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2026 年高考数学一轮复习
专题2：不等式
知识点一 等式的基本性质
性
质
文字表述
性质内容
注意
1
对称性
可逆
2
传递性
同向
3
可加、减性
可逆
4
可乘性
同向
5
可除性
同向
知识点二 不等式的性质
性质
别名
性质内容
注意
1
对称性
a>b⇔b<a
可逆
2
传递性
a>b，b>c⇒a>c
同向
3
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
可逆
4
可乘性
a>b，c>0⇒ac>bc
c 的符号
a>b，c<0⇒ac<bc
5
同向可加性
a>b，c>d⇒a＋c>b＋d
同向
6
正数同向可乘性
a>b>0，c>d>0⇒ac>bd
同向
7
正数乘方性
a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)
同正
知识点三 一元二次不等式的解集
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图
象
方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根
有两相异实根x1，
x2(x1<x2)
有两相等实根x1＝x2
＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
{x|x<x1或x>x2}
{x|x≠−b
2a}
R
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
{x|x1< x<x2}
∅
∅
恒成立问题
不等式的解集为R(或恒成立)的条件
不等式
ax2＋bx＋c>0
ax2＋bx＋c<0
a＝0
b＝0，c>0
b＝0，c<0
a≠0
有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法
设二次函数
y＝ax2＋bx＋c
若ax2＋bx＋c≤k 恒成立⇔ymax≤k
若ax2＋bx＋c≥k 恒成立⇔ymin≥k
分式不等式
（1）
（2）
（3）
（4）
绝对值不等式
（1）
（2）
；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
知识点四 基本不等式
1、重要不等式：
,（当且仅当
时取
号）.
变形公式：
2、基本不等式
如果a>0 ，b>0，那么
√ab≤a+b
2
，当且仅当a=b 时，等号成立．其中，
a+b
2
叫作a ，b的算术平均
数，√ab 叫作a ，b的几何平均数．即正数a ，b的算术平均数不小于它们的几何平均数．
基本不等式1：若
R ，则a2+b2≥2ab ，当且仅当a=b 时取等号；
基本不等式2：若
R+ ，则
a+b
2 ≥√ab
（或a+b≥2√ab ），当且仅当a=b 时取等号.
注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求
最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致.
3、利用基本不等式求最值
已知x>0，y>0，则
（1）如果积xy 是定值p，那么当且仅当x＝y 时，x＋y 有最小值2.(简记：积定和最小)
（2）如果和x＋y 是定值p，那么当且仅当x＝y 时，xy 有最大值.(简记：和定积最大)
一、比较两数（式）大小的方法
1、作差法：
（1
）原理：设
，则
；
；
；
（2）步骤：作差并变形
判断差与0 的大小
得出结论。
（3）注意：利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判断差的符号的方向变形。
2、作商法：
（1）原理：设
，则
；
；
（2）步骤：作商并变形
判断商与1 的大小
得出结论。
（3）注意：作商时各式的符号应相同，如果
均小于0，所得结果与“原理”中的结
论相反，变形方法有分母（分子）有理化，指、对数恒等变形。
二、利用待定系数法求代数式的取值范围
已知
，
，求
的取值范围
第一步：设
；
第二步：经过恒等变形，求得待定系数
；
第三步：再根据不等式的同向可加性即可求得
的取值范围。
三、解一元二次不等式的步骤
第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
第二步：写出相应的方程
2
0
ax
bx
c
(
0)
a
，计算判别式：
①
0
时，求出两根
1
2
x
x
、
，且
1
2
x
x
（注意灵活运用因式分解和配方法）；
②
0
时，求根
a
b
x
x
2
2
1
；
③
0
时，方程无解
第三步：根据不等式，写出解集.
四、含参数的一元二次不等式讨论依据
1、对二次项系数进行大于0，小于0，等于0 分类讨论；
2、当二次项系数不等于0 时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0 的分类讨论；
3、当判别式大于0 时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集。
五、分式、高次、绝对值不等式的解法
1、高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针
引线法”，步骤如下：
（1）标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的整式，右侧化为0 的形式；
（2）分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如
1
2
0
…
n
x
x
x
x
x
x
的形式，其中各因式中未知数的系数为正；
（3）求根：求如
1
2
0
…
n
x
x
x
x
x
x
的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标
注）
（4）穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，（奇穿偶回：经过偶次根时应从数轴的一侧仍回
到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧）
（5）得解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间；
若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间
2、绝对值不等式：
（1）
(
0)
x
a a
的解集是{ |
}
x
a
x
a ，如图1．
（2）
(
0)
x
a a
的解集是{ |
}
或
x x
a
x
a ，如图2．
（3）
(
0)
ax
b
c c
c
ax
b
c ．
（4）
(
0)
ax
b
c c
ax
b
c 或ax
b
c
六、几个重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果
，则
(当且仅当“
”时取“ ”).
特例：
（
同号）.
（3）其他变形：
①
(建立两和
与两平方和
的不等关系式)
②
(建立两积
与两平方和
的不等关系式)
③
(建立两积
与两和
的不等关系式)
④重要不等式串：
即
调和平均值
几何平均值
算数平均值
平方平均值(注意等号成立的条件).
七、利用基本不等式求最值的方法
1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系
2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。
3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况
类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法；
类型2：分母为多项式时
方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；
方法2：待定系数法，适用于所有的形式，
4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。
5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的
不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。
八、不等式恒成立与能成立问题
一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
1、
，
2、
，
3、
，
4、
，
考点一 不等式性质的应用
【例1-1】已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
与
的大小无法判断
【答案】A【解析】因为
，所以
，故
.
【变式1-1】已知p∈R，
，
，则M，N 的大小关系为（ ）
A．M<N B．M>N C．M≤N D．M≥N
【答案】B【解析】
，所以
.
【例1-2】知1≤a−b≤3，
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D【解析】设
，所以
，
则
，又1≤a−b≤3，
所以
，
，
由不等式的性质得：
，则
的取值范围为
.故选：D.
【变式1-2】设
，
，
，
，求
的取值范围是______．
【答案】
【解析】令
，则
，解得
.
∵
，
，∴
．即
，所以
的取值范围是
考点二 解一元二次不等式
【例2-1】已知全集
，集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A【解析】由
，即
，解得
，所以
，
由
，解得
或
，所以
或
，所以
，
所以
.故选：A
【变式2-1】解不等式：
（1）
； （2）
； （3）
. （4）
【答案】（1）
；（2）
；（3）
（4）
【解析】（1）
可化为
，即
，解得
，
∴原不等式的解集为
.
（2）
，
∴原不等式的解集为
.
（3）
∴原不等式的解集为
.
（4）
，即
，即
，则
，根据穿根法
解得
，故答案为：
.
【例2-2】解下列关于
的不等式
．
【解析】当
时，原不等式为
，解集为
；当
时，原不等式为
，解集为
；当
时，原不等式为
，
若
，即
时，解集为
或
；若
，即
时，解集为
；
若
，即
时，解集为
或
；综上，
解集为
；
解集为
；
解集为
或
；
解集为
；
解集为
或
.
【例2-3】已知不等式
的解集为
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】D【解析】不等式
的解集为
，则方程
的两根为
和
3，
所以
，解得
，不等式
为
，即
，
或
．故选：D．
【变式2-2】若关于x 的不等式
的解集为
，则ab＝________.
【答案】24【解析】由一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的联系知：
，
或
为方
程
的两个根，即
，∴
.
考点三 基本不等式
【例3-1】下列命题中正确的是（ ）
A．当
时，
的最小值为2 B．当
时，
C．当
时，
的最小值为2 D．当
时，
【答案】B【解析】选项A，
，
，等号成立的条件是
，等号取不到，
所以
，故A 错误；选项B，当
时，
，
，
当且仅当
时等号成立，故B 正确；选项C，
，
，等号成立的条件
是
，等号取不到，即
，故C 错误；选项D.当
时，
，等号
成立的条件是
，即
时等号成立，故
，故D 错误.故选：B
【例3-2】已知
，则
的最大值为 .
【答案】
【解析】
，
，
当且仅当
，即
时等号成立.故答案为：
.
【例3-3】若
，则
有（ ）
A．最大值
B．最小值
C．最大值
D．最小值
【详解】因
，则
，于是得
，当且仅当
，即
时取“=”，
所以当
时，
有最大值
.故选：A
【例3-4】（多选题）已知
，
，且
，则（ ）
A．
的最大值为
B．
的最小值为4
C．
的最小值为2 D．
的最大值为4
【答案】AC【解析】对于A 项，因为
，
，
，由基本不等式可得，
，
当且仅当
时取等号，所以
，故A 正确；对于B 项，根据基本不等式可得
，当且仅当
时取等号，此时
，故B 错误；对于C 项，根据基本不等式可得
，当且仅当
时取等号，故C 正确；对于D 项，根据基本不等式可得
，当且仅当
时取等号，所以，
的最小值为4，故D 不正确.故选：
AC.
【变式3-1】（多选题）下列结论正确的是（ ）
A．当
且
时，
B．当
时，
C．当
时，
的最小值为
D．当
时，
无最小值
【答案】BD
【解析】对于A 选项，当
时，
，则
，A 错；对于B 选项，当
时，
，由基本不等式可得
，当且仅当
时，等号成立，B 对；对于C 选项，
因为函数
在
上为增函数，所以，当
时，
的最小值为
，C 错；对于D
选项，因为函数
、
在
上均为增函数，故当
时，
无最小值，D 对.故选：
BD.
【变式3-2】（1）已知
，求函数
的最大值.
（2）已知
，求函数
的最大值.
【答案】（1）
；（2）；
【解析】（1）因为
，所以
，则有
，
当且仅当
，即
时，等号成立，因为
，所以函数
的最
大值为
.（2）因为
，所以
，则有
，当且仅当
，
即
时取等号，故函数
的最大值为 1.
【变式3-3】已知正数x、y 满足
，求
的最小值为_________.
【答案】
/
【解析】
，当且仅当
，即
时取等号，
的最小值为
.故答案为：
.
考点四 恒成立问题或能成立问题
【例4-1】正实数
满足
，且不等式
恒成立，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为不等式
恒成立，所以
，因为
，
且
，所以
，当且仅当
，即
时，
等号是成立的，所以
，所以
，即
，解得
.故答案为：
【例4-2】已知命题p：“∀x∈
，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3>0”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）
A．－1<a<2 B．a≥1 C．a<－1 D．－1≤a<2
【答案】D【解析】当a＝－1 时，3>0 成立；当a≠－1 时，需满足
，解得－
1<a<2.综上所述，－1≤a<2，故选：D
【变式4-1】已知
，，且
，若不等式
恒成立，则
的最大值为
9
．
难【变式4-1】已知
，
，且
，若不等式
恒成立，则
的最大值为 ．
【答案】
【解析】当
时，
不成立，所以
.
由
得
.因为
，
，所以
，解得
，即
.
所以
，令
，则
，于是
.令
，
，则
.由对勾函数的图象知，
在
上单调递减，
故
.所以
，即
的最大值为
.故答案为：
.
【变式4-2】不等式
的解集为
，则
的取值范围是 .
【答案】
【解析】∵不等式
的解集为
，∴
恒成立.①当
，即
时，不等式化为
，解得：
，不是对任意
恒成立，舍去；
②当
，即
时，对任意
，要使
，只需
且
，解得：
.综上，实数m 的取值范围是
.故答案为：
【变式4-3】不等式
在
上有解，则实数
的取值范围是________.
解析：
因为不等式
在
上有解，所以不等式
在
上有解，令
，则
，所以
1.已知
，
是椭圆
：
的两个焦点，点
在
上，则
的最大值为（ C
）
A. 13
B. 12
C. 9
D. 6
2.已知关于
的不等式
的解集为
，其中
，则
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．8
【详解】
的解集为
，则
的两根为
，
，∴
，∴
，
，则
，即
，
，当且仅当
时取“=”，故选：C.
3.已知关于
的不等式
的解集为
，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【详解】
的解集为
，则
是方程
的两个根，故
，
，故
因为
，所以由基本不等式得：
，当且仅当
即
时，等号成立，所
以
的最大值为
故选：D
4.（多选题）已知
，
，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC【详解】对于A 选项，
所以
，A 选项正确；对于B 选项，
所以
，B 选项不正确；对于C 选项，
所以
，C 选项正确；
对于D 选项，
所以
，D 选项不正确；故选：AC.
5.（多选题）下列函数中最小值为6 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【详解】解：对于A 选项，当
时，
，此时
，故A 不正确.对于B 选项，
，当且仅当
，即
时取“
”，故B 正确.
对于C 选项，
，当且仅当
，即
时取“
”，故C 正确.
对于D 选项，
，当且仅当
，即
无
解，故D 不正确.故选：BC.
6.已知
，
，且
，则
的最小值为____________.
【详解】
当且仅当
，即
时取等号即
的最小值为
.
故答案为：
.
7．不等式
的解集为_____________.
【详解】
或
，解第一个不等式组，得
，第二个不等式组的解集为空
集.故答案为：
8．若
，则
的最小值为____________．
【详解】
，
，当且仅当
且
，即
时等号成立，所以
的最小值为
.故答案为：
.
9.若一元二次方程
的两个实根都大于
，则
的取值范围____
【详解】由题意得应满足
解得：
或
.
故答案为：
或
.
