第01 讲 三角函数的概念与诱导公式
目录
考情探究.........................................................................................................................2
知识梳理.........................................................................................................................3
探究核心考点.................................................................................................................5
考点一 终边相同的角 ................................................................................................................5
考点二 弧长公式与扇形面积公式..............................................................................................7
考点三 任意角的三角函数..........................................................................................................9
考点四 同角三角函数的基本关系............................................................................................12
考点五 求sinx，cosx的齐次式的值..........................................................................................14
考点六 sinx ±cosx，sinxcosx 知一求二....................................................................................15
考点七 诱导公式........................................................................................................................17
考点八 同角三角函数与诱导公式的综合................................................................................19
三阶突破训练...............................................................................................................22
基础过关......................................................................................................................................22
能力提升......................................................................................................................................26
真题感知......................................................................................................................................32
一、5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025 年北京卷，第13 题,5 分
同角三角函数关系
无
2024 年北京卷，第12 题,5 分
诱导公式
三角函数单调性
2023 年甲卷，第7 题,5 分
同角三角函数关系
无
2023 年乙卷，第14 题,5 分
同角三角函数关系
无
2023 年甲卷，第13 题,5 分
诱导公式
函数奇偶性
2023 年北京卷，第13 题,5 分
诱导公式
三角函数单调性
二、命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题不稳定，常结合其他知识点一起考核，难度较低，分
值为5 分
【备考策略】1.理解任意角的概念，了解正角、负角、零角的概念
2.能掌握终边相等的角
3.理解弧度制的概念，并能与度数制进行互换；掌握弧长和扇形面积公式
4.理解任意角的三角函数的概念，会利用其求一些特殊角的三角函数值
5.掌握同角三角函数关系，并会对其灵活运用
【命题预测】本节内容直接考核的可能性不大，可能会结合三角恒等变换进行综合考核。
1 任意角
① 角的定义与分类
(1) 角可以看成平面内 一条射线
绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
如下图，一条射线的端点是O，从起始位置OA按
逆时针
旋转到终止位置OB，形成角α，射线
OA , OB分别是角α的始边和终边.
(2) 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角.
② 终边相等的角
与角α终边相同的角的集合为{β |β =α +k ⋅ 360
∘ , k ∈ Z }.
PS 表达式中的k ∈ Z不能漏！
③ 象限角的概念
角α的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角.
PS α终边落在坐标轴上，不能称α为象限角.
2 弧度制
① 弧度的定义
弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad.
即:半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么|α |= l
r
② 角度与弧度的转化
180
°= π ⇒1
∘= π
180 ≈ 0.01745 1=(
180
π )
°
≈ 57.30
∘
③ 特殊角的角度与弧度对应表
角度
0
∘
30
∘
45
∘
60
∘
90
∘
120
∘
135
∘
150
∘
180
∘
270
∘
360
∘
弧度
0
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3 π
4
5 π
6
π
3 π
2
2π
④ 弧长与扇形面积计算公式
弧长l =
|α |∙R ； 扇形面积S = 1
2 lR = 1
2 α R
2 ，(R为圆的半径)
注 α为弧度制.
3 任意角的三角函数的概念
设α是一个任意角，α ∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P( x , y).
① 把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y = sinα；
② 把点P的纵坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x =cosα；
③ 把点P的纵坐标y
x 叫做α的正切函数，记作tanα，即y
x =tanα( x≠0).
正弦函数f (x)= sinx , x∈R；余弦函数f (x)=cosx , x∈R；
正切函数f (x)=tanx , x≠π
2 +kπ(k ∈Z )，
它们统称三角函数.
4 三角函数在各个象限的符号
各象限点坐标的符号
α
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
sinα
+
+
－
－
cosα
+
－
－
+
tanα
+
－
+
－
5 特殊角的三角函数值表
α
0
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3 π
4
5 π
6
π
3 π
2
2π
sinα
0
1
2
❑√2
2
❑√3
2
1
❑√3
2
❑√2
2
1
2
0
-1
0
cosα
1
❑√3
2
❑√2
2
1
2
0
- 1
2
-
❑√2
2
-
❑√3
2
-1
0
1
tanα
0
❑√3
3
1
❑√3
－
- ❑√3
-1
-
❑√3
3
0
－
0
6 同角三角函数基本关系式
sin
2 α +co s
2 α = 1 tanα = sinα
cosα
拓展 (sinα +cosα )
2= 1+2 sinαcosα (sinα -cosα )
2= 1-2 sinαcosα
考点一 终边相同的角
典例1．（2025·河北衡水·模拟预测）“角α , β的终边在同一条直线上”是“sin (α - β)=0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】借助α - β的值，直接分别判断充分性和必要性.
【详解】由角α , β的终边在同一条直线上，得α = β +k π,k ∈Z，
即α - β =k π,k ∈Z，所以sin(α - β)=sink π=0,k ∈Z.
反之，由sin(α - β)=0，得α - β =mπ,m∈Z，
当m为偶数时，角α , β的终边在同一条射线上；
当m为奇数时，角α , β的终边在同一条直线上.
综上，“角α , β的终边在同一条直线上”是“sin(α - β)=0”的充要条件.
故选 ：C.
【总结】
1 与角α终边相同的角的集合为{β |β =α +k ⋅ 360
∘ , k ∈ Z }.
2 表示与角α终边相同的角的集合时不要把k ∈Z漏了.
3 角α与β的终边关于直线y = x对称,则α + β = π
2 +2kπ ,k ∈z。
跟踪训练1．（2025·山东淄博·模拟预测）“角α与β的终边关于直线y = x对称”是“sin (α + β)=1”的
（ ）
A．充分必要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据终边关于y = x对称，得两角的关系，再由sin (α + β)=1，得两角满足
的关系，根据充分必要条件的定义即可求解.
【详解】角α与β的终边关于直线y = x对称,则α + β =π
2
+2k π,k ∈Z,
sin (α + β)=1,则α + β =π
2
+2k π,k ∈Z，
“角α与β的终边关于直线y = x对称”是“sin (α + β)=1”的充分必要条件.
故选:A
跟踪训练2．（2025·湖北·模拟预测）若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线
y = ❑√3 x上，则角α的取值集合是（ ）
A．{α|α =2k π+π
3 ,k ∈Z}
B．{α|α =2k π+ 2π
3 ,k ∈Z}
C．{α|α =k π+ 2π
3 ,k ∈Z}
D．{α|α =k π+π
3 ,k ∈Z}
【答案】D
【分析】根据题意，分α为第一象限角和第三象限角时，求出α的取值集合再求并集.
【详解】
根据题意，角
的终边在直线y = ❑√3 x上，α为第一象限角时，α =π
3 +2k π(k ∈Z)；
α为第三象限角时，α = 4π
3
+2k π(k ∈Z)；
综上，角α的取值集合是¿.
故选：D.
跟踪训练3．（2024·湖南岳阳·三模）已知角α , β的终边关于直线y = x对称，且sin(α - β)=
❑√3
2 ，则α , β
的一组取值可以是α = ，β = ．
【答案】 5π
12 π
12（答案不唯一，符合α =(k +m)π+5π
12 ，β =(k -m)π+π
12或
α =(k +m)π+7π
12 ，β =(k -m)π-π
12，k ,m∈Z即可）
【分析】由条件角α , β的终边关于直线y = x对称可得α + β，由sin(α - β)=
❑√3
2 可得α - β，解方程求α , β
即可.
【详解】因为角α , β的终边关于直线y = x对称，
所以α + β =2k π+π
2 ，k ∈Z，
又sin(α - β)=
❑√3
2 ，
所以α - β =2mπ+π
3 或α - β =2mπ+2π
3 ，m∈Z，
所以α =(k +m)π+5π
12 ，β =(k -m)π+π
12或α =(k +m)π+7π
12 ，β =(k -m)π-π
12，k ,m∈Z，
取k =0,m=0可得α = 5π
12 , β =π
12或α =7π
12 , β =-π
12
所以α , β的一组取值可以是α = 5π
12 , β =π
12，
故答案为：5π
12 ，π
12，（答案不唯一，符合α =(k +m)π+5π
12 ，β =(k -m)π+π
12或
α =(k +m)π+7π
12 ，β =(k -m)π-π
12，k ,m∈Z即可）
考点二 弧长公式与扇形面积公式
典例1．（2025·北京昌平·二模）如图，正方形A1B1C1 D1的边长为1，点A1, D1在直线l上．
´
D1 A2是以点
A1为圆心，A1 D1为半径的圆弧，
´
A2B2是以点B1为圆心，B1 A2为半径的圆弧，
´
B2C2是以点C1为圆心，
C1B2为半径的圆弧，
´
C2 D2是以点D1为圆心，D1C2为半径的圆弧，
´
D2 A3是以点A1为圆心，A1 D2为半
径的圆弧，．．．，依次类推，其中点A1，D1, D2, D3,⋯共线，点B1, A1, A2，A3,⋯共线，点
C1,B1,B2,B3,⋯共线，点D1,C1,C2,C3,⋯共线．则
´
A3 B3的长度为 ；由上述圆弧组成的曲线E与
直线l恰有7 个交点时，曲线E长度的最小值为 ．
【答案】 3π 39π
【分析】根据题意，求出
´
A3 B3所在圆的半径，求解
´
A3 B3的长度；当圆弧组成的曲线E与直线l恰有7 个交
点时，要使曲线E长度的最小，即由
´
D1 A2,
´
A2B2,
´
B2C2,
´
C2 D2,
´
D2 A3,
´
A3 B3,
´
B3C3,
´
C3 D3,
´
D3 A4,
´
A4 B4,
´
B4C4,
´
C4 D4围成，运算得解.
【详解】由题可知，
´
A3 B3所在圆的半径为6，所以
´
A3 B3的长度即1
4 个圆弧，
所以
´
A3 B3的长度为1
4 ×2π×6=3π；
当圆弧组成的曲线E与直线l恰有7 个交点时，此时与直线l的交点为D1, D2, D3, D4,B2,B3,B4，
曲线E长度的最小，即由下面12 个圆弧围成，
´
D1 A2,
´
A2B2,
´
B2C2,
´
C2 D2,
´
D2 A3,
´
A3 B3,
´
B3C3,
´
C3 D3,
´
D3 A4,
´
A4 B4,
´
B4C4,
´
C4 D4，
它们的圆弧半径依次为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，
所以曲线E长度的最小值为1
4 ×2π×(1+2+3+ 4+5+6+7+8+9+10+11+12)=39π.
故答案为：3π；39π.
典例2．（2025·重庆·模拟预测）高为2 的圆锥的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则此圆锥的体积为
（ ）
A．π
6
B．π
3
C．π
2
D．2π
3
【答案】B
【分析】利用圆锥的底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长，以及圆锥的高、底面圆的半径、母线之间
的关系列出方程组求出底面半径和弧长，利用圆锥的体积公式进行求解.
【详解】设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，高为h，体积为V ，侧面展开图扇形的圆心角为α，
则根据题意可知α =120° = 2π
3 ，h=2，
所以¿，即¿，解得r =
❑√2
2 ，l = 3 ❑√2
2
，
所以圆锥的体积为V = 1
3 ×πr
2h= 1
3 ×π× 1
2 ×2=π
3 .
故选：B.
【总结】
1 弧长l =|α |∙R； 扇形面积S = 1
2 lR = 1
2 α R
2 ，(R为圆的半径)
2 圆锥的侧面积等于展开图扇形的面积，底圆的周长等于扇形的弧长，圆锥的轴截面是个等腰三角形。
跟踪训练1．（2025·陕西·模拟预测）已知一个圆锥的底面圆半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为2π
3
的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A．2❑√2π
B．2π
3
C．16 ❑√2π
3
D．4 ❑√35π
3
【答案】C
【分析】求出圆锥的母线长，可求出该圆锥的高，再利用锥体的体积公式可求出该圆锥的体积.
【详解】设圆锥的母线长为l，高为h，由于扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
则2π
3 l =2π×2，解得l =6，故圆锥的高为h=
❑√l
2-2
2=
❑√6
2-2
2= 4 ❑√2，
因此，该圆锥的体积为V = 1
3 π×2
2×4 ❑√2= 16 ❑√2
3
π.
故选：C.
跟踪训练2．（2025·山东济宁·二模）已知圆锥的体积为2❑√2π
3
，其侧面展开图是一个圆心角为2π
3 的扇
形，则该圆锥的底面半径为（ ）
A．1
2
B．1
C．❑√2
D．2
【答案】B
【分析】设母线长为l，底面半径为r，圆锥的高为h，则有2πr = 2π
3 l即可得l =3r，再求高h，进而得圆
锥的体积即可求解.
【详解】设母线长为l，底面半径为r，圆锥的高为h，则有2πr = 2π
3 l⇒l =3r，
又h=
❑√l
2-r
2=
❑√9r
2-r
2=2❑√2r，
所以V = 1
3 Sh= 1
3 πr
2×2❑√2r = 2❑√2π
3
⇒r
3=1⇒r =1，
故选：B.
跟踪训练3．（2025·河南新乡·模拟预测）如图所示的“月牙形”阴影部分的边缘是两条不同曲线构成，其
中一个是△ABC的外接圆的圆弧，另一个是以AB 为直径的圆的一部分圆弧，已知∠ACB = 2π
3 ，
AC = BC =1，则该月牙形即阴影部分面积为（ ）
A．
❑√3
4 +π
24
B．
❑√3
4 -π
24
C．1
4 +π
24
D．3 ❑√3
4
-π
8
【答案】A
【分析】根据圆和扇形面积的计算方法，分别求出弓形的面积和半圆的面积，作差可得月牙形面积.
【详解】
如图所示，根据已知和图形知AB =
❑√A C
2+ BC
2-2 AC ⋅BC cos∠ACB = ❑√3，
设以△ACB为外接圆的圆心为O，直径2r由正弦定理得2r =
AB
sin 2π
3
=
❑√3
❑√3
2
=2
，即r =1，
在圆O中，根据圆心角和圆周角的关系，可知∠AOB = 2π-2∠ACB
2
= 2π
3 ，
由扇形面积公式可得S弓形ACB= S扇形- S△AOB= 1
2 ⋅r
2⋅2π
3 - 1
2 ⋅r ⋅r ⋅sin 2π
3 =π
3 -
❑√3
4 ，
易知以AB直径的半圆的半径为R =
❑√3
2 ，即S半圆= 1
2 π R
2= 1
2 π⋅(
❑√3
2 )
2
= 3π
8 ，于是
S月牙= 3π
8 -(
π
3 -
❑√3
4 )=
❑√3
4 +π
24 ，
故选：A.
考点三 任意角的三角函数
典例1．（2025·山东泰安·模拟预测）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学
家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的
每一个盛水筒都做匀速圆周运动，将筒车抽象为一个半径为R的圆，如图2 建立平面直角坐标系，已知筒
车按顺时针方向旋转，每旋转一周用时180 秒，当t =0时，某盛水筒位于点P0(3,-3 ❑√3)，经过t秒后运动
到点P(x , y)，则当筒车旋转120 秒时，此盛水筒对应的点P的横坐标为（ ）
A．-3
B．3 ❑√3
C．3
D．-3 ❑√3
【答案】C
【分析】由点P坐标求出∠P0Ox =π
3 和R，再由旋转时间求出旋转角度，再由三角函数的定义即可求出
答案..
【详解】因为P0(3,-3 ❑√3)，则tan ∠P0Ox = 3 ❑√3
3
= ❑√3，所以∠P0Ox =π
3 ，
又R =
❑√3
2+(-3 ❑√3)
2=6，
每旋转一周用时180秒，则筒车旋转120秒时共旋转2π
180 ×120= 4π
3
rad，
则此时点P所在角的终边为α =-π
3 - 4π
3
=- 5π
3 ，
则点P的横坐标为6cosα =6cos(- 5π
3 )=6cosπ
3 =3.
故选：C.
典例2．（2025·山东潍坊·二模）已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，其终边与圆
O交于点A (3, 4)．若角α终边沿逆时针方向旋转角θ，交圆O于点B(-
❑√2
2 , 7 ❑√2
2 )，则角θ可能为（ ）
A．75°
B．105°
C．375°
D．405°
【答案】D
【分析】利用任意角三角函数的定义结合两角差的正弦公式得到sinθ =
❑√2
2 ，再利用正弦函数的性质得到θ
的可能值即可.
【详解】因为角α的终边与圆O交于点A (3, 4)，
所以由任意角三角函数定义得cosα = 3
5，sin α = 4
5 ，
设旋转后的角为β，且旋转后的角交圆O于点B(-
❑√2
2 , 7 ❑√2
2 )，
则由任意三角函数的定义得cos β =-
❑√2
10 ，sin β = 7 ❑√2
10 ，
得到sinθ =sin( β -α )= 7 ❑√2
10 × 3
5 -(-
❑√2
10 )× 4
5 = 25 ❑√2
50
=
❑√2
2 ，
cosθ =cos( β -α )=(-
❑√2
10 )× 3
5 + 7 ❑√2
10 × 4
5 = 25 ❑√2
50
=
❑√2
2 ，
故θ = 45°+2k ⋅180° ,k ∈Z，当k =1时，θ = 405°，故D 正确.
故选：D
【总结】
1 设α是一个任意角，α ∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P( x , y).
则y = sinα，x =cosα，y
x =tanα( x≠0).
2 若点P( x , y)不在单位圆上，则y =
sinα
❑√x
2+ y
2，x =
cosα
❑√x
2+ y
2，y
x =tanα( x≠0).
3 涉及到利用概念求任意角三角函数值时，要注意所求角对应的终边，多数形结合分析。
跟踪训练1．（2025·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，其终边与单位圆交点
的横坐标为- 1
2，写出一个符合题意的α = .
【答案】2π
3 （答案不唯一）
【分析】根据终边相同的角以及余弦函数的定义，计算即可.
【详解】由题意，cosα =- 1
2，则α = 2π
3 +2k π或α = 4π
3
+2k π,k ∈Z.
故答案为：2π
3 （答案不唯一）.
跟踪训练2．（2025·北京海淀·三模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(
3
5 , 4
5)，若点A绕原点顺时针旋
转5π
6 到点B，则点B的横坐标为 ．
【答案】4 -3 ❑√3
10
【分析】由题意作图，根据三角函数的定义，利用余弦函数的差角公式，可得答案.
【详解】设坐标原点为O(0,0)，设角α终边为射线OA，则角α - 5π
6 的终边即为射线OB．
由题意可知，cosα = 3
5，sinα = 4
5 ，B(cos(α - 5π
6 ),sin(α - 5π
6 ))．
故cos(α - 5π
6 )=cosα cos 5π
6 +sinα sin 5π
6 = 3
5 ×(-
❑√3
2 )+ 4
5 × 1
2 = 4 -3 ❑√3
10
．
所以点B的横坐标为4 -3 ❑√3
10
．
故答案为：4 -3 ❑√3
10
跟踪训练3．（2025·河北保定·三模）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线
y = ❑√2 x上，则sin2θ =（ ）
A．- 2❑√2
3
B．2❑√2
3
C．- 1
3
D．1
3
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义可求角的正切，再结合二倍角公式及齐次化可得sin2θ.
【详解】设P(x , y)为直线上异于原点的点且在直线y = ❑√2 x上，则tanθ = y
x = ❑√2，
则sin2θ = 2sinθcosθ
sin
2θ+cos
2θ
= 2tanθ
tan
2θ+1
= 2❑√2
3
.
故选：B.
考点四 同角三角函数的基本关系
典例1．（2025·河南信阳·模拟预测）若tanα =2，α ∈(0,π )，则2sinα +cosα =（ ）
A．❑√5
B．- ❑√5
C．4
5
❑√5
D．- 4
5
❑√5
【答案】A
【分析】根据同角三角函数的关系，已知tanα =2，α ∈(0,π )，可求sinα ,cosα，然后代入计算即可.
【详解】由题知¿，α ∈(0,π )，解得sin α = 2❑√5
5
,cosα =
❑√5
5 ，
则2sinα +cosα =2× 2❑√5
5
+
❑√5
5 = ❑√5，
故选：A.
典例2．（2025•东莞市模拟）已知2sin2θ
3sin
﹣
θ
2
﹣＝0，θ∈（- π
2 ，π
2 ），则cosθ 的值为（ ）
A．
❑√3
3
B．
❑√3
2
C．
❑√2
2
D．1
2
【答案】B
【分析】由已知可得出sinθ∈（﹣1，1），cosθ＞0，解方程2sin2θ
3sinθ
2
﹣
﹣＝0 可得出sinθ 的值，再利用
同角三角函数的平方关系可求得cosθ 的值．
【解答】解：因为θ∈(- π
2 ，π
2 )，则sinθ∈（﹣1，1），cosθ＞0，
因为2sin2θ
3sinθ
2
﹣
﹣＝（2sinθ+1）（sinθ
2
﹣）＝0，
则sinθ =- 1
2，
因此，cosθ =
❑√1-sin
2θ =
❑√3
2 ．
故选：B．
【总结】
若知sinα 、cosα 、tanα三者中一个的值，可求另外两个的值，即“知一得二”；
跟踪训练1．（2025·山西·模拟预测）若α是第三象限角，且sin α -2cosα =1，则tan α =（ ）
A．4
3
B．3
4
C．5
12
D．12
5
【答案】B
【分析】利用平方关系求出sin α ,cosα，即可得解.
【详解】由已知可得：sin α =2cosα +1，
代入sin
2α +cos
2α =1可得5cos
2α + 4 cosα =0，
解得cosα =- 4
5 或cosα =0
∵α是第三象限角，∴cosα =- 4
5 ，sinα =2×(- 4
5)+1=- 3
5，
∴tan α =sinα
cosα = 3
4 ，
故选：B
跟踪训练2．（2025·四川巴中·二模）已知0<α <π
2 , β ∈(
π
2 ,π),sinα = 1
2 ,sin β = 12
13，则cos(α - β)
等于（ ）
A．5 ❑√3-12
26
B．12-5 ❑√3
26
C．-5 ❑√3-12
26
D．12+5 ❑√3
26
【答案】B
【分析】由条件结合同角关系可求cosα ,cos β，再由两角差余弦公式求结论.
【详解】因为sinα = 1
2，0<α <π
2 ，所以cosα =
❑√3
2 ，
因为sin β = 12
13，β ∈(
π
2 ,π)，所以cos β =- 5
13，
所以cos(α - β)=cosα cos β +sin α sin β =
❑√3
2 ⋅(- 5
13)+ 1
2 ⋅12
13 =-5 ❑√3+12
26
= 12-5 ❑√3
26
，
故选：B.
跟踪训练3．（2025·甘肃金昌·二模）若sinα =cosα + 3
5，则tanα +
1
tanα =（ ）
A．8
25
B．16
25
C．25
8
D．25
16
【答案】C
【分析】应用同角三角函数关系结合切化弦计算求解.
【详解】因为sinα -cosα = 3
5，所以sin
2α +cos
2α -2sinα cosα = 9
25 ,sinα cosα = 8
25.
因为tanα +
1
tanα =sinα
cosα +cosα
sinα =sin
2α +cos
2α
sinα cosα
=
1
sinα cosα ，所以tanα +
1
tanα = 25
8 .
故选：C.
考点五 求sinx、cosx的齐次式的值
典例1．（2025 斗门区二模）已知tanα＝﹣3，则2sinα -cosα
2sinα +cosα 的值为（ ）
A．5
7
B．- 5
7
C．7
5
D．- 7
5
【答案】C
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】解：因为tanα＝﹣3，
所以2sinα -cosα
2sinα +cosα = 2tanα -1
2tanα +1 = 2×(-3)-1
2×(-3)+1 = 7
5．
故选：C．
典例2．（2025•湛江赤坎二模）已知θ∈(0，π
2 )，且
sinθ
sinθ+cosθ =sin2θ，则tanθ＝（ ）
A．❑√2-1
B．❑√2+1
C．❑√3+1
D．❑√3-1
【答案】B
【分析】由题意利用同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公式可得tan2θ
2tanθ
1
﹣
﹣＝0，解方程即
可得解tanθ 的值．
【解答】解：因为θ∈(0，π
2 )，可得tanθ＞0，
又
sinθ
sinθ+cosθ =sin2θ，可得tanθ
tanθ+1 =
2sinθcosθ
sin
2θ+co s
2θ
=
2tanθ
tan
2θ+1，
所以
1
tanθ+1 =
2
tan
2θ+1，整理可得tan2θ
2tanθ
1
﹣
﹣＝0，
解得tanθ= ❑√2+1（负值舍去）．
故选：B．
跟踪训练1．（2025•汕头二模）已知tanα＝﹣2，那么3 sinα +cosα
sinα -cosα 的值为（ ）
A．- 3
5
B．- 5
3
C．3
5
D．5
3
【答案】D
【分析】利用同角三角函数关系，弦化切，代入计算可得结论．
【解答】解：∵tanα＝﹣2，
∴3 sinα +cosα
sinα -cosα = 3tanα +1
tanα -1 =-6+1
-2-1 = 5
3
故选：D．
跟踪训练2．（2025•广东模拟）已知tanθ＝4，则sin2θ
3sin
﹣
θcosθ＝（ ）
A．4
15
B．4
17
C．8
5
D．8
3
【答案】B
【分析】齐次化变形，代入求解即可．
【解答】解：因为tanθ＝4，
所以sin2θ
3sinθcosθ
﹣
= sin
2θ -3 sinθcosθ
sin
2θ+co s
2θ
= tan
2θ -3tanθ
1+tan
2θ
= 16-3×4
1+16
= 4
17 ．
故选：B．
跟踪训练3．（多选）（2025•湛江二模）若5sin2α+5cos2α+1＝0，则tanα 的值可能为（ ）
A．2
B．3
C．- 1
3
D．- 1
2
【答案】BD
【分析】由题意，利用二倍角的余弦、正弦公式、同角三角函数的基本关系，求得tanα 的值．
【解答】解：∵5sin2α+5cos2α+1＝0，即5×2sinαcosα +5cos
2α -5sin
2α
sin
2α +cos
2α
=-1，
即10tanα +5-5 tan
2α
tan
2α +1
=-1，即2tan2α
5tanα
3
﹣
﹣＝0，
∴tanα＝3 或tanα=- 1
2．
故选：BD．
考点六 求sinx ±cosx 、sinxcosx知一求二
典例1．（2025·河北·模拟预测）已知α ∈(0,π)，sinα +cosα = 2❑√2
5
，则sinα -cosα =（ ）
A．
❑√42
5
B．-
❑√42
5
C．
❑√21
5
D．-
❑√21
5
【答案】A
【分析】将题给等式两边同时平方得到2sinα cosα =- 17
25，结合α范围可判断sin α ,cosα的符号，再利
用同角三角函数基本关系可即求得sinα -cosα.
【详解】(sinα +cosα )
2=1+2sinα cosα = 8
25 ⇒2sinα cosα =- 17
25，
故(sinα -cosα )
2=1-2sinα cosα = 42
25，
又∵sinα cosα <0且α ∈(0,π)⇒sinα >0，故cosα <0，
∴sinα -cosα >0，故sinα -cosα =
❑√42
5
.
故选：A.
【总结】
由于(sinα +cosα )
2=1+2 sinαcosα ； (sinα -cosα )
2=1-2 sinαcosα，可知
sinθ+cosθ、sinθ－cosθ、sinθcosθ也是“知一得二”.
跟踪训练1．（2025•惠州二模）已知sinθ+cosθ= 4
3 （0＜θ＜π
4 ），则sinθ
cos
﹣
θ 的值为（ ）
A．- 1
3
B．1
3
C．-
❑√2
3
D．
❑√2
3
【分析】由题意可得可得1＞cosθ＞sinθ＞0，2sinθcosθ= 7
9，再根据sinθ
cosθ
﹣
=-
❑√(sinθ -cosθ)
2，计算
求得结果．
【解答】解：由sinθ+cosθ= 4
3 ，θ∈(0，π
4 )，可得1＞cosθ＞sinθ＞0，1+2sinθcosθ= 16
9 ，
∴2sinθcosθ= 7
9．
∴sinθ
cosθ
﹣
=-
❑√(sinθ -cosθ)
2=- ❑√1-2sinθcosθ =-
❑√2
3 ，
故选：C．
跟踪训练2．（多选）（2025·湖南长沙·二模）已知sin β +cos β = 1
5，β ∈(0,π )，则下列各式正确的有
（ ）
A．sin 2 β =- 24
25 B．sin β -cos β =± 7
5 C．cos2 β = 7
25
D．tan β =- 4
3
【答案】AD
【分析】利用已知和sin
2α +cos
2α =1的关系，利用二倍角公式计算逐项判断得出答案.
【详解】A 项：由已知：sin
2 β +cos
2 β +2sin β cos β = 1
25，因此sin 2 β =2sin β cos β =- 24
25 ，故A 项正
确；
B 项：因为sin β cos β <0，且β ∈(0,π )，所以β ∈(
π
2 ,π)，因此sin β -cos β >0．又因为
(sin β -cos β)
2=1-2sin β cos β = 49
25，因此sin β -cos β = 7
5，故B 项错误；
C 项：cos2 β =cos
2 β -sin
2 β =(cos β -sin β)(cos β +sin β)=- 7
25，故C 项错误；
D 项：由方程组¿，解得¿于是tan β =- 4
3 ，故D 项正确．
故选：AD.
跟踪训练3．（2025·湖北孝感·三模）已知x∈(-π
2 ，0)，sin
4 x +cos
4 x = 1
2，则sin x -cos x =（ ）
A．❑√2
B．- ❑√2
C．
❑√2
2
D．-
❑√2
2
【答案】B
【分析】利用sin
4 x +cos
4 x = 1
2及角的范围变形得到sin x cos x =- 1
2，从而得到
sin x -cos x =-
❑√(sin x -cos x)
2=- ❑√2.
【详解】sin
4 x +cos
4 x =(sin
2 x +cos
2 x)
2-2sin
2 x cos
2 x =1-2sin
2 x cos
2 x，
又sin
4 x +cos
4 x = 1
2，所以1-2sin
2 x cos
2 x = 1
2，
所以sin
2 x cos
2 x = 1
4 ，
又x∈(-π
2 ，0)，所以sin x<0,cos x>0，sin x -cos x<0，
所以sin x cos x =- 1
2，
故sin x -cos x =-
❑√(sin x -cos x)
2=- ❑√1-2sin x cos x =- ❑√
1-2×(- 1
2)=- ❑√2．
故选：B
考点七 诱导公式
典例1．（2025·湖南常德·模拟预测）化简❑√
1-2sin (π-2)sin(
3π
2 -2)的结果为（ ）
A．sin 2-cos2
B．sin 2+cos2
C．cos2-sin 2
D．-(sin 2+cos2)
【答案】B
【分析】根据诱导公式以及同角三角关系可得❑√
1-2sin (π-2)sin(
3π
2 -2)=
❑√(sin 2+cos2)
2，再结合
正、余弦函数的单调性分析求解即可.
【详解】由题意可得：❑√
1-2sin (π-2)sin(
3π
2 -2)= ❑√1+2sin 2cos2=
❑√(sin 2+cos2)
2，
因为2∈(
π
2 , 3π
4 )，则sin 2>sin 3π
4 =
❑√2
2 ,cos2>cos 3π
4 =-
❑√2
2 ，
可得sin 2+cos2>
❑√2
2 -
❑√2
2 =0，
所以❑√
1-2sin (π-2)sin(
3π
2 -2)=
❑√(sin 2+cos2)
2=sin 2+cos2.
故选：B.
典例2．（2025·广东茂名·模拟预测）已知sin(
π
3
- x)= 1
3，且0< x<π
2
，求sin(
π
6
+ x)-cos(
2π
3
+ x)
的值为（ ）
A．4 ❑√2
3
B．2❑√2
3
C．0
D．- 2❑√2
3
【答案】A
【分析】由sin(
π
3
- x)= 1
3，结合π
3
- x的范围求出cos(
π
3
- x)的值，再利用诱导公式将
sin(
π
6
+ x)-cos(
2π
3
+ x)化简，即可得解.
【详解】∵0< x<π
2
,∴-π
6 <π
3
- x<π
3
，
∵ sin(
π
3
- x)= 1
3，∴cos(
π
3
- x)= ❑√1-sin
2(
π
3
- x)= 2❑√2
3
．
∴sin(
π
6
+ x)-cos(
2π
3
+ x)=sin[
π
2 -(
π
3 - x)]-cos[π-(
π
3
- x)]
=cos(
π
3
- x)+cos(
π
3
- x)=2cos(
π
3
- x)= 4 ❑√2
3
．
故选：A
【总结】
1 涉及到诱导公式，可采取口诀“奇变偶不变，符号看象限”进行化简再分析。
sin (
π
2 ∙n+α)={
(-1)
n
2 sin α , n 为偶数
(-1)
n+1
2 cos α , n 为奇数
cos ( π
2 ∙n+α )={
(-1)
n
2 cos α , n 为偶数
(-1)
n+1
2 sin α , n 为奇数
2 求具体一个角度的三角函数值时，角度负角化正角，大角化小角，小角化锐角；
3 对应已知角和所求角之间的和差存在π
2 的倍数关系时，比如典例2 中的π
6
+ x和π
3
- x，它们的和是π
2 ，
则可以采取整体代换的方法.
跟踪训练1．（2025·甘肃白银·模拟预测）若sin α +cosα
sin α -cosα = 1
2，则tan(α +π)=（ ）
A．-3
B．- 1
3
C．3
D．1
3
【答案】A
【分析】根据同角三角函数的除法公式化简齐次式，结合诱导公式可得解.
【详解】因为sin α +cosα
sin α -cosα = 1
2，所以tan α +1
tan α -1 = 1
2，解得tan α =-3，
于是tan(α +π)=tanα =-3，
故选：A．
跟踪训练2．（2025·山东烟台·一模）已知tan α =-2，则
cos(
π
2 +α)
sin (π-α )-sin(
3π
2 -α)
=（ ）
A．- 2
3
B．2
3
C．-2
D．2
【答案】C
【分析】由诱导公式、商数关系即可求解.
【详解】因为
cos(
π
2 +α)
sin (π-α )-sin(
3π
2 -α)
=-sin α
sin α +cosα =- tan α
tan α +1 =
2
-2+1 =-2.
故选：C.
跟踪训练3．（2025·湖北恩施·模拟预测）要得到函数y =sin(2 x +π
4 )的图象，只要将函数
y =cos(2 x -5π
6 )的图象（ ）
A．向右平移7π
12 个单位
B．向左平移7π
12 个单位
C．向右平移7π
24 个单位
D．向左平移7π
24 个单位
【答案】D
【分析】先利用诱导公式将y =cos(2 x -5π
6 )化成y =sin(2 x -π
3 )，再利用平移变换即得结果.
【详解】因为y =cos(2 x - 5π
6 )=cos(2 x -π
3 -π
2 )=sin(2 x -π
3 )，
由y =sin(2 x -π
3 )向左平移7π
24 ，即得y =sin[2( x + 7π
24 )-π
3 ]=sin(2 x +π
4 ).
故选：D.
跟踪训练4．（2025·河南许昌·三模）已知向量a
→
=(-1,❑√3),b
→
=(2,- ❑√3),a
→
与b
→的夹角为θ，则
sin(θ - 3π
2 )=（ ）
A．3 ❑√5
7
B．- 5 ❑√5
7
C．- 5 ❑√7
14
D．5 ❑√7
14
【答案】C
【分析】先由题意依次求出a⃗⋅b⃗、|a⃗|和|b⃗|，进而由向量夹角余弦公式求出cosθ，再根据三角函数诱导
公式即可求解.
【详解】由题a⃗⋅b⃗= (-1)×2+ ❑√3×(- ❑√3)=-2-3=-5，
|⃗a|= ❑√(-1)
2+(❑√3)
2= ❑√1+3=2,|⃗b|=
❑√2
2+(- ❑√3)
2= ❑√4+3 = ❑√7，
∴cosθ =⃗
a⋅⃗b
|⃗a||⃗b|
=-5
2❑√7 =- 5 ❑√7
14 ，
所以sin(θ - 3π
2 )=cosθ ,∴sin(θ - 3π
2 )=- 5 ❑√7
14 ．
故选：C．
考点八 同角三角函数与诱导公式的综合
典例1．（2025·广东湛江·模拟预测）已知tanθ= 1
4 ，则cosθ+2cos( π
2 +θ)
cos(-θ)+5sin(π -θ) =（ ）
A．5
9
B．4
9
C．2
9
D．1
9
【答案】C
【分析】根据诱导公式化简，再根据同角三角函数的商数关系即可求解．
【详解】解：因为tanθ= 1
4 ，
根据诱导公式及同角基本关系可得，cosθ+2cos( π
2 +θ)
cos(-θ)+5sin(π -θ) = cosθ -2sinθ
cosθ+5 sinθ = 1-2tanθ
1+5tanθ = 2
9
．
故选：C．
典例2．（2025·广西·模拟预测）已知锐角α 满足
1
co s
2(π +α )
+
3
sin( 3 π
2 -α )
= 4，则
1
cosα =（ ）
A．﹣1
B．4
C．1
2
D．2
【答案】B
【分析】利用诱导公式化简所给等式，得到4cos2α+3cosα
1
﹣＝0，结合α 为锐角解出cosα，进而可得答案．
【解答】解：由
1
co s
2(π +α )
+
3
sin( 3 π
2 -α )
= 4
，可得
1
co s
2α
-
3
cosα = 4，
整理得4cos2α+3cosα
1
﹣＝0，结合α 是锐角，解得cosα= 1
4 ，
所以
1
cosα =4，B 项符合题意．
故选：B．
【总结】
在处理同角三角函数与诱导公式的综合题型时，我们要先把问题进行转化，
1 把题中能化简的式子先化简，比如利用诱导公式化简；
2 能求的值先确定，我们要明确sinα 、cosα 、tanα三者和sinθ+cosθ、sinθ－cosθ、sinθcosθ 都是
“知一得二”；
3 明确以上两点后，若还没得到答案，再把化简的式子进行变形分析求解。
跟踪训练1．（2025·广东汕头·二模）已知α ∈( 2π
3 ，π )，sin(α - π
6 )= 4
5 ，则tan(α + π
3 )=（ ）
A．- 4
3
B．- 3
4
C．4
3
D．3
4
【答案】D
【分析】根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式来求得正确答案．
【解答】解：因为α∈( 2π
3 ，π )，则α - π
6 ∈( π
2 ，5 π
6 )，又sin（α - π
6 ）= 4
5 ，
所以cos(α - π
6 )=-
❑√1-( 4
5 )
2
=- 3
5
，则tan（α - π
6 ）=- 4
3 ，
所以tan（α + π
3 ）＝tan[（α - π
6 ）+ π
2 ]=-
1
tan(α - π
6 )
= 3
4 ．
故选：D．
跟踪训练2．（2025·广州·一模）已知sinα +cosα = 1
5，则tan(α - π )+1
2sin
2α +sin 2α
=（ ）
A．- 175
24
B．175
24
C．- 25
24
D．25
24
【答案】C
【分析】先将sinα +cosα = 1
5两边平方，可求出2sinαcosα，再由诱导公式、二倍角公式及同角三角函数的
基本关系将切化弦，最后代入计算可得．
【解答】解：因为sinα +cosα = 1
5，
所以（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα= 1
25，
即2sinαcosα=- 24
25 ，
所以则tan(α - π )+1
2sin
2α +sin 2α
=- tan(π -α )+1
2sin
2α +2sinαcosα
=
tanα +1
2sin
2α +2sinαcosα
=
sinα
cosα +1
2sinα(sinα +cosα ) =
sinα +cosα
2sinαcosα(sinα +cosα )
=
1
2sinαcosα =- 25
24 ．
故选：C．
跟踪训练3．（2025·湖南·模拟预测）若cos( π
2 +θ)+sin(θ+ 3 π
2 )=-
❑√10
5
，则
sin(π +θ)
1- tan(π -θ)的值为（
）
A．- 3 ❑√10
20
B．3 ❑√10
20
C．-
❑√10
20
D．
❑√10
20
【答案】B
【分析】利用诱导公式化简已知关系式，再两边平方即可求出sinθcosθ 的值，然后再利用诱导公式以及同
角基本关系式化简即可求解．
【解答】解：由已知可得﹣sinθ
cos
﹣
θ =-
❑√10
5
，即sinθ+cosθ =
❑√10
5
，
则等式两边同时平方可得：1+2sinθcosθ = 2
5，即sinθcosθ =- 3
10，
所以sin(π +θ)
1- tan(π -θ) =- sinθ
1+tanθ =- sinθcosθ
sinθ+cosθ =
-(- 3
10 )
❑√10
5
= 3 ❑√10
20
．
故选：B．
跟踪训练4 ．（2025· 湖南邵阳· 二模）若sinθ 、cosθ 是关于x 的方程x2﹣ax+a ＝0 的两个根，则
cos(θ - 3 π
2 )+sin( 3 π
2 +θ)= ．
【答案】❑√2-1
【分析】先根据韦达定理得到{
Δ=a
2- 4 a≥0
sinθ+cosθ =a
sinθcosθ =a
，进而求得a，sinθ+cosθ，再结合诱导公式化简求值即可．
【解答】解：由题意得，{
Δ=a
2- 4 a≥0
sinθ+cosθ =a
sinθcosθ =a
，则a≤0 或a≥4，
又（sinθ+cosθ）2＝1+2sinθcosθ，即a2＝1+2a，解得a=1- ❑√2或a=1+ ❑√2（舍去），
则sinθ+cosθ =1- ❑√2，
所以cos(θ - 3 π
2 )+sin( 3 π
2 +θ)=cos(θ -2π + π
2 )+sin(π + π
2 +θ)=cos(θ+ π
2 )-sin( π
2 +θ)
=- sinθ -cosθ =-(sinθ+cosθ)= ❑√2-1．
故答案为：❑√2-1．
1（2025·安徽·模拟预测）已知角α终边上有一点P(sin 2π
3 ,cos 2π
3 )，则π-α为（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】C
【分析】根据终边相同角的定义即可求解.
【详解】已知角α终边上有一点P(sin 2π
3 ,cos 2π
3 )，即点P(
❑√3
2 ,- 1
2)，
∴α =-π
6 +2k π(k ∈Z)，
∴π-α = 7π
6 -2k π(k ∈Z)为第三象限角.
故选：C.
2（2025·湖南邵阳·三模）已知圆锥的底面半径为1，侧面积为4π，则此圆锥的侧面展开图的圆心角为
（ ）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．π
2
【答案】D
【分析】设圆锥母线长为l，利用侧面面积求得圆锥的母线长，进而可求圆锥的侧面展开图的圆心角.
【详解】设圆锥母线长为l，可得底面圆的周长为2π⋅1=2π，
由题意可得1
2 l⋅2π⋅1= 4π，解得l = 4，
所以圆锥的侧面展开图的圆心角为2π
4 =π
2 .
故选：D.
3（2025·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，设角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半
轴重合，终边经过点P(t ,1)，sin(α +π
2 )=-
❑√5
5 ，则t =（ ）
A．-2
B．- 1
2
C．1
2
D．2
【答案】B
【分析】利用三角函数的定义求出cosα，再结合诱导公式可得.
【详解】由题意可得，cosα =
t
❑√t
2+1
，
则sin(α +π
2 )=cosα =
t
❑√t
2+1
=-
❑√5
5 ，解得t =- 1
2（1
2舍去）.
故选：B
4（2025·贵州贵阳·模拟预测）若sin α =
❑√3
3 ，则cos(
π
2 +α)=（ ）
A．
❑√6
3
B．-
❑√6
3
C．
❑√3
3
D．-
❑√3
3
【答案】D
【分析】利用诱导公式直接求解即可.
【详解】cos(
π
2 +α)=-sin α =-
❑√3
3 ．
故选：D
5（2025·贵州黔南·模拟预测）已知角α的终边经过点P(-3,4)，则cos(
π
2 +α)=（ ）
A．- 3
5
B．- 4
5
C．3
5
D．4
5
【答案】B
【分析】根据三角函数值的定义求sin α，再结合诱导公式运算求解.
【详解】因为角α的终边经过点P(-3,4)，则sin α =
4
❑√(-3)
2+ 4
2 = 4
5 ，
所以cos(
π
2 +α)=-sin α =- 4
5 .
故选：B.
6（2025·甘肃庆阳·模拟预测）sin990
°cos660
°tan330
°=（ ）
A．
❑√3
6
B．-
❑√3
6
C．1
2
D．- 1
2
【答案】A
【分析】根据诱导公式及特殊角的三角函数值即可求解.
【详解】sin990
°cos660
°tan330
°=sin(720
°+270
°)cos(720
°-60
°)tan(360
°-30
°)
=sin270
°cos(-60
°)tan(-30
°)=sin270
°cos60
°(-tan30
°)=-1× 1
2 ×(-
❑√3
3 )=
❑√3
6 .
故选：A.
7（2025·广东广州·三模）已知α , β都是锐角，cosα = 3
5 ,cos(α + β)=- 3
5，则cos β的值为（ ）
A．16
25
B．- 16
25
C．7
25
D．- 7
25
【答案】C
【分析】法一：先利用平方关系求出sin α，sin(a+ β)，再根据cos β =cos[(α + β)-α ]，利用两角差的余
弦公式展开计算即可.法二：cos(α + β)=-cosα，可得α +α + β =π，进而利用cos β =cos(π-2α )可求
值.
【详解】法一：由cosα = 3
5 ,α是锐角，得sin α =
❑√1-cos
2α = 4
5 .
因为α , β是锐角，所以a+ β ∈(0,π).
又因为cos(α + β)=- 3
5，所以sin(a+ β)=
❑√1-cos
2(α + β)= 4
5 ，
所以cos β =cos[(α + β)-α ]=cos(α + β)cosα +sin(α + β)sin α =(- 3
5)× 3
5 + 4
5 × 4
5 = 7
25.
法二：由已知可得cos(α + β)=-cosα，所以α +α + β =π，
∴cos β =cos(π-2α )=1-2cos
2α =1-2×(
3
5)
2
= 7
25.
故选：C.
8（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知sinα +cosα = 3
4 sinα cosα，则sinα +cosα =（ ）
A．
❑√3
3
B．
❑√3
4
C．-
❑√3
3
D．- 1
3
【答案】D
【分析】由题意得sinα +cosα = 3
4 × (sinα +cosα )
2-1
2
，解一元二次方程即可得解.
【详解】因为sinα cosα = (sinα +cosα )
2-1
2
，所以sinα +cosα = 3
4 × (sinα +cosα )
2-1
2
，
化简得3(sinα +cosα )
2-8(sinα +cosα )-3=0，
解得sinα +cosα =- 1
3或sinα +cosα =3（舍去，因为sinα +cosα ≤1+1=2，且等号不能成立）．
故选：D．
9（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知tan α =e(0<α <π
2 )，则cos(2α +π
2 )
sin (π-α )
=（ ）．
A．-
2
❑√e
2+1
B．
2
❑√e
2+1
C．-
2e
❑√e
2+1
D．
2e
❑√e
2+1
【答案】A
【分析】先由tan α =e和角的范围求得cosα =
1
❑√e
2+1
，再利用诱导公式和二倍角公式化简所求式，将其代
入计算即得.
【详解】因tan α =e，且0<α <π
2 ，由sin α
cosα =
❑√1-cos
2α
cosα
=e，解得cosα =
1
❑√e
2+1
，
所以
cos(2α +π
2 )
sin (π-α )
=-sin 2α
sin α
=-2cosα =-
2
❑√e
2+1
．
故选：A.
10（多选）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知角α的终边经过点P(-3,4)，则（ ）
A．cosα =- 3
5
B．tan α =- 3
4
C．cos(α +π)= 4
5
D．sin(α -π
2 )= 3
5
【答案】AD
【分析】直接由三角函数定义、诱导公式验算即可.
【详解】由题意cosα =-3
❑√(-3)
2+ 4
2 =- 3
5 ,sin α =
4
❑√(-3)
2+ 4
2 = 4
5 ,tan α = 4
-3 =- 4
3 ，
从而cos(α +π)=-cosα = 3
5 ,sin(α -π
2 )=-cosα = 3
5.
故选：AD.
11（2025·新疆乌鲁木齐·三模）单位圆上位于第一象限的点P按逆时针方向旋转π
3 后到点Q，若点Q横坐
标为- 3
5，则点P横坐标为 ．
【答案】4 ❑√3-3
10
【分析】先由题设P(x , y)(x>0, y >0),∠xOP =α(α ∈(0,π
2 ))，接着结合题意得到cos(α + π
3)=- 3
5，
再结合两角和的余弦公式、x
2+ y
2=1以及求根公式求出x 即可得解.
【详解】由题可设P(x , y)(x>0, y >0),∠xOP =α(α ∈(0,π
2 ))，
则sin α = y ,cosα = x ,∠xOQ =α + π
3 ，
则由题cos(α + π
3)=cosα cos π
3 -sin α sin π
3 = 1
2 x -
❑√3
2 y =- 3
5 ⇒x = ❑√3 y - 6
5 ，
所以x
2+ y
2=(
❑√3 y - 6
5)
2
+ y
2= 4 y
2- 12❑√3
5
y + 36
25 =1，即100 y
2-60 ❑√3 y +11=0，
解得x = ❑√3 y - 6
5 = ❑√3× 60 ❑√3±
❑√(-60 ❑√3)
2- 4×100×11
2×100
- 6
5 = 180±80 ❑√3
200
- 6
5 =-3±4 ❑√3
10
，
又x>0，所以x = 4 ❑√3-3
10
.
故答案为：4 ❑√3-3
10
.
12（2025·甘肃·一模）如图，甲、乙两人在这段弧形路段跑步，该路段的内、外弧线为两个同心圆的1
4 圆周，
内弧半径为12米，路宽为3米，两人均从外弧A点处跑入该路段，甲沿内弧切线方向跑至切点C，又沿内
弧CB跑至点B处后跑出该路段，乙沿内弧切线方向直接跑至外弧上D点处，再沿外弧DE跑至点E处后跑
出该路段，则在该路段跑动距离更短的是 （填“甲”或“乙”），两人跑动距离之差的绝对值
约为 米.（结果精确到0.1米，参考数据：sin37
∘≈0.6，π≈3）
【答案】 甲 2.4
【分析】连接OC、OD，求出∠AOC的值，可求出´BC、´DE的长，可求出甲、乙两人的跑动的距离，即
可得解.
【详解】连接OC、OD，可知OC ⊥AD，OA =OD，则∠AOC =∠DOC，AC =CD，
在Rt△AOC中，cos∠AOC = OC
OA = 12
15 =0.8，
所以，sin ∠AOC =
❑√1-cos
2∠AOC =
❑√1-0.8
2=0.6，
所以，∠AOC ≈37
∘，AC =15sin∠AOC =9，
所以，´BC =12× (90-37)π
180
≈53
5 =10.6，则甲跑步的距离约为9+10.6=19.6米，
因为AD =2 AC =18，´DE =15× (90-2×37)π
180
≈4，则乙跑步的距离约为18+ 4 =22米，
所以甲跑动的距离更短，少跑22-19.6=2.4米.
故答案为：甲；2.4.
1（2025·广东汕头·模拟预测）在平面直角坐标系中，角α、β的顶点与原点重合，它们的始边与x轴的非负
半轴重合，它们的终边关于原点对称.若α ∈[
π
6 ,π
3 ]，则cos β的最大值为（ ）
A．- 1
2
B．1
2
C．-
❑√3
2
D．
❑√3
2
【答案】A
【分析】利用终边相同的角表示出β =α +π+2k π,k ∈Z，根据三角函数的诱导公式化简cos β =-cosα，
根据α ∈[
π
6 ,π
3 ]求最值即可.
【详解】因为角α、β的顶点与原点重合，它们的始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边关于原点对称，
所以β =α +π+2k π,k ∈Z，
由诱导公式知，cos β =cos(α +π+2k π)=-cosα,
又α ∈[
π
6 ,π
3 ]，所以1
2 ≤cosα ≤
❑√3
2 ，所以-
❑√3
2 ≤-cosα ≤- 1
2，即cos β的最大值为- 1
2.
故选：A.
2（2025·辽宁大连·模拟预测）已知圆x
2+ y
2=1上一点A(
2❑√5
5
,
❑√5
5 )，现将点A 绕圆心顺时针旋转π
6 到点
B，且⃗OC =2⃗OB，则点C 的横坐标为（ ）
A．
❑√15-2❑√5
5
B．
❑√15+2❑√5
5
C．2❑√15- ❑√5
5
D．2❑√15+ ❑√5
5
【答案】D
【分析】设OA、OB 与x 轴所形成夹角为α、β，根据任意角的三角函数的定义求出sin α ,cosα，由题意
得xB=cos β =cos(α - π
6 )，利用两角差的余弦公式展开并代入相应值计算，所得值代入xC =2 xB即可.
【详解】设OA 与x 轴所形成夹角为α，OB 与x 轴所形成夹角为β，
因为A(
2❑√5
5
,
❑√5
5 )，所以sin α =
❑√5
5 ,cosα = 2❑√5
5
，
由题意知cos β =cos(α - π
6 )=
❑√3
2 cosα + 1
2 sin α = 2❑√15+ ❑√5
10
，
所以xB= 2❑√15+ ❑√5
10
，
因为⃗OC =2⃗OB，所以xC =2 xB= 2❑√15+ ❑√5
5
.
故选：D
3（2025·宁夏银川·三模）利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°～90°之间的三角函数值，右表
是部分5°的奇数倍锐角的正切值（用字母代替），则cos2210° =（ ）
α
5°
15°
25°
35°
tan α
m
n
p
q
A．2 p
1+ p
2
B．1- p
2
1+ p
2
C．1-q
2
1+q
2
D．1-m
2
1+m
2
【答案】B
【分析】利用诱导公式cos2210° =cos50°，再利用二倍角公式，接着齐次化转化为正切可求.
【详解】cos2210° =cos(6×360°+50°)=cos50° =cos
225° -sin
225°
= cos
225° -sin
225°
cos
225°+sin
225°
= 1- tan
225°
1+ tan
225°
= 1- p
2
1+ p
2，
故选：B.
4（2025·北京·三模）已知集合M ={sin α
2 |sinα =
❑√3
2 ,α ∈R},则集合M 的元素个数为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【分析】由sinα =
❑√3
2 ，求出α，即可求出α
2 ，进而求出sin α
2 的值，可得答案.
【详解】因为sinα =
❑√3
2 ，所以α =π
3
+2k π或α =2π
3
+2k π,k ∈Z，
所以α
2 =π
6
+k π或α
2 =π
3
+k π,k ∈Z，
所以sin α
2 =sin(
π
6
+k π)或sin α
2 =sin(
π
3 +k π)，
若k为偶数，则sin α
2 =sin(
π
6
+ k π)=sinπ
6
= 1
2或sin α
2 =sin(
π
3 + k π)=sinπ
3
=
❑√3
2 ，
若k为奇数，则sin α
2 =-sin(
π
6
+k π)=-sinπ
6
=- 1
2或sin α
2 =sin(
π
3 + k π)=-sinπ
3
=-
❑√3
2 ，
所以sin α
2 = 1
2或
❑√3
2 或- 1
2或-
❑√3
2 .
故选：B.
5（2025·福建福州·模拟预测）已知函数f ( x)=sin 2 x，设θ的始边是x轴的非负半轴，且θ∈(0,2π)，若
关于x的方程f(x + θ
2)= f ( x +θ)在(0,π
8 )内有解，则θ的终边不可能位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【分析】根据函数解析式，写出方程sin (2 x +θ)=sin (2 x +2θ)，解出方程，根据角x的取值范围，得到角
θ的取值范围，从而得出θ可能在的象限，得解.
【详解】由f (x)=sin 2 x，f(x + θ
2)= f (x +θ)，
∴sin (2 x +θ)=sin (2 x +2θ)，
∴2 x +θ =2 x +2θ+2k π或2 x +θ =π-(2 x +2θ)+2k π,k ∈Z，
当2 x +θ =2 x +2θ+2k π，k ∈Z时，得θ =-2k π，k ∈Z，
又θ∈(0,2π)，所以这样的θ不存在，
当2 x +θ =π-(2 x +2θ)+2k π,k ∈Z时，得x =- 3θ
4 + (2k +1)π
4
，
∵x∈(0,π
8 )，- 3θ
4 + (2k +1)π
4
∈(0,π
8 )，
∴θ∈(
2k π
3
+π
6 , (2k +1)π
3
)，又θ∈(0,2π)，
∴k =0时，θ∈(
π
6 ,π
3 )，此时θ在第一象限；
当k =1时，θ∈(
5π
6 ,π)，此时θ在第二象限；
当k =2时，θ∈(
3π
2 ,5π
3 )，此时θ在第四象限；
所以θ的终边可能位于第一、二、四象限.
故选：C.
6（2025 高三·全国·专题练习）已知2cosα +cos β =
❑√2
2 ，sin α + 1
2 sin β =
❑√5
5 ，则cos(α - β)=（ ）
A．- 37
40
B．-7
8
C．- 33
40
D．- 29
40
【答案】A
【分析】通过方程两边平方，利用同角的三角函数关系式，结合和差角的余弦公式，即可求解.
【详解】由2cosα +cos β =
❑√2
2 ，两边平方得4 cos
2α + 4 cosα cos β +cos
2 β = 1
2，①
由2sin α +sin β = 2❑√5
5
，两边平方得4 sin
2α + 4 sin α sin β +sin
2 β = 4
5 ，②，
由①+②，可得4+ 4 cos(α - β)+1= 13
10，得cos(α - β)=- 37
40.
故选：A
7（2025·广东汕头·模拟预测）设1+sin x
cos x
= 22
7 ，则1+cos x
sin x
=（ ）
A．3
2
B．3 ❑√2
2
C．29
15
D．31❑√3
17
【答案】C
【分析】依题意可得cos x = 7(1+sin x)
22
(cos x≠0)，根据平方关系求出sin x，即可求出cos x，再代入
计算可得.
【详解】因为1+sin x
cos x
= 22
7 ，显然cos x≠0，则cos x = 7(1+sin x)
22
，
又sin
2 x +cos
2 x =1，所以sin
2 x + 49(1+sin x)
2
484
=1，
即533sin
2 x +98sin x - 435=0，解得sin x =-1或sin x = 435
533 ；
当sin x =-1时cos x =0，不符合题意；
所以sin x = 435
533 ，则cos x =
7(1+ 435
533)
22
= 308
533
，
所以1+cos x
sin x
=
1+ 308
533
435
533
= 29
15.
故选：C
8（2025·河北·二模）已知cos( π
3 -α )=
❑√3
2 cos(α + π
6 )，则tan α =（ ）
A．
❑√3
9
B．
❑√3
2
C．5 ❑√3
9
D．5 ❑√3
3
【答案】A
【分析】根据诱导公式化简得到sin(α + π
6)=
❑√3
2 cos(α + π
6)，再弦化切得到tan(α + π
6)=
❑√3
2 ，最后用
两角差的正切公式化简得解.
【详解】因为cos(
π
3 -α)=
❑√3
2 cos(α + π
6)，所以cos[
π
2 -(α + π
6)]=
❑√3
2 cos(α + π
6)，
即sin(α + π
6)=
❑√3
2 cos(α + π
6)，所以tan(α + π
6)=
❑√3
2 ，
则tanα =tan[(α + π
6)- π
6]=
tan(α + π
6)-tan π
6
1+tan(α + π
6)tan π
6
=
❑√3
9 .
故选：A.
9（多选）（2025·江西赣州·一模）设D 是含数1 的有限实数集，f (x)是定义在D 上的函数，若f (x)的图像
绕原点逆时针π
3
旋转后与原图像重合，则下列选项中f (1)的取值可能为（ ）
A．
❑√3
3
B．1
C．❑√3
D．2
【答案】BD
【分析】先阅读理解题意，则问题可转化为圆上有6 个点为一组，每次绕原点逆时针旋转π
3 个单位后与下
一个点会重合，再结合函数的定义逐一检验即可．
【详解】由题意可得，问题相当于圆上由6 个点为一组，每次绕原点逆时针旋转π
3 个单位后与下一个点会
重合；
设f (1)处的点为A1，
∵f ( x)的图象绕原点逆时针旋转π
3 后与原图象重合，
∴旋转后A1的对应点A2也在f ( x)的图象上，
同理A2旋转后的对应点A3也在图象上，
以此类推，f ( x)对应的图象可以为一个圆周上6 等分的6 个点；
对于A，当f (1)=
❑√3
3 时，O A1与x正半轴夹角为π
6 ，
所以A1(1,
❑√3
3 )，此时A6(1,-
❑√3
3 )，A3(-1,
❑√3
3 )，此时A4(-1,-
❑√3
3 )，不满足函数定义，故A 错误；
对于B，
当f (1)=2时，O A1与x正半轴夹角的正切值为2，此时每个x只对应一个y，满足函数定义，故B 正确；
对于C，当f (1)= ❑√3时，O A1与x正半轴夹角为π
3 ，
即A1(1,❑√3)，此时A5(1,- ❑√3)，A2(-1,❑√3)，此时A4(-1,- ❑√3)，不满足函数定义，故C 错误；
对于D，
当f (1)=1时，O A1与x正半轴夹角为π
4 ，此时每个x只对应一个y，满足函数定义，故D 正确；
故选：BD．
10（多选）（2025·河南许昌·三模）如图，点P(a,b)是以(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)为顶点的正方形边
上的动点，角θ以Ox 为始边，OP 为终边，定义S(θ)=
b
|a|+|b| ,C(θ)=
a
|a|+|b| ．则（ ）
A．S(
π
4 )= 1
2 ,C(π)=1
B．S(θ+π
2 )=C(θ)
C．函数y = S( x), x∈[0,π
2 ]的图象关于点(
π
4 , 1
2)对称
D．函数y = S( x), x∈[0,2π]的图象与x轴围成封闭图形的面积为π
【答案】BCD
【分析】由题意可得到a=OPcosθ ,b=OPsinθ，从而可得S(θ)=
b
|a|+|b| ,C(θ)=
a
|a|+|b| 的表达
式，直接代入化简求值，可判断AB；根据函数的对称性可判断C，判断函数y = S( x), x∈[0,2π]的对称
性，由此可求x∈[0,π
2 ]上图象与x 轴围成的图形面积，即可判断D.
【详解】由题意得a=OPcosθ ,b=OPsinθ ,∵S(θ)=
b
|a|+|b| ,C(θ)=
a
|a|+|b| ,
∴S(θ)=
OPsinθ
|OPcosθ|+|OPsinθ| , C(θ)=
OPcosθ
|OPcosθ|+|OPsinθ| ，
化简得S(θ)=
sinθ
|cosθ|+|sinθ| ,C(θ)=
cosθ
|cosθ|+|sinθ| ，
对于A， S(
π
4 )=
sinπ
4
|cosπ
4 |+|sinπ
4 |
=
❑√2
2
❑√2
2 +
❑√2
2
= 1
2 ,C(π)=
cosπ
|cosπ|+|sinπ| = -1
1+0 =-1，故A
错误；
对于B， S(θ+π
2 )=
sin(θ+π
2 )
|cos(θ+π
2 )|+|sin(θ+π
2 )|
=
cosθ
|cosθ|+|sinθ| =C(θ)，故B 正确；
对于C，∵y = S( x), x∈[0,π
2 ],∴S( x)=
sin x
cos x +sin x ，
而S(2×π
4 - x)= S(
π
2 - x) =
sin(
π
2 - x)
cos(
π
2 - x)+sin(
π
2 - x)
=
cos x
cos x +sin x ，
故S( x)+ S(2×π
4 - x)=
sin x
cos x +sin x +
cos x
cos x +sin x =1=2× 1
2，
故S( x)的图象关于点(
π
4 , 1
2)对称，故C 正确，
对于D，∵y = S( x), x∈[0,2π],∴S( x)=
sin x
|cos x|+|sin x| ，
而S (2π- x)=
sin(2π- x)
|cos(2π- x)|+|sin(2π- x)| =-
sin x
|sin x|+|cos x|
∴S( x)+ S(2π- x)=0，
故S( x)的图象关于点(π,0)对称，
而S(π- x) =
sin(π- x)
|cos(π- x)|+|sin(π- x)| =
sin x
|sin x|+|cos x| = S( x)，
即S( x)关于x =π
2 对称，且设S( x)在[0,π
2 ]内与x轴围成封闭图形的面积为A，
故所求S( x)在[0,2π]内与x轴围成封闭图形的面积为4A，
当x∈[0,π
2 ]时，S( x)=
sin x
cos x +sin x ，
且S(0) =0, S(
π
2 )=1, S(
π
2 - x)+ S( x)=
cos x
cos x +sin x +
sin x
cos x +sin x =1，
S( x)在[0,π
2 ]上的图象关于点(
π
4 , 1
2)对称，
在[0,π
2 ]的图象与x轴围成图形面积等于以π
2 ,1为直角边的直角三角形面积，
故A = 1
2 ×1×π
2 =π
4 ，则4 A = 4×π
4 =π，故D 正确．
故选：BCD．
1（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：sin
2α +sin
2 β =1，乙：sin α +cos β =0，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】当sin
2α +sin
2 β =1时，例如α =π
2 , β =0但sin α +cos β ≠0，
即sin
2α +sin
2 β =1推不出sin α +cos β =0；
当sin α +cos β =0时，sin
2α +sin
2 β =(-cos β )
2+sin
2 β =1，
即sin α +cos β =0能推出sin
2α +sin
2 β =1.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
2（2023·全国乙卷·高考真题）若θ∈(0,π
2 ),tanθ = 1
2，则sinθ -cosθ = ．
【答案】-
❑√5
5
【分析】根据同角三角关系求sinθ，进而可得结果.
【详解】因为θ∈(0,π
2 )，则sinθ>0,cosθ>0，
又因为tanθ = sinθ
cosθ = 1
2，则cosθ =2sinθ，
且cos
2θ+sin
2θ = 4 sin
2θ+sin
2θ =5sin
2θ =1，解得sinθ =
❑√5
5 或sinθ =-
❑√5
5 （舍去），
所以sinθ -cosθ =sinθ -2sinθ =-sinθ =-
❑√5
5 .
故答案为：-
❑√5
5 .
3（2023·全国甲卷·高考真题）若f (x)=( x -1)
2+ax +sin(x +π
2 )为偶函数，则a= ．
【答案】2
【分析】利用偶函数的性质得到f(-π
2 )= f(
π
2 )，从而求得a=2，再检验即可得解.
【详解】因为y = f (x)=(x -1)
2+ax +sin(x +π
2 )=(x -1)
2+ax +cos x为偶函数，定义域为R，
所以f(-π
2 )= f(
π
2 )，即(-π
2 -1)
2
-π
2 a+cos(-π
2 )=(
π
2 -1)
2
+π
2 a+cosπ
2 ，
则πa=(
π
2 +1)
2
-(
π
2 -1)
2
=2π，故a=2，
此时f (x)=(x -1)
2+2 x +cos x = x
2+1+cos x，
所以f (- x)=(- x)
2+1+cos(- x)= x
2+1+cos x = f (x)，
又定义域为R，故f (x)为偶函数，
所以a=2.
故答案为：2.
4（2025·北京·高考真题）已知α , β ∈[0,2π]，且sin(α + β)=sin(α - β)，cos(α + β)≠cos(α - β).写出
满足条件的一组α , β的值α = ，β = ．
【答案】 π
2 （答案不唯一） π
6 （答案不唯一）
【分析】根据角的三角函数的关系可得角的等量关系，从而可得满足条件的一组解.
【详解】因为sin (α + β)=sin (α - β)，cos(α + β)≠cos(α - β)，
所以α + β ,α - β的终边关于y轴对称，且不与y轴重合，
故α + β +α - β =π+2k π,k ∈Z且α + β ≠π
2 +lπ,l∈Z，
即α =π
2 +k π,k ∈Z，
故取α =π
2 , β =π
6 可满足题设要求；
故答案为：π
2 ；π
6 （答案不唯一）
5（2023·北京·高考真题）已知命题p:若α , β为第一象限角，且α > β，则tan α >tan β．能说明p 为假命题
的一组α , β的值为α = ，β = ．
【答案】 9π
4 π
3
【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.
【详解】因为f (x)= tan x在(0,π
2 )上单调递增，若0<α0< β0<π
2 ，则tan α0<tan β0，
取α =2k1π+α0, β =2k2π+ β0,k1,k2∈Z，
则tan α = tan(2k1π+α0)= tan α0,tan β = tan(2k2π+ β0)= tan β0，即tan α <tan β，
令k1>k2，则α - β =(2k1π+α0)-(2k2π+ β0)=2(k1-k2)π+(α0- β0)，
因为2(k1-k2)π≥2π,-π
2 <α0- β0<0，则α - β =2(k1-k2)π+(α0- β0)> 3π
2 >0，
即k1>k2，则α > β.
不妨取k1=1,k2=0,α0=π
4 , β0=π
3 ，即α =9π
4 , β =π
3 满足题意.
故答案为：9π
4 ;π
3 .
6（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称.
若α ∈[
π
6 ,π
3 ]，则cos β的最大值为 ．
【答案】- 1
2/-0.5
【分析】首先得出β =α +π+2k π,k ∈Z，结合三角函数单调性即可求解最值.
【详解】由题意β =α +π+2k π,k ∈Z，从而cos β =cos(α +π+2k π)=-cosα，
因为α ∈[
π
6 ,π
3 ]，所以cosα的取值范围是[
1
2 ,
❑√3
2 ]，cos β的取值范围是[-
❑√3
2 ,- 1
2]，
当且仅当α =π
3 ，即β = 4π
3
+2k π,k ∈Z时，cos β取得最大值，且最大值为- 1
2.
故答案为：- 1
2.
