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第07 讲不等式的性质与解法
（知识清单+4 典例精讲+6 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
一元二次不等式解法（因式分解）、集合交集运算
单选题/填空
题/解答题
5 分/10 分
不等式性质判断、比较大小
单选题/填空
题
5 分
含参一元一次不等式组求解、整数解判断
单选题填空
题/解答题
5 分/10 分
分式不等式转化、解集求解（结合定义域限制）
单选题
5 分
【知识点01】不等式的基本性质
核心性质（前提：a,b,c∈ℝ，重点区分“可加性”“可乘性”条件）：
1. 对称性：若a>b，则b<a；反之亦然（双向等价）；
2. 传递性：若a>b，b>c，则a>c（注意：同向不等式可传递，异向不可）；
3. 可加性：若a>b，则a+c>b+c（两边加同一个数/整式，不等号方向不变）；
4. 可乘性：若a>b，c>0，则ac>bc；若a>b，c<0，则ac<bc（关键：乘负数，不等号方向改变）；
5. 同向可加：若a>b，c>d，则a+c>b+d；
6. 同向同正可乘：若a>b>0，c>d >0，则ac>bd；
7. 乘方性质：若a>b>0，则a
n>b
n（n∈ℕ
∗）；
8. 开方性质：若a>b>0，则n√a>
n√b（n∈ℕ
∗）。
易错提醒：① 可乘性必须注意c的符号，无符号则无法判断不等号方向；② 异向不等式不可传递（如a>b，
b<c，无法推出a>c）。
【例1】判断下列命题的真假，并说明理由。
（1）若a>b，则ac>bc；（2）若a>b，c>d，则ac>bd；（3）若a>b>0，则1
a < 1
b。
【知识点02】一元一次不等式（组）的解法
先化简不等式，转化为ax>b（或ax<b、ax≥b、ax≤b）的标准形式，再根据a的符号求解，重点关注a=0的特
殊情况。
标准解法步骤：
1. 去分母（两边同乘各分母的最小公倍数，注意分母不为0，且乘负数时不等号方向改变）；
2. 去括号（遵循去括号法则，符号不变）；
3. 移项（把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边，移项要变号）；
4. 合并同类项（化简为ax>b形式）；
5. 系数化为1（根据a的符号，判断不等号方向是否改变）。
【例2】解不等式2 x−1
3
−3 x +2
6
>1，并写出它的整数解。
【知识点03】一元二次不等式的解法
一元二次不等式的标准形式为a x
2+bx +c>0（或<0、≥0、≤0），其中a≠0，解题核心是“结合二次函数图像”，
根据判别式Δ=b
2−4 ac判断方程a x
2+bx +c =0的根，再结合a的符号确定不等式的解集。
核心步骤（以a>0为例）：
1. 计算判别式Δ=b
2−4 ac；
2. 求方程a x
2+bx +c =0的根（求根公式x = −b± ❑√Δ
2a
，或因式分解）；
3. 根据Δ的符号，结合二次函数开口方向，确定解集：
① 若Δ>0，方程有两个不相等实根x1< x2，则a x
2+bx +c>0的解集为(−∞, x1)∪( x2,+∞)，a x
2+bx +c<0的解
集为( x1, x2)；
② 若Δ=0，方程有两个相等实根x1= x2=−b
2a，则a x
2+bx +c>0的解集为(−∞, x1)∪( x1,+∞)，
a x
2+bx +c<0的解集为∅；
③ 若Δ<0，方程无实根，则a x
2+bx +c>0的解集为ℝ，a x
2+bx +c<0的解集为∅；
4. 若a<0，先两边同乘−1（不等号方向改变），转化为a>0的情况求解。
【例3】：解下列一元二次不等式：
（1）x
2−3 x−4>0；（2）−2 x
2+5 x−2≥0。
【知识点04】分式不等式的解法
分式不等式的标准形式为f ( x)
g( x) >0（或<0、≥0、≤0），解题核心是“转化为整式不等式”，注意分母不能为0。
核心转化规则（等价转化）：
1. f ( x)
g( x) >0⇔f ( x)⋅g( x)>0（且g( x)≠0）；
2. f ( x)
g( x) <0⇔f ( x)⋅g( x)<0（且g( x)≠0）；
3. f ( x)
g( x) ≥0⇔{f ( x)⋅g( x)≥0
g( x)≠0
；
4. f ( x)
g( x) ≤0⇔{f ( x)⋅g( x)≤0
g( x)≠0
。
【例4】解分式不等式2 x−3
x +1 ≤0。
【知识点05】绝对值不等式的基础解法
核心要点：绝对值不等式的核心是“去掉绝对值符号”，转化为不含绝对值的不等式，常见形式及解法如下（a>0
）：
1. | x|>a⇔x<−a或x>a；
2. | x|<a⇔−a< x<a；
3. |ax +b|>c⇔ax +b<−c或ax +b>c；
4. |ax +b|<c⇔−c<ax +b<c。
注意：若a≤0，需结合绝对值的非负性判断（如| x|>−2，解集为ℝ；| x|<−2，解集为∅）。
【例5】解下列绝对值不等式：
（1）|2 x−1|>3；（2）|3 x +2|≤4。
【题型一】不等式的性质
【例1】（2026·重庆·二模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】（多选）（2024·江西·模拟预测）已知
，则下列不等式一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3】（2025·吉林长春·二模）正整数
满足
，则
的最大值为_______．
【变式1】（2026·辽宁盘锦·一模）若实数
且
，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（多选）（2026·陕西·模拟预测）如果
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【变式3】（2025·福建福州·模拟预测）已知
，对于任意的
，都有
，则
________
【题型二】一元二次不等式的解法
【例4】（2026·江苏·三模）已知集合
，
，则
中元素的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【例5】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例6】（2026·陕西渭南·二模）不等式
的解集为______．
【变式1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知关于
的不等式
的解集为
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【变式3】（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）若关于
的不等式
的解集为
，则实数
_________．
【题型三】一元二次不等式恒成立问题
【例7】（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“
,
”为真命题，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例8】（2026·广东汕头·模拟预测）已知
，对任意实数x 恒成立．若
，
则t 的取值范围是_______________．
【例9】（2025·广东梅州·模拟预测）已知函数
的定义域为实数集
，则实数
的取值范围为
______.
【变式1】（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题
“
，使得不等式
成立”为假命题，则实数
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·河南南阳·模拟预测）已知
，若当
时，不等式
恒成立，则
的取值范围是__________.
【变式3】（2024·陕西西安·模拟预测）当
时，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是________．
【题型四】其他不等式
【例10】（2025·全国二卷·高考真题）不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例11】（2026·新疆·三模）不等式
的解集为__________.
【例12】（2026·安徽安庆·二模）设
.
(1)解不等式
;
(2)设
，若存在
，使得
，求实数
的取值范围.
【变式1】（2026·甘肃张掖·模拟预测）设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·江苏宿迁·二模）设函数
， 其中
.若不等式
对任意
恒成立，则
________.
【变式3】（2025·四川·模拟预测）关于
的不等式
的解集记为
．关于
的不等式
的解集
记为
．
(1)求集合
；
(2)若“
”是 “
”的必要不充分条件，求实数
的取值范围．
【解题大招01】性质判断法——抓条件、避陷阱
判断不等式命题真假、比较大小，核心是紧扣不等式8 条基本性质，重点关注3 个易错陷阱：① 可乘性中“乘数
符号”；② 同向不等式不可直接相减、异向不可传递；③ 乘方、开方仅适用于“正数同向”，避免忽略特殊情况
（如c=0、负数底数）。
性质应用优先“找条件、举反例”，遇到无明确符号的参数（如c），必分类讨论。
【例1】已知a、b、c 为实数，判断下列命题的真假，并说明理由。
（1）若a > b，则ac > bc；（2）若a > b > 0，则1
a < 1
b；（3）若a > b，c < d，则a - c > b - d。
【解题大招02】分步化简法——定步骤、防出错（适配一元一次不等式/组）
解一元一次不等式（组），严格遵循“5 步标准化流程”，避免跳步出错：① 去分母（乘最小公倍数，注意符号）；
② 去括号（符号不变）；③ 移项（变号）；④ 合并同类项；⑤ 系数化为1（注意不等号方向）；解不等式组
需“分别解、求交集”，最后结合整数解、参数范围筛选。
易错点集中在“去分母漏乘、移项不变号、系数化为1 变号失误”，每一步都需核对符号。
【例2】解不等式2 x−3
4
−x +1
6
≥1，并写出它的非负整数解。
【解题大招03】图像辅助法——定开口、找根定解集（适配一元二次不等式）
解一元二次不等式的核心是“数形结合”，3 步快速求解：① 化标准形式（保证二次项系数a≠0，优先转化为a >
0，方便判断开口）；② 求方程ax² + bx + c = 0 的根（因式分解优先，无法分解用求根公式）；③ 结合二次函
数开口方向，“大于取两边、小于取中间”（注意等号是否包含根）。
当a < 0 时，务必先转化为a > 0，避免开口方向判断错误；Δ=0 时，注意“大于0 取两边（不包含等根）、小于
0 无解”。
【例3】解下列一元二次不等式：（1）x² - 4x + 3 < 0；（2）-2x² + 5x + 3 ≥ 0。
【解题大招04】等价转化法——化分式为整式、避分母为0（适配分式不等式）
分式不等式不能直接去分母（分母符号未知），核心是“等价转化为整式不等式”，同时严格保证“分母不为0”，4
类核心转化（g(x)≠0）：
1. f ( x)
g( x) >0⇔f ( x)⋅g( x)>0；2. f ( x)
g( x) <0⇔f ( x)⋅g( x)<0；
3. f ( x)
g( x) ≥0⇔{f ( x)⋅g( x)≥0
g( x)≠0
；4. f ( x)
g( x) ≤0⇔{f ( x)⋅g( x)≤0
g( x)≠0
。
易错点是忘记排除分母为0 的情况，转化后需单独标注“g(x)≠0”，最后筛选解集。
【例4】解分式不等式3 x−1
x−2 ≤0。
【解题大招05】绝对值拆分法——定符号、去绝对值
解绝对值不等式的关键是“去掉绝对值符号”，核心拆分规则（a > 0）：
1. |x| > a
x < -a
⇔
或 x > a；2. |x| < a
-
⇔a < x < a；
3. |ax + b| > c
⇔ax + b < -c 或 ax + b > c；4. |ax + b| < c
-c <
⇔
ax + b < c；
若a ≤ 0，结合绝对值非负性判断（如|x| > -2，解集为R；|x| < -2，解集为空集）。
拆分后注意解两个不等式（“或”取并集、“且”取交集），系数化为1 时关注不等号方向。
【例5】解下列绝对值不等式：（1）|3x - 2| > 4；（2）|2x + 1| ≤ 3。
【解题大招06】分类讨论法——定参数、分情况
解含参数的不等式（如ax² + bx + c > 0），核心是“按参数影响解集的关键节点分类”，优先分类依据：① 二次项
系数a 的符号（a=0、a>0、a<0）；② 判别式Δ 的大小（Δ>0、Δ=0、Δ<0）；③ 方程根的大小（含参数的根）
分类时不重不漏。
分类讨论的关键是“找分类节点”，优先判断二次项系数是否为0，再判断Δ，最后比较根的大小，避免重复或遗
漏。
【例6】解关于x 的不等式ax² - 2x + 1 < 0（a R
∈
）。
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2026·广西贵港·三模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·山东枣庄·二模）已知集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·重庆·三模）已知集合
则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
4．（2024·河南新乡·二模）已知集合
则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·广东·模拟预测）已知全集
，集合
，若
有4 个子集，且
，则（ ）
A．
B．集合
有3 个真子集
C．
D．
三、填空题
6．（2024·湖南衡阳·三模）已知集合
，集合
，若
，则
______．
7．（2024·全国·模拟预测）已知实数
满足
，则
的取值范围是_________．
四、解答题
8．（2023·河南南阳·模拟预测）设p：实数x 满足
，q：实数x 满足
．
(1)若
，且p 和q 均为真命题，求实数x 的取值范围；
(2)若
且
是
的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2026·江苏·模拟预测）已知实数
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2026·云南昆明·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2025·云南昆明·模拟预测）已知关于x 的不等式
的解集为
，则下列说法正确的有
（ ）．
A．
B．不等式
的解集为
C．
D．
三、填空题
4．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知
为偶函数，则不等式
的解集为______．
5．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知
，则
的取值范围为______
四、解答题
6．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数
．
(1)求
极值点的个数，并解不等式
；
(2)求证：若
，则
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）当
，
且满足
时，若
恒成立，则
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·浙江·二模）已知
且
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二、多选题
3．（2026·青海海东·二模）已知函数
存在两个极值点
、
，则（ ）
A．
B．
C．
的取值范围为
D．
的取值范围为
三、填空题
4．（2025·甘肃白银·三模）定义：
表示不等式
的整数解，已知
，
，若
与
有唯一公共解
，则实数
的取值范围是______．
四、解答题
5．（2024·吉林长春·模拟预测）定义区间
、
、
、
的长度均为
，其中
．
(1)若关于
的不等式
的解集区间长度为2，求
的值；
(2)若
且
，求关于
的不等式
的解集区间长度范围．
