文档文本内容
2026 年高考考前平稳发挥练手卷
数学（全国Ⅱ卷）
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合 ， ，则集合 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解一元二次不等式求得 ，求定义域得 ，再求集合并集即可.
【详解】 ，解得 ，
所以 ，
函数 的定义域为 ，
所以 ，
所以
2．在平行四边形 中， ， ，则 （ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】本题利用向量的加减法则和向量乘法计算公式计算即可.
【详解】 ，，
.
3．已知直线 与 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】借助直线平行的性质及充分条件与必要条件定义计算即可得.
【详解】若 ，则 ，解得 或 ，
当 时， ，两直线重合，不符；
当 时， ，符合题意；
所以 ，即“ ”是“ ” 的充要条件.
4．记 为等比数列 的前 项和，若 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等比数列的通项公式及条件可得 ，再由等比数列的前 项和公式计算可得.
【详解】设等比数列 的公比为 ，由 得： ，
因为 ，所以 ，又因为 ，可得 ，解得 .
所以 ，因此 .
5．已知 ， 均为锐角，且 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．4【答案】B
【详解】因为 ， 均为锐角所以 .
．
6． 的展开式中的第 项与第 项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．第 项 B．第 项或第 项 C．第 项 D．第 项
【答案】A
【详解】 的展开式的通项为 ，则 ， ，
依题意有 ，解得 ，
所以 的展开式中共有 项，二项式系数最大的项为第 项.
7．已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，过圆锥的一条母线的中点且与圆锥底面平行的平面截圆锥，则截
面与底面之间的部分构成的几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据圆锥轴截面的参数求出原圆锥的底面半径、高及体积，再利用相似性求出截得的小圆锥体积，作
差得到所求几何体的体积.
【详解】已知圆锥轴截面为边长为2的等边三角形，因此圆锥底面直径等于等边三角形的边长，即底面半径 ；
圆锥的高 为等边三角形的高，由勾股定理得 ，
原圆锥体积 ，
过母线中点且平行于底面的平面截圆锥，所得小圆锥与原圆锥为相似几何体，
相似比为 ，因此小圆锥的底面半径 ，高 ，
可得小圆锥体积 ，
所求体积 .8．已知 ，且 ，若函数 的值域为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数的单调性结合已知函数值域列出不等式计算即可.
【详解】若 ，则 在 单调递减，即 ， ，
当 时， 在 单调递增，则 ，
此时两部分值域的并集不为 ，不符合题意；
若 ，则 在 单调递增，即 ， ，
当 时， 在 单调递增，则 ，
要使函数 的值域为 ，则 ，解得： ，
若 ，则 ，此时函数 的值域为 ，不符合题意；
若 ，则 在 单调递增，即 ， ，
当 时， 在 单调递减，
则 ， ，此时两部分值域的并集不为 ，不符合题意；
综上，若函数 的值域为 ，则 的取值范围是
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数 ，其中 ，且 ，设 在复平面内对应的点为 ，则下列说法正确的有（ ）
A． 的虚部为 B．点 在第二象限
C．点 在直线 上 D． 的最大值为【答案】BC
【分析】对复数 进行分母实数化、逐步化简，结合选项一一求解.
【详解】 ，
选项A， 的虚部是实数 ，不是 ，所以A错误.
选项B，对应点 的坐标为 ，因为 ，所以 ， ，点 在第二象限，B 正确.
选项C，点 的坐标 ，满足 ，所以点 在直线 上，C正确.
选项D， ，
当 时， ，D错误.
10．我国航天事业飞速发展，某颗科学实验卫星在太空中运行时，其单日的电池功耗（单位：W）受太阳光照强
度等因素影响．历史数据表明：在常规运行轨道上，卫星单日功耗 服从正态分布 ，在进行深空探测
任务期间，卫星单日功耗 服从正态分布 ．则下列结论正确的有（ ）
（附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ， ，
）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】利用正态分布的对称性与区间概率计算 ，并利用期望与方差的线性性质计算 和
即可.
【详解】对于A，由题意得 ，故A错误；对于B，由题意得 ， ，故B正确；
对于C，由题意得 ， ，故C正确；
对于D，由题意得 ，
即 ，故D正确.
11．在棱长为2的正方体 中，点 是棱 的中点，点 在正方形 内部（不含边界）运动，
若 平面 ，则（ ）
A．点 的轨迹经过线段 的中点
B．点 的轨迹长度为
C．直线 与直线 为异面直线
D．三棱锥 的体积为定值
【答案】ACD
【分析】取 的中点 ，连接 ，根据条件可得点 的轨迹为线段 （不含端点），即可判断出A和
B的正误；对C：根据异面直线的判定定理分析判断；对D，利用等体积法，即可求解.
【详解】如图，取 的中点 ，连接 ， ，则 ，且 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
又因为 是 中点，则 ，
且 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 .
又 平面 ，则 平面 ，又点 在正方形 内部（不含边界）运动，且平面 平面
，
所以点 的轨迹为线段 （不含端点）.
对于A，连接 ，由正方体的性质易知 与 相交，且交点为 的中点，所以A正确；
对于B，因为 ，所以点 的轨迹长度为 ，故B错误；
对于C，因为 平面 ， 平面 ， ，
所以直线 与直线 为异面直线，故C正确；
对于D，因为 平面 ，点 是棱 的中点，
则 ，所以D正确；
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 是 右支上一点， ，则 _____．
【答案】5
【分析】根据双曲线的定义及勾股定理即可求解．【详解】由题知， ，
在 中， ，
由 得， ，
所以 ．
13．记 为正项数列 的前n项积，已知 ，则 ________； ________．
【答案】 2 2027
【分析】根据 的定义，令 ，结合 求解 ；根据 ，将已知等式转化为关于 与 的关系
式，确定数列 的类型，求出数列 的通项公式求出
【详解】 为正项数列 的前n项积， ；
， ，解得 或 ；
数列 为正项数列， ， .
当 时， ， ；
，即 ；
数列 是以 为首项，1为公差的等差数列，
则 ；.
14．已知函数 有两个极值点，则实数 的取值范围是________.
【答案】
【分析】 有两个极值点等价于 有两个不同的变号零点，转化为 和 图象上有两个交点问题.
【详解】 的定义域为 ，且 ， ，令 ，则 ，
令 ， ，则 ， ，
因为 有两个极值点等价于 有两个不同的变号零点，即 有两个不同的实根，
设 ， ，当 ， ， 为增函数；当 ， ， 为减函
数；
，而当 ， ，当 ， ，故 图象如下图所示：
结合 和 的图象，易得m的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．设向量 ， ，函数 .
(1)求 的单调减区间；
(2)在 中，若角 满足 ，且边 ，求 周长的取值范围.
【答案】(1) 的单调减区间为 ， .
(2)【分析】（1）先利用向量数量积坐标运算求出 表达式，再用三角恒等变换把式子化成 的
形式再结合正弦函数单调递减区间列不等式，解出 的范围即可得到单调减区间.
（2）先代入 求出角 的大小，再由已知边 结合正弦定理把另外两边转化为角的正弦形式，将周长整理
为单一三角函数形式，最后根据角 的范围求出三角函数值域，进而得到三角形周长的取值范围.
【详解】（1） .
由 ， ，解得 ， .
所以 的单调减区间为 ， .
（2）由 ，得 ，即 .
因为 ，所以 ，即 .
已知 ，由正弦定理 .
所以 ， .
又 ， ，
则周长
.
由 ，得 ，所以 .
即 周长的取值范围是 .
16．如图，在直三棱柱 中， ， ， ， ， 分别为 ， ，的中点．
(1)求异面直线 与 所成角的余弦值；
(2)求三棱锥 的体积；
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出向量 ， ，即可用空间向量法求解；
（2）由向量得出点 到平面 的距离，再由锥体的体积公式即可求解；
（3）分别求出平面 与平面 的法向量，然后用空间向量法求解.
【详解】（1）由题意可知 、 、 两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
即 ， ，
设异面直线 与 所成角为 ，则 为锐角，
所以 ，
即异面直线 与 所成角的余弦值为 ．（2）由（1）易知 ， ， ，
设面 的一个法向量为 ，则有 ，
取 ， ，即 ，
所以点 到平面 的距离为 ；
， ， ，
所以三棱锥 的体积为 ．
（3）由（1）可知 ， ，
设面 的一个法向量为 ，则有 ，
取 ， ，即 ，
设平面 与平面 夹角为 ，则 为锐角，
则 ，
即平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
17．某校举办 “一带一路” 知识竞赛，有 A，B两组题可供选择，两组题都有8道题，每位参赛选手选择一组题，
且所选组别的所有题均作答。若参赛选手选择A组题，则答对一道题得3分，答错一道题得 分；若参赛选手选择 B 组题，则答对一道题得2分，答错一道题得0分. 已知小明答对每道题的概率均为p (0<p<1)，且每道题的答
题情况相互独立.
(1)若p ，小明选择A组题作答，求他的总得分为正的概率；
(2)讨论小明选择哪组题进行答题，能使自己的总得分的期望更高.
【答案】(1)
(2)当 时选择B组，当 时两组得分期望相同，当 时选择A组
【分析】（1）首先建立得分与答对题数的关系，令 确定总得分为正的条件，然后分析题目确定X服从二项
分布，利用二项分布的概率公式进行求解；（2）利用二项分布期望公式及期望的线性性质分别求出两组题的作答
得分期望值，根据期望值的大小关系判断p的范围，得出结论.
【详解】（1）设小明在A组题中答对的题目数为X，则答错 道，
A组题的总得分 为： ，
令 ，解得 ，因为X是答对题数，所以 ，
因为小明答对每道题的概率均为p ，所以 ，
所以 ，
.
（2）因为 ，所以 ，
则 ，
设小明在B组题中答对Y道，则 ，B组题的总得分 ，
同理 ，
令 ， ，解得 ，所以当 时，选择B组题总得分期望值更高；当 时，选择A组题和B组题的总得分期望相同；当
时，选择A组题总得分期望值更高.
18．已知函数 ．
(1)当 时，求 在点 处的切线方程；
(2)若 存在极小值0，求实数 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接求导，再利用点斜式写切线方程；
（2）设函数在 处取得极小值 ，则必有 由导数方程先表示出参数 ，再代回原式消去 ，
得到关于 的方程；最后利用该方程化简出 的值.
【详解】（1）当 时，
又
所以曲线在点 处的切线方程为
化简得
（2）
设函数在 处取得极小值 ，则
由 得
从而 代入 ，得即
由于 ，故
于是 两边取指数，得 所以
而 故
下面验证此时确有极小值 .
令
设方程 的解为 ，易知函数 在 上单调递增，
所以方程 有且仅有一个解 ，
又由 可得
于是
设 ，则
当 且 时， ，所以 在 上单调递增，
又 ，所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 处为极小值点，极小值为 .
综上，
19．已知椭圆 ： （ ）经过点 ，且椭圆 的长轴长是其短轴长的 倍．
(1)求椭圆 的方程；
(2)在椭圆 上存在两点 ， ，使得以 为直径的圆恰与椭圆 交于点 ．
（i）证明：直线 恒过定点；
（ii）当点 在点 左侧时，若 是椭圆 上一点，直线 与 关于直线 对称，是否存在圆 ：使得直线 ， 始终与该圆 相切．若存在，求出实数 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析.（ii） 或 .
【分析】（1）根据椭圆过点 ，以及长轴、短轴的关系求解即可.
（2）（i）设出直线 ，联立椭圆方程，根据韦达定理求出点 ，同理求出点 ，再设出直线
方程，分别代入点 化简得到 是方程 的两根，再利用垂直关系得到
关系进而证明直线 恒过定点.（ii）根据 以及直线 与 关于 对称得到三条直线斜率之间的
关系，进而表示出直线 ，再根据圆与直线相切列等式求出 或 ，再验证即可.
【详解】（1）已知椭圆 ： 经过点 ，椭圆 的长轴长是其短轴长的 倍，
所以 ，解得 ，因此椭圆 的方程为 .
（2）（i）①当 斜率存在时，设直线 ，与椭圆联立得
消 并整理
由韦达定理得
因此 ，
同理，设直线 斜率为 ，可得 .
设直线 ，将 点坐标代入，整理得关于 的方程同理
故 是方程 的两根，
由题设 ，结合韦达定理得
化简得 ，又 可化为 ，
所以 解得直线 所过点坐标为 .
②当 斜率不存在时， ，
直线 过点 ，
综上，直线 恒过定点 .
（ii）因为直线 与 关于 对称，故 .
由 得 ，故 .
设直线 斜率为 ，则直线 斜率为 ，直线 斜率为 ，
直线方程分别为 ，
整理得 .
由点 到两直线的距离相等可得 ，
去绝对值得 或故 或 ，即点 的坐标为 或 .
