文档文本内容
第05 讲 对数与对数函数
（含对数型糖水不等式）
目录
考情探究.........................................................................................................................2
知识梳理.........................................................................................................................3
探究核心考点.................................................................................................................5
考点一 对数的运算......................................................................................................................5
考点二 对数函数的定义域..........................................................................................................6
考点三 对数函数的图象与性质..................................................................................................6
考点四 对数函数的单调性..........................................................................................................7
考点五 对数函数的值域与最值..................................................................................................8
考点六 对数函数中奇偶性的应用..............................................................................................9
考点七 对数函数值的大小比较................................................................................................10
考点八 对数型糖水不等式的应用............................................................................................11
三阶突破训练...............................................................................................................11
基础过关......................................................................................................................................11
能力提升......................................................................................................................................12
真题感知......................................................................................................................................13
一、5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025 年全国一卷，第8 题,5 分
对数的运算性质的应用
对数函数单调性的应用
无
2024 年新I 卷，第6 题,5 分
判断对数函数的单调性
判断指数函数的单调性
根据分段函数的单调性求参数
2024 年新Ⅱ卷，第8 题,5 分
由对数函数的单调性解不等
式
函数不等式恒成立问题
2023 年新I 卷，第10 题,5 分
对数的运算性质的应用
对数函数模型的应用
对数函数的单调性解不等式
2021 年新Ⅱ卷，第7 题,5 分
比较对数式的大小
无
二、命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题常考内容，设题多为函数性质或函数模型，难度中等，分值为5-
6 分
【备考策略】1.理解对数的概念和运算性质，熟练指对互化，能用换底公式能将一般对数转化成自然对数
或常用对数
2.了解对数函数的概念，能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊
点
3.熟练掌握对数函数
且
与指数函数
且
的图象关
系
【命题预测】本节内容通常会考查指对幂的大小比较、对数的运算性质、对数的函数模型等，需要重点备
考复习
知识点1 对数的定义
如果a
b= N（a>0且a≠1），那么b 叫作以a 为底，（正）数N 的对数，记作 ，这里，a 叫作对数
的 ，N 叫作对数的 ．
知识点2 常用对数与自然对数
通常将以10 为底的对数叫作常用对数，并把log10 N记作 ，以无理数e=2.71828⋯为底数的对数称
为自然对数，并且把loge N记为
知识点3 对数的基本性质及对数恒等式
性质1
和 没有对数
性质2
1 的对数是 ，即loga1= (a>0,a≠1)
性质3
底数的对数是 即logaa= (a>0,a≠1)
对数恒等式：a
loga N = ，logaa
N =
知识点4 对数的运算性质
如果a>0且a≠1，M >0，N >0，那么：
（1）loga(MN )= ；
（2）loga
M
N = ；
（3）loga M
n= ．
推广：loga(N 1 N 2⋯N k)=loga N 1+loga N 2+⋯+loga N k(N 1, N 2,⋯, N k>0)．
，
，
知识点5 换底公式
换底公式：
；
推广1：对数的倒数式
推广2：
。
知识点6 对数函数的一般形式及定义域
一般地，函数 叫作对数函数，其中 是自变量，x 的范围是
对数函数的定义域
定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概
念，若自变量在真数上，则必须保证真数 ;若自变量在底数上，应保证底数
知识点7 对数函数的图象及性质
a>1
0<a<1
图象
性
质
定义域
(0,+∞)
值域
R
过定点
过定点 ，即x =1时，y =0
函数值的
变化
当0< x<1时，
当x>1时，
当0< x<1时，
当x>1时，
单调性
是(0,+∞)上的
是(0,+∞)上的
知识点8 解对数不等式
（1）形如loga f (x)>loga g(x)的不等式，借助函数y =loga x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分
与 两种情况讨论.
（2）形如loga f (x)>b的不等式，应将b化为 的形式，再借助函数y =loga x的单调性求解.
（3）形如loga f (x)>logb g(x)的不等式，基本方法是将不等式两边化为 ，利用对数函数的单调性
来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集.
（4）形如f (loga x)>0的不等式，可用 ，先解f (t )>0，得到t的取值范围.然后再解x的范围.
考点一 对数的运算
典例1．（2025·北京大兴·三模）已知
，则
的值为（ ）
A．15
B．
C．
D．
典例2．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知正实数
满足
，则
．
典例3．（2025·天津红桥·二模）若
则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
典例4．已知
，用
表示
为（ ）
A．
B．
C．
D．
典例5．（2025·吉林·模拟预测）满足条件
，且
的一组
为（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
跟踪训练1．（2025·江西萍乡·三模）已知
，则
.
跟踪训练2．（2025·陕西安康·模拟预测）已知
，
，则
．
跟踪训练3．（2025·山东临沂·二模）已知实数
满足
，则
（ ）
A．11
B．12
C．16
D．17
跟踪训练4．（2025·广东深圳·三模）已知实数
，且满足
，则
．
跟踪训练5．（2025·江苏·三模）（多选）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
考点二 对数函数的定义域
典例1．（2025·北京丰台·二模）函数
的定义域为 ．
跟踪训练1．（2025·上海·三模）函数
的定义域为 .
跟踪训练2．（2025·湖北恩施·模拟预测）若函数
定义域为
，则a 的取值范围是
.
考点三 对数函数的图象与性质
典例1．（2025·上海宝山·二模）已知函数
且
)的图像经过定点
，则点
的坐标为
典例2．（2025·湖南长沙·一模）已知
，且
，则函数
与
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
典例3．下列函数中，其图像与函数
的图像关于直线
对称的是
A．
B．
C．
D．
跟踪训练1．（2025·安徽合肥·三模）（多选）已知
且
，则函数
的图象一
定经过（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
跟踪训练2．已知
且
，则函数
与函数
的图象可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练3．已知函数
的图象关于直线
对称，则
（ ）
A．2
B．1
C．
D．
考点四 对数函数的单调性
典例1．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数
在
上单调递增，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．（2025·吉林·三模）若函数
（
且
）在区间
上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
典例3．（2025·四川绵阳·二模）已知定义在
上的函数
，其中
是奇函数且在
上单调递减，
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练1．（2025·河北·模拟预测）已知函数
在
上单调，则实数
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练2．函数
在
上单调递减，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练3．（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数
在区间
单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练4．（2025·山西临汾·三模）已知
，则满足
的实数m 的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点五 对数函数的值域与最值
典例1．（2025·河南·三模）函数
的定义域为 ，值域为 .
典例2．（2025·江苏泰州·二模）已知函数
的值域为R，则实数a 的取值范围为
．
跟踪训练1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数
的值域为
，则实
数
的值为 .
跟踪训练2．（2025 高三·全国·专题练习）若函数
的值域为
，求
的取值范围 ．
考点六 对数函数中奇偶性的应用
典例1．（2025·天津·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．（2025·河北·模拟预测）若
（其中
）是偶函数，则
（ ）
A．2
B．1
C．
D．
跟踪训练1．（2025·陕西宝鸡·二模）若函数
为奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．8
D．16
跟踪训练2．（2025·河北·模拟预测）已知函数
，则
是（ ）
A．偶函数，有最小值
B．偶函数，有最大值
C．奇函数，在
上单调递增
D．奇函数，在
上单调递减
考点七 对数函数值的大小比较
典例1．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．（2025·河南许昌·模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
典例3．（2025·天津武清·模拟预测）已知定义在R 上的函数
，
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练1．（2025·山东泰安·模拟预测）
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练2．（2025·天津·一模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练3．（2025·天津·二模）设
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练4．（2025·黑龙江·一模）已知函数
是偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
考点八 对数型糖水不等式的应用
典例1．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．比较大小:
与
？
跟踪训练1．设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
一、单选题
1．（2025·吉林长春·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·全国·模拟预测）集合
的真子集的个数为（ ）
A．63
B．64
C．127
D．128
3．（2025·江西·模拟预测）若
，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
4．（2025·河南·模拟预测）若
且
，则
（ ）
A．10 或
B．
C．100
D．10
5．（2025·浙江绍兴·三模）已知函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）若函数
的图象关于
对称，且
，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·广东·模拟预测）实数
满足：
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·北京·三模）已知
则下面结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2025·天津·二模）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2025·江苏南通·模拟预测）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
一、单选题
11．（2025·云南丽江·三模）已知函数
，则
的值为（ ）
A．24
B．4
C．12
D．8
12．（2025·北京东城·模拟预测）下列函数是奇函数，且函数值恒小于1 的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
13．（2025·天津南开·模拟预测）若
，
，则实数
、
、的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2025·海南·模拟预测）若
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2025·山东·模拟预测）已知
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
16．（2025·河北廊坊·模拟预测）若
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（2025·重庆·模拟预测）若
，则下列结论正确的为（ ）
A．
有最大值
B．
有最小值
C．
有最大值
D．
有最小值
18．（2025·安徽安庆·二模）若实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（2025·河北·三模）已知函数
，当
时，
，则下列结论正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
最小值为14
20．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知正数a，b 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
一、单选题
21．（2025·全国一卷·高考真题）已知
，则x，y，z 的大小关系不可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
22．（2024·北京·高考真题）已知
，
是函数
的图象上两个不同的点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
23．（2024·天津·高考真题）设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
24．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数
，若
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．1
25．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
26．（2024·全国甲卷·高考真题）已知
且
，则
．
27．（2023·北京·高考真题）已知函数
，则
．
28．（2023·全国乙卷·高考真题）设
，若函数
在
上单调递增，则a 的取
值范围是 .
