的大小（结果保留根号）。
【题型一】平面向量与平面几何综合
【例1】（2025·山东临沂·三模）在平行四边形
中，
，
，
，
为边
上一点，若
，则线段
的长为（ ）
A．
B．
C．3
D．
【例2】（多选）（2023·湖北·模拟预测）下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A．已知
，点
在直线
上，且
，则
的坐标为
；
B．若
是
的外接圆圆心，则
C．若
，且
，则
D．若点
是
所在平面内一点，且
，则
是
的垂心.
【例3】（2026·全国·模拟预测）已知
的顶点坐标分别为
，
，
，则
的角平分线所
在的直线方程为________．
【变式1】（2024·湖南娄底·一模）已知圆内接四边形
中，
是圆的直径，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·广东广州·二模）在平面四边形
中，
，若
的面
积是
的面积的2 倍，则
的长度为______.
【变式3】（2026·河南开封·模拟预测）如图，在
中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且
．
(1)求B；
(2)若D 是边AC 的中点，
，
，求
的面积；
【题型二】平面向量与最值、范围问题综合
【例4】（2026·云南曲靖·二模）已知正方形
的边长为2，
为该正方形内切圆的直径，点P 在正方形
的边上运动，则
的最大值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【例5】（2026·湖南怀化·二模）已知圆
的圆心为
，半径为，
，
，
是圆
上的动点，且
，则
的取值范围为________．
【例6】（2023·福建福州·模拟预测）在
中，角
的对边分别是
，且
.
(1)求角
；
(2)若
的中线
长为
，求
面积的最大值.
【变式1】（2026·浙江·二模）如图，已知正三角形
的边长为2，以B 为圆心的圆与直线
相切，若点P 是圆
B 上的动点，则
的最大值是（ ）．
A．
B．
C．4
D．
【变式2】（2026·吉林白山·模拟预测）如图，
是边长为2 的等边三角形，以
为直径作一个半圆，点P 为
此半圆弧上的一个动点，若
，则
的最大值为______________.
【变式3】（2024·河南·模拟预测）
的内角
的对边分别为
，已知
是
边上一
点，
.
(1)求
；
(2)求
的最大值.
【题型三】平面向量与实际情景综合
【例7】（2026·湖北襄阳·二模）已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边
处出发，向对岸航行，若船的速度
，水流速度
，且船实际航行的速度的大小为，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例8】（2026·浙江·二模）某无人机在风速为
的西风（西风是从西面吹来的风）中，以
的航速沿北偏西
方向飞行，则当无风时无人机的航速和航向为（ ）
A．航速为
，方向为北偏西
B．航速为
，方向为北偏西
C．航速为
，方向为北偏西
D．航速为
，方向为北偏西
【例9】（2025·四川成都·模拟预测）如图，无弹性细绳
，
一端分别固定在A，B 处，在同样的细绳
的下
端吊一重物，要保持此状态，对细绳的耐力性要求最高的是________(三条绳本身质量忽略不计，横线上填
或
或
)．
【变式1】（2025·广东·模拟预测）已知力
作用于某一物体，使该物体从
移动到
，则力
对
该物体做的功为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．10
【变式2】（2026·安徽阜阳·二模）如图，无弹性的细绳
，
的一端分别固定在A，B 处，同样的细绳
下端
系着一个秤盘，且
，绳子
受力的大小为40 N，
受力的大小为30 N，则绳子
受力的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2024·全国·模拟预测）如图，某物体作用于同一点
的三个力
使物体处于平衡状态，已知
，
，
与
的夹角为
，则
的大小为_________．（牛顿
是物理的力学单位）
【解题大招01】基底法——几何背景优先选基底
当题目以三角形、四边形为背景，无明确坐标时，优先选取一组不共线的向量作为基底（如AB
→、AC
→），将所
有未知向量转化为基底的线性组合，再结合数量积运算求解，避免复杂几何推理。
基底选取优先选“共起点、不共线”的向量，简化线性组合运算，核心是“转化统一”。
【例1】在△ABC 中，AB =2，AC =3，∠BAC =60
∘，D 为BC 中点，求AD
→
⋅BC
→
的值。
【解题大招02】坐标法——有垂直/对称背景优先建系
当题目存在垂直关系（如直角三角形、矩形）、对称关系（如等腰三角形、圆）时，建立平面直角坐标系，将
向量坐标化，把向量运算转化为代数运算（加减、乘除），降低思维难度，避免逻辑错误。
建系时优先让顶点落在坐标轴上，简化坐标计算；坐标法适用于所有向量综合题，是一轮复习必练技巧。
【例2】已知矩形ABCD 中，AB = 4，AD =2，E 为CD 中点，求AE
→
⋅BE
→
的值。
【解题大招03】转化法——最值问题转化为函数最值
遇到向量模长、数量积的最值/范围问题，优先利用|m
→
|
2=m
→
⋅m
→消去模长，将问题转化为二次函数、三角函数
的最值求解，核心是“代数化转化”，避开几何最值的复杂分析。
最值问题优先“平方转化”，转化后优先用二次函数求解（高考高频），若有角度约束，可结合三角函数值域求解。
【例3】已知|a
→
|=2，|b
→
|=1，a
→
与b
→
的夹角为60
∘，c
→
= a
→
+t b
→
（t ∈ℝ），求| c
→
|的最小值及此时t 的值。
【解题大招04】性质法——巧用垂直/平行性质简化运算
牢记向量垂直、平行的核心性质，直接转化为等式/不等式，跳过复杂运算，快速解题；核心性质：
1. 垂直：a
→
⊥b
→
⇔a
→
⋅b
→
=0（坐标式：x1 x2+ y1 y2=0）；
2. 平行：a
→
∥b
→
⇔a
→
= λ b
→（坐标式：x1 y2= x2 y1）。
垂直、平行是高考基础考点，直接套用性质，避免多余运算，注意平行时需排除零向量（本题无零向量，可直
接求解）。
【例4】已知向量a
→
=(k ,3)，b
→
=(1,k +1)，若a
→
⊥b
→
，求k 的值；若a
→
∥b
→
，求k 的值。
【解题大招05】几何意义法——快速判断数量积符号/大小
利用向量数量积的几何意义（a
→
⋅b
→
=| a
→
||b
→
|cos θ），快速判断数量积的符号（θ为锐角正、钝角负、直角
0），或估算大小，适用于客观题快速求解/验证。
客观题可优先用几何意义判断符号，节省运算时间，后续可结合坐标法验证，提高正确率。
【例5】在△ABC 中，∠C =90
∘，AC = BC =2，则CA
→
⋅CB
→
、CA
→
⋅AB
→
的符号分别为（ ）
A. 正、正 B. 正、负 C. 负、正 D. 负、负
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2026·辽宁抚顺·一模）已知向量
，
满足
，
，则
的最小值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
2．（2025·福建泉州·模拟预测）一条河两岸平行，河的宽度为
，一艘船从河岸边的某地出发，向河对岸航行．
已知船在静水的速度大小为
，且船在航行过程中受水流的影响．当船以路程最短的方式航行到对岸时，所需
时间为6 分钟，则水流速度的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知
的半径为1，直线PA 与
相切于点A，直线PB 与
交于B，C 两点，D
为BC 的中点，若
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
4．（2025·全国·模拟预测）已知
和
是平面中两个相互垂直的单位向量，若该平面中的
与
分别满足
，
，设
，则下列说法中正确的有（ ）
A．动点
的轨迹是以
为半径的圆
B．
的最小值是12
C．
的最大值是80
D．
在
方向上投影的最大值是
三、填空题
5．如图，在平面四边形
中，
，
，
，
.若
为线段
中点，则
______；若
为线段
（含端点）上的动点，则
的最小值为______.
6．（2023·甘肃定西·模拟预测）已知向量
，
，若向量
，且
与
的夹角为钝角，写出一个满
足条件的
的坐标为______.
四、解答题
7．（2024·安徽·一模）在
中，角
的对边分别为
，面积为S，且
.
(1)求B；
(2)若
，
，D 为
边的中点，求
的长.
8．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在
中，角
的对边分别为
已知
(1)求角
(2)过
作
，交线段
于D，且
，求角
.
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）直角
中，斜边
，
，动点
满足
，则
的最大
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·江苏镇江·二模）若非零向量
与
满足
，且
，则三角形ABC 为
（ ）
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形
D．等边三角形
二、多选题
3．（2025·广西来宾·模拟预测）已知⊙O 的半径为1，直线PA 与⊙O 相切于点A，直线PB 与⊙O 交于B，C 两点，D
为
的中点，若
，则
的可能取值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
三、填空题
4．（2026·陕西商洛·模拟预测）在等腰直角
中，
为斜边
的中点，点
在边
上，
，则
的
最小值为______.
5．（2026·四川·模拟预测）在
中，角
所对的边分别为
，且
为
的中点，
则
的最大值为__________.
四、解答题
6．（2026·江苏扬州·模拟预测）在
中，已知角
所对的边分别为
，且满足
．
(1)求
；
(2)若
边上的两条中线
相交于点
，求
的余弦值．
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2026·辽宁盘锦·一模）已知P，Q 是双曲线
右支上两点，且满足
（其中
），则
最小值为（ ）
A．
B．2
C．4
D．
2．（2026·广东·模拟预测）已知平面内存在
，
，
，
，
五个点，且满足
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2025·安徽黄山·二模）如图，一条河两岸平行，河的宽度
，一艘船从河岸边的
地出发，向河对岸航
行，已知船的速度
的大小为
，水流速度
的大小为
，设
和
的夹角为
，则
下列说法正确的为（ ）
A．当船的航行时间最短时，
B．当船的航行距离最短时，
C．当
时，船的航行时间为6 分钟
D．当
时，船的航行距离为
三、填空题
4．（2026·江西赣州·二模）
为平面
内一点，
，则
的取值范围是______．
四、解答题
5．（2026·浙江温州·二模）已知
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)求B；
(2)若
，点D 在AC 上，直线BD 上一点P 满足
，在点C 和点D 的变化过程中，
（ⅰ）求
的最小值；
（ⅱ）当
最小时，求
的值．
