专题1.4 基本不等式及其应用（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 基本不等式及其应用】..............................................................................................................................3
【题型2 直接法求最值】..........................................................................................................................................4
【题型3 配凑法求最值】..........................................................................................................................................6
【题型4 常数代换法求最值】..................................................................................................................................7
【题型5 消元法求最值】..........................................................................................................................................8
【题型6 齐次化求最值】........................................................................................................................................10
【题型7 多次使用基本不等式求最值】................................................................................................................11
【题型8 基本不等式的恒成立、有解问题】.......................................................................................................13
【题型9 利用基本不等式解决实际问题】...........................................................................................................15
【题型10 基本不等式与其他知识交汇】..............................................................................................................17
1、基本不等式及其应用
考点要求
真题统计
考情分析
(1)了解基本不等式的推导
过程
(2)会用基本不等式解决最
值问题
(3)理解基本不等式在实际
问题中的应用
2022 年I 卷：第12 题，5 分
2023 年新高考I 卷：第22
题，12 分
2025 年北京卷：第6 题，4 分
2025 年上海卷：第8 题，5 分
基本不等式及其应用是每年高考的重
点、热点内容，从近几年的高考情况来
看，对基本不等式的考查比较稳定，考
查内容、频率、题型难度均变化不大，
应适当关注利用基本不等式大小判断、
求最值和求取值范围的问题；同时要注
意基本不等式在立体几何、平面解析几
何等内容中的运用.
知识点 基本不等式
1. 两个不等式
不等式
内容
等号成立条件
重要不等式
a2+b2≥2ab(a,b∈R)
当且仅当“a = b ”
时取“=”
基本不等式
≤(a>0,b>0)
当且仅当“a = b ”
时取“=”
叫做正数a，b 的算术平均数，叫做正数a，b 的几何平均数．
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
2．基本不等式与最值
已知x，y 都是正数，
(1)如果积xy 等于定值P，那么当x＝y 时，和x＋y 有最小值2；
(2)如果和x＋y 等于定值S，那么当x＝y 时，积xy 有最大值 S2.
温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取
等号的条件．
3．常见的求最值模型
(1)模型一：
mx + n
x ≥2√mn (m>0,n>0)
，当且仅当
x=√
n
m 时等号成立；
(2)模型二：
mx +
n
x−a=m( x−a)+
n
x−a +ma≥2√mn +ma (m>0,n>0)
，当且仅当
x−a=√
n
m 时等号成
立；
(3)模型三：
x
ax 2+bx +c
=
1
ax +b+ c
x
≤
1
2√ac +b (a>0 , c>0)
，当且仅当
x=√
c
a 时等号成立；
(4)模型四：
x(n−mx )= mx (n−mx )
m
≤1
m⋅（mx +n−mx
2
)2= n2
4 m (m>0,n>0,0<x< n
m )
，当且仅当
x= n
2m 时
等号成立.
4．利用基本不等式求最值的几种方法
(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．
(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成
和为常数
或
积为常数
的形式
“
”
“
”
.
(3)常数代换
法
：主要解决形如
已知
“
x+y=t(t 为常数),求
的最值
的问题，先将
”
转化为
，再用基本不等式求最值.
(4)消元
法
：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出
和为
“
常数
或
积为常数
的形式，最后利用基本不等式求最值
”
“
”
.
【题型1 基本不等式及其应用】
【例1】（2025·北京·高考真题）已知a>0,b>0，则（ ）
A．a
2+b
2>2ab
B．1
a + 1
b ≥1
ab
C．a+b>❑√ab
D．1
a + 1
b ≤
2
❑√ab
【解题思路】由基本不等式结合特例即可判断.
【解答过程】对于A,当a=b时，a
2+b
2=2ab，故A 错误；
对于BD，取a= 1
2 ,b= 1
4 ，此时
1
a + 1
b =2+ 4 =6<
1
1
2 × 1
4
=8= 1
ab，
1
a + 1
b =2+ 4 =6>
2
❑√
1
2 × 1
4
= 4 ❑√2=
2
❑√ab，故BD 错误；
对于C，由基本不等式可得a+b≥2❑√ab>❑√ab，故C 正确.
故选：C.
【变式1-1】（2025·陕西宝鸡·二模）设a，b∈R，则“a+b≥2
是
”
“a
2+b
2≥2
的（
”
）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解题思路】由基本不等式结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.
【解答过程】若a+b≥2，则a
2+b
2≥(a+b)
2
2
≥2成立，当且仅当a=b=1时取等，
若a
2+b
2≥2，不妨设a=b=−1，则a+b≥2不成立，
所以“a+b≥2
是
”
“a
2+b
2≥2
的充分不必要条件
”
.
故选：C.
【变式1-2】（2025·全国·三模）已知a>0，b>0，且a+b=1，则下列不等式不正确的是（ ）
A．ab≤1
4
B．a
2+b
2≥1
2
C．1
a +
1
b+1 >2
D．❑√a+ ❑√b≤1
【解题思路】根据基本不等式逐项判断ABD，消元，化简，结合不等式性质判断C.
【解答过程】因为a>0，b>0，且a+b=1，
由基本不等式可得ab≤(
a+b
2 )
2
= 1
4 （当且仅当a=b时取等号），A 正确；
由基本不等式知a+b
2
≤
❑√
a
2+b
2
2
，则1
2 ≤
❑√
a
2+b
2
2
，
即a
2+b
2≥1
2（当且仅当a=b时取等号），B 正确；
由题得1
a +
1
b+1 =
1
1−b +
1
b+1 =
2
1−b
2，
由已知0<b<1，故1−b
2∈(0,1)，所以
2
1−b
2 >2，
故1
a +
1
b+1 >2，C 正确；
由基本不等式可得
❑√a+ ❑√b
2
≤❑√
a+b
2
= ❑√
1
2，
即❑√a+ ❑√b≤❑√2（当且仅当a=b时取等号），D 错误.
故选：D.
【变式1-3】（2025·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所
示图形，在等腰直角三角形△ABC中，点O 为斜边AB 的中点，点D 为斜边AB 上异于顶点的一个动点，
设AD =a，BD =b，用该图形能证明的不等式为（ ）．
A．a+b
2
≥❑√ab(a>0,b>0)
B．2ab
a+b ≤❑√ab(a>0,b>0)
C．a+b
2
≤
❑√
a
2+b
2
2
(a>0,b>0)
D．a
2+b
2≥2❑√ab(a>0,b>0)
【解题思路】由△ABC为等腰直角三角形，得到OC = a+b
2
，OD =|OB−BD)，然后在Rt △OCD中，得
到CD 判断.
【解答过程】解：由图知：OC = 1
2 AB = a+b
2
,OD =|OB−BD)=|
a+b
2
−b)=|
a−b
2 )，
在Rt △OCD中，CD =
❑√OC
2+O D
2=
❑√
a
2+b
2
2
，
所以OC ≤CD，即a+b
2
≤
❑√
a
2+b
2
2
(a>0,b>0)，
故选：C.
【题型2 直接法求最值】
【例2】（24-25 高一上·重庆·期末）函数y =3 x + 1
x
(x>0)的最小值是（ ）
A．4
B．5
C．3 ❑√2
D．2❑√3
【解题思路】利用基本不等式即可得解.
【解答过程】因为x>0，
所以y =3 x + 1
x ≥2❑√3 x⋅1
x =2❑√3，
当且仅当3 x = 1
x ，即x =
❑√3
3 时，等号成立.
则y =3 x + 1
x
(x>0)的最小值是2❑√3.
故选：D.
【变式2-1】（24-25 高一上·广东河源·阶段练习）已知a>0，则a+ 1
a的最小值是（ ）
A．−1
B．1
C．2
D．3
【解题思路】根据基本不等式可求最小值.
【解答过程】因为a>0，所以a+ 1
a ≥2❑√a× 1
a =2，
当且仅当a= 1
a，即a=1时取等号，
所以a+ 1
a的最小值是2.
故选：C.
【变式2-2】（24-25 高二上·云南昭通·阶段练习）若x>0，则y =(1−x)(8−2
x)的最大值是（ ）
A．−2
B．0
C．1
D．2
【解题思路】将式子利用多项式乘以多项式展开，再利用基本不等式求解即可.
【解答过程】因为x>0，
所以y =(1−x)(8−2
x)=8−2
x −8 x +2
=10−(
2
x +8 x)
≤10−2❑√
2
x ×8 x
=10−8=2，
当且仅当2
x =8 x，即x = 1
2时等号成立，
所以y =(1−x)(8−2
x)的最大值为2，
故选：D.
【变式2-3】（2025·河北保定·二模）已知x，y 是非零实数，则y
2
x
2 + 9 x
2
y
2 的最小值为（ ）
A．6
B．12
C．2
D．4
【解题思路】由基本不等式即可求解.
【解答过程】y
2
x
2 + 9 x
2
y
2 ≥2❑√
y
2
x
2 × 9 x
2
y
2 =6，
当且仅当y
2
x
2 = 9 x
2
y
2 ，
即|y)= ❑√3|x)>0，等号成立，
所以y
2
x
2 + 9 x
2
y
2 的最小值为6，
故选：A.
【题型3 配凑法求最值】
【例3】（25-26 高一上·全国·课后作业）若a>1，则4 a+
1
a−1的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．无最小值
【解题思路】将式子配凑成4(a−1)+
1
a−1 + 4，然后利用基本不等式求解即可.
【解答过程】若a>1，则4 a+
1
a−1 = 4 (a−1)+
1
a−1 + 4≥2❑√4 (a−1)⋅
1
a−1 + 4 =8，
当且仅当4 (a−1)=
1
a−1，即a= 3
2时，等号成立，所以4 a+
1
a−1的最小值为8．
故选：C．
【变式3-1】（2025·辽宁·模拟预测）已知x∈(0,+∞)，则y = x + 1
2 +
1
2 x +1的最小值为（ ）
A．❑√2
B．2
C．2❑√2
D．❑√3
【解题思路】变形应用基本不等式求解即可.
【解答过程】由x∈(0,+ ∞)，得2 x +1>1，
又y = x + 1
2 +
1
2 x +1 = 2 x +1
2
+
1
2 x +1 ≥2❑√
2 x +1
2
×
1
2 x +1 = ❑√2，
当且仅当2 x +1
2
=
1
2 x +1，即x =
❑√2−1
2
时等号成立.
故选：A.
【变式3-2】（2025 高三·全国·专题练习）函数y = x (3−2 x)的最大值为（ ）
A．3
B．9
4
C．9
2
D．9
8
【解题思路】根据基本不等式可得最值.
【解答过程】当0< x< 3
2时，y = x (3−2 x)= 1
2 ⋅2 x⋅(3−2 x)≤1
2 ⋅(
2 x +3−2 x
2
)
2
= 9
8，
当且仅当2 x =3−2 x，即x = 3
4 时等号成立，
当x ≤0或x ≥3
2时，y ≤0恒成立，
综上所述y = x (3−2 x)的最大值为9
8，
故选：D.
【变式3-3】（2025·河北石家庄·一模）已知x∈(0,4)，则f (x)= 1
x + 16
4−x 的最小值为（ ）
A．49
3
B．17
2
C．19
3
D．25
4
【解题思路】利用基本不等式来求得正确答案.
【解答过程】x∈(0,4),−x∈(−4,0),4−x∈(0,4)，
f (x)= 1
x + 16
4−x = 1
4(
1
x + 16
4−x)(x + 4−x)
= 1
4(17+ 4−x
x
+ 16 x
4−x)≥1
4(17+2❑√
4−x
x
× 16 x
4−x) = 25
4 ，
当且仅当4−x
x
= 16 x
4−x , x = 4
5 时等号成立
故选：D.
【题型4 常数代换法求最值】
【例4】（2025·河南·三模）若a>0，b>0，且a+b=1，则−1
a −4
b 的最大值为（ ）
A．−9
B．−7
C．−5
D．−3
【解题思路】根据“1”的代换，结合基本不等式求出1
a + 4
b 的最小值，即可得出答案.
【解答过程】因为a>0，b>0，且a+b=1，
所以1
a + 4
b =(
1
a + 4
b)(a+b)=5+ b
a + 4 a
b ≥5+2❑√
b
a ⋅4 a
b =9，
当且仅当b
a = 4 a
b ，a>0，b>0，即a= 1
3，b= 2
3时等号成立，
所以−1
a −4
b 的最大值为−9．
故选：A.
【变式4-1】（2025·山东·模拟预测）设正实数a,b满足a+2b=1，则(a+1)
2+b
2
ab
的最小值为（ ）
A．37
2
B．17
C．8+ 4 ❑√5
D．16
【解题思路】代入a+2b=1，再由基本不等式即可求解；
【解答过程】由题意知
(a+1)
2+b
2
ab
= (a+a+2b)
2+b
2
ab
= 4 a
2+8ab+5b
2
ab
= 4 a
b + 5b
a +8≥2❑√
4 a
b ⋅5b
a +8=8+ 4 ❑√5，
当且仅当4 a
b = 5b
a ，即a=
❑√5
2 b= 4 ❑√5−5
11
时，等号成立．
因此，(a+1)
2+b
2
ab
的最小值为8+ 4 ❑√5．
故选:C.
【变式4-2】（2024·江苏宿迁·一模）若a>0,b>0,a+2b=3，则3
a + 6
b 的最小值为（ ）
A．9
B．18
C．24
D．27
【解题思路】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得最小值．
【解答过程】由a>0,b>0,a+2b=3，得3
a + 6
b = 1
3 (a+2b)( 3
a + 6
b )= 1
3 (15+ 6a
b + 6b
a )
≥1
3 (15+2❑√
6a
b ⋅6b
a )=9，当且仅当6a
b = 6b
a ，即a=1,b=1时取等号，
所以3
a + 6
b 的最小值为9.
故选：A.
【变式4-3】（2025·福建泉州·二模）若x ≥0，y ≥0，且1
x +1 +
1
2 x + 4 y =1，则3 x + 4 y的最小值为
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．8
【解题思路】分析可知，x +1≥1，2 x + 4 y >0，将代数式(x +1)+(2 x + 4 y)与1
x +1 +
1
2 x + 4 y 相乘，展
开后可求出3 x + 4 y的最小值.
【解答过程】因为x ≥0，y ≥0，则x +1≥1，2 x + 4 y ≥0，由题意可知2 x + 4 y ≠0，则2 x + 4 y >0，
3 x + 4 y =(3 x + 4 y +1)−1=[(x +1)+(2 x + 4 y))(
1
x +1 +
1
2 x + 4 y)−1
=2+
x +1
2 x + 4 y + 2 x + 4 y
x +1
−1≥2+2❑√
x +1
2 x + 4 y × 2 x + 4 y
x +1
−1=3，
当且仅当{
x +1
2 x + 4 y = 2 x + 4 y
x +1
1
x +1 +
1
2 x + 4 y =1
x ≥0, y ≥0 )
时，即当{
x =1
y =0)时，等号成立，
所以3 x + 4 y的最小值是3.
故选：B.
【题型5 消元法求最值】
【例5】（2025·陕西宝鸡·二模）已知正数x , y满足x + 1
y =1，则1
x +2 y的最小值是（ ）
A．2+2❑√2
B．6
C．4 ❑√2
D．3+2❑√2
【解题思路】利用“1”的妙用和代入消元思想，借助于基本不等式即可求得所求式的最小值.
【解答过程】由x + 1
y =1可得xy = y −1，因x>0, y >0，则y >1，
于是
1
x +2 y =
x + 1
y
x
+2 y =1+ 1
xy +2 y =1+
1
y −1 +2 y =3+
1
y −1 +2( y −1)
¿
¿
，
因
1
y −1 +2( y −1)≥2❑√
1
y −1 ⋅2( y −1)=2❑√2，当且仅当
1
y −1 =2( y −1)时等号成立，
即y =1+
❑√2
2 ，x = ❑√2−1时，1
x +2 y的最小值为3+2❑√2.
故选：D.
【变式5-1】（2024·山西·三模）已知正实数x，y 满足x
2+3 xy −2=0，则2 x + y的最小值为（ ）
A．2❑√10
3
B．
❑√10
3
C．2
3
D．1
3
【解题思路】根据题意分析可知2 x + y = 5 x
3 + 2
3 x ，利用基本不等式运算求解.
【解答过程】因为正实数x，y 满足x
2+3 xy −2=0，则y = 2
3 x −x
3 ，
则2 x + y =2 x + 2
3 x −x
3 = 5 x
3 + 2
3 x ≥2❑√
5 x
3 ⋅2
3 x = 2❑√10
3
，
当且仅当5 x
3 = 2
3 x ，即x =
❑√10
5
, y = 4 ❑√10
15
时，等号成立，
所以2 x + y的最小值为2❑√10
3
.
故选：A.
【变式5-2】（2025·河北沧州·模拟预测）已知正实数m，n满足mn=2，则1
m + 2
n +
9
2m+n的最小值为
（ ）
A．2❑√2
B．3
C．3 ❑√2
D．4
【解题思路】利用基本不等式可得最值.
【解答过程】根据题意，mn=2，可得n= 2
m，
则
1
m + 2
n +
9
2m+n = 1
m +m+
9
2m+ 2
m
，
设1
m +m=t，则t ≥2，原式为t + 9
2t ≥2❑√t × 9
2t =3 ❑√2，
当且仅当t = 3 ❑√2
2
时等号成立，
故选：C.
【变式5-3】（2025·河南·模拟预测）设正实数a，b，c 满足2c
2−bc +2b
2−1
a =0，则当abc取得最大值
时，1
c + 5
b −6a的最大值为（ ）
A．4
B．9
2
C．5
D．11
2
【解题思路】由题意得a=
1
2c
2−bc+2b
2，从而利用基本不等式求得abc =
1
2c
b −1+ 2b
c
的最大值及成立的
条件，从而1
c + 5
b −6a化为1
b + 5
b −6
3b
2，最后利用二次函数性质求解即可.
【解答过程】依题意，由2c
2−bc+2b
2−1
a =0，得a=
1
2c
2−bc +2b
2，
所以
abc =
bc
2c
2−bc +2b
2 =
1
2c
b −1+ 2b
c
≤
1
2×2❑√
c
b ⋅b
c −1
= 1
3，
当且仅当c
b = b
c ，即b=c时等号成立，
则代入2c
2−bc+2b
2−1
a =0中，得2b
2− b⋅b+2b
2−1
a =0，所以a= 1
3b
2，
因此1
c + 5
b −6a= 1
b + 5
b −6
3b
2 =−2(
1
b)
2
+ 6
b =−2(
1
b −3
2)
2
+ 9
2 ≤9
2，
当且仅当b= 2
3时取等号，所以当a= 3
4 ，b= 2
3，c = 2
3，时，1
c + 5
b −6a取得最大值9
2.
故选：B.
【题型6 齐次化求最值】
【例6】（24-25 高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数x , y满足x +2 y =1，则x
2+ y
xy
的最小值为（ ）
A．1
2❑√2
B．2❑√2
C．
1
2❑√2+1
D．2❑√2+1
【解题思路】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果.
【解答过程】x
2+ y
xy
= x
2+ y( x +2 y)
xy
= x
2+ xy +2 y
2
xy
= x
y + 2 y
x +1，因为x>0, y >0，故x
y >0, 2 y
x >0，
则x
y + 2 y
x +1≥2❑√
x
y × 2 y
x +1=2❑√2+1，当且仅当x
y = 2 y
x , x +2 y =1，也即x = ❑√2−1, y =1−
❑√2
2 取得
等号，
故x
2+ y
xy
的最小值为2❑√2+1.
故选：D.
【变式6-1】（2024·江西新余·二模）已知x，y 为正实数，且x + y =2，则x +6 y +6
xy
的最小值为（ ）
A．12
B．3+2❑√2
C．25
2
D．6 ❑√2−3
2
【解题思路】借助“1”的活用将分式其次化后结合基本不等式计算即可得.
【解答过程】由x + y =2，则x +6 y +6
xy
= 2 x +12 y +12
2 xy
= (x + y) x +6(x + y) y +3(x + y)
2
2 xy
= 4 x
2+9 y
2+13 xy
2 xy
= 2 x
y + 9 y
2 x + 13
2 ≥2❑√
2 x
y ⋅9 y
2 x + 13
2 = 25
2 ，
当且仅当2 x
y = 9 y
2 x ，即x = 6
5，y = 4
5 时，等号成立.
故选：C.
【变式6-2】（24-25 高一上·安徽芜湖·期末）已知x ≥3
2，则2 x
2+3 x +1
x−1
的最小值为（ ）
A．7+6 ❑√3
B．6+6 ❑√3
C．7+ 4 ❑√3
D．6+ 4 ❑√3
【解题思路】先变形已知2 x
2+3 x +1
x−1
=2(x−1)+
6
x−1 +7，再利用基本不等式求最值.
【解答过程】2 x
2+3 x +1
x−1
= 2(x−1)
2+7(x−1)+6
x−1
=2(x−1)+
6
x−1 +7，
∵x ≥3
2 ，∴x−1≥1
2，
∴2(x−1)+
6
x−1 +7≥7+2❑√2(x−1)×
6
x−1 =7+ 4 ❑√3，
当且仅当2(x−1)=
6
x−1，即x = ❑√3+1时，等号成立，
故2 x
2+3 x +1
x−1
的最小值为7+ 4 ❑√3.
故选：C.
【变式6-3】（24-25 高三上·山西·期末）已知正实数x，y 满足x +2 y =3，则x
2+3 y
xy
的最小值为（ ）
A．2❑√2+1
B．4
C．4 ❑√2+1
D．6
【解题思路】由条件可得x
2+3 y
xy
= x
y + 2 y
x +1，再利用基本不等式求其最小值即可.
【解答过程】由题意知x
2+3 y
xy
= x
2+(x +2 y) y
xy
= x
2+ xy +2 y
2
xy
= x
y + 2 y
x +1≥2❑√2+1，
当且仅当x +2 y =3，且x
y = 2 y
x ，即x = 3 ❑√2
2+ ❑√2，y =
3
2+ ❑√2时等号成立，
即x
2+3 y
xy
的最小值为2❑√2+1.
故选:A.
【题型7 多次使用基本不等式求最值】
【例7】（2025·天津红桥·一模）已知a>0,b>0，则1
a + a
4 b
2 +b的最小值为（ ）
A．4 ❑√2
B．2❑√2
C．4
D．2
【解题思路】利用基本不等式即得.
【解答过程】因为a>0,b>0，
所以1
a + a
4 b
2 +b≥2❑√
1
a ⋅a
4 b
2 +b=b+ 1
b ≥2❑√b⋅1
b =2，
当且仅当1
a = a
4 b
2，且b= 1
b，即a=2,b=1时，取等号，
所以1
a + a
4 b
2 +b的最小值为2.
故选：D.
【变式7-1】（2025·河南·模拟预测）已知正实数a，b，满足a+b≥9
2a + 2
b，则a+b的最小值为（ ）
A．5
B．5
2
C．5 ❑√2
D．5 ❑√2
2
【解题思路】先根据基本不等式求出(
9
2a + 2
b)(a+b)≥25
2 .然后即可根据不等式的性质得出
(a+b)
2≥(
9
2a + 2
b)(a+b)≥25
2 ，列出两个等号同时成立的条件，即可得出答案.
【解答过程】由已知可得，a>0，b>0，a+b>0.
因为(
9
2a + 2
b)(a+b)= 9
2 +2+ 9b
2a + 2a
b ≥2❑√
9b
2a × 2a
b + 13
2 =6+ 13
2 = 25
2 ，
当且仅当9b
2a = 2a
b ，即2a=3b时等号成立.
所以，(a+b)
2≥(
9
2a + 2
b)(a+b)≥25
2 ，
当且仅当{
2a=3b
a+b= 9
2a + 2
b)
，即{
a= 3 ❑√2
2
b= ❑√2 )
时，两个等号同时成立.
所以，a+b≥3 ❑√2
2
+ ❑√2= 5 ❑√2
2
.
故选：D.
【变式7-2】（2025·全国·模拟预测）已知a为非零实数，b，c均为正实数，则a
2b+a
2c
4 a
4+b
2+c
2的最大值为
（ ）
A．1
2
B．
❑√2
4
C．
❑√2
2
D．
❑√3
4
【解题思路】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.
【解答过程】因为a为非零实数，a
2>0，b，c均为正实数，
则
a
2b+a
2c
4 a
4+b
2+c
2 =
b+c
4 a
2+ b
2+c
2
a
2
≤
b+c
2❑√
4 a
2× b
2+c
2
a
2
=
b+c
4
❑√b
2+c
2
= 1
4
❑√
b
2+2bc+c
2
b
2+c
2
= 1
4
❑√
1+ 2bc
b
2+c
2 ≤1
4
❑√1+ 2bc
2bc =
❑√2
4
，
当且仅当4 a
2= b
2+c
2
a
2
且b=c，即❑√2a
2=b=c时取等号，
则a
2b+a
2c
4 a
4+b
2+c
2的最大值为
❑√2
4 ．
故选：B．
【变式7-3】（2024·四川德阳·模拟预测）已知x>−1，y >0，z>0，2 x +3 y + z =2，则1
x +1 + 1
y + 3
z 的最
小值为（ ）
A．7
2 + ❑√6
B．7+ ❑√6
2
C．5+ ❑√6
2
D．5
2 + ❑√6
【解题思路】结合条件可得4(
1
x +1 + 1
y + 3
z)=[2(x +1)+3 y + z)(
1
x +1 + 1
y + 3
z)，展开等式右侧，结合基
本不等式求其最小值即可.
【解答过程】因为2 x +3 y + z =2，所以2(x +1)+3 y + z = 4，
所以4(
1
x +1 + 1
y + 3
z)=[2(x +1)+3 y + z)(
1
x +1 + 1
y + 3
z)
所以4(
1
x +1 + 1
y + 3
z)=2+ 2(x +1)
y
+ 6(x +1)
z
+ 3 y
x +1 +3+ 9 y
z +
z
x +1 + z
y +3，
又2(x +1)
y
+ 3 y
x +1 ≥2❑√6，当且仅当x +1=
❑√6
2 y时等号成立，
6(x +1)
z
+
z
x +1 ≥2❑√6，当且仅当x +1=
❑√6
6 z时等号成立，
9 y
z + z
y ≥2❑√9=6，当且仅当z =3 y时等号成立，
所以4(
1
x +1 + 1
y + 3
z)=14+ 4 ❑√6，当且仅当x = 2❑√6−7
5
，y = 12−2❑√6
15
，z = 12−2❑√6
5
时等号成立，
所以1
x +1 + 1
y + 3
z 的最小值为7
2 + ❑√6，
故选：A.
【题型8 基本不等式的恒成立、有解问题】
【例8】（2025·吉林延边·一模）已知正实数x，y满足x + y −1
2 xy =0，且不等式x + y −a>0恒成立，则a
的取值范围是（ ）
A．a<2
B．a<8
C．a<6
D．a<4
【解题思路】对题目等式变形得1
x + 1
y = 1
2，再利用乘“1”法即可得到答案.
【解答过程】因为正实数x,y满足x + y −1
2 xy =0，所以1
x + 1
y = 1
2，
则：x + y =2( x + y)(
1
x + 1
y)=2(2+ x
y + y
x)≥8，
当且仅当x = y = 4时取等号，因为不等式x + y −a>0恒成立，所以a<8．
故选：B．
【变式8-1】（2024·浙江宁波·一模）不等式(x
2−ax−1)(x−b)≥0对任意x>0恒成立，则a
2+b
2的最小值
为（ ）
A．2❑√2−2
B．2
C．2❑√2
D．2❑√2+2
【解题思路】先由题意得到x =b是x
2−ax−1=0的一个根，从而得到a,b之间的关系式为a=b−1
b ，消元
并利用均值不等式求解即可.
【解答过程】由题意可得，需满足x =b是x
2−ax−1=0的一个根，
即b
2−ab−1=0，且b>0，所以a=b−1
b，
a
2+b
2=(b−1
b)
2
+b
2=2b
2+ 1
b
2 −2≥2❑√2−2，
当且仅当2b
2= 1
b
2，即b=
4√
1
2时取等号.
所以a
2+b
2的最小值为2❑√2−2.
故选：A.
【变式8-2】（24-25 高一上·安徽池州·期中）已知x>0, y >0，且x + y =5，若4
x +1 +
1
y +2 ≥2m+1恒成
立，则实数m的取值范围是（ ）
A．(−∞, 1
16)
B．(−∞, 2
5)
C．(−∞, 1
2)
D．(−∞,4)
【解题思路】由已知条件得出(x +1)+( y +2)=8，将代数式4
x +1 +
1
y +2与1
8 [(x +1)+( y +2))相乘，展开后
利用基本不等式求出4
x +1 +
1
y +2的最小值，根据题意可得出关于m的不等式，解之即可.
【解答过程】因为x>0，y >0，且x + y =5，则x +1+ y +2=8，
则
( y +2)
x +1 >0, x +1
y +2 >0，
所以4
x +1 +
1
y +2 = 1
8(
4
x +1 +
1
y +2)[(x +1)+( y +2))= 1
8[5+ 4 ( y +2)
x +1
+ x +1
y +2)
≥1
8(5+2
❑√
4 ( y +2)
x +1
⋅x +1
y +2)= 9
8
，
当且仅当{
4 ( y +2)
x +1
= x +1
y +2
(x +1)+( y +2)=8
x>0, y >0 )
时，
即当x = 13
3 ，y = 2
3时，所以4
x +1 +
1
y +2的最小值为9
8，
因为4
x +1 +
1
y +2 ≥2m+1恒成立，所以2m+1≤9
8，解得m≤1
16，
所以实数m的取值范围是(−∞, 1
16).
故选：A.
【变式8-3】（24-25 高三上·浙江宁波·期末）设实数x , y满足x> 3
2，y >3，不等式
k (2 x−3)( y −3)≤8 x
3+ y
3−12 x
2−3 y
2恒成立，则实数k的最大值为（ ）
A．12
B．24
C．2❑√3
D．4 ❑√3
【解题思路】原不等式可转化为4 x
2
y −3 +
y
2
2 x−3 ≥k，利用均值不等式求4 x
2
y −3 +
y
2
2 x−3最小值即可.
【解答过程】由x> 3
2，y >3变形可得2 x−3>0，y −3>0，
令a=2 x−3>0，b= y −3>0，
则k (2 x−3)( y −3)≤8 x
3+ y
3−12 x
2−3 y
2转化为k ≤8 x
3+ y
3−12 x
2−3 y
2
(2 x−3)( y −3)
，即4 x
2
y −3 +
y
2
2 x−3 ≥k，
其中4 x
2
y −3 +
y
2
2 x−3 = (a+3)
2
b
+ (b+3)
2
a
≥(2❑√3a)
2
b
+ (2❑√3b)
2
a
=12(
a
b + b
a)≥24 ❑√
a
b ⋅b
a =24，
当且仅当{
a=3
b=3
b
a = a
b)
，即x =3，y =6时取等号，
所以不等式4 x
2
y −3 +
y
2
2 x−3 ≥k恒成立，只需k ≤24，
故选：B.
【题型9 利用基本不等式解决实际问题】
【例9】（2025·江西·模拟预测）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某
类昆虫在水平方向上速度为v（单位：米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）满足v
2=
4 H
1−H v
2，则该类昆
虫的最大跳跃高度为（ ）
A．0.25 米
B．0.5 米
C．0.75 米
D．1 米
【解题思路】求出H =
v
2
v
4+ 4
，利用基本不等式可得答案.
【解答过程】由v
2=
4 H
1−H v
2可知v
2−H v
4= 4 H，且v >0，
故H =
v
2
v
4+ 4
≤
v
2
2
❑√4 v
4 = 1
4 ，
当且仅当v
2=2即v = ❑√2时等号成立，即该类昆虫的最大跳跃高度为0.25 米.
故选：A.
【变式9-1】（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g 的砝码
放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g 的砝码放在天平右盘中，再取
出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（ ）
A．等于200g
B．大于200g
C．小于200g
D．以上都有可能
【解题思路】用平衡条件得出x的表达式，结合基本不等式可得答案.
【解答过程】设天平左臂长为m，右臂长为n，m,n>0且m≠n，左盘放的药品为x1克，右盘放的药品为x2
克，
则{
100m=n x2
m x1=100n)，解得x1= 100n
m
, x2= 100m
n
，
x = x1+ x2= 100n
m
+ 100m
n
≥2❑√
100n
m
⋅100m
n
=200，
当且仅当m=n时，取到等号，而m≠n，所以x>200.
故选：B.
【变式9-2】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的
单价分别为m 元和n 元(m≠n)，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100 元的该商品，乙每周
购买20 件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为a1,a2，则（ ）
A．a1=a2
B．a1<a2
C．a1>a2
D．a1,a2的大小无法确定
【解题思路】由题意求出a1,a2的表达式，利用基本不等式，比较大小，即得答案.
【解答过程】由题意得a1=
200
100
m + 100
n
= 2mn
m+n，a2= 20(m+n)
40
= m+n
2
，
因为m>0,n>0,m≠n，故m+n
2
>❑√mn，2mn
m+n < 2mn
2❑√mn = ❑√mn，
即a1<a2，
故选：B.
【变式9-3】（2024·贵州遵义·模拟预测）如图所示的
大方图
称为赵爽弦图，它是由中国数学家赵爽于
“
”
公元3 世纪在给《周髀算经》
勾股网方图
作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽
负薪余日，聊
“
”
“
观《周》
一书之中
”
.他用数学符号语言将其表示为
若直角三角形两直角边为
“
a，b斜边为c（a、b、c均
为正数）.则(a+b)
2= 4 ab+(b−a)
2，(a+b)
2=2c
2−(b−a)
2”.某同学读到此书中的
赵爽弦图
时，出于
“
”
好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长6cm的软钢丝作为a+b的长度（制作其它边长的软钢丝足够
用），请你给他算一算，他能制作出来的
赵爽弦图
的最小面积为（
“
”
）
A．9
B．18
C．27
D．36
【解题思路】根据题意可得a+b=6,a>0,b>0，结合基本不等式即可得a
2+b
2的最小值.
【解答过程】由题可知a+b=6,a>0,b>0，
则a+b≥2❑√ab，即6≥2❑√ab，所以ab≤9，当且仅当a=b=3时，等号成立
又
赵爽弦图
的面积为
“
”
a
2+b
2=(a+b)
2−2ab=36−2ab≥36−2×9=18，
所以当a=b=3时，
赵爽弦图
的最小面积为
“
”
18.
故选：B.
【题型10 基本不等式与其他知识交汇】
【例10】（24-25 高二上·上海松江·期中）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个
圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已知一木制陀螺模型内接于一表面积为16πcm
2的球，其中圆柱的两个
底面为球的两个截面，圆锥的顶点S在该球的球面上.
(1)若圆柱的高为2cm，求该陀螺的体积及表面积；
(2)规定陀螺圆锥的顶点S 到圆柱中离它远的底面DC距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大.此时
陀螺的高是多少呢？
【解题思路】（1）根据题意求得外接球半径R =2 cm，进而可求得底面半径r = ❑√3，再应用圆锥、圆柱体
积、表面积公式求结果；
（2）令圆柱的高为ℎ cm，有陀螺的高为2+ ℎ
2 cm，应用圆柱体体积公式、基本不等式求侧面积最大值，
确定取值条件，即可得结果.
【解答过程】（1）令陀螺外接球半径为R，则4π R
2=16π，可得R =2 cm，
由题意，圆柱的矩形轴截面对角线长为2 R = 4 cm，又圆柱的高为2cm，
所以圆柱底面直径2r =2❑√4−1=2❑√3，则底面半径r = ❑√3，
综上，圆锥的高为R−1=1 cm，母线长为❑√3+1=2 cm，
所以陀螺的体积为2×3π+ 1
3 ×3π×1=7π cm
3，
陀螺表面积为2×2❑√3π+3π+ 1
2 ×2❑√3π×2=(6 ❑√3+3)π cm
2.
（2）令圆柱的高为ℎ cm，由（1）知陀螺外接球半径R =2 cm，
所以圆柱底面直径为2r =
❑√16−ℎ
2 cm，圆锥的高为R−ℎ
2 =2−ℎ
2 cm，
所以陀螺的高为2−ℎ
2 +ℎ=2+ ℎ
2 cm，
由圆柱体侧面积S =2πrℎ=π
❑√ℎ
2(16−ℎ
2)≤π× ℎ
2+16−ℎ
2
2
=8π cm
2，
当且仅当ℎ=2❑√2 cm时取等号，
所以陀螺的高是(2+ ❑√2)cm时，圆柱体侧面积最大.
【变式10-1】（2024·广东珠海·一模）已知A、B、C是ΔABC的内角，a、b、c分别是其对边长，向量⃑
m=(a+b,c)，⃑n=(sin B−sin A ,sinC −sin B)，且⃑m⊥⃑n.
（1）求角A的大小；
（2）若a=2，求ΔABC面积的最大值.
【解题思路】（1）由⃑m⊥⃑n得出(a+b)(sin B−sin A)+c (sinC −sin B)=0，利用正弦定理边角互化思想
以及余弦定理可得出cos A的值，结合角A的取值范围可得出角A的大小；
（2）利用余弦定理结合基本不等式可求出bc的最大值，再利用三角形的面积公式可得出答案.
【解答过程】（1）∵⃑m=(a+b,c)，⃑n=(sin B−sin A ,sinC −sin B)，⃑m⊥⃑n，
∴(a+b)(sin B−sin A)+c (sinC −sin B)=0，
由正弦定理得(b+a)(b−a)+c (c−b)=0，整理得b
2+c
2−a
2=bc，
∴cos A = b
2+c
2−a
2
2bc
= 1
2，
∵0< A <π，∴A = π
3 ；
（2）在ΔABC中，A = π
3 ，a=2，
由余弦定理知a
2= 4 =b
2+c
2−2bc cos A =b
2+c
2−bc，
由基本不等式得4 +bc =b
2+c
2≥2bc，当且仅当b=c时等号成立，∴bc≤4，
∴S ΔABC = 1
2 bc sin A ≤1
2 ×4×
❑√3
2 = ❑√3，因此，ΔABC面积的最大值为❑√3.
【变式10-2】（2025 高三·全国·专题练习）F1 , F2分别是椭圆于x
2
4 + y
2=1的左、右焦点.
(1)若Р 是该椭圆上的一个动点，求⃗P F1⋅⃗P F2的取值范围；
(2)设A (2,0),B (0,1)是它的两个顶点，直线y =kx(k ≥0)与AB 相交于点D，与椭圆相交于E、F 两点.求四
边形AEBF 面积的最大值.
【解题思路】（1）由题意可知F1、F2的坐标，设P( x , y)，表示出⃗P F1，⃗P F2，代入向量的数量积可得⃗
P F1⋅⃗P F2= 1
4 (3 x
2−8)，由二次函数的性质计算可得.
（2）设E( x1,k x1)，F( x2,k x2)，联立直线与椭圆方程消去y整理可得(1+ 4 k
2)x
2= 4，解方程可求x1，
x2，根据点到直线的距离公式可求，点E，F到直线AB的距离ℎ1，ℎ2，代入四边形AEBF的面积为
S = 1
2 | AB|(ℎ1+ℎ2)，结合基本不等式可求面积的最大值.
【解答过程】（1）解：由题意可知a=2，b=1，
∵c =
❑√a
2−b
2= ❑√3
∴F1(−❑√3,0)，F2(❑√3,0)，设P( x , y)，
∴⃗P F1=(−❑√3−x ,−y)，⃗P F2=(❑√3−x ,−y)，
∴⃗P F1⋅⃗P F2=(−❑√3−x ,−y )⋅(❑√3−x ,−y )= x
2+ y
2−3
= x
2+1−x
2
4 −3= 1
4 (3 x
2−8)
由椭圆的性质可知，−2≤x ≤2，
∴0≤x
2≤4，
∴ −2≤3 x
2−8
4
≤1，故−2≤⃗P F1⋅⃗P F2≤1，即⃗P F1⋅⃗P F2∈[−2,1).
（2）解：设E( x1,k x1)，F( x2,k x2)，联立{
y =kx
x
2
4 + y
2=1)
消去y整理可得(1+ 4 k
2)x
2= 4，
∴ x1=−
2
❑√4 k
2+1
，x2=
2
❑√4 k
2+1
，
∵A(2,0)，B(0,1)，
∴直线AB的方程为：x +2 y −2=0，
根据点到直线的距离公式可知，点E，F到直线AB的距离分别为
ℎ1=| x1+2k x1−2|
❑√5
= 2(1+2k +
❑√1+ 4 k
2)
❑√5(1+ 4 k
2)
，
ℎ2=| x2+2k x2−2|
❑√5
= 2(1+2k −
❑√1+ 4 k
2)
❑√5(1+ 4 k
2)
，
∴ ℎ1+ℎ2= 4(1+2k )
❑√5(1+ 4 k
2)
，
∴| AB|=
❑√2
2+1= ❑√5，
∴四边形AEBF的面积为S = 1
2 | AB|(ℎ1+ℎ2)= 1
2 ×❑√5× 4(1+2k )
❑√5(1+ 4 k
2)
= 2(1+2k )
❑√1+ 4 k
2 = 2❑√
1+ 4 k + 4 k
2
1+ 4 k
2
=2❑
√
1+
4
4 k + 1
k
⩽2❑√2，当且仅当4 k = 1
k 即k = 1
2时，上式取等号，
所以S的最大值为2❑√2.
【变式10-3】（24-25 高一下·江苏无锡·阶段练习）在△ABC中，a=c cos B+ 1
2 b.
(1)若a+b=8，△ABC的面积为3 ❑√3，求c；
(2)若c = 4，
求
①
a+b+c
sin A +sin B+sinC 的值：
求
②
△ABC面积的最大值；
求
③
△ABC周长的取值范围.
【解题思路】（1）应用余弦边角关系可得a
2+b
2−c
2=ab，应用余弦定理有cosC = 1
2，进而有sinC =
❑√3
2
，再由面积公式得ab=12，结合已知即可求边长；
（2）
应用正弦定理有
①
a
sin A =
b
sin B =
c
sinC = 8
❑√3，结合合比性质即可得；
应用基本不等式求
②③
ab,a+b的范围，即可得面积最值和周长范围.
【解答过程】（1）由题设及余弦边角关系有a=c× a
2+c
2−b
2
2ac
+ 1
2 b= a
2+c
2−b
2
2a
+ b
2
，
所以a
2+b
2−c
2=ab，则c
2=(a+b)
2−3ab，且cosC = a
2+b
2−c
2
2ab
= 1
2，
在三角形中有sinC =
❑√3
2 ，又1
2 absinC =3 ❑√3，可得ab=12，
结合a+b=8，则c =
❑√8
2−3×12=2❑√7；
（2）
由（
①
1）有sinC =
❑√3
2 ，则
a
sin A =
b
sin B =
c
sinC = 8
❑√3，所以
a+b+c
sin A +sin B+sinC = 8 ❑√3
3
；
由
②
c
2=a
2+b
2−ab=16≥ab，当且仅当a=b= 4时取等号，
所以S△ABC = 1
2 absinC =
❑√3
4 ab≤4 ❑√3，即△ABC面积最大值为4 ❑√3；
由
③
c
2=(a+b)
2−3ab=16≥(a+b)
2
4
，则c = 4<a+b≤8，
当且仅当a=b= 4时取等号，所以△ABC周长a+b+c∈(8,12].
一、单选题
1．（2025·安徽·三模）“|xy)≥1
是
”
“ x
2
4 + y
2≥1
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据基本不等式和充分条件和必要条件证明过程,求结果.
【解答过程】|xy)≥1时，结合基本不等式，x
2
4 + y
2≥|xy)≥1，充分性成立；
当x =0，y =2时，满足x
2
4 + y
2≥1，但此时|xy)=0，必要性不成立，
所以“|xy)≥1
是
”
“ x
2
4 + y
2≥1
的充分不必要条件
”
.
故选:A.
2．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）已知x∈(0,+∞)，则y =2 x +
4
2 x +1的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．3 ❑√2
D．6
【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值.
【解答过程】由x∈(0,+∞)，得2 x +1>1，
y =2 x +
4
2 x +1 =2 x +1+
4
2 x +1 −1≥2❑√(2 x +1)⋅
4
2 x +1 −1=3，
当且仅当2 x +1=
4
2 x +1，即x = 1
2时取等号，
所以y =2 x +
4
2 x +1的最小值为3.
故选：A.
3．（2025·河南信阳·模拟预测）已知a+b=1(ab>0)，则1
a + 1
b 的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．9
4
【解题思路】利用“1”的代换结合基本不等式求解即可.
【解答过程】因为a+b=1(ab>0),
所以(
1
a + 1
b)(a+b)=2+ b
a + a
b ≥2+2❑√
b
a ⋅a
b = 4.其中b
a , a
b 均正数.
当且仅当b
a = a
b，即a=b= 1
2时取等号.
故选：C.
4．（2025·重庆·三模）已知x
2+ y
2=2 x
2 y
2(xy ≠0)，则2−x
2−9 y
2的最大值为（ ）
A．6
B．-6
C．8
D．-8
【解题思路】本题主要考查代数最值的求解方法，涉及代数式的变形、均值不等式应用.
【解答过程】由x
2+ y
2=2 x
2 y
2(xy ≠0)，两边除以x
2 y
2，得：1
y
2 + 1
x
2 =2，目标为求2−x
2−9 y
2的最大
值，
2−x
2−9 y
2=2−(x
2+9 y
2)的最大值，即求x
2+9 y
2的最小值，
将x
2+9 y
2结合1
x
2 + 1
y
2 =2变形为：(x
2+9 y
2)⋅
1
x
2 + 1
y
2
2
展开计算：
(x
2+9 y
2)⋅
1
x
2 + 1
y
2
2
= 1
2(x
2⋅1
x
2 + x
2⋅1
y
2 +9 y
2⋅1
x
2 +9 y
2⋅1
y
2)= 1
2(10+ x
2
y
2 + 9 y
2
x
2 )
，
由均值不等式a+b≥2❑√ab(a,b>0)，令a= x
2
y
2 ,b= 9 y
2
x
2 ，
则：x
2
y
2 + 9 y
2
x
2 ≥2❑√
x
2
y
2 ⋅9 y
2
x
2 =6，因此：x
2+9 y
2≥1
2
(10+6)=8(当且仅当x
2
y
2 = 9 y
2
x
2 即x
2=3 y
2时取等号).
目标式最大值：2−x
2−9 y
2=2−(x
2+9 y
2)≤2−8=−6.
故选：B.
5．（2025·广东揭阳·三模）
物竞天择，适者生存
是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过
“
”
向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的
跳跃高度H（单位：米）近似满足v
2=
4 H
1−H v
2的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（ ）
A．0.2米
B．0.25米
C．0.45米
D．0.7米
【解题思路】利用基本不等式可求昆虫的最大跳跃高度.
【解答过程】由v
2=
4 H
1−H v
2可知v
2−H v
4= 4 H，故H =
v
2
v
4+ 4
≤
v
2
2
❑√4 v
4 = 1
4 ，
当且仅当v
2=2时，等号成立.于是该类昆虫的最大跳跃高度为0.25 米.
故选：B.
6．（2025·山东济宁·模拟预测）已知x>0，y >0，且xy +2 y
2−36=0，则x y
2的最大值（ ）
A．12
B．6 ❑√6
C．36
D．24 ❑√6
【解题思路】由条件xy +2 y
2−36=0得x = 36
y −2 y，代入x y
2再运用均值不等式即可求出x y
2的最大值.
【解答过程】由xy +2 y
2−36=0，得y (x +2 y)=36，则x = 36
y −2 y，
因为x>0，y >0，所以x y
2= y
2(
36
y −2 y)= y (36−2 y
2)=
❑√y
2(36−2 y
2)(36−2 y
2)
= ❑√
1
4 ×4 y
2(36−2 y
2)(36−2 y
2)≤1
2 ×
❑√(
4 y
2+(36−2 y
2)+(36−2 y
2)
3
)
3
=24 ❑√6
当且仅当y = ❑√6，x = 4 ❑√6时等号成立，
所以x y
2的最大值为24 ❑√6，
故选：D.
7．（2025·广东汕头·模拟预测）已知a>0，b>0，a+ 1
b =1，则1
a +b的最小值是（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【解题思路】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【解答过程】因为a>0，b>0，a+ 1
b =1，
所以1
a +b=(
1
a +b)(a+ 1
b)=2+ 1
ab +ab≥2+2❑√
1
ab ⋅ab= 4，
当且仅当1
ab =ab，即a= 1
2，b=2时取等号.
故选：C.
8．（2025·陕西咸阳·模拟预测）记max {a,b}表示实数a，b 中的较大的数，已知x，y，z 均为正数，则
max {x , 1
y }+max { y , 3
z }+ max {z , 5
x }的最小值为（ ）
A．2❑√2
B．3
C．4 ❑√2
D．6
【解题思路】本题分两种情况讨论，当z≥5
x 和z< 5
x 时的两种情况，然后根据基本不等式的性质求出最小
值.
【解答过程】设t =max{x , 1
y)+max{y , 3
z)+max{z , 5
x)，
当z≥5
x 时，t ≥x + 3
z + z≥5
z + 3
z + z，
因为x , y , z均为正数，所以
t ≥x + 3
z + z≥5
z + 3
z + z = 8
z + z≥2❑√
8
z ⋅z = 4 ❑√2，
当且仅当x =
5
2❑√2，2❑√2
5
≤y ≤
3
2❑√2，z =2❑√2时，等式成立；
当z< 5
x 时，t ≥x + 3
z + 5
x ≥x + 3 x
5 + 5
x = 8 x
5 + 5
x ≥2❑√
8
5 x⋅5
x = 4 ❑√2，
当且仅当x =
5
2❑√2，2❑√2
5
≤y ≤
3
2❑√2，z =2❑√2时，等式成立.
综上可知，t 的最小值为4 ❑√2.
故选：C.
二、多选题
9．（2025·湖北恩施·模拟预测）若正实数a,b满足2a+b=1，则下列结论正确的是（ ）
A．2ab的最大值为1
4
B．a
2+b
2的最小值为1
4
C．❑√2a+ ❑√b的最大值为❑√2
D．2
a + 1
b 的最小值为9
【解题思路】利用基本不等式进行求解.
【解答过程】因为正实数a,b满足2a+b=1，
对A 选项：2ab≤(2a+b)
2
4
= 1
4
，当且仅当2a=b= 1
2时等号成立，故A 正确；
对B 选项：b=1−2a，a
2+b
2=a
2+(1−2a)
2=5a
2−4 a+1=5(a−2
5)
2
+ 1
5 ≥1
5，当a= 2
5 ,b= 1
5时等号成
立，故B 错误；
对C 选项：由1=2a+b≥(❑√2a+ ❑√b)
2
2
，则❑√2a+ ❑√b≤❑√2，当且仅当2a=b= 1
2时等号成立，故C 正确；
对D 选项：(
2
a + 1
b)(2a+b)=5+ 2b
a + 2a
b ≥5+2❑√
2b
a ⋅2a
b ≥9，当且仅当a=b= 1
3时，等号成立，故D
正确.
故选：ACD.
10．（2025·福建漳州·模拟预测）已知正实数x，y 满足x +2 y =1，则（ ）
A．xy ≤1
8
B．x
2+ y ≥1
2
C．1
x + 1
y ≥3+2❑√2
D．x +
1
1−2 y ≥2
【解题思路】对于A，由基本不等式建立不等式，可得其正误；对于B，由等量关系可得函数解析式，根
据二次函数的性质，可得其正误；对于C，利用基本不等式隐藏“1”的妙用，可得其正误；对于D，由等
量关系可得函数解析式，利用基本不等式，可得其正误.
【解答过程】对于A，x +2 y =1≥2❑√2 xy，当且仅当x =2 y = 1
2，等号成立，则xy ≤1
8，故A 正确；
对于B，由x +2 y =1，则y =−1
2 x + 1
2，由x>0, y >0，则0< x<1，
所以x
2+ y = x
2−1
2 x + 1
2 =(x−1
4)
2
+ 7
16 ≥7
16 ，故B 错误；
对于C，1
x + 1
y =(
1
x + 1
y)(x +2 y)=3+ 2 y
x + x
y ≥3+2❑√2，当且仅当x = ❑√2 y，等号成立，故C 正确；
对于D，由B 易知x +
1
1−2 y = x + 1
x ≥2，当且仅当x =1，等号成立，则x +
1
1−2 y >2，故D 正确.
故选：ACD.
11．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知a,b 为正实数， ab+a+2b=14，则下列说法正确的是（ ）
A．a+b<21
B．a−6
b+1 的最小值为 -1
C．a+ 4 b的最小值为 12
D．1
a+2 +
1
b+1 的最小值为1
2
【解题思路】根据题意，化简得到(a+2)(b+1)=16，令x =a+2, y =b+1，得到a+b= x + 16
x −3，结合
函数f (x)= x + 16
x 单调性，可判定A 正确；由b+1= 16
a+2，得到a−6
b+1 = a
2−4 a−12
16
，结合二次函数的性
质，可得判定B 正确；化简a+ 4 b= x + 4 y −6，利用基本不等式，可得判定C 不正确；由
(a+2)(b+1)=16，得到1
a+2 +
1
b+1 ≥2❑√
1
a+2 ⋅
1
b+1，可判定D 正确.
【解答过程】由ab+a+2b=14，可得(a+2)(b+1)=16，
对于A 中，令x =a+2, y =b+1，则a= x−2,b= y −1且xy =16，
可得2< x<16，则a+b= x + y −3= x + 16
x −3，
因为函数f (x)= x + 16
x 在(2,4 ]上单调递减，在[ 4,16)上单调递增，
可得f (x)<f (16)=17，所以a+b= x + y −3<14，所以A 正确；
对于B 中，由(a+2)(b+1)=16，可得b+1= 16
a+2，
则a−6
b+1 =(a−6)× a+2
16 = a
2−4 a−12
16
= (a−2)
2−16
16
，
当且仅当a=2时，a−6
b+1 取得最小值−1，所以B 正确；
对于C 中，由a+ 4 b=( x−2)+ 4( y −1)= x + 4 y −6≥2❑√x⋅4 y −6=10，
当且仅当x = 4 y时，即x =8, y =2时，即a=6,b=1时，等号成立，所以C 不正确；
对于D 中，由(a+2)(b+1)=16，
可得1
a+2 +
1
b+1 ≥2❑√
1
a+2 ⋅
1
b+1 =2❑√
1
16 = 1
2，
当且仅当1
a+2 =
1
b+1时，即a=2,b=3时，等号成立，
所以1
a+2 +
1
b+1的最小值为1
2，所以D 正确.
故选：ABD.
三、填空题
12．（2025·上海·高考真题）设a,b>0,a+ 1
b =1，则b+ 1
a的最小值为 4
．
【解题思路】灵活利用“1”将b+ 1
a =(b+ 1
a)(a+ 1
b)展开利用基本不等式计算即可.
【解答过程】易知b+ 1
a =(b+ 1
a)(a+ 1
b)=ab+ 1
ab +2≥2❑√ab⋅1
ab +2= 4，
当且仅当ab=1，即a= 1
2 ,b=2时取得最小值.
故答案为：4.
13．（2025·山西吕梁·一模）正数x , y满足x + y = xy，则x +9 y的最小值是 16
.
【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【解答过程】由正数x , y满足x + y = xy，得1
x + 1
y =1，
则x +9 y =( 1
x + 1
y )( x +9 y)=10+ x
y + 9 y
x ≥10+2❑√
x
y ⋅9 y
x =16，
当且仅当x
y = 9 y
x ，即x =3 y = 4取等号，
所以x +9 y的最小值是16.
故答案为：16.
14．（2025·四川眉山·模拟预测）已知a,b∈R
+，4 a+b=1，则a+b
ab 的最小值是 9
.
【解题思路】先求出1
a + 1
b 的最小值，再将a+b
ab 化为1
a + 1
b ，即可求得答案.
【解答过程】因为a,b∈R
+，4 a+b=1，
故1
a + 1
b =(
1
a + 1
b)(4 a+b)=5+ b
a + 4 a
b ≥5+2❑√
b
a ⋅4 a
b =9，
当且仅当b
a = 4 a
b ，结合4 a+b=1，即a= 1
6 ,b= 1
3时等号成立，
所以a+b
ab = 1
a + 1
b ≥9.，即ab
a+b的最小值为9，
故答案为：9.
四、解答题
15．（24-25 高一下·广西·开学考试）（1）已知x , y是正实数，且x + y = 4，求1
x + 4
y 的最小值；
（2）函数y = x
2+2
x−1
(x>1)的最小值为多少？
【解题思路】（1）利用乘“1”法，结合基本不等式分析求解；
（2）利用分离常数法，结合基本不等式分析求解.
【解答过程】（1）因为x , y是正实数，且x + y = 4，
则1
x + 4
y = 1
4
(x + y)(
1
x + 4
y)= 1
4(5+ y
x + 4 x
y )≥1
4(5+ 4 ❑√
y
x ⋅4 x
y )= 9
4 ，
当且仅当y
x = 4 x
y ，即y =2 x = 8
3 时，等号成立，
所以1
x + 4
y 的最小值为9
4 ；
（2）因为x>1，则x−1>0，
则y = x
2+2
x−1 = [(x−1)+1)
2+2
x−1
=(x−1)+
3
x−1 +2≥2❑√
(x−1)⋅
3
x−1 +2=2❑√3+2，
当且仅当x−1=
3
x−1，即x = ❑√3+1时，等号成立，
所以函数y = x
2+2
x−1
(x>1)的最小值为2❑√3+2.
16．（2025 高三·全国·专题练习）若正数x , y满足：x + y +8= xy，
(1)求xy的取值范围；
(2)求x + y的取值范围．
【解题思路】（1）利用基本不等式进行放缩，得到xy −8≥2❑√xy，再通过一元二次不等式的解法进行求
解；
（2）利用基本不等式进行放缩，得到x + y +8≤(
x + y
2 )
2
，再通过一元二次不等式的解法进行求解.
【解答过程】（1）由条件等式与基本不等式，得{
x + y = xy −8
x + y ≥2❑√xy ⇒xy −8≥2❑√xy)，即
(❑√xy )
2−2❑√xy −8≥0，
即(❑√xy −4)(❑√xy +2)≥0，解得❑√xy ≥4，所以xy ≥16，当且仅当x = y = 4时取等号，
所以xy的取值范围为[16,+ ∞)．
（2）由条件等式与基本不等式，得{
x + y +8= xy
xy ≤(
x + y
2 )
2⇒x + y +8≤(
x + y
2 )
2
)
，
令t = x + y，得t
2−4 t −32≥0，
解得t ≥8或t ≤−4（舍去），即x + y ≥8，
所以x + y的取值范围为[8,+∞).
17．（25-26 高一上·全国·课后作业）某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有
墙体，建造一间墙高为3m，底面积为12m
2，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背
靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400 元，左右两
面新建墙体报价为每平方米150 元，屋顶和地面以及其他报价共计7200 元．设屋子的左右两侧墙的长度均
为x m (2≤x ≤6)．
(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造亮标，其给出的整体报价为900a(1+ x ）
x
元(a>0)．若无论左右
两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a 的取值范围．
【解题思路】（1）得到y =900(
16
x + x)+7200,2≤x ≤6，利用基本不等式进行求解即可；
（2）根据题意，可得a< ( x + 4)
2
1+ x
对任意的x∈[2,6]恒成立，进行求解即可.
【解答过程】解：（1）因为屋子的左右两侧墙的长度均为x m(2≤x ≤6)，底面积为12m
2，所以屋子的前
面墙的长度为12
x m(2≤x ≤6)．
设甲工程队报价为y 元，所以y =3× 12
x ×400+2×150×3 x +7200=900(
16
x + x)+7200,2≤x ≤6．
因为900(
16
x + x)+7200≥900×2❑√
16
x ⋅x +7200=14400，当且仅当16
x = x，即x = 4时，等号成立，
所以当左右两面墙的长度为4m时，甲工程队报价最低，为14400 元．
（2）根据题意可知900(
16
x + x)+7200> 900a(1+ x)
x
对任意的x∈[2,6]恒成立，即( x + 4)
2
x
> a(1+ x)
x
对任意的x∈[2,6]恒成立，所以a< ( x + 4)
2
1+ x
对任意的x∈[2,6]恒成立．
因为a>0, ( x + 4)
2
1+ x
= ( x +1)
2+6( x +1)+9
1+ x
=( x +1)+
9
x +1 +6≥2❑√( x +1)⋅
9
x +1 +6=12，当且仅当
x +1=
9
x +1，即x =2时，等号成立，所以0<a<12．
故当0<a<12时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功．
18．（24-25 高一上·安徽淮北·期中）某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋
糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x 元，朱古力蜂果蛋糕单位为y 元，现有两种购买方案：
方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a 个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b 个，花费记为S1;
方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b 个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a 个，花费记为S2．
（其中y > x>4 ,b>a>4）
(1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；
(2)若a，b，x，y 同时满足关系y =2 x−2❑√x−4 ,b=2a+
4
a−4 ，求这两种购买方案花费的差值S 最小值
（注：差值S =花费较大值-花费较小值）．
【解题思路】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解；
（2）根据题意，得到S2−S1=( x−2❑√x−4)⋅(a+
4
a−4 )，利用换元法和基本不等式，即可求解.
【解答过程】（1）解：方案一的总费用为S1=ax +by（元）；
方案二的总费用为S2=bx +ay（元），
由S2−S1=bx +ay −(ax +by)=a( y −x)+b( x−y)=( y −x)(a−b)，
因为y > x>4 ,b>a>4，可得y −x>0,a−b<0，所以( y −x)(a−b)<0，
即S2−S1<0，所以S2<S1，所以采用方案二，花费更少.
（2）解：由（1）可知S1−S2=( y −x)(b−a)=( x−2❑√x−4)⋅(a+
4
a−4 )，
令t = ❑√x−4，则x =t
2+ 4，
所以x−2❑√x−4 =t
2−2t + 4 =(t −1)
2+3≥3，当t =1时，即x =5时，等号成立，
又因为a>4，可得a−4>0，
所以a+
4
a−4 =(a−4)+
4
a−4 + 4≥2❑√(a−4)×
4
a−4 + 4 =8，
当且仅当a−4 =
4
a−4 时，即a=6,b=14时，等号成立，
所以差S的最小值为3×8=24，当且仅当x =5, y =8,a=6,b=14时，等号成立，
所以两种方案花费的差值S最小为24 元.
19．（24-25 高一上·辽宁·阶段练习）已知a>0，b>0.
(1)若a+2b=2，证明：ab≤1
2；
(2)若0<a<2，求1
a +
4
2−a的最小值；
(3)若(b+2❑√2ab) x−(a+b)≤0恒成立，求x 的取值范围.
【解题思路】（1）利用基本不等式即可证明；
（2）根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用求出最值即可；
（3）不等式可化为x ≤
a+b
b+2❑√2ab 恒成立，求出
a+b
b+2❑√2ab 最小值，再借助恒成立求解即得.
【解答过程】（1）因为a>0，b>0，所以2=a+2b≥2❑√2ab，
则
❑√ab≤1
❑√2，故ab≤1
2，
当且仅当a=2b，即a=1，b= 1
2时取等号.
（2）因为0<a<2，所以2−a>0，则1
2 [a+(2−a))=1，
则1
a +
4
2−a = 1
2(
1
a +
4
2−a)[a+(2−a))
= 1
2(5+ 2−a
a
+ 4 a
2−a)≥1
2(5+2❑√
2−a
a
⋅4 a
2−a)= 1
2 ×(5+ 4)= 9
2，
当且仅当2−a
a
= 4 a
2−a，即a= 2
3时取得等号，
故1
a +
4
2−a的最小值为9
2.
（3）因为a>0，b>0，所以b+2❑√2ab>0，
则(b+2❑√2ab) x−(a+b)≤0可化为x ≤
a+b
b+2❑√2ab恒成立，
又b+2❑√2ab≤b+2a+b=2(a+b)，当且仅当2a=b时取得等号，
所以
a+b
b+2❑√2ab ≥
a+b
2(a+b) = 1
2，
则x ≤1
2，
故x的取值范围为(−∞, 1
2).
