专题1.3 等式性质与不等式的性质
一、核心知识：
1. 等式的基本性质
性质
文字表述
性质内容
注意
1
对称性
可逆
2
传递性
同向
3
可加、减性
可逆
4
可乘性
同向
5
可除性
同向
2.比较两数（式）大小
（1 ）作差法：设
，则
；
；
；
（2）作商法：设
，则
；
；
3.不等式的性质
性质
别名
性质内容
注意
1
对称性
a>b⇔b<a
可逆
2
传递性
a>b，b>c⇒a>c
同向
3
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
可逆
4
可乘性
a>b，c>0⇒ac>bc
a>b，c<0⇒ac<bc
c 的符号
5
同向可加性
a>b，c>d⇒a＋c>b＋d
同向
6
正数同向可乘性
a>b>0，c>d>0⇒ac>bd
同向
4．糖水不等式：若a>b>0 ，m>0 ，则
b+m
a+m > b
a ，或者
a+m
b+m < a
b ．
二、考点聚焦：
考点一：由作差法和作商法比较大小
经典例题：
1．（2025 高三·全国·专题）已知
，
，则
与
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，所以
．故选：C
a
b
b
a
,
a
b b
c
a
c
a
b
a
c
b
c
a
b
ac
bc
,
0
a
b
a
b c
c
c
,a b
R
0
a
b
a
b
0
a
b
a
b
0
a
b
a
b
0,
0
a
b
1
a
a
b
b
1
a
a
b
b
1
a
a
b
b
2．（25-26 高一上·全国）设
，则P，Q，R 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【详解】因为
，所以
．
因为
，
又
，所以
，所以
．
3．（2025 高三·全国·专题）若
，则
与
的大小关系是 ．（用“>”连接）
【答案】
【【详解】方法一（作商法）：因为
，所以
，
所以
．
方法二（作差法）：
，即
．
故答案为：
4．（2024 高三·全国·专题）已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为 .
【答案】aabb>abba
【详解】∵
＝
＝（）a－b，又a>b>0，∴ >1，a－b>0，∴ （）a－b>1，即
>1.又abba>0，
∴aabb>abba.
5．（2025·河北石家庄·一模）如果
0
ab
，那么“ a
b
”是“
1
1
a
b
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】若
0
ab
，a
b
，则
0
b
a
< ，则
1
1
0
b
a
a
b
ab
，即
1
1
a
b
，充分性成立；若
0
ab
，
1
1
a
b
，则
1
1
0
b
a
a
b
ab
，所以b
a
，必要性成立，所以如果
0
ab
，那么“ a
b
”是“
1
1
a
b
”的充要条件.故选：
C
6．（2024·广西·二模）（多选）已知实数a，b，c 满足
，且
，则下列结论中正确
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【详解】
且
，则
，
，则
，A 正确；因为
，
，所以
，B 错误；因为
，
，
，当
时，
，则
；当
时，
，则
，当
时，
，
则
，故C 错误；因为
，当且仅当
时，等号成立，此时由
可得
，不符合
，所以
不成立，故
，即
，D 正确.故选：AD
7．（24-25 高三下·海南海口·阶段）已知b 克糖水中含有a 克糖（
0
b
a
），再添加m 克糖（
0
m
，假
设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（ ）
A．
a
a
b
b
m
B．
a
m
a
b
b
m
C．
a
a
m
b
m
b
m
D．
a
a
m
b
b
m
【答案】D
【详解】这一事实表示为一个不等式为
a
a
m
b
b
m
．证明：
0
b
a
，
0
m
a b
m
b a
m
a
a
m
b
b
m
b b
m
m a
b
b b
m
，又
0
b
a
，
0
m
，
0
b b
m
，
0
m a
b
即
0
m a
b
b b
m
，
0
a
a
m
b
b
m
即
a
a
m
b
b
m
.故选：D .
8．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）若
克不饱和糖水中含有
克糖，则糖的质量分数为
，这个质量分数
决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加
克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式
(
，
)数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出
(用“
”或“
”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式 .
【答案】
【解析】空1：因为
，所以可得：
；
空2：由空1 可得：
，即
.
故答案为：
；
强化训练：
1．（25-26 高一上·全国）已知
，
，设
，
，则
与
的大小关系为 ．
【答案】
【详解】
．因为
，
，所以
，
，
，所以
，所以
．
2．（24-25 高三下·河北邯郸·开学考）已知
是正实数，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】由
，因为
，所以
，故“
”是“
”的充要条件.故选：C.
3．（25-26 高一上·全国·课后作业）下列不等式，其中恒成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【详解】由
，知A 正确；由
，知B 错误；由
，知C 错误；由
，知D 正确．
4．（24-25 高一上·河北石家庄·期末）（多选）已知
，则下列不等式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【详解】对于A，
，因
，则
，故A 错误；
对于B，
，因
，则
，故B 正确；
对于C，
，因
，则
，故C 正确；
对于D，
，因
，
故
，故D 正确.
故选：BCD
5．（2024·浙江金华·模拟预测）设
的平均数为
,
与
的平均数为
,
与的平均数为
.若
,则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】根据题意得,
,
,
,
对于A 选项,
对于B 选项,
对于C 选项,
对于D 选项,
故选：B.
6．已知
糖水中含有
糖（
），若再添加
糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即
糖水中含糖浓度变大）.根据这个事实，则
.（填“>，<，=，≥，≤”之一）.
（2）
，
，则M N（填“>，<，=，≥，≤”之一）.
【答案】
【解析】（1）∵
，又∵
，
，
∴
，即
；
（2）因为
，
，故
.
故答案为：
；
.
7．（多选）生活经验告诉我们：
克糖水中有
克糖（
，
，且
），若再添加
克糖（
）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：
，趣称之为“糖水不等式”.根据“榶水不等式”
判断下列命题一定正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．
C．若
，
，为
三条边长，则
D．若
，
，为
三条边长，则
【答案】BCD
【解析】A.由糖水不等式得：
，
时，
，故A 错误.
B.
，故B 正确.
C.
，故C 正确.
D.
，
，故D 正确.
故选：BCD
8．（24-25 高二下·河北邢台·阶段）（多选）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【详解】
，
，
，
，所以
，
，所以
，所以
，所以B、C、D 正确，A 错误.
故选：BCD
9．（2025·云南玉溪·二模）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
，得
，因为
，当且仅当
时取等号，所以
，因为
，所以
，当
时，
，此时，
，这与
矛盾，所以
，
由
，得
，所以
，当且仅当
时取等
号，由A 选项知，当
时，不符题意，所以
，由
，可得
，
因为
，所以
，所以
，因为
，所以
，所以
，由
，得
，则
，因为
，
，所以
，又因为
，所以
，所以
，综上所述，
.故选：A.
考点二：由不等式性质的比较大小
经典例题：
1．（2025·河北石家庄·一模）如果
，那么“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】若
，
，则
，则
，即
，充分性成立；若
，
，
则
，所以
，必要性成立，所以如果
，那么“
”是“
”的充要条件.故
选：C
2．（2023·海南海口·二模）设
，则“
且
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由
且
，可得
,当
，
时，满足
，但不满足
且
,
则“
且
”是“
”的充分不必要条件,故选：A.
3．（2025·上海浦东新·三模）
，
，请从以下选项中选出“
”的充分条件（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】A.若
，满足
，不满足
，故A 不是充分条件；
B.当
满足
，不满足
，所以B 不是充分条件；
C.若
，又因为
，所以
，所以C 是充分条件；
D.
，
，满足
，不满足
，故D 不是充分条件.
故选：C
4．（2024·全国·模拟预测）已知
，则下列不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，即
，故选项A 正确；当
时，满足
，但
，此时
，
，故选项B，C 错误；当
时，由
可得
，故选项D 错误.故选:A．
5．（2022·山东日照·二模）若a，b，c 为实数，且
，
，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】对于A 选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，
不等号方向不变，则
，A 选项正确；对于B 选项，由不等式的基本性质知，不等式的两
边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若
，
，则
，B 选项错误；对于C 选
项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，
，
，C 选项错误；对于D 选项，因为
，
，所以无法判断
与大小，
D 选项错误.
6．（2022·福建三明·模拟预测）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，所以
的符号不能确定，当
时，
，故
项错误；
因为
，所以
，故B 项错误；
因为
，所以
，故C 项正确；
因为
，所以
，所以
，所以
，故D 项错误,
故选:C
7．（2024·上海杨浦·二模）已知实数
满足
，则下列不等式一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】对于ABD，取
，满足
，显然
，
，
，ABD 错误；对于C，
，则
，C 正确.故选：C
8．（2022·浙江·三模）已知
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意知：
，又
，则
，显然
异号，
又
，所以
.故选：B.
9．（23-24 高三上·上海松江·期末）英国数学家哈利奥特最先使用“
”和“
”符号，并逐渐被数学界接
受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于任意实数
，下列命题是真命题的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
【答案】D
【详解】对A：因为
，可能
，故错误；
对B：当
时，若
，则
，故错误；
对C：当
，
时，则
，故错误；
对D：若
，
，则
，故正确.
故选：D.
10．（2023·贵州遵义·模拟预测）已知
均为实数，下列不等式恒成立的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】C
【详解】A，当
时，
，A 错误；
B，当
时，
没意义，B 错误；
C，由
，知
，所以
，C 正确；
D，当
时，
不成立，D 错误.
故选：C
强化训练：
1．（2021·江西鹰潭·模拟预测）如果
，那么下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于AB，当
时，
，
，故AB 错误；
对于C，当
时，
，故C 错误；
对于D，因为
，所以
，故D 正确.
故选：D.
2．（2024·山东·二模）若
，则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于A, 由于
，
,故A 错误，
对于B，由于
关系不确定，故
不一定成立，故B 错误，
对于C，由于
，所以
，C 错误，
对于D，由于
，则
，故
，D 正确，
故选；D
3．（2025·北京海淀·二模）设
、
、
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】对于A 选项，不妨取
，
，
，则
，A 错；
对于B 选项，不妨设
，
，
，则
，B 错；
对于C 选项，因为
，由不等式的基本性质可得
，C 对；
对于D 选项，不妨设
，
，
，则
，D 错.
故选：C.
4．（2025·山东济南·二模）（多选）已知实数,a b 满足
1
a
b
，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A．
1
2
2
a
b
B．
2
4
a
b
C．
2
2
1
a
b
D．
2
1
a
b b
【答案】ABD
【详解】因为
1
1
a
b
b
，所以
1
a
b
，所以
1
2
2
a
b
，故A 对；因为
2
2
1
4
1
0
b
b
b
，所以
2
1
4
b
b
，由
1
0
a
b
，所以
2
2
1
4
a
b
b
，故B 对；若
2,
2
a
b
，满足
1
a
b
，显然
2
2
1
a
b
不成立，故C 错；当
1
1
b ，则
0
b
，必有
2
0
1
a
b b
，当
1
1
b ，则
0
b
，故
1
0
a
b
b
，必有
2
1
a
b b
，故D 对.故选：ABD
5．（2024·河南·模拟预测）“
，
是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】由于，
的正负性不确定，由“
，
”不能推出“
”，故充分性不成立；同
时当“
”时也不能推出“
，
”，故必要性也不成立.故选：D.
a
b
cR
0
abc
a
b
c
2
a
b
b
c
2
b
c
a
b
2a
b
c
a
b
c
2
a
1
b
1
4
c
2
4
2
2
a
b
b
c
1
a
2
b
6
c
2
3
5
2
b
c
a
b
a
b
c
2a
b
c
1
a
2
b
2.5
c
3
2.5
a
b
c
6．（2025·上海宝山·二模）“ a
b
”的一个必要非充分条件是（ ）
A．
ln
0
a
b
B．2
2
a
b
C．
1
1
2
a b
D．
3
3
a
b
【答案】C
【详解】对于选项A，由
ln
0
a
b
，得到
1
0
a
b
，即a
b
，所以
ln
0
a
b
可得a
b
，故选项A
错误，对于选项B，由2
2
a
b
，得到a
b
，所以2
2
a
b
可得a
b
，故选项B 错误，对于选项C，由
1
1
2
a b
，得到
0
a
b
，即a
b
，所以
1
1
2
a b
推不出a
b
，但a
b
可以得出
1
1
2
a b
，故选项C 正
确，对于选项D，由
3
3
a
b
，得到
2
3
3
2
2
2
1
3
0
2
4
a
b
a
b
a
ab
b
a
b
a
b
b
，又
2
2
1
3
0
2
4
a
b
b
，当且仅当
0
a
b
时取等号，显然
0
a
b
不满足题意，则
0
a
b
> ，即a
b
，又当
a
b
，有
3
3
a
b
，所以
3
3
a
b
是
a
b
的充要条件，故选项D 错误，故选：C.
7．（2021·福建·模拟预测）（多选）已知, ,
a b c
R
，则下列命题正确的是（ ）
A．若
0
ab
且a
b
，则
1
1
a
b
B．若0
1
a
，则
2
a
a
C．若
0
a
b
，则
1
1
b
b
a
a
D．若c
b
a
且
0
ac
，则
2
2
bc
ac
【答案】BCD
【详解】对于A，当
1
a ，
1
b 时，满足
0
ab
且a
b
，此时
1
1
a
b
，故A 错误；
对于B，若
0
1
a
，则
2
a
a
，故B 正确；
对于C，若
0
a
b
，则
1
1
0
a b
b a
a
b
，所以
1
1
a b
b a
，所以
1
1
b
b
a
a
，故C 正确；
对于D，若c
b
a
且
0
ac
，则
0
c
a
，所以
2
0
c
，
2
2
bc
ac
，故D 正确.
故选：BCD.
8．（2024·广东广州·模拟预测）下列命题为真命题的是（ ）
A．若
，则
B．若
，
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】B
【详解】对于A，可以取
，
，
，此时
，所以A 错误.
对于B：∵
，∴
，因为
，所以
，故B 正确；
对于C：取
，
时，则
，
，
，则
，故C 错误；
对于D：当
，
时，
，
，则
，故D 错误；
故选：B.
9．（2023·湖南张家界·二模）下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BC
【详解】A：若
，则
，故A 错误；
B：若
，则
，故
，两边平方，可得
，故B 正确；
C：因为
在
上单调递增，所以若
，则
，故C 正确；
D：若
，不妨设
，
，显然不满足
，故D 错误.
故选：BC.
10．（2021·江苏·模拟预测）已知
糖水中含有
糖(
)，若再添加
糖完全溶解在其中，则糖
水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】对于A，由题意可知
，正确；
对于B，因为
，所以
，正确；
对于C，
即
，错误；
对于D，
，正确.
故选：ABD
考点三：由等式性质和不等式性质合成范围
经典例题：
1．（2024·全国·模拟预测）已知实数
满足
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由
可得
，所以
，故答案为：
2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知
π
π
4
2
，则2
2
的取值范围是（ ）
A．
π π
,
2 2
B．
π ,0
2
C．
π,π
D．
π,0
【答案】B
【详解】因为
π
π π
π
,
4
2 4
2
，所以
π
π
2
π, π
2
2
2
，则
π
π
2
2
2
2
，又
，所
以2
2
0
，从而
π
2
2
0
2
．故选：B．
3．（24-25 高三上·福建宁德·开学考）已知
，则
的取值范围是 .
【答案】
【详解】设
，所以
，解得
，所以
，又
，所以
，又
所以上述两不等式相加
可得
，即
，所以
的取值范围是
，故答案为：
.
4.已知
，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．3
D．4
【答案】A
【详解】
，由不等式的性质
，
，所以
，所以
，所以
，当且仅当
时，且已知
，解得
，即
的最大值为
.故选：A.
5．（2024·河北石家庄·二模）若实数
，且
，则
的取值
范围是 .
【答案】
【详解】因为
，故
，由
得
，解得
，
故
.故答案为：
6.（2024·陕西·模拟预测）已知
，则以下错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
， 对于A，
，
,
,综上可得
，故A 正确；对于B，
，故B 正确；对于C，
，故C 正确；对于D，当
时，
，故D 错误；故选：D.
7. （多选）已知实数x，y 满足
则（ ）
A．
的取值范围为
B．
的取值范围为
C．
的取值范围为
D．
的取值范围为
【答案】ABD
【详解】利用不等式的性质直接求解.因为
，所以
.因为
，所
以
，则
，故A 正确；因为
，所以
.因为
，
所以
，所以
，所以
，故B 正确；因为
，
所以
，则
，故C 错误；因为
，所以
，则
，故D 正确.
故选：ABD.
8．（2023 高三·全国·专题）已知函数
的两个零点一个大于2，一个小于2，且
，则
的取值范围为
【答案】
【详解】由
的两个零点一个大于2，一个小于2 可得
，即
，又
，设
，则
，解得
，即
，且
，故3b－8a 的取值范围为
.故答案为：
.
9．（2024 年全国Ⅰ卷）已知函数
( )
f x
的定义域为R，
( )
(
1)
(
2)
f x
f x
f x
，且当
3
x
时
( )
f x
x
，则
下列结论中一定正确的是（ ）
A．
(10)
100
f
B．
(20)
1000
f
C．
(10)
1000
f
D．
(20)
10000
f
【答案】B
【详解】因为当
3
x
时
( )
f x
x
，所以
(1)
1,
(2)
2
f
f
，
又因为
( )
(
1)
(
2)
f x
f x
f x
，则
(3)
(2)
(1)
3,
(4)
(3)
(2)
5
f
f
f
f
f
f
，
(5)
(4)
(3)
8,
(6)
(5)
(4)
13,
(7)
(6)
(5)
21
f
f
f
f
f
f
f
f
f
，
(8)
(7)
(6)
34,
(9)
(8)
(7)
55,
(10)
(9)
(8)
89
f
f
f
f
f
f
f
f
f
，
(11)
(10)
(9)
144,
(12)
(11)
(10)
233,
(13)
(12)
(11)
377
f
f
f
f
f
f
f
f
f
(14)
(13)
(12)
610,
(15)
(14)
(13)
987
f
f
f
f
f
f
，
(16)
(15)
(14)
1597
1000
f
f
f
，
则依次下去可知
(20)
1000
f
，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确.故选：B.
10．（2024·江苏南通·模拟预测）设,x y 为实数，满足
2
2
3
8,4
9
x
xy
y
，则
3
4
x
y 的最大值为（ ）
A．27
B．24
C．12
D．32
【答案】A
【详解】由
2
3
8
xy
，得
2
1
1
1
8
3
xy
，又
2
4
9
x
y
，所以
4
2
16
81
x
y
，所以
4
2
2
1
1
1
16
81
8
3
x
xy
y
，即
3
4
2
27
x
y
，所以
3
4
x
y 的最大值为27.故选：A
强化训练：
1．（2025·山西临汾·二模）若
3
5, 2
1
a
b
，则
2a
b
的范围是（ ）
A．
8,9
B．
4,8
C．
5,8
D．
5,12
【答案】D
【详解】由
3
5, 2
1
a
b
可得
6
2
10, 1
2
a
b
，故
5
2
12
a
b
，故选：D
2．（24-25 高三上·福建宁德·开学考）已知
1
4,2
3
x
y
x
y
，则
3x
y
的取值范围是 .
【答案】
3,10
【详解】设
3x
y
m x
y
n x
y
m
n x
m
n y
，所以
3
1
m
n
m
n
，解得
2,
1
m
n
，所以
3
2
x
y
x
y
x
y
，又2
3
x
y
，所以
4
2
6
x
y
，又1
4,
x
y
所以上述两不等式相加
可得
3
2
10
x
y
x
y
，即3
3
10
x
y
，所以3x
y
的取值范围是
3,10
，故答案为：
3,10 .
3．已知
1
2,3
4
a
b
a
b
则
9
3
a
b
的取值范围为 ．
【答案】
21,30
【详解】假设
9
3
a
b
a
b
a
b
，则
9
3
，解得
3
6
，因为1
2
a
b
，所以
3
3
6
a
b
；又因为3
4
a
b
，所以
18
6
24
a
b
；由上两同向不等式相加得：
21
3
6
30
a
b
a
b
，整理得：21
9
3
30
a
b
故答案为：
21,30
4．（24-25 高三上·江苏南通·阶段）若变量x，y 满足约束条件
3
2
9
x
y
，
6
9
x
y
，则
2
z
x
y
的
最小值为（ ）
A．7
B．6
C．5
D．4
【答案】B
【详解】设
2
2
z
x
y
m
x
y
n x
y
，故2
1
m
n
且
2
m
n
，所以
,1
1
m
n
，故
2
2
z
x
y
x
y
x
y
，由于3
2
9
x
y
，6
9
x
y
，所以
3
9
2
9
6
x
y
x
y
，
即
6
2
3
x
y
，故最小值为6
，此时
4,
5
x
y
，故选：B.
5.已知
的三边长分别为
，
，，且满足
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由已知及三角形三边关系得
，所以
，则
，两式相加得
，所以
.故选：C
6．（2024 高三·全国·专题）设
为实数，满足
，则
的最大值是 ．
【答案】32
【详解】由题设
，则
，所以
的最大值是32.
故答案为：32
7.已知实数
满足
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意得：
，记
，
，则
．又
，∴
，∴
，∴
．
故选：A
8.（多选题）已知
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】依题意
，
，所以
，所以
，所以A 选项错误，B 选项正确.
所以
，所以
，所以C 选项正确，D 选项错误.故选：BC
9．（24-25 高三上·江苏淮安·阶段）已知 1
2 3
5
a
b
，
，则下列结论错误的是（ ）
A．a
b
的取值范围为
4,7
B．b
a
的取值范围为
1,4
C．ab 的取值范围为
3,10
D．
a
b 取值范围为
1 2
,
3 5
【答案】D
【详解】A 选项，1
2 3
5
a
b
，
，故1 3
2
5
a
b
，即4
7
a
b
，A 正确；B 选项，因为1
2
a
，
所以2
1
a
，又3
5
b
，故3
2
5 1
b
a
，故1
4
b
a
，B 正确；C 选项，1
2 3
5
a
b
，
，
故3
2 5
ab
，即ab 的取值范围为
3,10 ，C 正确；D 选项，因为3
5
b
，所以
1
1
1
5
3
b
，又1
2
a
，
故
1
1
1
2
5
3
a
b
，即
1
2
5
3
a
b
，D 错误.故选：D
10．（2023·广西南宁·模拟预测）已知函数
，
，
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由函数
中，
，
，可知一元二次方程
有二相异根，分别位于区间
和
内则
，即
，即
，
由
，可得
，则
，即
，由
，可得
，则
，则
.综上，
的取值范围为
.故选：B
三、达标检测
《等式性质与不等式性质》小题检测
（限时30 分钟，满分73 分）
一、单选题（每小题5 分，共40 分）
1．英国数学家哈利奥特最先使用“
”和“
”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发
展影响深远．对于任意实数
，下列命题是真命题的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
【答案】D
【详解】对A：因为
，可能
，故错误；对B：当
时，若
，则
，故错误；
对C：当
，
时，则
，故错误；对D：若
，
，则
，故正确.
故选：D.
2． “
”的一个必要非充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】对于选项A，由
，得到
，即
，所以
可得
，故选项A
错误，对于选项B，由
，得到
，所以
可得
，故选项B 错误，对于选项C，由
，得到
，即
，所以
推不出
，但
可以得出
，故选项C 正
确，对于选项D，由
，得到
，又
，当且仅当
时取等号，显然
不满足题意，则
，即
，又当
，有
，所以
是
的充要条件，故选项D 错误，故选：C.
3．已知
，
，则
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，
得
，
，所以
．故选：B．
4．设a，b
R，则下列结论正确的是（ ）
A．若a>b，则
B．若a<b<0，则
C．若a+b=2，则
≥4
D．若
，则a>b
【答案】C
【详解】对于A，取
，满足
，而
，A 错误；对于B，由
，得
，则
，B 错误；对于C，
，
，当且仅当a＝b＝1 时取等号，C 正确；对于D，取
满足
，而
不成立，D 错误.故选：C
5．已知
克糖水中含有
克糖（
），再添加
克糖（
，假设全部溶解），糖水变甜了，将
这一事实表示为一个不等式（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】这一事实表示为一个不等式为
．证明：
，
，又
，
，
，
即
，
即
.故选：
.
6．已知
，则下列结论错误的是（ ）
A．
的取值范围为
B．
的取值范围为
C．
的取值范围为
D．
取值范围为
【答案】D
【详解】A 选项，
，故
，即
，A 正确；B 选项，因为
，
所以
，又
，故
，故
，B 正确；C 选项，
，
故
，即
的取值范围为
，C 正确；D 选项，因为
，所以
，又
，
故
，即
，D 错误.故选：D
7．下列命题为真命题的是（ ）
A．已知
，若
，则
B．
，
C．
，
都不是4 的倍数
D．若
，
，则
的取值范围是
【答案】C
【详解】对于A，当
时，
，故A 不正确；对于B，若
，故
恒成立，故B 不正确；对于C，当
时，
不是4 的倍数，当
时，
也不是4 的倍数，故C 正确；
对于D，∵
，又
，
，∴
，
故D 不正确.故选：C．
8．已知函数
的定义域为R，
，且当
时
，则下列结论中一定正确
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为当
时
，所以
，
又因为
，则
，
，
，
，
，则依次下去可知
，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正
确.故选：B.
二、多选题（每小题6 分，共18 分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】ACD
【详解】对于A，因为
，则
，
，所以
，即
，故A 正确；对于B，由
，假设
，有
，又
，所以
，故B 错误；
对于C，由
，可知
，
，所以
，故C 正确；对于D，因为
，所
以
，所以
，故D 正确.故选：ACD.
10．已知
，则下列各选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】对于A，由
，得
，则
，A 正确；
对于B，取
，满足
，而
，B 错误；
对于C，由
，得
，则
，因此
，C 正确；
对于D，取
，满足
，而
，D 错误．
故选：AC
11．若
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】由
且
得
，所以
，
，A 选项正确；
，所以
，
，B 选项正确；取
，
，
，则
，C 选项
错误；由
得
，所以
，因为
，所以
，D 选项正确；
故选：ABD.
三、填空题（每小题5 分，共15 分）
12．已知
，且
，则
（填“>”或“<”）.
【答案】<
【详解】由题意知，
，则
，所以
，即
.故答案为：<
13．已知
，则
的取值范围为 ．
【答案】
【详解】因为
，所以
，所以
，即
的取值范围为
.故答案为：
14．已知不等式
的解集是
，则不等式
的解集是 .
【答案】
【详解】
的解集为
，
，且
，
，
，所以
.
故答案为：
答题卡
班级：
姓名：
总分：
题号:
1
2
3
4
5
6
7
8
答案:
D
C
B
C
D
D
C
B
题号:
9
10
11
题号:
12
13
14
答案:
ACD
AC
ABD
答案:
<
