文档文本内容
专题1.6 一元二次函数、方程与不等式
重难点题型1 不含参数的一元二次不等式的解法
1．（2022·广东茂名·一模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】交集的概念及运算、一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【分析】先化简集合
，再由交集运算可得.
【详解】由
，
，
则
.
故选：B.
2．（四川省新高考2025 届高三适应性考试（第三次联考）数学试题）已知集合
，则
（ ）
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
不含参数的一元二次不等式的解法
重难点题型2
含参数的一元二次不等式的解法
重难点题型3
韦达定理与根的判别式
重难点题型4
二次函数根的分布问题
重难点题型5
一元二次不等式的恒成立问题
重难点题型6
其他综合不等式问题
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式
【分析】根据题意利用一元二次不等式求集合B，进而求交集.
【详解】因为
，
，
所以
．
故选：C.
3．（2025·广西北海·模拟预测）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】交并补混合运算、解不含参数的一元二次不等式
【分析】求解一元二次不等式得到
或
，再结合交集、补集运算即可求解.
【详解】因为
或
，
所以
，
故选：C．
4．（2025·陕西榆林·二模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式
【分析】根据一元二次不等式的解法及交集的定义即可求解．
【详解】因为
，所以
．
故选：B．
5．（2025·河南郑州·三模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】并集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式
【分析】解不等式，得到
，
，利用并集概念求出答案.
【详解】
，故
，
，故
，
故
.
故选：B
6．（2025·江西宜春·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】交集的概念及运算、具体函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式
【分析】求
有意义时
的范围，可得
，求不等式
的解集可得
，根据交集的
定义求结论.
【详解】由
有意义可得
，
所以
，
不等式
可化为
，
所以不等式
的解集为
，
所以
，
故选：A.
重难点题型2 含参数的一元二次不等式的解法
1．（2023·河南周口·模拟预测）已知集合
，
，若
，则
实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】解含有参数的一元二次不等式、根据并集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式
【分析】先求出集合
，进而求出
，再结合
列出关于a 的不等式组，解方程即可得
出答案.
【详解】集合
，
，
或
，因为
，
所以
，解得：
.
故实数a 的取值范围为
.
故选：A.
2．（2024·福建·模拟预测）设集合
，若
，则
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】根据交集结果求集合或参数
【分析】先将
因式分解，然后解不等式
，利用
两个
根的关系分类讨论，求出
的取值范围即可.
【详解】由题可知，
当
时，
无解，得
，此时
；
当
时，解
，得
，此时
，
；
当
时，解
，得
，此时
，要使
，则
；
综上所述，
.
故选：A
3．（2024·全国·二模）已知集合
，集合
，则满足
的实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】根据交集结果求集合或参数
【分析】根据交集的结果，代入不等式，即可求解.
【详解】由条件可知
，解得：
.
故选：C
4．（2025·河北·模拟预测）已知集合
或
，若
，则
．
【答案】0
【难度】0.65
【知识点】根据两个集合相等求参数、补集的概念及运算
【分析】由题意可得
和2 是方程
的两根，利用根与系数的关系求得
，可求
的值.
【详解】由
得，
，因为
或
，
所以
，所以
和2 是方程
的两根，
所以
，解得
，所以
．
故答案为：
.
5．（2024·全国·模拟预测）设集合
.若
且
，则
.
【答案】6
【难度】0.65
【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数
【分析】根据集合间的关系可知
，可得
，再由
求得
，即可得解.
【详解】因为集合
，
若
，则
且
，可得
，解得
，
即有
，又
，所以
，所以
.
故答案为：6
6．（23-24 高一上·湖北·阶段练习）已知集合
，
，若
，且
中恰有个整数元素，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据交集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式
【分析】利用解不含参的一元二次不等式得
，再利用函数方程根的分布，结合含参数的交集运算得
，最后计算得结论．
【详解】集合
或
，
设
，则函数
的图象开口向上，而由
知：对称轴
．
因为
中恰有个整数元素，所以方程
有实数根，
令
、
是方程
的两根，则
，
所以
（取
），所以
中恰有个整数元素为
，
则
，即
，解得
，
所以实数
的取值范围为
．
故答案为：
重难点题型3 韦达定理与根的判别式
1．（2023·全国·高三专题练习）关于
的不等式
的解集为
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
的解集是
，
，得
，
则不等式
，
即
，解得：
，
所以不等式的解集是
.
故选：D
2．（2023·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式
的解集为
，其中
，则
的最小值为（ ）
A．－2
B．1
C．2
D．8
【答案】C
【解析】由题意可知，方程
的两个根为m，
，则
，解得：
，故
，
，
所以
，当且仅当
，即
时取等号，则
，
所以
，当且仅当
，即
时取等号，
故
的最小值为2.
故选：C.
3．（2024·江西·一模）已知
，
是一元二次方程
的两个根，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【分析】结合根与系数关系可得
，
，再利用两角和的正切公
式可求出
的值.
【详解】因为
，
是一元二次方程
的两个根，
显然
，所以
，
，
所以
，
所以
．
故选：A．
4．（2023·北京海淀·模拟预测）已知关于x 的不等式
的解集是
，则下列四个
结论中错误的是（ ）
A．
B．
C．若关于x 的不等式
的解集为
，则
D．若关于x 的不等式
的解集为
，且
，则
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】基本不等式求和的最小值、一元二次方程的解集及其根与系数的关系、由一元二次不等式的解
确定参数
【分析】利用一元二次不等式的解法与一元二次方程之间的关系以及韦达定理，基本不等式进行求解即可.
【详解】由题意
，所以
正确;
对于
:
，当且仅当
，即
时成立,
所以
正确;
对于
,由韦达定理，可知
，所以
错误;
对于
,由韦达定理，可知
，
则
，解得
，
所以
正确,
故选：
.
5．（2024·江西·二模）法国数学家卢卡斯在研究一元二次方程
的两个根
不同幂的和时，
发现了
，
，…，由此推算
.
【答案】123
【难度】0.65
【知识点】方程与不等式、一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【分析】利用韦达定理及
，
可先计算立方和，再求五次方和，结合完全平方公式计算
即可.
【详解】因为
，
，
，
，
所以
，
所以
，
所以
.
故答案为：123
6．（2020·陕西榆林·一模）已知
是一元二次方程
的两实根，则
.
【答案】
【难度】0.85
【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【分析】利用韦达定理及两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为
是一元二次方程
的两实根，
所以
，
所以
.
故答案为：
.
重难点题型4 二次函数的根的分布问题
1．（22-23 高三上·辽宁沈阳·期中）已知关于x 的方程
有两个正根，那么两个根的倒数和
最小值是（ ）
A．-2
B．
C．
D．1
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】一元二次方程根的分布问题、一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【分析】由判别式可解得
，由根与系数关系可得
，由
的范围结合不等式
的性质变形可得答案．
【详解】由题意可得
，
解得
或
，
设两个为
，
，由两根为正根可得
，解得
，
综上知，
.
故两个根的倒数和为
，
，
，
，
故
，
，
故两个根的倒数和的最小值是
.
故选：B
2．（2023·江西·模拟预测）若a，b 是函数
（
，
）的两个不同的零点，且a，
b，
这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则
的值等于（ ）
A．17
B．18
C．19
D．20
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系、等比中项的应用、等差中项的应用
【分析】由题设知
，
，易得
或
，即可求a、b，进而可求
.
【详解】由题设知：
，
，
a，b，
这三个数可适当排序后成等差数列，则
或
或
(舍)；
a，b，
这三个数可适当排序后成等比数列，则
或
(舍)或
(舍)；
∴
或
，解得
或
或
(舍).
∴
，则
.
故选：D
3．（23-24 高三上·上海崇明·期中）已知不等式
的解集是
，则下列四个命题：
①
：
②
；
③ 若不等式
的解集为
，则
；
④ 若不等式
的解集为
，且
，则
.
其中真命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系、基本不等式求和的最小值、作差法比较代数式的大
小
【解析】因为
有且只有一个零点，故可得
，即可
，再利用
基本不等式和不等式的性质以及韦达定理，即可得答案；
【详解】由题意，
，
∴
.
对于①：
，
等号当且仅当
时成立，所以①正确；
对于②：
，
等号当且仅当
，即
时成立，
∴ ② 正确；
对于③：由韦达定理，知
，∴ ③ 错误；
对于④：由韦达定理，知
，
则
，
解得
，∴ ④ 正确；
综上，真命题的个数是3，
故选：C.
4．（2024·安徽合肥·模拟预测）函数
在
上有两个零点，则
的取值范围是
.
【答案】
【难度】0.85
【知识点】解含有参数的一元二次不等式、根据二次函数零点的分布求参数的范围、根据函数零点的个数
求参数范围
【分析】分类讨论
是否为0，得出不同情况下函数的情况，即可求出
的取值范围.
【详解】由题意，在
中，
当
时，
，函数单调递增，
在
上，
，无零点，舍去，
当
时，
，
，
，
对称轴
，∴图象过
，
，
∴函数图象开口向下，
，解得：
，
故答案为：
.
5．（2024·新疆·模拟预测）已知不等式
的解集为
，若关于
的不等式
的
解集非空，则的最小值是 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在某区间上有解问题
【分析】解不等式可得
，
，分析可知
的解集非空，求解即可.
【详解】由于
，故不等式
的解集为
，所以
.
这表明条件等价于关于
的不等式
的解集非空.
假设
，则对任意
都有
，所以
的解集为空，
不满足条件，故一定有
.
而当
时，对
有
，所以不等式
的
解集包含
，一定非空，满足条件.
所以的最小值是
.
故答案为：
.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知方程
的两根分别在区间
，
之内，
则实数
的取值范围为______．
【答案】
.
【解析】方程
方程两根为
，
若要满足题意，则
，解得
，
故答案为：
.
7．（2023·全国·高三专题练习）若方程
有两个不相等的实根，则
可取的最大整数值
是______.
【答案】1
【解析】方程化为
，
由
，
解得
，
所以
最大整数值是.
故答案为：1.
重难点题型5 一元二次不等式的恒成立问题
1．（2024·四川攀枝花·一模）命题“
”为假命题，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】根据全称命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、根据特称（存在性）命
题的真假求参数、特称命题的否定及其真假判断
【分析】由题意可知已知命题的否定为真命题，进而根据二次函数的性质列出不等式，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，命题“
”的否定，
即命题“
”真命题，
根据二次函数的性质可得，应有
，
解得
.
故选：C.
2．（24-25 高三上·湖南长沙·阶段练习）命题
：
，
为真的一个充分不必要条件是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】判断命题的充分不必要条件、一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】由题意
在
上恒成立，得
，进而得
，即得.
【详解】因命题
为真，故
在
上恒成立，
故
，解得
，
故命题
为真的一个充分不必要条件为
的子集，
故选：B
3．（2024·四川成都·二模）已知函数
的值域为M.若
，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、根据集合的包含关系求参数、求指数型复合函数的值域
【分析】根据题意，转化为
有解且无最大值即可分类讨论得解.
【详解】由
，可知
有解，且
无最大值，
即
有解，且
无最大值，
当
时，
有解，
无最大值，符合题意；
当
时，
有解，但
有最大值，不符合题意；
当
时，
有解需满足
，解得
，
此时
无最大值，满足题意.
综上，实数a 的取值范围是
.
故选：A
4．（2024·浙江·模拟预测）若不等式
的解为全体实数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】分类讨论
与
两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.
【详解】当
时，不等式
可化为
，显然不合题意；
当
时，因为
的解为全体实数，
所以
，解得
；
综上：
.
故选：C.
5．（2025·山东·二模）已知不等式
对任意的
恒成立，则实数a 的最小值为
．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【详解】可以将不等式的左边视为一元二次函数，对函数求导，判断函数的单调区间，保证该函数在
内的最小值大于等于0，就能满足题意，此时可求出
的取值范围，进而得出其最小值.
【方法一】根据已知条件，令
对任意的
成立.
对函数求导得：
.
当
时，
，即
，
此时，该函数在
上单调递增；
当
时，
，即
，
此时，该函数在
上单调递减.
若
，即
时，该函数在
上单调递增，在
上单调递减.
此时函数在
内的最小值为
.
解得：
，因为
，
所以此时
的范围为：
.
若
，即
时，该函数在
上的最小值为
，符合题意.
综上所述，
的取值范围为
.
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
6．（2025·辽宁·二模）命题p:“
，
”是假命题，则m 的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】根据题意，
为真命题，恒成立问题分离参数求解.
【详解】由题，
为真命题，
所以
，对
，
又
在
上的最小值为
，
，
所以实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
7．（2024·四川成都·二模）若函数
对
恒成立，则
的取值范围是
.
【答案】
【难度】0.65
【知识点】二倍角的余弦公式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【分析】利用二倍角公式把问题转化成二次函数在给定区间上恒成立的问题求参数的取值范围.
【详解】因为
在
上恒成立.
设
，
，则
在
恒成立.
则
.
故答案为：
8．（2024·贵州遵义·模拟预测）
，关于
的一元二次不等式
恒成立，则实数
的取值
范围是 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】根据二次函数的性质得
，即可求解.
【详解】由题意可知，
，得
.
故答案为：
重难点题型6 其它综合不等式问题
1．（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】交并补混合运算、解不含参数的一元二次不等式、几何意义解绝对值不等式
【分析】解绝对值不等式求出集合
，解一元二次不等式求出集合
，再根据补集、交集的定义计算可得.
【详解】由
，即
，解得
，
所以
，
由
，即
，解得
，
所以
，
所以
，则
.
故选：B
2．（2025·上海金山·二模）已知
，则下列结论不恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、绝对值三角不等式
【分析】利用不等式性质判断AD；举例说明判断B；利用绝对值的三角形不等式判断C.
【详解】对于A，
，A 正确；
对于B，取
，
，B 错误；
对于C，
，当且仅当
时取等号，C 正确；
对于D，
，D 正确.
故选：B
3．（2025·山东聊城·二模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式
【分析】先根据一元二次不等式计算求解集合B，再应用交集定义计算判断.
【详解】集合
，
则
.
故选：C
4．（2022·重庆·模拟预测）（多选题）已知全集
，集合
，则关于
的表达方式正
确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【难度】0.85
【知识点】分式不等式、解不含参数的一元二次不等式、补集的概念及运算
【分析】根据补集的概念及分式不等式及其解法即可求解.
【详解】由题意得，
，
所以
，
故AB 正确，CD 错误，
故选：AB.
5．（2024·上海·三模）已知集合
，
，则
．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】几何意义解绝对值不等式、分式不等式、交集的概念及运算
【分析】首先解绝对值不等式与分式不等式求出集合
、
，再根据交集的定义计算可得.
【详解】由
，即
，解得
，
所以
，
由
，即
，等价于
，解得
或
，
所以
，
所以
.
故答案为：
6．（2023·北京海淀·统考一模）不等式
的解集为_________．
【答案】
或
【解析】根据分式不等式解法可知
等价于
，
由一元二次不等式解法可得
或
；
所以不等式
的解集为
或
.
故答案为：
或
7．（2023·上海·高三专题练习）若不等式
，则x 的取值范围是____________．
【答案】
【解析】∵
，则
，解得
，
∴x 的取值范围是
.
故答案为：
.
