文档文本内容
专题1.3 不等式的性质及一元二次不等式
【考点1：利用不等式的性质比较大小】............................................................................................................... 2
【考点2：利用不等式的性质求值或取值范围】...................................................................................................2
【考点3：解一元二次不等式（不含参）】...........................................................................................................3
【考点4：解一元二次不等式（含参）】............................................................................................................... 3
【考点5：一元二次不等式恒成立问题】............................................................................................................... 4
【考点6：一元二次不等式的应用】.......................................................................................................................4
【考点7：其他不等式】........................................................................................................................................... 6
【考点8：利用基本不等式求最值或范围】...........................................................................................................7
【考点9：基本不等式的应用】...............................................................................................................................7
【考点1：利用不等式的性质比较大小】
1．（25-26 高一上·江苏·期中）已知
，
，
，则
与
的大小关系为_________.
2．（25-26 高一上·天津和平·阶段检测）若
，
，则
与
的大小关系为______
3．（2026 高三·全国·专题练习）若
，则
与
的大小关系是_______．（用“>”连接）
4．（25-26 高一上·天津滨海新区·阶段检测）若x 为任意实数，
____
；
____
（用
＞
或
＜
填空）
“
”
“
”
5．（25-26 高三上·全国·一轮复习）若
，
，则
与
的大小关系为______.
（用“
连接）
”
【考点2：利用不等式的性质求值或取值范围】
1．（25-26 高二·全国·暑假作业）若
，则
的取值范围是________．
2．（25-26 高二上·云南昭通·期末）已知
，则
的取值范围是___________
3．（25-26 高一下·山东德州·阶段检测）已知
，则
的取值范围为______
9．（25-26 高一下·辽宁盘锦·开学考试）记
表示
中最大的数，已知
，
则
的最小值为______.
10．（25-26 高一上·安徽芜湖·阶段检测）已知
，
，
且
，则
的
值为____________．
【考点3：解一元二次不等式（不含参）】
1．（25-26 高一上·广西河池·期中）求函数
的解集__________.
2．（25-26 高一下·山东德州·阶段检测）函数
的定义域是________
3．（25-26 高三下·上海徐汇·阶段检测）若
，
，则
_____________.
4．（25-26 高三下·上海金山·阶段检测）若集合
，则
__________.
5．（25-26 高二下·上海·期中）已知函数
，则不等式
的解集为
__________.
【考点4：解一元二次不等式（含参）】
1．（25-26 高一上·湖南常德·阶段检测）若关于
的不等式
恰有两个正整数解，则
的
取值范围是______.
2．（2026 高一·全国·专题练习）若不等式组
的解集中所含整数解只有
，则
的
取值范围是________．
3．（25-26 高一上·上海·阶段检测）已知集合
，若
，
则实数
的取值范围是_____．
4．（25-26 高一上·上海·期末）若关于
的不等式
的解集是
，则关于
的不等式
的解集是___________
5．（25-26 高二下·宁夏银川·期中）已知关于
的不等式
．
(1)若不等式的解集为
，求a，b 的值；
(2)若
，求已知关于
的不等式的解集．
【考点5：一元二次不等式恒成立问题】
1．（25-26 高二下·吉林长春·期中）命题
：“
，
为假命题，则
”
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高一下·四川眉山·期中）若命题“
，使得
是假命题，则实数
”
m 的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·河南·一模）已知函数
，若
，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 高二下·安徽蚌埠·阶段检测）已知命题“
，
为真命题，则实数
”
m 的取
值范围是__________．
5．（2026 高一·全国·专题练习）已知二次函数
，设对任意的
，都有
恒成立，则实数
的取值范围为______.
【考点6：一元二次不等式的应用】
1．（2026 高一·全国·专题练习）某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．
该商品原来每件售价为
元，年销售万件．据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少
件，
要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为______元.
2．（25-26 高三·全国·一轮复习）某商品每件成本价为80 元，售价为100 元，每天售出100 件．若售价降
低x 成（1 成
），售出商品数量就增加
成．要求售价不能低于成本价．
(1)设该商店一天的营业额为y，试求y 与x 之间的函数关系式
，并写出定义域；
(2)若再要求该商品一天营业额至少为10260 元，求x 的取值范围．
3．（25-26 高一上·广西河池·期中）某工厂生产一种产品，其成本函数为
（元），其中
为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为
元，求：
(1)工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？
(2)若工厂希望利润不低于
元，那么至少需要生产多少件产品？
4．（25-26 高二下·河北承德·阶段检测）有
和
两道谜语，甲猜对
谜语的概率为
，猜对得
奖金10 元；甲猜对
谜语的概率为
，猜对得奖金20 元．规则规定：只有在猜对第一道谜语的情
况下，才有资格猜第二道．
(1)若
，且甲先猜
谜语，求甲得10 元奖金的概率；
(2)如果猜谜顺序由甲选择，他应该选择先猜哪一道谜语能得到更多的奖金．
5．（25-26 高一上·江苏盐城·期末）某人购买了一辆新能源汽车从事滴滴客运业务，根据市场分析，该汽
车的运营利润
（万元）与运营年数
的关系为
(1)该新能源汽车运营到哪年时，运营利润超过
万元？
(2)该新能源汽车运营到哪年时，年平均利润最大？
【考点7：其他不等式】
1．（25-26 高三上·江西赣州·期末）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·辽宁辽阳·二模）不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 高二下·河北保定·期中）设p：
，q：
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
4．（多选）（2026·江西宜春·模拟预测）（多选）若
，则
的值可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2026·上海杨浦·模拟预测）若集合
，集合
，则
__________．
【考点8：利用基本不等式求最值或范围】
1．（2026·湖南株洲·三模）已知
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·重庆·模拟预测）已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·上海·三模）已知
均为正数，且
，则
的最小值为___________
4．（2026·河南开封·模拟预测）设
，则
的最小值为_____________．
5．（25-26 高一下·上海·期中）已知
，则
的最小值为________.
【考点9：基本不等式的应用】
1．（25-26 高一上·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租
（单位：万
元）与仓库到超市的距离
（
，单位：千米）的函数关系式为
，每月货物运输费
（单位：
万元）与
的函数关系式为
，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用
之和最少，最少费用为______万元．
2．（25-26 高一上·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个
相同的矩形
和
构成的面积为
的十字形地域.计划在正方形
上建一座花坛，造价
为
；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210 元
；在四个空角
（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80 元
.设总造价为
（单位：元），则当总造价
最小时，
的长度为______m.
3．（25-26 高三上·安徽淮北·期中）某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5 米，底面积为100 平方米，
且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方
体前面新建墙体的报价为每平方米320 元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160 元，地面以及其他
报价共计9600 元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为
（
）米，原有墙体足够长.
(1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为
（
）元，若无论左
面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求
的取值范围.
4．（25-26 高一上·山东潍坊·开学考试）中欧班列是推进
一带一路
沿线国家道路联通、贸易畅通的重
“
”
要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利
用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为
，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管
员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400
元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150 元，屋顶和地面以及其他报价共计7200 元，设屋子的左右两
面墙的长度均为x m（
）．
(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为
元（
），若无论左右两面
墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a 的取值范围．
5．（25-26 高一上·安徽阜阳·期末）物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息
承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业
制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租
地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费
(单位：万元)，仓库到车站的
距离
(单位:千米，
)，其中
与
成反比，每月库存货物费
(单位：万元)与
成正比；若在距
离车站8 千米处建仓库，则
和
分别为2 万元和6.4 万元．
(1)求出
与
的解析式．
(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少?
一、单选题
1．（25-26 高三下·山东·阶段检测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·湖南长沙·三模）已知
，且
，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知关于
的不等式
的解集为
，则关于
的不等
式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
4．（2026·重庆·模拟预测）已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（25-26 高三下·重庆·阶段检测）设
且
，
且
，若
，则
的最小值
是（ ）
A．3
B．
C．9
D．18
6．（2026·湖南长沙·三模）设数列{
}的前n 项和为
且
则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
7．（2026·安徽芜湖·模拟预测）若非零实数
满足
，则下列结论一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2026 高三·全国·专题练习）（多选）设正实数
，
满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
有最大值
B．
有最小值
C．
有最大值
D．
有最小值
三、填空题
9．（2026·江苏常州·三模）已知随机变量
，正实数
，
满足
，
则
的最小值为_________.
10．（2026·河北沧州·模拟预测）已知实数
满足
，则
的最大值为__________.
四、解答题
11．（25-26 高一下·广东揭阳·阶段检测）（1）已知
，
，求
，
，
的取值
范围．
（2）已知
，
，比较
与
的大小
12．（25-26 高一上·广东珠海·阶段检测）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜
园．设菜园的长为
米，宽为
米．
(1)若菜园面积为36 平方米，则
，
为何值时，所用篱笆总长最小？
(2)若使用的篱笆总长为30 米，则
，
为何值时，菜园面积最大？
(3)若使用的篱笆总长为30 米，求
的最小值．
