专题1.5 二次函数与一元二次方程、不等式（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 不含参一元二次不等式的求解】..............................................................................................................3
【题型2 含参一元二次不等式的求解】..................................................................................................................3
【题型3 由一元二次不等式的解确定参数】.........................................................................................................4
【题型4 分式、高次、绝对值不等式的求解】.....................................................................................................4
【题型5 一元二次不等式根的分布问题】..............................................................................................................5
【题型6 二次函数的单调性、最值及图象问题】.................................................................................................5
【题型7 一元二次不等式恒成立问题】..................................................................................................................6
【题型8 一元二次不等式有解问题】......................................................................................................................7
【题型9 一元二次不等式的实际应用】..................................................................................................................7
1、二次函数与一元二次方程、不等式
考点要求
真题统计
考情分析
(1)会从实际情景中抽象出
一元二次不等式
(2)掌握三个“二次”的关
系，会解一元二次不等式
(3)了解分式、高次、绝对
值不等式的解法
2023 年新高考I 卷：第1 题，5
分
2025 年全国二卷：第4 题，5
分
2025 年天津卷：第15 题，5 分
2025 年上海卷：第2 题，4 分
一元二次不等式是高考数学的重要内
容.从近几年高考情况来看，解不等
式、三个“二次”的关系是常考内
容，高考中主要以选择题、填空题的
形式呈现，难度不大；此外，“含参
不等式恒成立与能成立问题”也是常
考的热点内容，其以覆盖知识点多、
综合性强、解法灵活等特点备受高考
命题者的青睐.
知识点 一元二次不等式
1．一元二次不等式的解法
(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：
①通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
②计算对应方程的判别式；
③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
④根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集．
(2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤：
①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0 与小于0 进行讨论；
②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ 进行讨论；
③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
2．分式、高次、绝对值不等式的解法
(1)解分式不等式的一般步骤：
①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不
为零．
②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为
零，然后再用上述方法求解．
(2)解高次不等式的一般步骤：
高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线
法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集.
(3)解绝对值不等式的一般步骤：
对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解.
3．一元二次不等式恒成立、存在性问题
不等式对任意实数x 恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R
的条件
．
一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R 的条件为
．
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0 的解集为∅的条件为
．
【方法技巧与总结】
1．已知关于x 的一元二次不等式ax 2+bx +c>0 的解集为R，则一定满足{a>0¿¿¿¿；
2．已知关于x 的一元二次不等式ax 2+bx +c>0 的解集为∅，则一定满足{a<0¿¿¿¿；
3．已知关于x 的一元二次不等式ax 2+bx +c<0的解集为R，则一定满足{a<0¿¿¿¿；
4．已知关于x 的一元二次不等式ax 2+bx +c<0的解集为∅，则一定满足{a>0¿¿¿¿．
【题型1 不含参一元二次不等式的求解】
【例1】（2025·天津·模拟预测）已知p: x
2+2 x−3<0，q: x
2+x−2<0，则p是q的（ ）条件
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【变式1-1】（23-24 高一上·山东济宁·阶段练习）不等式(x−2)(3−2 x)≥0的解集为（ ）
A．{x) x>3
2)
B．{x) 3
2 ≤x ≤2)
C．{x) x ≤3
2 或x ≥2)
D．{x) x ≤3
2)
【变式1-2】（2025·江西上饶·一模）已知集合M ={x|x
2−6 x −7<0))，N ={x|2 x>a))，若M ⊆N，则
实数a的取值范围为（ ）
A．(−∞,14)
B．(−∞,14)
C．(−2,+∞)
D．(−∞,−2)
【变式1-3】（2025·河北·模拟预测）已知集合A ={x) x
2<1)，B ={x)2a<x <2a+1)，若“t ∈B”是“
t ∈A”成立的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（ ）
A．[−1
2 ,0)
B．(−1
2 ,0)
C．(0, 1
2)
D．[0, 1
2)
【题型2 含参一元二次不等式的求解】
【例2】（2025 高一上·河北保定·专题练习）若0<t <1，则关于x 的不等式( x−t )( x−1
t )<0的解集为
（ ）
A．{x| 1
t <x<t }
B．{x| x>1
t 或x<t }
C．{x| x<1
t 或x>t }
D．{x| t <x<1
t }
【变式2-1】（24-25 高一上·上海金山·期末）当0<a<1时，关于x 的不等式(x −3)[(1−a) x +(a−3))<0的
解集为（ ）
A．(−∞, a−3
a−1)∪(3,+∞)
B．(−∞,3)∪(
a−3
a−1 ,+∞)
C．(3, a−3
a−1)
D．(
a−3
a−1 ,3)
【变式2-2】（24-25 高一上·广东汕头·期末）对于给定实数a，关于x 的一元二次不等式(ax−1)(x +1)<0
的解集可能是（ ）
A．{x)−1<x<1
a)
B．{x) x ≠1)
C．{x) 1
a <x<−1)
D．R
【变式2-3】（24-25 高一上·陕西渭南·阶段练习）关于x的不等式a x
2+(2a−1) x−2>0，其中a≤0，则该
不等式的解集不可能是（ ）
A．(−∞,−2)
B．(−2, 1
a)
C．(−∞,−2)∪(
1
a ,+∞)
D．(
1
a ,−2)
【题型3 由一元二次不等式的解确定参数】
【例3】（24-25 高二下·江苏无锡·阶段练习）不等式x
2−ax−b<0的解集是{x| 1<x<3)，则
b x
2−ax−1>0的解集是（ ）
A．{x| −3<x<−1)
B．{x| −1<x<−1
3)
C．{x) x<−3)或x>−1)
D．{x) x<−1)或x>−1
3)
【变式3-1】（2026 高三·全国·专题练习）若关于x的不等式x
2−(m+3) x +3m<0的解集中恰有3 个整数，
则实数m的取值范围为（ ）
A．(6,7]
B．[−1,0)
C．[−1,0)∪(6,7)
D．[−1,7)
【变式3-2】（24-25 高一上·云南昭通·期中）已知不等式a x
2+bx +c<0的解集为{x∣x<−1或x>3}，则
下列结论正确的是（ ）
A．a>0
B．c<0
C．a+b+c>0
D．c x
2−bx +a<0的解集为{x|−1<x<1
3))
【变式3-3】（2025·福建南平·二模）关于t的实系数二次不等式t
2+(b−1)t +a<0的解集为(−2,−1)，若
a
x−b
y =1，(x , y ∈R)，则2
x−y的最小值为（ ）
A．1
2
B．❑√2
C．2
D．2❑√2
【题型4 分式、高次、绝对值不等式的求解】
【例4】（2025·全国二卷·高考真题）不等式x−4
x−1 ≥2的解集是（ ）
A．{x∣−2≤x ≤1}
B．{x∣x ≤−2}
C．{x∣−2≤x<1}
D．{x∣x>1}
【变式4-1】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知集合A ={x ∈Z|−2≤x ≤4))，B ={x|
6
x +1 ≥1))
，则
A ∩B =（ ）
A．{x|−1≤x ≤4))
B．{−1,0,1,2,3,4)
C．{0,1,2,3,4)
D．
{−2,−1,0,1,2,3,4)
【变式4-2】（2025·上海·高考真题）不等式x−1
x−3 <0的解集为
．
【变式4-3】（2025·上海崇明·二模）不等式| x−1| <2的解为
．
【题型5 一元二次不等式根的分布问题】
【例5】（24-25 高一上·浙江·期中）关于x的方程x
2+(a−2) x +5−a=0有两根，其中一根小于2，另一根
大于3，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a| a<−5或a>−4 }
B．{a|−5<a<−4))
C．{a|a<−5))
D．{a|a>−4))
【变式5-1】（24-25 高一上·安徽合肥·期中）已知关于x 的方程x
2+(m−2) x +5−m=0有两个大于2 的相
异实数根，则实数m 的取值范围是（）
A．{m|−5<m≤−4)或m≥4}
B．{m|−5<m<−4))
C．{m|−5<m≤−4))
D．{m|−5<m<−4)或m>4}
【变式5-2】（24-25 高三上·四川·阶段练习）若关于x的方程x
2−2ax +a+2=0在区间(−2,1)上有两个不
相等的实数解，则a的取值范围是（ ）
A．(−6
5 ,−1)
B．(−6
5 ,1)
C．(−∞,−6
5)∪(−1,+∞)
D．(−∞,−6
5)∪(1,+∞)
【变式5-3】（24-25 高一上·辽宁大连·期中）关于x 的方程a x
2+4 x +1=0至少有一个负根的充要条件是
（ ）
A．0<a≤4
B．a≤0
C．a<4
D．a≤4
【题型6 二次函数的单调性、最值及图象问题】
【例6】（24-25 高一下·云南迪庆·期末）抛物线y =a x
2+bx +c(a≠0)的部分图象如图所示，下列说法正
确的是（ ）
A．abc>0
B．b=2a
C．3a+c<0
D．b
2<4 ac
【变式6-1】（24-25 高一上·陕西西安·期末）若函数f (x)=a x
2−2 x +4在区间[1,3)上不具有单调性，则实
数a的取值范围是（ ）
A．(
1
3 ,1)
B．(−1,−1
3)
C．(−∞, 1
3)
D．(
1
3 ,+∞)
【变式6-2】（24-25 高一上·北京·开学考试）已知二次函数y =m x
2−2mx（m为常数），当−1≤x ≤2
时，函数值y 的最小值为−2，则m 的值是（ ）
A．−2
B．1
C．2 或−2
3
D．−1
【变式6-3】（2025·陕西汉中·三模）在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向
下的抛物线的一部分.“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，
而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”.对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处
于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大.收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以
简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行
途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最小
的线路是（ ）
A．P→A →Q
B．P→B→Q
C．P→C →Q
D．P→D→Q
【题型7 一元二次不等式恒成立问题】
【例7】（2025·浙江·模拟预测）若不等式k x
2+(k −6) x +2>0的解为全体实数，则实数k的取值范围是
（ ）
A．2≤k ≤18
B．−18<k <−2
C．2<k <18
D．0<k <2
【变式7-1】（24-25 高一下·贵州·期中）若不等式m x
2+mx−4<2 x
2+2 x对任意实数x均成立，则实数m
的取值范围是（ ）
A．(−2,2)
B．(−14,2)
C．(−∞,−2)∪[2,+∞)
D．(−14,2)
【变式7-2】（24-25 高三上·山西·阶段练习）若命题p:∃x∈[−2,2)，使得x
2−2 x−m
2+2m≥0为假命
题，则实数m的取值范围为（ ）
A．(−∞,1)∪(1,+∞)
B．(−∞,0)∪(2,+∞)
C．(−∞,−4)∪(2,+∞)
D．(−∞,−2)∪(4 ,+∞)
【变式7-3】（24-25 高三上·河南许昌·期中）∀x∈(−2,+∞)，x
2+(4−a) x +7−2a≥0恒成立，则实数
a的最大值为（ ）
A．❑√3
B．3
C．2❑√3
D．6
【题型8 一元二次不等式有解问题】
【例8】（24-25 高一上·北京·期中）已知存在x∈[0,1)，使得x
2−4 x ≥m
2−4 m成立，则m的取值范围是
（ ）
A．[0,1)
B．[1,3)
C．[0,4)
D．[0,+∞)
【变式8-1】（24-25 高一下·湖北黄冈·阶段练习）关于x的不等式x
2−(a+2)x +2a<0有解是“a>2”的
（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．充分不必要条件
【变式8-2】（2025·河南·模拟预测）已知命题“∃x0∈[−1,1)，−x0
2+3 x0+a>0”为真命题，则实数a
的取值范围是（ ）
A．(−∞,−2)
B．(−∞,4)
C．(−2,+∞)
D．(4 ,+∞)
【变式8-3】（2025·陕西宝鸡·模拟预测）若存在实数x，使得m x
2−(m−2) x +m<0成立，则实数m的取
值范围为（ ）
A．(−∞,2)
B．(−∞,0)∪(
1
3 , 3
2)
C．(−∞, 2
3)
D．(−∞,1)
【题型9 一元二次不等式的实际应用】
【例9】（24-25 高一上·广东肇庆·阶段练习）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15
元.若按最低售价销售，每天能卖出30 个，若一个削笔器的售价每提高1 元，日销售量将减少2 个.为了使
这批削笔器每天获得400 元以上的销售收入，这批削笔器的销售单价x（单位：元）的取值范围是（ ）
A．(10,20)
B．[15,20)
C．(16,20)
D．[15,25)
【变式9-1】（2025 高二下·湖北·学业考试）若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度ℎ（单
位：m）与时间t（单位：s）满足关系式ℎ=v0t −1
2 gt
2，其中g≈10 m/ s
2,v0为初速度.向盼归同学以
v0=11m/ s竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方2m处及以上的位置最多停留时间为（ ）
A．1.8s
B．2.8s
C．3.8s
D．4.8s
【变式9-2】（24-25 高一上·云南·期末）在物理学中，若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的
高度ℎ与时间t满足关系ℎ=v0t −1
2 gt
2，其中g≈10 m/ s
2，一名同学以初速度v0=11m/ s竖直上拋一排
球，排球能够在拋出点2m以上的位置最多停留（ ）
A．1.6s
B．1.7s
C．1.8s
D．1.9s
【变式9-3】（24-25 高一下·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名
的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业
持续发展．某连锁酒店共有500 间客房，若每间客房每天的定价是200 元，则均可被租出；若每间客房每
天的定价在200 元的基础上提高10 x元（1≤x ≤10，x∈Z），则被租出的客房会减少15 x套．若要使该
连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600 元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（ ）
A．250 元
B．260 元
C．270 元
D．280 元
一、单选题
1．（2025·甘肃白银·模拟预测）使不等式x
2+3≤4 x成立的一个充分不必要条件为（ ）
A．1≤x ≤3
B．0≤x ≤3
C．x>3
D．1<x<3
2．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若关于x的不等式a x
2+bx−2>0的解集是(
1
a ,−2)，则a的取值范围是
（ ）
A．(−∞,−1
2)
B．(−1
2 ,+∞)
C．(−1
2 ,0)
D．(−1
2 ,0)∪(0,+∞)
3．（2025·重庆·一模）已知a∈R，则“x
2+2 x +a>0的解集为R”是“a>0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（2024·甘肃张掖·模拟预测）不等式|x
2−3 x)<2−2 x的解集是（ ）
A．(−1, 1
2)
B．(−1
2 , 1
2)
C．(−1, 5−❑√17
2 )
D．(
5−❑√17
2
, 1
2)
5．（2025·陕西渭南·二模）若关于x的不等式2a x
2−4 x<ax−2有且只有一个整数解，则实数a的取值范
围是（ ）
A．(1,2)
B．[1,2)
C．(0,2)
D．(0,2)
6．（2024·山西·模拟预测）已知关于x的不等式ax +b>0的解集为(−4 ,+∞)，则关于x的不等式
b x
2−ax<0的解集为（ ）
A．(−1
4 ,0)
B．(−∞,−1
4)∪(0,+∞)
C．(0, 1
4)
D．(−∞,0)∪(
1
4 ,+∞)
7．（2024·贵州遵义·模拟预测）已知函数f (x)=x
2−2tx +2t
2−2t，则下列选项正确的是（ ）
A．f (x)的图象恒过点(0,0)
B．f (x)的图象必与x轴有两个不同的交点
C．f (x)的最小值可能为−2
D．f (x)的最小值可能为−1
8．（2024·北京朝阳·模拟预测）定义区间(m,n)(m<n)的长度为n−m，设k >0，若对于任意a≠b，不等
式
1
x−a + 2
x−b >k的解集所包含区间长度之和恒为3，则k 的值为（）．
A．1
B．1
2
C．2
D．3
二、多选题
9．（24-25 高一上·广东广州·期末）使不等式2k x
2+kx−3
8 <0对一切实数x都成立的一个充分条件是
（ ）
A．k =0
B．k =1
C．k =−1
D．−3<k <0
10．（24-25 高一上·吉林通化·阶段练习）已知关于x 的不等式a x
2+bx +c<0
的解集为{x) x <−2)或x>3)
，则下列说法正确的是 （ ）
A．a<0
B．ax +c>0的解集为{x| x>6}
C．8a+4 b+3c<0
D．c x
2+bx +a<0的解集为{x| −1
2 <x<1
3)
11．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．不等式4 x
2−5 x +1>0的解集是{x|x>1
4 或x<1))
B．不等式2 x
2−x−6≤0的解集是{x|x ≤−3
2 或x ≥2))
C．若不等式a x
2+8ax +21<0恒成立，则a 的取值范围是∅
D．若关于x 的不等式2 x
2+px−3<0的解集是(q ,1)，则p+q的值为−1
2
三、填空题
12．（2025·上海·三模）不等式
x
x−2 ≤0的解集为
.
13．（2024·辽宁·三模）若“∃x∈(0,+∞)，使x
2−ax +4<0”是假命题，则实数a的取值范围为
.
14．（2025·甘肃兰州·模拟预测）若不等式m x
2+2mx −4<2 x
2+4 x对任意x∈R都成立，则实数m的取
值范围是
．
四、解答题
15．（2024·山东·二模）已知f (x)是二次函数，且f (1)=4 ,f (0)=1,f (3)=4．
(1)求f (x)的解析式；
(2)若x∈[−1,5)，求函数f (x)的最小值和最大值．
16．（2025 高一·全国·专题练习）已知x1、x2是关于x的方程x
2−(k +1) x +1
4 k
2+1=0的两个实数根，根
据下列条件，分别求出k的值：
(1)x1 x2=5；
(2)|x1)=x2
．
17．（2024·广东中山·模拟预测）某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来
水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4 年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万
元）与设备的占地面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费
C（单位：万元）与设备占地面积x之间的函数关系为C (x)= 20
x +5 ( x>0)，将该企业的净水设备购置费与
安装后4 年需缴水费之和合计为y（单位：万元）.
(1)要使y不超过7.2 万元，求设备占地面积x的取值范围；
(2)设备占地面积x为多少时，y的值最小？
18．（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x)=|2 x−a)，且f (x)≤b的解集为[−1,3)．
(1)求a和b的值；
(2)若f (x)≤|x−t )在[−1,0)上恒成立，求实数t的取值范围．
19．（2024·吉林长春·模拟预测）定义区间(m,n)、[m,n]、(m,n]、[m,n)的长度均为n−m，其中n>m
．
(1)若关于x的不等式x
2+bx +1≤0的解集区间长度为2，求b的值；
(2)若a>b>c且a+b+c =0，求关于x的不等式a x
2+bx +c<0的解集区间长度范围．
