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专项02 函数性质与应用重难点
分析维度 具体内容
核心考点 1. 函数三要素：定义域（分式、根式、对数、复合函数）、值域（单调性
法、换元法、基本不等式）、解析式（待定系数法、配凑法、换元法）；
>2. 函数性质：单调性（定义法、导数法、复合函数 “同增异减”）、奇偶性
（定义法、图像法、性质推导）、周期性（公式法、递推法）、对称性（中
心对称、轴对称）；. 应用：比较大小、解不等式、函数零点（方程根）、
恒成立 / 存在性问题、最值求解、实际应用（分段函数模型）。
考查形式 1. 客观题（单选题 + 多选题）：5-10 分，多为第 3-10 题，考查单一性
质或简单综合（如单调性 + 奇偶性、零点判断）；>2. 解答题：12-14
分，多为第 20-21 题（压轴题区间），考查综合应用（如导数结合单调性
/ 最值、零点个数讨论、恒成立求参数）；. 新高考特点：多选题增加性质
辨析难度，解答题融入导数工具，强调逻辑推理。
命题特点 1. 基础题（送分）：定义域、奇偶性判断、简单单调性应用（如比较大
小），难度低；2. 中档题（核心得分）：复合函数性质、函数零点区间判
断、分段函数应用，需掌握基本方法； 难题（拉分）：恒成立 / 存在性问
题（参数范围）、零点个数讨论、对称性 + 周期性综合、导数与函数性质
结合，强调分类讨论、数形结合；>4. 趋势：命题聚焦 “性质综合 + 工具
应用”，减少纯记忆性考点，侧重逻辑推导和实际应用。
重难点突破 1. 重点：单调性：导数法判断（重点）、复合函数单调性规则； 奇偶性：
定义法证明、奇偶性与单调性的结合应用；>③ 零点：零点存在定理、数形
结合判断零点个数；④ 最值：导数法求最值、基本不等式求值域；. 难
点：>① 复合函数性质（抽象函数单调性 / 奇偶性推导）；>② 恒成立问题
（分离参数法、分类讨论法的选择）；③ 对称性与周期性的综合推导（如
“f (x+a)=f (-x+b)” 推导对称轴）；④ 导数与函数性质的深度结合（如导数
判断单调性、求极值点、零点个数讨论）。
关联模块 1. 直接关联：导数及其应用（核心工具）、三角函数（周期性 / 奇偶性载
体）、指数对数函数（性质考查高频载体）、分段函数（综合性质应用）；
2. 间接关联：不等式（解函数不等式、恒成立问题）、数列（数列单调性
与函数单调性结合）、立体几何（最值问题转化）、解析几何（函数值域与
最值）。
备考策略 1. 基础过关：① 牢记定义域求解规则（分式分母≠0、对数真数 > 0、根
式被开方数≥0）；② 熟练掌握奇偶性 / 单调性定义（步骤化解题：如奇
偶性先判定义域关于原点对称）；>2. 方法强化：数形结合法：画函数图像
辅助判断性质、零点、不等式；② 分类讨论法：针对参数范围、函数分段
点、零点区间分类；③ 导数工具法：导数求单调性、极值、最值（核心得
分工具，必须熟练）； 难点突破：>① 抽象函数：赋值法推导性质（如 f
(0)、f (-x) 与 f (x) 关系）；>② 恒成立 / 存在性：总结 “分离参数优先，
分类讨论兜底” 原则；③ 对称性 + 周期性：记住常见结论（如 f (x+2a)=-f
(x) 则周期为 4a），结合图像推导；. 实战训练：多练导数与函数性质结合
的解答题，规范解题步骤（如导数求导→判断符号→得出单调性→求最
值）。易错点提醒 1. 定义域遗漏：复合函数定义域（如 f (g (x)) 需满足 g (x) 的范围 + 外层
函数定义域）； 奇偶性判断错误：未先判断定义域关于原点对称，直接代
入 f (-x)；3. 单调性误区：复合函数 “同增异减” 记混（如内层减、外层
减，复合后增）；4. 零点判断：忽略零点存在定理的 “连续函数” 前提；
恒成立问题：分离参数时忽略参数系数的正负（导致不等号方向错误）；6.
导数应用：求导错误、未判断导数符号直接下结论、忽略极值点的定义域范
围。
一、基础核心考点（送分题，必拿分）
（一）函数三要素（高考客观题高频，5 分稳拿）
• 定义域
a. 核心要点：分式分母≠0；偶次根式被开方数≥0；对数真数 > 0、底数 > 0 且≠1；复合函数（如 f (g
(x))）需满足 “内层函数值域⊆外层函数定义域”；实际问题需结合实际意义。
b. 考法：直接求定义域（单选题）、已知定义域求参数范围（填空题）。
• 解析式
c. 核心方法：待定系数法（已知函数类型，如一次、二次、指数函数）；配凑法（如 f (x+1)=x²+2x，配凑
为 (x+1)²-1）；换元法（令 t=x+1，转化为 f (t) 求解）；分段函数解析式（结合图像或实际场景书
写）。
d. 考法：给出条件求解析式（客观题 / 解答题第一问）。
• 值域
e. 核心方法：单调性法（利用函数增减性求最值）；换元法（如根号型、指数型换元为二次函数）；基本不
等式法（a+b≥2√(ab)，注意 “一正二定三相等”）；图像法（结合函数图像找值域）。
f. 考法：直接求值域、已知值域求参数（客观题为主）。
（二）单一函数性质（基础应用，高频必考）
• 单调性
g. 核心要点：定义法（取值→作差→变形→判断符号→下结论）；图像法（上升为增、下降为减）；常见函
数单调性（一次函数、二次函数、指数、对数函数）。
h. 考法：判断单调性（单选题）、比较函数值大小（利用单调性，客观题）。
• 奇偶性
i. 核心要点：前提（定义域关于原点对称）；定义（f (-x)=f (x) 为偶函数，f (-x)=-f (x) 为奇函数）；图像特
征（偶函数关于 y 轴对称，奇函数关于原点对称）；常见结论（奇 + 奇 = 奇、偶 + 偶 = 偶，奇 × 奇
= 偶等）。
j. 考法：判断奇偶性（单选题，送分）、利用奇偶性求解析式 / 参数（填空题）。• 周期性
k. 核心要点：定义（f (x+T)=f (x)，T 为周期）；常见周期结论（f (x+a)=-f (x)→T=2a；f (x+a)=1/f
(x)→T=2a）；三角函数周期（正弦、余弦 T=2π/|ω|，正切 T=π/|ω|）。
l. 考法：求周期（客观题）、利用周期性求函数值（如 f (2025) 转化为 f (1)）。
• 对称性
m.核心要点：轴对称（f (x+a)=f (-x+b)→对称轴 x=(a+b)/2；偶函数关于 y 轴对称）；中心对称（f (x+a)+f
(-x+b)=2c→对称中心 ((a+b)/2,c)；奇函数关于原点对称）。
n. 考法：判断对称轴 / 对称中心（多选题）、利用对称性求函数值（客观题）。
二、综合核心考点（中档题，核心得分区）
（一）性质综合应用（高考高频，客观题 + 解答题第一问）
• 单调性 + 奇偶性
o. 核心逻辑：奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致；偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；利
用性质解不等式（如 f (x) 为奇函数且增，f (x-1)>0→x-1>0）。
p. 考法：解函数不等式（单选题）、比较抽象函数值大小（多选题）。
• 周期性 + 对称性
q. 核心逻辑：若函数既关于直线 x=a 对称，又关于直线 x=b 对称（a≠b），则周期 T=2|a-b|；若既关于点
(a,0) 中心对称，又关于点 (b,0) 中心对称（a≠b），则周期 T=2|a-b|。
r. 考法：推导周期 + 求函数值（客观题中档题）。
• 复合函数性质
s. 核心逻辑：单调性 “同增异减”（内层与外层单调性相同则复合为增，相反则为减）；奇偶性（内层为奇、
外层为偶→复合为偶；内层为偶→复合为偶）。
t. 考法：判断复合函数单调性 / 奇偶性（多选题）、求复合函数值域（客观题）。
（二）函数零点与方程根（中档题，必考）
• 核心要点：零点定义（f (x)=0 的实数根，即函数图像与 x 轴交点横坐标）；零点存在定理（连续函数 f (a)・f
(b)<0→(a,b) 内有零点）；零点个数判断（数形结合，转化为两个函数图像交点个数）。
• 考法：判断零点所在区间（单选题）、求零点个数（多选题）、已知零点个数求参数范围（填空题 / 解答
题）。
三、高阶应用考点（难题，拉分区间）
（一）恒成立 / 存在性问题（解答题高频，12 分左右）
• 核心要点：
u. 恒成立：∀x∈D，f (x)≥a→f (x) min≥a；∀x∈D，f (x)≤b→f (x) max≤b；v. 存在性：∃x∈D，f (x)≥a→f (x) max≥a；∃x∈D，f (x)≤b→f (x) min≤b；
w. 常用方法：分离参数法（优先，转化为 a≤f (x) min 或 a≥f (x) max）；分类讨论法（参数无法分离时，按
参数范围分类）。
• 考法：已知恒成立 / 存在性条件求参数范围（解答题第 2 问）。
（二）导数与函数性质结合（压轴题，12-14 分）
• 核心要点：
x. 导数判断单调性（f’(x)>0→增区间，f’(x) 减区间）；
y. 导数求极值 / 最值（f’(x)=0 求极值点，比较极值与端点值得最值）；
z. 导数研究零点（利用单调性 + 极值判断零点个数，或已知零点个数求参数）。
• 考法：导数求单调区间 / 极值 / 最值（解答题核心）、导数结合零点个数讨论（压轴题）。
（三）实际应用与分段函数（中档题，5-12 分）
• 核心要点：分段函数模型（如计费问题、税收问题）；实际问题转化（设变量→列函数解析式→求定义域→求
最值）。
• 考法：分段函数求值 / 解不等式（客观题）、实际问题最值求解（解答题）。
四、高考考法总结
• 客观题（5-10 分）：聚焦基础考点（定义域、解析式、单一性质、零点区间）和简单综合（单调性 + 奇偶
性、复合函数性质），难度低 - 中档；
• 解答题（12-14 分）：聚焦高阶应用（导数 + 性质、恒成立 / 存在性、零点讨论），难度中档 - 难题，强调
逻辑推导和步骤规范；
• 新高考趋势：多选题增加性质辨析难度，解答题强化导数工具应用，减少纯记忆考点，侧重 “性质 + 方法 +
逻辑” 的综合考查。
一、单选题
1．（2026·山东德州·模拟预测）在人工智能的图象识别算法优化过程中，模型的准确率提升倍数 与训练数据量
（单位： ）的关系式为 ，其中 为常数.当训练数据量为 时，模型的准确率提升倍数为22.5.
当准确率提升倍数 达到135时，模型在识别复杂图象时能达到极高的准确率，要想达到此标准，应该选择的训
练数据量约为（ ）（参考数据： ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】根据题设条件，将 代入关系式 可求出 的值，再利用对数的运算即可求解.
【详解】当 时， ，即 .
当 时， ，即 ，
则 ，即 .
因为 ，
所以 .令 ，则 ，
所以 ，则 .
2．（2026·湖南湘西·三模）已知 分别为函数 的零
点，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据零点的定义转化问题为函数与函数的交点问题，再结合图象判断大小即可.
【详解】由 ，得 ，则函数 与 的图象的交点横坐标就是 ；
由 ，得 ，则函数 与 的图象的交点横坐标就是 ；
由 ，得 ，则函数 与 的图象的交点横坐标就是 ．
作出函数图象如图，可知 ．3．（2026·北京石景山·二模）已知函数 ．若 存在2个零点，则a的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将 存在 个零点转化为函数 与 的图象有2个交点，先讨论 与
相切的情况，再将 平移讨论 的范围，数形结合即可求解.
【详解】若 存在2个零点，则 有2个解，即 有2个解，
即函数 与 的图象有2个交点.
当 时， 单调递减，值域为 ，
当 时， 单调递增，值域为 ，
先求 与 相切的情况：
设切点为 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以切点为 ，
代入切线方程 ，得 .
当 时，直线 与 相切于点 ，
同时与 有 个交点，此时共2个交点；
当 时，直线 与 有 个交点，
与 有 个交点，共2个交点；当 时，直线 与 无交点，与 有 个交点，共 个交点；
当 时，直线 与 无交点，与 无交点，共 个交点；
综上， 存在2个零点时， 的取值范围是 .
4．（2026·河南新乡·三模）已知函数 的零点分别为 ，则 的
大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别求解三个函数的零点满足的关系式,再数形结合利用函数图象的交点比较大小即可.
【详解】 的零点即为方程 的解，即为 的图像与 图像的交点横坐标，
的零点即为方程 的解，即为 的图像与 图像的交点横坐标，
的零点即为方程 的解，即为 的图像与 图像的交点横坐标，
∵函数 的零点分别为 ,
作出函数 的图象如图，
由图可知： ,5．（2026·天津北辰·二模）在科学研究中，许多系统的平衡状态可以通过方程 来描述，其中x表示某个
关键变量（如时间、浓度、位移等）.现有三个不同系统中的平衡点分别由以下函数的零点给出：某放射性物质同
时发生衰变和生成，净变化率满足 ，当净变化率为零时，对应平衡时间为 ；某鱼群在有限资源下的
增长速率满足 ，当增长率为零时，对应平衡种群数量为 ；一个弹簧振子在某时刻的机械能表达
式为 ，当机械能为零时，对应平衡位置 .则这三个平衡点 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过构造函数确定相应零点的取值范围，进而可求解.
【详解】对于 ，满足 ，函数 是R上的增函数，
又 ， ，
因此 ，即 ，
对于 ，满足 ，因为 ， ，故 ，
对于 ，满足 ，函数 是 上的增函数，
又 ， ，
因此 ，即 ，
综上，大小关系为 .
6．（2026·北京朝阳·二模）某电子产品的电池健康度 随循环次数 衰减的函数模型为 ，其中为常数， ．已知 ，则电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要
增加（ ）
（参考数据： ）
A．120 B．150 C．170 D．180
【答案】B
【详解】由 ，得 ，解得 ，
由 ，得 ，解得 ，所以 ，
当循环为 次时电池健康度为60，可得 ，
所以 ，两边取对数得 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加 .
7．（2026·天津北辰·二模）已知函数 ， 的部分图象如图所示，给出下列
命题：
① 的图象关于直线 对称
② 的图象关于点 对称
③将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象④若方程 在 上有两个不相等的实数根，则m的范围是
则上述命题中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】对于AB，代入选项的 的值并依据正弦函数的图象性质判断即可，对于C，由图象变换结合辅助角公式
即可求解，对于D，使用整体代入法结合图象的交点个数即可求解.
【详解】由题意得 ，最小正周期 满足 ，即 ，
则 ，即 ，
代入 得 ，即 ，
由此可得 ，解得 ，
因为 ，令 ，则 ，
综上， ，
对于①，若 为对称轴，则 或 ，
代入 得 ，
因为 或 ，故①错误；
对于②，若 的图象关于点 对称，则 ，
代入 得 ，
因为 ，故②错误；
对于③，设 ，
则 ，故③错误；对于④，若 ，则 ，设 ， ，
，即 ，
则 与 在 上有两个交点，
即 ，解得 ，故④错误.
所以有0个命题正确.
8．（2026·山东烟台·二模）已知某数据中心的算力 （单位：EFLOPS）与芯片投入量 （单位：万片）满足饱和
增长模型： ，其中 为该中心最大理论算力.已知投入2万片芯片时，算力 ，若要求算
力 ，则芯片投入量至少为（ ）
A．3万片 B．4万片 C．5万片 D．6万片
【答案】B
【详解】 ，将 代入，
得 ，
整理得： ，
两边取自然对数： ，
解得： ，
所以 ，
由 ，得 ，
即芯片投入量至少为4万片.
9．（2026·贵州贵阳·二模）某地区发现一种传染病，初期感染人数增长符合指数函数模型 （其中y为感
染人数， 为初始感染人数，k为传播系数，t为发现疫情后的天数，e为自然对数的底数）．已知发现疫情第1天感染人数为120人，第3天感染人数为270人．若感染人数达到1000人时需要启动紧急防控预案，则最迟应在
发现疫情后第（ ）天启动．（参考数据： ， ， ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【详解】由题意可得 ，所以 ，所以 .
由 ，得 ，
两边取自然对数得 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 .
所以最迟应在发现疫情后第7天启动．
10．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数 的零点分别为 ，则
的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用函数与方程的关系转化为两个函数的交点问题，再利用数形结合即可求出结果.
【详解】由 及 得 ，
由 及 得 ，
由 及 得 ，
由函数 的零点分别为 ，可得函数 ， ， 与 图象交点的横坐标分别为 ，
在同一坐标系中分别作出函数 ， ， ， 的图象如图，
由图知
11．（2026·四川成都·模拟预测）2021年，郑州大学考古科学队在荥阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造作坊.利
用碳14测年确认是世界上最古老的铸币作坊.已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足
（ 表示碳14原有的质量）.经过测定，官庄遗址青铜布币一同出土的有机物样本中碳14的质量
约是原来的 至 ，据此推测青铜布币生产的时期距今约（ ）年（按区间的中点进行估计，近似到十年）?
（参考数据： ）
A．1880年 B．2580年 C．3550年 D．4150年
【答案】B
【分析】根据题意得 ，解不等式得 ，再结合区间的中点进行估计，近似
到十年即可求解.
【详解】根据题意， ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以区间的中点为 ，近似到十年为2580年.12．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知函数 ， 与 的零点分别为
， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用导数判断函数的单调性，结合零点存在定理判断三个零点所在区间 ， ，
即可求解.
【详解】因为 ，所以 在 上单调递增，
因为 ， ，
由零点存在定理， 的零点 ，
因为 ，所以 在 上单调递增，
因为 ， ，
由零点存在定理， 的零点 ，
因为 ，令 ，得 ，
当 时， ，函数 在 内单调递增，
当 时， ，函数 在 内单调递减，
当 时， ，函数 在 内单调递增，
因为 ， ，
因此， 时，函数 没有零点，
又因为 ，
由零点存在定理， 的零点 ，因为 ，
所以 .
13．（2026·江西宜春·模拟预测）已知偶函数 满足当 时， ，则 的图象在
处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用偶函数的导数为奇函数求解即可
【详解】当 时 ， ，
因为 为偶函数，所以 ，当 时两边求导得 ，
所以 ， ，
所以 的图象在 处的切线方程为 ，即
14．（2026·河南周口·三模）已知函数 的定义域为 ， ，且 在 上单调递增，
则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先由 可得函数 关于点 中心对称，再根据在 上单调递增，结合对
称性可得在 上也单调递增，最后转化在一个单调区间上利用单调性比较大小即可.
【详解】解：由 ，则 ，
令 ，则 ，所以 ，
因此函数 关于点 中心对称，因为 在 上单调递增，结合 又关于点 对称，
所以 在 上也单调递增.
由 ，则令 ，所以 ，即 .
因为 ， 在 上单调递增，
所以 ，即 .
15．（2026·河南·模拟预测）已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，若 ，则不
等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为函数 是定义在 上的偶函数，且 ，所以 .
又函数 在 上单调递增，所以函数 在 上单调递减.
所以 等价于 ，解得 .
16．（2026·河北邯郸·三模）若函数 有奇数个零点，则 的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．16 D．18
【答案】B
【分析】借助偶函数定义可得 为偶函数，则由函数 有奇数个零点可得 ，代入计算可得
，再借助基本不等式计算即可得.
【详解】 ，
又 定义域为 ，则函数 为偶函数，
由函数 有奇数个零点，则 ，即 ，
所以 ，当且仅当 ，即 ， 时等号成立，即 的最小值是 .
二、多选题
17．（2026·河南开封·模拟预测）在土壤学中，常用指数模型描述土壤表层盐分含量随灌溉水淋溶深度的变化.已
知某块盐碱地土壤表层初始盐分含量为 （单位： ），经淋溶深度为h（单位：dm）的灌溉水淋溶后（h指
的是灌溉水渗入土壤的垂直深度），土壤表层残留盐分含量S满足关系式 ，其中k为与土壤性质有关
的常数，实验测得该盐碱地土壤的 .根据上述模型，下列说法正确的是（ ）
参考数据： ， ， .
A．当淋溶深度 dm时，该盐碱地土壤表层残留盐分含量约为初始盐分含量的25%
B．要使该盐碱地土壤表层残留盐分含量降至初始盐分含量的1%，则淋溶深度h约为5dm
C．在淋溶深度 的基础上再增加1dm，该盐碱地土壤表层残留盐分含量会再减少约一半
D．若该盐碱地土壤的k值变为0.4，则淋溶深度 dm时，土壤表层残留盐分含量低于初始盐分含量 的
20%
【答案】ACD
【分析】根据给定的指数函数模型，结合各项的描述依次分析正误.
【详解】由题设 ，
当 ，则 ，故 ，
所以该盐碱地土壤表层残留盐分含量约为初始盐分含量的25%，A对，
当 ，则 ，即 ，可得 ，B错，
原淋溶深度 ，则 ，故增加1 后有 ，
所以该盐碱地土壤表层残留盐分含量会再减少约一半，C对，
当 ， ，则 ，故 ，D对.
18．（2026·贵州贵阳·二模）已知函数 ，其图象的一个对称中心为 ，下列
说法正确的有（ ）A． 的最小正周期为
B．若函数 在区间 上单调，则 的最大值为
C．将函数 的图象向右平移 个单位，再向上平移1个单位可得到 的图象
D．若函数 在区间 上有唯一零点，则
【答案】AC
【分析】利用辅助角公式结合条件求出 的解析式，再根据各选项的要求，结合正弦型函数的性质与诱导公式，
图象变换以及函数与方程的关系逐一判断即得.
【详解】因 的图象的一个对称中心为 ,
则 ，则得 .
对于A， 的最小正周期为 ，故A正确；
对于B，由 ，可得 ，因函数 在区间 上单调，则有 ，
解得 ，故 的最大值为 ，故B错误；
对于C，将函数 的图象向右平移 个单位，得到 ，
再向上平移1个单位可得到 ，
而 ，故C正确；
对于D，由 可得 ，依题意，方程 在 上只有1个实根，
也即直线 与函数 在 上有唯一交点.
因 时， ，则作出函数 在 上的图象，要使直线 与函数
在 上有唯一交点，需使 或 ，解得 或 ，故D错误.
19．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知 为定义在 上的奇函数， 在 上单调递增，
，则下列说法正确的是（ ）
A． 为奇函数 B． 的减区间为
C． D．函数 的零点个数为8
【答案】AD
【分析】利用函数是奇函数得出周期和对称性，利用奇函数定义可判断A，结合单调性可判断B，结合周期性和对
称性可判断C，结合函数的简图可判断D.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 为定义在 上的奇函数，所以 ，
所以 ，即 的一个周期为8.
对于A，因为 ，且 为奇函数，所以 为奇函数，A正确；
对于B，因为 在 上单调递增，且 为定义在 上的奇函数，
所以 在 上单调递增，即 在 上单调递增，
由 ，可得 关于 对称，故 在 上单调递减，
因为 的周期为8，又由 知4不是 的周期，
所以 的减区间为 ，B不正确；
对于C，由对称性可知， ， ，由 可得 ，所以 ，
因为 的周期为8，所以 ，
因为 ， ，但 不确定，所以 不确定，C不正确；
对于D，令 ，可得 ，则 的零点个数即 和 的图象公共点
个数，
分别作出两个函数的简图，由于 的最大值为2， ，所以两个图象公共点的个数为8，D
正确.
20．（2026·陕西榆林·三模）已知函数 ，则（ ）
A． 在 上单调递增
B．存在 ，使得函数 为奇函数
C．任意
D．函数 有且仅有2个零点
【答案】ABC
【分析】A选项，通过导数判断函数单调性；B选项，取特殊值验证结论的存在；C选项，通过放缩，得到函数值
的范围；D选项，通过函数值的符号，判断零点个数.
【详解】对于A， ，因为 ，所以 ，
因此 ，故 ，所以 在 上单调递增，故A正确；对于B，令 ，则 ，定义域为 ，
且 ，故 为奇函数，故B正确；
对于C， 时， 时， ，故C正确；
对于D， 时， 时， 时， ，
所以 只有1个零点，故D错误.
21．（2026·重庆·三模）已知函数 则（ ）
A． a∈R，使得f（x）为偶函数
B．∃a∈R，使得f（x）存在零点
C．∃a∈R，f（x）为增函数
D．∀a∈R，使得f（x）的最小值为0
【答案】∃ABD
【详解】对A，若 为偶函数，则 ，即 ，则 时，
为偶函数，A正确；
对B，当 时， ，
当 时， 单调递增， 单调递减，因此 在 上单调递增，
又 ，由零点存在定理， 在 时必然存在零点，B正确；
对C 时， ，故 不是单调递增函数，C错误；
对D，设 ，则 ，在坐标系中作出 和 的图象，则 的图
象是 向上和向右分别移动 个单位形成．如图2所示，当 与 的图象在第二象限相切时， 的最小值为零．D正确.
22．（2026·河南周口·三模）已知函数 ，则（ ）
A． 是奇函数 B． 在 上单调递减
C． 的值域为 D． 的最小正周期为
【答案】ABD
【分析】分析可知函数 的定义域为 ，且 ，结合正弦函数性质逐项分析判断.
【详解】由题意可知：函数 的定义域为 ，
且 .
对于A：因为 ，所以函数 是奇函数，故A正确；
对于B：若 ，则 ，可得 在 上单调递增，
所以 在 上单调递减，故B正确；
对于C：因为 ，则 ，
所以 的值域为 ，故C错误；
对于D： 的最小正周期为 ，故D正确.23．（2026·湖南浙江·模拟预测）已知曲线 ，则下列说法正确的有（ ）
A．曲线 是中心对称图形
B．曲线 与直线 有三个不同的交点
C．该曲线可以成为一个函数的图象
D．当 时，
【答案】ACD
【分析】选项A：根据中心对称定义代入验证.选项B.联立两方程，分析方程的零点.选项C.根据函数的定义求解即
可.选项D.对函数求导，分析其单调性，得到最小值.
【详解】选项A.若点 在曲线 上，满足 .
将 代入方程， 左边 ，右边 左边，
因此 也在曲线 上，曲线关于原点中心对称，A正确.
选项B.联立 代入曲线方程，整理得 ，
是一个解，剩余 .当 （如 ）时，无额外实根，仅1个交点，
不是一定有三个交点，B错误.
选项C.令 ，则 ，代入原方程可得参数形式： .
对 求导得 ，故 是 上严格增函数， 与 一一对应，
因此每个 对应唯一 ，满足函数定义，曲线可以作为函数的图像，C正确.
选项D. 即 ，因 ，故 .
对 求导得 ，令 ，得驻点 ，
代入得 ，D正确.三、填空题
24．（2026·山东济南·模拟预测）若函数 在[0,4]上恰有2个零点，则符合条
件的a的个数为________．
【答案】1
【分析】求出函数的零点，通过判断在区间 上零点的个数确定 的取值.
【详解】 时， ，在 上有两个零点1和 ，满足题意，
时，由于 ， 无实数解，
， ， ，由于 ，
，则 ，不合题意，
时， ， 时， ， 时， （因为 ），因此
在 上至少有3个零点，不满足题意，
综上， ，所以满足条件的 的个数是1.
25．（2026·北京西城·二模）设函数 ，集合 ，其中 .若集合M
中共有3个元素，则 的取值范围是__________；若集合M中共有4个元素，则这4个元素乘积的最小值为
__________.
【答案】 140
【分析】将方程根的个数转换成函数图象的交点个数，再结合指对数转换和二次函数性质即可求解.
【详解】方程 根的个数，可转换成函数 图象的交点个数，
如下图：由函数图象可知，当 时，函数 图象共有3个交点，
故若集合M中共有3个元素，则 的取值范围是 ，
若集合M中共有4个元素，由图象可知 的取值范围是 ，
设4个元素由小到大为 ，
则 ，即 ，得 ，
，即 ，得 ，
，即 ，得 ，
，即 ，得 ，
所以 ，
故当 时， 取得最小值140.
26．（2026·贵州安顺·模拟预测）写出一个同时满足下列条件①②③的函数 的解析式： _____________．
（答案不唯一）
① ；② 恰有两个不同的零点；③ ．
【答案】 （答案不唯一）
【详解】由 ，积分得 （ 为常数），
由 恰有两个零点，得 ，即 ，
由 ，得 ，即 ，
取 ，得满足条件的一个函数解析式： ．27．（2026·山东聊城·模拟预测）已知函数 在区间 上有且仅有两个
零点，则实数 的取值范围为___________．
【答案】
【分析】利用倍角公式和辅助角公式化简得出 ，令 ，将问题转化为方程
在区间 上有且仅有两个根，结合正弦函数的性质得出 即可.
【详解】
设 ，因为 ，所以 ．
函数 在区间 上有且仅有两个零点，
即方程 在区间 上有且仅有两个根．
因为方程 的正根从小到大排列分别是
所以 ，解得 ，
则实数 的取值范围为 ．
28．（2026·河北沧州·三模）函数 若 ，则 ________．
【答案】
【详解】已知分段函数 ，且 .结合分段函数性质可得 或 .
当 时：
若 ，则 ，解得 ；
若 ，则 ，解得 .
当 时：
若 ，则 ，方程无解；
若 ，则 ，解得 .
因此满足条件的 的值为 ， ， .
四、解答题
29．（2026·上海长宁·二模）已知 （其中 ， ）.
(1)若函数 的图象过点 ，求不等式 的解集；
(2)若恰有两个不同的实数 ，使得 ， ， 成等差数列，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）代入点坐标后求得函数的解析式，根据其单调性和定义域解不等式即可；
（2）先根据等差数列得方程 有两个不同的实数根，且两根都大于 ，进而对 讨
论，结合二次函数根的分布理论可得.
【详解】（1）将 代入 ，可得 ，得 ，
故 ，该对数函数为定义在 上的减函数，
故由 可得 ，解得 ，
故不等式 的解集为
（2）由已知可得 ，
即 ，故 ，整理可得 ，故 ，得 ，
由题意可知方程 有两个不同的实数根，且两根都大于 ，
设 ，
当 时， ，即函数 在区间 上有两个零点，
故 ，解得 ，
当 时， ，即函数 在区间 上有两个零点，
故 ，不等式无解，
综上可得实数 的取值范围为
30．（2026·上海徐汇·二模）已知函数 ，其中 且 .
(1)设 ，写出函数 的定义域，并判断是否存在正数 ，使得函数 为奇函数，说明理由；
(2)设 .若关于 的方程 的解集为单元素集合，求正数 的值.
【答案】(1) ， ；
(2) 或 或
【分析】（1）由分母不等于 解出定义域，由奇函数的定义域关于原点对称求出 的值，再利用奇函数的定义检
验即可；
（2）令 ，则原命题可等价于方程 的解集为单元素集合，分一元二次方程有两相
等实根且不等于 与一元二次方程有两不相等实根且有一个根等于 ，分别求出 的值即可.【详解】（1）由题意知： ，
分母不等于 得： ，
解得： ，
所以函数 的定义域为 ，
要使函数 为奇函数，则定义域关于原点对称，
则 ，解得 ，
当 时， ，定义域为 ，
此时 ，满足奇函数的定义，
所以存在正数 ，使得函数 为奇函数.
（2）由题意知： ，
则 等价于 ，其中 且 ，
化简得： ，
令 ， ，
原命题等价于： 的解集为单元素集合，
①方程有两相等实根，且不等于 ，
所以 ，
化简得： ，
解得： ，
验证根是否等于 ，当 时，根 ，满足题意，
当 时，根 ，满足题意，
②方程有两不等实根，且其中一个根为 ，
则将 代入方程： ，
当 时，此时方程为 ，
解得： （舍）或 ，满足题意.
综上所述：正数 的取值为 或 或 .
