文档文本内容
第04 讲 一元二次函数（方程，不等式）
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................3
高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参）..........................................................................3
高频考点二：一元二次不等式解法（含参）.............................................................................................5
高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系...........................................................7
高频考点四：一元二次不等式恒成立问题.................................................................................................7
角度1：
上恒成立（优选
法）............................................................................................7
角度2：
上成立（优选
法）................................................................................................8
角度3：
上恒成立（优选分离变量法）................................................................................9
角度5：已知参数
，求
取值范围（优选变更主元法）.......................................................10
高频考点五：一元二次不等式的应用......................................................................................................11
第三部分：典型易错题型.................................................................................................................................12
第一部分：基础知识
1、二次函数
（1）形式：形如
的函数叫做二次函数.
（2）特点：
①函数
的图象与
轴交点的横坐标是方程
的实根.
②当
且
(
)时，恒有
(
)；当
且
(
)时，恒有
(
).
2、一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式，称为一元二次不等式.
3.
或
型不等式的解集
不等式
解集
4、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式
二次函数
的图象
一元二次方程
的根
有两相异实数根
，
(
)
有两相等实数根
没有实数根
一元二次不等式
的解集
一元二次不等式
的解集
5、分式不等式解法
（1）
（2）
（3）
（4）
6、单绝对值不等式
（1）
（2）
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参）
典型例题
例题1．（25-26 高三上·全国·课后作业）解下列不等式（组）：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
；
(5)
；
例题2．（24-25 高三下·湖北黄石·阶段练习）求下列不等式的解集
(1)
；
(2)
.
方法总结
1．解不含参的一元二次不等式有以下3 种方法（先化为标准式）（优先推荐十字相乘法）．
（1）因式分解法：若不等式对应的一元二次方程能因式分解，则可以直接由一元二次方程的
根及不等号方向得到不等式的解集；
（2）配方法：若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式
始终大于或等于零，不等式的解集易得；
（3）图象法：利用二次方程求根公式求不等式对应的一元二次方程的根（先用判别式判断根
的情况），然后结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集．
2．分式不等式的解法
（1）
；
（2）
且
．（特别注意不要忽略了分母不为0）
（3）另外
要先移项
，通分
再求解。
精练高频考点
1．（24-25 高三上·山西晋中·期中）解下列不等式：
(1)
；
(2)
(3)
2．（24-25 高三上·广东广州·阶段练习）（1）解不等式
；
（2）解不等式
．
高频考点二：一元二次不等式解法（含参）
典型例题
例题1．（2026 高三·全国·专题练习）若
，解关于
的不等式
.
例题2．（2024 高三·全国·专题练习）解关于
的不等式：
．
精练高频考点
1．（23-24 高三上·北京·期中）已知关于
的不等式
的解集为
.
(1)求实数
，
的值；
(2)求关于
的不等式
的解集.
2．（24-25 高三上·江苏泰州·期中）已知函数
.
(1)求函数
的解析式；
(2)求关于
的不等式
的解集.（其中
）
3．（24-25 高三上·河南驻马店·阶段练习）已知函数
，二次函数
满足：
且
．
(1)求
的解析式；
(2)若
，解关于x 的不等式
．
4．（24-25 高三上·浙江丽水·期中）已知不等式
的解集为
．
(1)解不等式
；
(2)若
，当
时，解关于
的不等式
．
高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系
典型例题
例题1．（23-24 高二下·吉林长春·期末）不等式
的解集为
，则不等式
的解
集为 ．
例题2．（23-24 高三下·湖南长沙·阶段练习）设
为常数，且
，若不等式
的解集是
，则不等式
的解集是 .
精练高频考点
1．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，若
的解集为
，则下
列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
必与
同号
D．
必与
异号
2．（多选）（24-25 高三上·河南信阳·阶段练习）已知关于
的一元二次不等式
的解集为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（多选）（23-24 高三上·福建龙岩·期中）若不等式
的解集是
，则下列结论正确的
是（ ）
A．
且
B．
C．关于
的不等式
的解集是
D．关于
的不等式
的解集是
高频考点四：一元二次不等式恒成立问题
角度1：
上恒成立（优选法）
典型例题
例题1．（2025 高三下·全国·专题练习）若一元二次不等式
对一切实数
都成立，则
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（2025 高三下·全国·专题练习）不等式
对一切
恒成立，则实数
的取值范围
是 ．
精练高频考点
1．（24-25 高三上·山东·阶段练习）已知不等式
的解集为空集，则
的取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
，若对任意
，
恒成立，则实数
的取值范围是 .
角度2：
上成立（优选法）
典型例题
例题1．（24-25 高三上·山东济南·期末）若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（23-24 高三上·江苏无锡·期中）已知关于x 的不等式
在R 上有解，则a 的取值
范围为
精练高频考点
1．（23-24 高三上·福建龙岩·阶段练习）若命题“
，
”是真命题，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·江苏苏州·期末）若命题“
”是假命题，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
角度3：
上恒成立（优选分离变量法）
典型例题
例题1．（24-25 高三上·安徽宿州·期中）已知
，
恒成立，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（23-24 高三上·河南·阶段练习）当
时，关于x 的不等式
恒成立，则m 的
取值集合是 ．
精练高频考点
1（2024 高三·全国·专题练习）若不等式
对任意
恒成立，求实数
的取值范围.
2．（24-25 高三上·山东淄博·阶段练习）已知函数
.
(1)若不等式
的解集为
，求
的取值范围；
(2)对任意的
，不等式
恒成立，求
的取值范围.
角度5：已知参数
，求取值范围（优选变更主元法）
典型例题
例题1．（23-24 高一上·江苏盐城·期中）设函数
．
(1)若对于
恒成立，求
的取值范围；
(2)若对于
恒成立，求
的取值范围．
精练高频考点
1．（24-25 高三上·天津武清·阶段练习）（1）若对于任意
，
恒成立，求实数
的取值范围；
（2）若对于任意
，
恒成立，求实数
的取值范围.
高频考点五：一元二次不等式的应用
典型例题
例题1．（2024 高三·全国·专题练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于
的内接
矩形花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长
（单位：m）的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（23-24 高三上·山东济宁·期中）2022 中国国际智能产业博览会于8 月22~24 日在重庆隆重举办，
主题延续“智能化：为经济赋能，为生活添彩”，某企业遵循国家发展战略目标，进一步优化内部结构，
深入拓展大数据智能化建设，据悉，该企业研发部原有80 人，年人均投入a（
）万元，现把研发部
人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x 名（
且
），调整后，研发人员
的年人均投入增加
，技术人员的年人均投入为
（其中
且
）万元.
(1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的80 人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员x
的取值范围是多少？
(2)若研发部新招聘1 名员工，原来的研发部人员调整策略不变，且同时满足下列两个条件：①技术人员的
年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入.请分析是否
存在满足上述条件的正实数m，若存在，则求出m 的值；若不存在，则说明理由.
精练高频考点
1．（2025 高三·北京·专题练习）某商家为了提高一等品M 的销售额，对一等品M 进行分类销售．据统
计，该商家有200 件一等品M，产品单价为
元．现计划将这200 件一等品分为两类：精品和优
品．其中优品x 件（
，
），分类后精品的单价在原来的基础上增加2x%，优品的单价调整为
元（
），因市场需求旺盛，假设分类后精品与优品可以全部售完．若优品的单价不低于
分类前一等品M 的单价，且精品的总销售额不低于优品的总销售额，则n 的值可能为 .
2．（23-24 高三上·上海·期中）为确保2023 年第六届中国国际进口博览会安全顺利进行，上海市公安局决
定在进博会期间实施交通管制.经过长期观测发现，某最高时速不超过100 千米/小时的公路段的车流量
（辆/小时）与车辆的平均速度（千米/小时）之间存在函数关系：
.
(1)当车辆的平均速度为多少时，公路段的车流量最大？最大车流量为多少？
(2)若进博会期间对该公路段车辆实行限流管控，车流量不超过4125 辆/小时，则汽车的平均速度应在什么
范围内？
第三部分：典型易错题型
备注：一元二次不等式最高项系数容易忽略化正。
1．（24-25 高一上·福建福州·期中）解下列一元二次不等式
2．（24-25 高一上·四川成都·阶段练习）解下列不等式
；
备注：分式不等式容易直接乘到另一侧忽略正负而漏解。
1．（24-25 高三上·四川成都·阶段练习）解下列不等式
.
2．（24-25 高三上·陕西西安·阶段练习）解下列关于
的不等式.
；
