文档文本内容
第01 讲 平面向量的概念及线性运算
目录
考情探究.........................................................................................................................2
知识梳理.........................................................................................................................2
探究核心考点.................................................................................................................4
考点一 平面向量基本概念的综合考查......................................................................................4
考点二 相等向量及其应用..........................................................................................................7
考点三 平面向量线性运算的综合考查......................................................................................8
考点四 平面向量共线定理与点共线问题................................................................................10
考点五 平行向量（共线向量）求参数....................................................................................12
三阶突破训练...............................................................................................................14
基础过关......................................................................................................................................14
能力提升......................................................................................................................................17
真题感知......................................................................................................................................20
一、5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025 年全国一卷，第6 题,5 分
向量坐标的线性运算解决几
何问题
坐标计算向量的模
平面向量线性运算的坐标表示
2024 年新I 卷，第3 题,5 分
平面向量线性运算的坐标表
示
向量垂直的坐标表示
2023 年新I 卷，第3 题,5 分
平面向量线性运算的坐标表
示
向量垂直的坐标表示
利用向量垂直求参数
2022 年新Ⅱ卷，第4 题,5 分
平面向量线性运算的坐标表
示
数量积及向量夹角的坐标表示
二、命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5 分
【备考策略】1 了解向量的实际背景,理解平面向量的基本概念,理解向量的几何表示
2 掌握向量的加、减运算并理解其几何意义
3 掌握向量的数乘运算并理解其几何意义以及两个向量共线的含义
4 理解向量的线性运算性质及其几何意义
【命题预测】本节一般考查平面向量的基本概念、线性运算及坐标运算，易理解，易得分，需重点复习
知识点1 平面向量的定义与表示
（1）向量：在数学中，我们把既有 大小 又有 方向 的量叫做向量．
（2）向量的表示
①表示工具——有向线段．
有向线段包含三个要素： 起点 ， 方向 ， 长度 ．
②表示方法：
向量可以用 有向线段AB
→ 表示，向量AB
→的大小称为向量AB
→的 长度 (或称模)，记作 |AB
→
| .向量可以用字母a，b，c，…表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如：AB
→，CD
→.
知识点2 平面向量的有关概念
(1)零向量：长度为0 的向量，其方向是任意的．
(2)单位向量：长度等于1 个单位的向量．
(3)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量平行．
(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(5)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
知识点3 平面向量的线性运算
向量运算
定义
法则（或几何意义）
加法
求两个向量和的运算
三角形 法则
平行四边形 法则
减法
求⃗a与⃗b的相反向量−⃗b的和的
运算
三角形 法则
数乘
求实数λ与向量⃗a的积的运算
（1）|λ⃗a)=|λ)|⃗a)；
（2）当λ>0时，λ⃗a的方向与⃗a的方向 相同 ；
当λ<0时，λ⃗a的方向与⃗a的方向 相反 ；当λ =0
时，λ⃗a=⃗0
知识点4 平面向量线性运算的运算律
1.向量加法的运算律
（1）交换律：⃗a+⃗b= ⃗b+⃗a ．
（2）结合律：(⃗a+⃗b)+⃗c = ⃗a+(⃗b+⃗c) ．
2.向量减法的运算律
几何意义：⃗a−⃗b可以表示为从向量⃗b的 终点 指向向量⃗a的 终点 的向量．
定义：⃗a−⃗b=⃗a+(−⃗b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的 相反 向量．
3.|⃗a−⃗b)与|⃗a)，|⃗b)之间的关系
(1)对于任意向量⃗a，⃗b，都有 ||⃗a)−|⃗b)) ≤|⃗a−⃗b)≤ |⃗a)+|⃗b) ；
(2)当⃗a，⃗b共线，且同向时，有|⃗a−⃗b)= |⃗a)−|⃗b) 或 |⃗b)−|⃗a) ；
(3)当⃗a，⃗b共线，且反向时，有|⃗a−⃗b)= |⃗a)+|⃗b) ．
4.数乘运算律
一般地，设⃗a，⃗b是任意向量，x，y 是任意实数，则如下运算律成立：
（1）对实数加法的分配律：(x + y)⃗a= x⃗a+ y⃗a ．
（2）对实数乘法的结合律：x ( y⃗a)= ( xy )⃗a ．
（3）对向量加法的分配律：x(⃗a+⃗b)= x⃗a+ x⃗b ．
知识点5 平面向量共线定理
向量⃗a(⃗a≠⃗0)与⃗b共线的充要条件是：存在 唯一一个 实数λ，使 ⃗b= λ⃗a ．
给定四点O , P , A ,B，其中O , A ,B为不共线的三点，且⃗OP = x⃗OA + y⃗OB，则A , P ,B三点共线的充要条
件是 x + y =1 ．
考点一 平面向量基本概念的综合考查
典例1．下列说法错误的是（ ）
A．
B．
，
是单位向量，则
C．若
，则
D．两个相同的向量的模相等
【答案】C
【分析】由向量的模、单位向量、相等向量等概念对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于A，
，故A 正确；
对于B，
，
是单位向量，则
，故B 正确；
对于C，若
，
有方向不能比较大小，故C 错误；
对于D，两个相同的向量长度相等，方向相同，故D 正确.
故选：C.
典例2．（2025·云南临沧·模拟预测）关于非零向量
，
，下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
，
不是共线向量
【答案】C
【分析】由向量的模长，共线，相等的性质逐项判断即可.
【详解】对于A，向量不能比较大小，故A 错；
对于B，向量的模相等，但是向量的方向可能不同，故B 错；
对于C，若
，由向量相等的条件可得
，故C 正确；
对于D，不相等的向量也可能是共线向量，故D 错.
故选：C．
典例3．设
和
是两个非零向量，定义向量
，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量数量积的运算法则和向量相等的定义即可判断.
【详解】因为
，所以
，但向量
的方向不确定，
所以
推不出
；
又根据
，得到
，所以
可以推出
，
则“
”是“
”的必要不充分条件，
故选：B．
跟踪训练1．下列命题中，正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】C
【分析】根据向量的概念逐一判断.
【详解】对于A：若
，则
只是大小相同，并不能说方向相同，A 错误；
对于B：向量不能比较大小，B 错误；
对于C：若
，则
方向相同，C 正确；
对于D：若
，如果
为零向量，则不能推出
平行，D 错误.
故选：C.
跟踪训练2．已知平面向量
，
，则“
或
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据向量的基本概念，结合充分，必要条件，即可判断选项.
【详解】若
或
，则
，反过来，若
，两个向量的方向不确定，不能推出
或
，
所以“
或
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A
跟踪训练3．若向量
与
方向相反，则下列等式中必定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用平面向量的加法法则计算可得结论.
【详解】因为向量
与
方向相反，所以
，
.
故选：A.
考点二 相等向量及其应用
典例1．设
都是非零向量，下列四个条件中，使
成立的充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
且
【答案】C
【分析】根据题意，得到向量
和
的方向相同，结合选项，即可得到答案.
【详解】由
都是非零向量，且
，
因为
和
分别表示与向量
和
同向的单位向量，所以向量
和
的方向相同，
结合选项，可得
成立的充分条件为
.
故选：C.
典例2．若在四边形
中，满足
，且
，则四边形
的形状一
定是（ ）
A．正方形
B．矩形
C．菱形
D．等腰梯形
【答案】B
【分析】根据平面向量加减法的运算及数量积的运算律即可求解．
【详解】由
得，
，即四边形
为平行四边形，
又
，所以
，
整理得
，即
，
所以四边形
为矩形，
故选：B．
典例3．已知向量
，
不共线，实数
，
满足
，则
（ ）
A．4
B．
C．2
D．
【答案】A
【分析】由已知结合平面向量基本定理可求
，
，进而求出答案.
【详解】由
，
不共线，实数
，
满足
，
得
，解得
，
，
所以
.
故选：A
跟踪训练1．已知四边形
满足条件
，且
，其形状是（ ）
A．梯形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
【答案】B
【分析】由
，分析出四边形一组对边平行且相等，又由
，分析出四边形对角线相等，
即可得到结果.
【详解】由
，可知
且
，
则四边形
为平行四边形，
又由
，可知四边形
为矩形，
故选:B.
跟踪训练2．平面直角坐标系中，已知点A，B，C 的坐标分别为（0，1），（1，0），（4，2），且四边
形ABCD 为平行四边形，那么D 点的坐标为
A．（3，3）
B．（﹣5，1）
C．（3，﹣1）
D．（﹣3，3）
【答案】A
【分析】利用
，求得
点的坐标.
【详解】设D（x，y），
∵点A，B，C 的坐标分别为（0，1），（1，0），（4，2），
且四边形ABCD 为平行四边形，
∴
，∴（x，y
1
﹣）=（3，2），
解得x=3，y=3，
∴D 点的坐标为（3，3）.
故选：A.
【点睛】本小题主要考查平面向量相等的知识，属于基础题.
考点三 平面向量线性运算的综合考查
典例1．（2025·河南安阳·一模）已知平行四边形
的对角线的交点为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用平面向量线性运算计算得解.
【详解】在
中，
.
故选：C
典例2．纸风车体现了数学的对称美，如图是一个纸风车示意图，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，根据向量相等定义，向量数量积以及平行四边形法则可得结果.
【详解】不妨设
，则
，
与
方向不一致，所以
，故A 错误；
由题干图中所示，
为钝角，所以
，故B 错误；
结合题干及图，由向量的平行四边形法则可知
，故C 正确；
，故D 错误.
故选：C.
跟踪训练1．（2025·四川自贡·三模）在
中，
是
边上的中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.
【详解】因为
是
边上的中点，
所以
，即
.
故选：A.
跟踪训练2．已知半径为1 的圆O 的内接正十二边形的顶点依次为
，
，
，…，
，P 为圆O 内的任
意动点（不包含边界），若
，则
（ ）
A．13
B．12
C．11
D．10
【答案】B
【分析】根据向量线性运算可得答案.
【详解】易知
，
由
得
，
故
．
故选：B.
考点四 平面向量共线定理与点共线问题
典例1．已知
，
，
（
和
不共线），则三点共线（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算与共线定理即可得出结论.
【详解】
，所以
共线，
即
三点共线，故A 正确；
，
，
，
不共线，故B 错误；
，
，
，
不共线，故C 错误；
，
，
，
不共线，故D 错误；
故选：A
典例2．若
、
是两个不共线的向量，若
，
，
，且
、
、
三点共
线，则实数
的值等于 ．
【答案】
/
【分析】求出向量
，由题意可得
，则存在实数
，使得
，利用平面向量的基本定理
可得出关于
、
的方程组，即可解得
的值.
【详解】由题意可得
，
因为
、
、
三点共线，则
，
则存在实数
，使得
，即
，
因为
、
是两个不共线的向量，所以，
，解得
.
故答案为：
.
跟踪训练1．）已知
，
，
，则共线的三点为（ ）
A．B，C，D
B．A，B，C
C．A，C，D
D．A，B，D
【答案】D
【分析】A 选项，设
，则
，无解，不满足共线定理，A 错误；BC 选项，方法同A，得
到BC 错误；D 选项，计算出
，D 正确.
【详解】A 选项，
，
，
令
，则
，无解，不满足共线定理，A 错误；
B 选项，
，
，
令
，则
，无解，不满足共线定理，B 错误；
C 选项，
，
，
令
，则
，无解，
，
不满足共线定理，C 错误；
D 选项，
，故
三点共线，D 正确．
故选：D
跟踪训练2．已知非零向量
，
不共线，若
，
，
，且A，C，D 三点
共线，则
．
【答案】
【分析】根据三点共线，则对应向量共线，则存在非零实数x，使得
，即可求得参数.
【详解】因为A，C，D 三点共线，故可得
，
则存在非零实数x，使得
．
又
，
，
故可得
．又非零向量
，
不共线，
故可得
，
，解得
，
．
故答案为：
.
跟踪训练3．已知向量
三点共线，则
.
【答案】
/
【分析】由点共线可得
，再利用两角和的正切公式即可求得结果.
【详解】因为
三点共线，所以
，
所以
，
可得
故答案为：
考点五 平行向量（共线向量）求参数
典例1．（2025·广东广州·三模）已知向量
不共线，
与
共线，则实数
的值为（ ）
A．
B．2
C．6
D．
【答案】A
【分析】由向量共线得到
，求解即可.
【详解】因为
与
共线，
所以
，
解得：
，
故选：A
典例2．若向量
，
不共线，且向量
，
同向共线，则
（ ）
A．1
B．
C．1 或
D．
或
【答案】B
【分析】由平面向量的基本定理及向量共线条件得
求参数，再由向量同向共线求解.
【详解】因为向量
，
共线，
所以
，解得
或
，
当
时，向量
与
方向相反，不满足，
当
时，向量
与
方向相同，满足，
故
.
故选：B
跟踪训练1．已知
、
不共线，向量
，
，且
，则
.
【答案】
【分析】设
，其中
，根据平面向量的基本定理可得出关于
、
的方程组，解之即可.
【详解】因为
，所以
，使得
成立，即
.
因为
、
不共线，所以
，所以，
.
故答案为：
.
跟踪训练2．已知
，
为不共线向量，
，
，若
，
为共线向量，则
（ ）
A．2
B．4
C．
D．
【答案】D
【分析】利用平面向量的共线性质建立方程，求解参数即可.
【详解】因为
，
为不共线向量，且
，
为共线向量，
所以
，而
，
，
则
，
故
，解得
，故D 正确.
故选：D.
一、单选题
1．（2025·河南·三模）若点A 在点O 的正北方向，点B 在点O 的南偏西
方向，且
，则
向量
表示（ ）
A．从点O 出发，朝北偏西
方向移动
B．从点O 出发，朝北偏西
方向移动
C．从点O 出发，朝北偏西
方向移动2km
D．从点O 出发，朝北偏西
方向移动2km
【答案】C
【分析】以O 为坐标原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，
标出题中所给信息，再利用向量加法的平行四边形法则求出
即可.
【详解】以O 为坐标原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向，建立如图所示的平面直
角坐标系，
依题意可得
，
设
，因为
，所以四边形OACB 为菱形，
则
，则
为正三角形，所以
，
故向量
表示从点O 出发，朝北偏西
方向移动2km.
故选：C
2．（2025·吉林·二模）在
中，点D 为
的中点，点O 为
的重心，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】结合重心性质与向量运算化简可得.
【详解】
如图，连接
，因为点O 为
的重心，
则
为
的三等分点，且
，
所以
，
故选：A.
3．（2025·黑龙江·一模）如图，在正六边形
中，点
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】应用向量加减、数乘的几何意义，用
表示
，即可得答案.
【详解】由题设及正六边形的结构特征知
，
，且
，
，
又
，所以
.
故选：B
4．（2025·广东惠州·三模）把函数
的图象按向量
平移，得到
的图象，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由向量的概念确定函数图象平移方向，进而写出
的解析式.
【详解】由题意
.
故选：A
5．（2025·广东茂名·二模）已知向量
不共线，且
，则实数
（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据向量共线，可设
，利用向量相等的条件求解即可．
【详解】因为向量
不共线，且
，
设
，即
，
所以
，解得
．
故选：D．
6．（2025·江苏南通·三模）已知
，
为平面内一组基底，
，
，
，
若A，B，D 三点共线，则a 的值为（ ）
A．2
B．
C．0
D．1
【答案】A
【分析】根据向量的减法运算求出
，再由共线向量定理求解即可.
【详解】
，
，
因为
与
共线，
，
故选：A．
7．（2025·湖南邵阳·三模）设
为
所在平面内一点，
．若
，
则
的值为（ ）
A．4
B．5
C．
D．
【答案】D
【分析】根据向量的线性运算，即可求解.
【详解】
，
所以
，即
，即
,
即
.
故选：D
一、单选题
8．（2025·广东深圳·二模）在四边形
中，若
，则“
”是“四边形
是正
方形”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据
，
判断出四边形
的形状，结合充分条件、必要条件的定义判断
即可.
【详解】在四边形
中，若
，则四边形
为平行四边形，
若
，则平行四边形
为菱形，但不一定为正方形，
四边形
是正方形时，必有
，即有
，
故“
”是“四边形
是正方形”的必要不充分条件.
故选：B.
9．（2025·湖北·模拟预测）已知
，
，是同一个平面内的三个向量，则“
”是“
”的（ ）
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】取特例可判断充分性，利用共线向量的性质及向量数量积的运算可判断必要性.
【详解】当
时，
，可以是任意向量，因此是不充分条件；
当
时，若
，显然
成立；
当
，因为
，所以
，
因此
，
，
因此
成立.
故“
”是“
”的必要条件.
故选：C
10．（2025·湖北·模拟预测）在平行四边形
中，点
是
边上的点，
，点
是线段
的中点，若
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】C
【分析】由
及
即可求解.
【详解】
因为点
是线段
的中点,所以
，
又
，
所以
，
所以
，
故选：C
11．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在
中，
为线段
上一点，且
，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先利用基底
表示
，再设
，即可构造关于
的方程组.
【详解】因
，则
，
故
，
因
三点共线，故设
，则
，
因
，则
，解得
．
故选：D．
二、多选题
12．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设
是两个非零向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．
在
方向上的投影向量的模为
【答案】ACD
【分析】对于A，根据条件，利用数量积的定义，即可判断正误；对于B，利用向量相等的条件，即可求
解；对于C，根据条件，利用数量积的运算律，可得
，即可求解；对于D，利用投向量及模长的定
义，即可求解.
【详解】对于选项A，由
可知，当
时，
，所以
．所以选项A
正确，
对于选项B，由
可知，
与
共线，不一定是
．所以选项B 错误，
对于选项C，由
，得
，即
，所以
，所以选项C 正
确，
对于选项D，由投影向量定义可知，
在
方向上的投影向量为
，
所以其模长为
，故选项D 正确．
故选：ACD．
13．（2025·山西晋中·三模）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四
象生八卦．如图所示是八卦模型图以及根据该图抽象得到的正八边形ABCDEFGH，其中
，O 为正八
边形的中心，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】由向量的线性运算及向量数量积的定义，余弦二倍角公式逐个判断即可.
【详解】对于A，
，故A 正确；
对于B，如图，连接AC 交OB 于点M，可知M 为AC 的中点，所以
，故B 错误；
对于C，在
中，易知
，且
，所以
，
，由二倍角公
式可得
，故C 正确；
对于D，连接
，则
，所以
，故D 正确．
故选：ACD
14．（2025·天津·高考真题）
中，D 为AB 边中点，
，则
（用
，
表示），若
，
，则
【答案】
；
【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二.
【详解】如图，
因为
，所以
，所以
．
因为D 为线段
的中点，所以
；
又因为
，所以
，
，所以
所以
，
所以
．
故答案为：
；
.
15．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为
,所以
,
即
,即
,所以
.
如图,设
,
由题知,
是等腰直角三角形,
AB 边上的高
,
所以
,
,
.
故选:D.
